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文档简介
第1课时抛物线的简单几何性质第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.2抛物线的简单几何性质整体感知[学习目标]
1.掌握抛物线的几何性质.(数学抽象)2.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题.(逻辑推理、数学运算)(教师用书)生活中不乏以抛物线为原型的例子,信号接收塔、太阳灶、石拱桥、抛物线型灯具等.除了美观外,主要也是借用了抛物线的一些性质.比如信号接收塔、太阳灶的设计利用了抛物线的聚焦性质,抛物线型石拱桥利用了其跨距大的特点等等.就如前面学习椭圆、双曲线一样,下面我们来研究一下抛物线的一些几何性质.[讨论交流]
问题1.抛物线有哪些几何性质?问题2.椭圆、双曲线、抛物线的离心率的范围如何?[自我感知]
经过认真的预习,结合对本节课的理解和认识,请画出本节课的知识逻辑体系.探究建构探究1抛物线的几何性质探究问题1已知抛物线C的方程为y2=2x,根据这个方程完成下列任务.(1)观察方程中x与y是否有取值范围,由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征;(2)指出抛物线C是否具有对称性;(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点,如果有,求出交点坐标.[提示]
(1)由y2=2x知y∈R,x≥0,抛物线C位于y轴及y轴右侧.(2)抛物线C关于x轴对称,不关于y轴对称,也不关于原点对称.(3)抛物线C与x轴、y轴都只有一个交点,交点都是原点(0,0).[新知生成]标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形性质焦点准线标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)性质范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈R____________________对称轴______顶点________离心率e=_y≥0,x∈Ry≤0,x∈Rx轴y轴(0,0)1【教用·微提醒】
(1)抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.(2)抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.(3)影响抛物线开口大小的量是参数p,p值越大,抛物线的开口越大,反之,开口越小.
[典例讲评]
1.求适合下列条件的抛物线的标准方程,并写出焦点坐标与准线方程.(1)焦点F关于准线的对称点为M(0,-9);(2)关于y轴对称,与直线y=-12相交所得线段的长为12.
反思领悟
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
探究2抛物线的焦点弦长【链接·教材例题】例4斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.[分析]
由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标,又直线l的斜率为1,所以可以求出直线l的方程;与抛物线的方程联立,可以求出A,B两点的坐标;利用两点间的距离公式可以求出|AB|.这种方法思路直接,具有一般性.请你用此方法求|AB|.
[典例讲评]
2.经过抛物线x2=4y的焦点的直线与抛物线相交于A,B两点,若|AB|=4,则△OAB(O为坐标原点)的面积为________.
2
x1+x2+p2p2p短[学以致用]
2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(2,0),直线l:y=k(x-2)与抛物线C相交于不同的两点A,B.(1)求抛物线C的方程;(2)若|AB|=9,求k的值.
√
-p2
√
【链接·教材例题】例5经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.[分析]
我们用坐标法证明这个结论,即通过建立抛物线及直线的方程,运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图3.3-5所示的直角坐标系,只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.
【链接·教材例题】例6如图3.3-6,已知定点B(a,-h),BC⊥x轴于点C,M是线段OB上任意一点,MD⊥x轴于点D,ME⊥BC于点E,OE与MD相交于点P,求点P的轨迹方程.
应用迁移23题号41
√
23题号412.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为(
)A.y2=8x
B.y2=-8xC.x2=8y
D.x2=-8y√CD
[以y轴为对称轴的抛物线的标准方程为x2=±2py(p>0),排除选项A,B.又因为2p=8.故选CD.]√23题号41
√
23题号414.过抛物线y2=8x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1+x2=6,则线段AB的中点M到抛物线准线的距离为________.
5
回顾本节知识,自主完成以下问题:1.抛物线有哪些几何性质?[提示]
范围、对称性、焦点坐标、准线方程、顶点坐标、离心率.2.利用抛物线的性质可以解决哪些问题?[提示]
(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点弦:解决焦点弦问题.课时分层作业(三十三)抛物线的简单几何性质题号1352468791011121314一、选择题1.设A,B是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为16,则∠AOB=(
)A.30°
B.45°C.60°
D.90°√
题号1352468791011121314题号13524687910111213142.设经过点F(1,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|=(
)A.6
B.8C.10
D.12√B
[由抛物线方程知:F(1,0)为抛物线y2=4x的焦点,设A(x1,y1),B(x2,y2),∵线段AB中点的横坐标为3,∴x1+x2=6,∵直线AB过抛物线的焦点F(1,0),∴|AB|=x1+x2+2=8.故选B.]题号35246879101112131413.已知△ABC的顶点在抛物线y2=2x上,若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心,则|FA|+|FB|+|FC|的值为(
)A.3
B.4C.5
D.6√
题号3524687910111213141
√
题号35246879101112131415.已知P(2,4)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,过C的焦点F的直线l与C交于A,B两点,则|AF|+9|BF|的最小值为(
)A.24
B.28C.30
D.32√
题号3524687910111213141
题号3524687910111213141二、填空题6.设P是抛物线y2=4x上任意一点,设A(3,0),则|PA|的最小值为________.
题号3524687910111213141
5
题号35246879101112131418.抛物线y2=8x上两点M,N到焦点F的距离分别是d1,d2,若d1+d2=5,则线段MN的中点P到y轴的距离为________.
题号3524687910111213141三、解答题9.已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.题号3524687910111213141
题号3524687910111213141
题号3524687910111213141
√
题号3524687910111213141
题号3524687910111213141题号3524687910111213141
√√题号3524687910111213141
题号3524687910111213141
题号352468791011121314112.已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点,另外两个顶点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,则△AOB的边长为________.
题号3524687910111213
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