人教A版高中数学选择性必修第一册第三章3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质课件

第1课时抛物线的简单几何性质第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.2抛物线的简单几何性质整体感知[学习目标]

1．掌握抛物线的几何性质．(数学抽象)2．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(逻辑推理、数学运算)(教师用书)生活中不乏以抛物线为原型的例子，信号接收塔、太阳灶、石拱桥、抛物线型灯具等．除了美观外，主要也是借用了抛物线的一些性质．比如信号接收塔、太阳灶的设计利用了抛物线的聚焦性质，抛物线型石拱桥利用了其跨距大的特点等等．就如前面学习椭圆、双曲线一样，下面我们来研究一下抛物线的一些几何性质．[讨论交流]

问题1．抛物线有哪些几何性质？问题2．椭圆、双曲线、抛物线的离心率的范围如何？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1抛物线的几何性质探究问题1已知抛物线C的方程为y2＝2x，根据这个方程完成下列任务．(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征；(2)指出抛物线C是否具有对称性；(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．[提示]

(1)由y2＝2x知y∈R，x≥0，抛物线C位于y轴及y轴右侧．(2)抛物线C关于x轴对称，不关于y轴对称，也不关于原点对称．(3)抛物线C与x轴、y轴都只有一个交点，交点都是原点(0，0)．[新知生成]标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点准线标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈R____________________对称轴______顶点________离心率e＝_y≥0，x∈Ry≤0，x∈Rx轴y轴(0，0)1【教用·微提醒】

(1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平．(2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直．(3)影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．

[典例讲评]

1．求适合下列条件的抛物线的标准方程，并写出焦点坐标与准线方程．(1)焦点F关于准线的对称点为M(0，－9)；(2)关于y轴对称，与直线y＝－12相交所得线段的长为12．

反思领悟

把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1．

探究2抛物线的焦点弦长【链接·教材例题】例4斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．[分析]

由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A，B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出|AB|.这种方法思路直接，具有一般性．请你用此方法求|AB|．

[典例讲评]

2．经过抛物线x2＝4y的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝4，则△OAB(O为坐标原点)的面积为________．

2

x1＋x2＋p2p2p短[学以致用]

2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(2，0)，直线l：y＝k(x－2)与抛物线C相交于不同的两点A，B．(1)求抛物线C的方程；(2)若|AB|＝9，求k的值．

√

－p2

√

【链接·教材例题】例5经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．[分析]

我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图3.3-5所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可．

【链接·教材例题】例6如图3.3-6，已知定点B(a，－h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程．

应用迁移23题号41

√

23题号412．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(

)A．y2＝8x

B．y2＝－8xC．x2＝8y

D．x2＝－8y√CD

[以y轴为对称轴的抛物线的标准方程为x2＝±2py(p＞0)，排除选项A，B．又因为2p＝8．故选CD．]√23题号41

√

23题号414．过抛物线y2＝8x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则线段AB的中点M到抛物线准线的距离为________．

5

回顾本节知识，自主完成以下问题：1．抛物线有哪些几何性质？[提示]

范围、对称性、焦点坐标、准线方程、顶点坐标、离心率．2．利用抛物线的性质可以解决哪些问题？[提示]

(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．(4)焦点弦：解决焦点弦问题．课时分层作业(三十三)抛物线的简单几何性质题号1352468791011121314一、选择题1．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB＝(

)A．30°

B．45°C．60°

D．90°√

题号1352468791011121314题号13524687910111213142．设经过点F(1，0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|＝(

)A．6

B．8C．10

D．12√B

[由抛物线方程知：F(1，0)为抛物线y2＝4x的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵线段AB中点的横坐标为3，∴x1＋x2＝6，∵直线AB过抛物线的焦点F(1，0)，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8．故选B．]题号35246879101112131413．已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|＋|FB|＋|FC|的值为(

)A．3

B．4C．5

D．6√

题号3524687910111213141

√

题号35246879101112131415．已知P(2，4)是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则|AF|＋9|BF|的最小值为(

)A．24

B．28C．30

D．32√

题号3524687910111213141

题号3524687910111213141二、填空题6．设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3，0)，则|PA|的最小值为________．

题号3524687910111213141

5

题号35246879101112131418．抛物线y2＝8x上两点M，N到焦点F的距离分别是d1，d2，若d1＋d2＝5，则线段MN的中点P到y轴的距离为________．

题号3524687910111213141三、解答题9．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．题号3524687910111213141

题号3524687910111213141

题号3524687910111213141

√

题号3524687910111213141

题号3524687910111213141题号3524687910111213141

√√题号3524687910111213141

题号3524687910111213141

题号352468791011121314112．已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，则△AOB的边长为________．

题号3524687910111213