人教A版高中数学选择性必修第一册第一章1.3.2空间向量运算的坐标表示课件

1.3.2空间向量运算的坐标表示第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示整体感知[学习目标]

1．掌握空间向量运算的坐标表示．(数学运算)2．掌握空间两点间的距离公式，并会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．(数学运算、逻辑推理)

[讨论交流]

问题1．如何用坐标来表示空间向量的运算？问题2．如何用坐标来表示空间向量平行和垂直的条件、模和夹角的计算公式？问题3．空间两点间的距离公式是什么？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1空间向量的坐标运算探究问题1设平面向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b，a－b，λa，a·b的运算结果分别是什么？[提示]

a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；a－b＝(a1－b1，a2－b2)；λa＝(λa1，λa2)；a·b＝a1b1＋a2b2.探究问题2你能由平面向量运算的坐标表示类比得出空间向量运算的坐标表示吗？若能，请尝试证明．[提示]

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．证明如下：设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，所以a±b＝(a1±b1)i＋(a2±b2)j＋(a3±b3)k＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝λ(a1i＋a2j＋a3k)＝λa1i＋λa2j＋λa3k＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝(a1i＋a2j＋a3k)·(b1i＋b2j＋b3k)＝a1b1＋a2b2＋a3b3(由数量积的分配律及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0得)．[新知生成]1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量运算向量表示坐标表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3

【教用·微提醒】

(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量．减去(x2－x1，y2－y1，z2－z1)

(－5，2，3)

(1，2，1)

反思领悟

空间向量坐标运算的规律(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定．(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．(3)由条件求向量或点的坐标：把向量或点的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．

探究2空间向量平行、垂直的坐标表示及应用探究问题3设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？对于空间向量是不是也有类似的结论？[提示]

a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．对于空间向量也有类似结论．[新知生成]设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则平行(a∥b)a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔_______________________________垂直(a⊥b)a⊥b⇔a·b＝0⇔_____________________(a，b均为非零向量)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

2．本例中，若点G是A1D的中点，点H在平面Dxy上，且GH∥BD1，试判断点H的位置．

反思领悟

判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．[学以致用]

2．已知A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，点P(x，y，1)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为___________．

(0，1，1)【链接·教材例题】例2如图1.3-8，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证EF⊥DA1.考向2

向量的平行、垂直关系在立体几何证明中的应用

[典例讲评]

3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．求证：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面EFD．

反思领悟

利用向量的坐标运算证明平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．

(1)求AM的长．(2)求BE1与DF1所成角的余弦值．

[典例讲评]

4．(源自湘教版教材)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．(1)求证：EF⊥CF；(2)求CE的长；(3)求EF与CG所成角的余弦值．

发现规律

用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？[提示]

(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系．(2)写出相关点的坐标，用向量表示相关元素．(3)通过向量的坐标运算求夹角和距离．

[解]

如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

应用迁移23题号41

√

23题号412．已知向量a＝(1，2，1)，b＝(1，－1，m)，且a·b＝－2，则m＝(

)A．－1

B．1C．－2

D．2√A

[由题意，可得a·b＝1×1＋2×(－1)＋1×m＝－2，解得m＝－1.故选A．]23题号41

√23题号41

23题号414．与a＝(2，－1，2)共线且满足a·b＝－9的向量b＝_______________．

(－2，1，－2)

1．知识链：(1)向量的坐标运算．(2)向量的坐标表示的应用．2．方法链：直接法，类比、转化，待定系数法．3．警示牌：(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等．(2)求异面直线所成的角时易忽略范围，讨论向量夹角易忽略向量共线的情况．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？

2．你是如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离的？[提示]

(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标，用向量表示相关元素；(3)通过向量的坐标运算研究平行、垂直、夹角和距离．课时分层作业(六)空间向量运算的坐标表示题号1352468791011121314

√

题号1352468791011121314题号13524687910111213142．在平行四边形ABCD中，A(1，－1，－3)，B(2，2，4)，C(0，3，6)，则点D的坐标为(

)A．(－1，3，3)

B．(1，0，－1)C．(3，－1，2)

D．(－1，0，－1)√题号1352468791011121314

题号3524687910111213141

√√题号3524687910111213141

题号3524687910111213141

√

题号3524687910111213141

√题号3524687910111213141

题号3524687910111213141

2

题号3524687910111213141

题号3524687910111213141

题号3524687910111213141

题号3524687910111213141三、解答题9．已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c.(1)求向量a，b，c；(2)求向量a＋c与b＋c所成角θ的余弦值．

题号3524687910111213141

题号3524687910111213141

√√

题号3524687910111213141

题号3524687910111213141题号3524687910111213141

√题号3524687910111213141

题号3524687910111213141

√题号3524687910111213141

题号3524687910111213141

题号3524687910111213141

题号3524687910111213