人教A版高中数学选择性必修第一册第一章1.1.2空间向量的数量积运算课件

1.1.2空间向量的数量积运算第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算整体感知[学习目标]

1．掌握空间向量的夹角的概念．(数学抽象)2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律．(逻辑推理、数学运算)3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．(数学抽象)4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题．(直观想象、数学运算)(教师用书)回忆平面向量数量积的概念与性质，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，说明理由．[讨论交流]

问题1．空间向量的夹角的定义，数量积的定义、性质和运算律与平面向量有区别吗？问题2．两向量共线时，其夹角是多少？零向量与任意向量的数量积等于多少？问题3．在空间中，向量a向向量b、直线l、平面α的投影分别有什么意义？问题4．类比平面向量的数量积，用空间向量的数量积可解决哪几类几何问题？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1空间向量的夹角探究问题1我们在必修第二册“第六章平面向量及其应用”中已经学习了两个平面向量a和b的夹角的定义，那么对于两个空间向量a和b，它们的夹角又该如何定义呢？

[新知生成]定义范围_________________向量垂直如果〈a，b〉＝__，那么向量a，b互相垂直，记作a__b∠AOB〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π

⊥【教用·微提醒】

(1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)．(2)由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都是共线的，即0∥a.

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反思领悟

1．求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错．2．对空间任意两个非零向量a，b，有：(1)〈a，b〉＝〈b，a〉．(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉．

0°90°

探究2空间向量的数量积运算探究问题2我们在必修第二册“第六章平面向量及其应用”中已经学习了两个平面向量a和b的数量积的定义、性质及运算．类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？[提示]

空间两向量数量积的定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|·cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．空间向量的数量积运算满足：(1)数乘向量与向量数量积的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.[新知生成]1．空间向量的数量积(1)定义已知两个非零向量a，b，则_________________叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝________________．规定：零向量与任意向量的数量积为_．(2)空间向量的数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．|a||b|cos〈a，b〉|a||b|·cos〈a，b〉0(3)空间两向量的数量积的性质向量数量积的性质垂直若a，b是非零向量，则a⊥b⇔_______共线同向：则a·b＝|a||b|反向：则a·b＝－|a||b|模夹角a·b＝0

2．向量的投影(1)在空间，向量a向向量b投影：如图1，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，.得到与向量b共线的向量c，c＝_________________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．

(2)向量a向直线l投影如图2.

【教用·微提醒】

(1)非零向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π.(3)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c⇏b＝c，(a·b)·c⇏a·(b·c)．

反思领悟

空间向量的数量积运算的方法(1)利用定义，直接利用a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，并结合运算律进行计算．(2)利用图形，计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．(3)利用向量分解，在几何体中进行向量的数量积运算时，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．

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2．本例中条件不变，求异面直线CA1与AB夹角的余弦值．

反思领悟

利用向量求异面直线夹角的步骤

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【链接·教材例题】例3如图1.1-13，m，n是平面α内的两条相交直线．如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.[分析]

要证明l⊥α，就是要证明l垂直于α内的任意一条直线g(直线与平面垂直的定义)．如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由l⊥m，l⊥n，得到l⊥g，那么就能解决此问题．[证明]

在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使g＝xm＋yn.将上式两边分别与向量l作数量积运算，得l·g＝xl·m＋yl·n.因为l·m＝0，l·n＝0(为什么？)，所以l·g＝0.所以l⊥g.这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α.[典例讲评]

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．证明：PA⊥BD．

发现规律

用向量法证明垂直关系的步骤是什么？[提示]

(1)把几何问题转化为向量问题．(2)用已知向量表示所证向量．(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0.(4)将向量问题回归到几何问题．[学以致用]

6．如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC．

应用迁移23题号41

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23题号41

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23题号4123题号41

1．知识链：(1)空间向量的夹角、投影．(2)空间向量的数量积的性质及运算律．2．方法链：向量法、数形结合、类比．3．警示牌：(1)当空间向量a，b的夹角θ为锐角时，a·b＞0；但当a·b＞0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.回顾本节知识，自主完成以下问题：1．空间向量的夹角和数量积的定义与平面向量的夹角和数量积的定义是否一致？[提示]

一致．2．向量a在向量b上的投影向量为向量c，则如何求|c|？试列举出你知道的方法．

3．利用空间向量的数量积可研究哪些问题？[提示]

可以解决立体几何问题中涉及垂直、距离、夹角的一些问题．课时分层作业(三)空间向量的数量积运算题号1352468791011121314一、选择题1．对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√B

[显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．]题号1352468791011121314题号1352468791011121314

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题号3524687910111213141二、填空题5．已知向量a，b满足|a＋b|＝|a－2b|，其中b是单位向量，则a在b方向上的投影向量是________．

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题号35246879101112131417．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．

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√A

[如图，连接EC．∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，题号3524687910111213141∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB．题号3524687910111213141

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