专题36 圆的相关计算与证明（5大类型）（原卷版）

模块三重难点题型专项训练

专题36圆的相关计算与证明（5大类型）

考查类型一圆与锐角三角函数的综合

考查类型二圆基本性质的证明与计算

考查类型考查类型三与圆的切线有关的证明与计算

考查类型四圆与相似三角形的综合

考查类型五扇形面积与圆锥侧面积综合

新题速递

考查题型一圆与锐角三角函数的综合

例1（2021·浙江丽水·统考中考真题）如图，AB是O的直径，弦CDOA于点E，连结OC,OD．若O

的半径为m,AOD，则下列结论一定成立的是（）

2

A．OEmtanB．CD2msinC．AEmcosD．SCODmsin

例2（2022·山东枣庄·统考中考真题）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳

理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE

＝_____．

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例3（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图CD是O直径，A是O上异于C，D的一点，点B是DC延

长线上一点，连接AB、AC、AD，且BACADB．

(1)求证：直线AB是O的切线；

(2)若BC2OC，求tanADB的值；

(3)在（2）的条件下，作CAD的平分线AP交O于P，交CD于E，连接PC、PD，若AB26，求AEAP

的值．

解题策略一：利用圆的有关性质构造直角三角形

如果圆中存在直径，则可根据直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而为使用三角函数创造条件.垂

径定理和切线的性质也是圆中构造直角的重要依据.

解题策略二：用圆周角的性质把角转化到直角三角形中

借助同孤或等弧所对的圆周角相等或其他相等关系，可把三角函数中涉及的锐角转化为直角三角形中的锐

角，然后借助三角函数的定义解答.

总而言之，圆与三角函数都是初中数学知识的重点，也是难点，将这两部分知识综合考查时，难度相对较

大。其解题关键在于，找到相关的直角三角形。若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构

造直角三角形，或把角转化到直角三角形中解答。

圆的内容在考察的时候形式多样，不管是哪一种类型都可以随机结合，对于学生而言灵活变通能力要求较

高，所以在平时做题时需要多做总结和同类型整理，才能更快融会贯通。

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【变式1】（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与O相切于点A、B，连接PO并延长与O交于

点C、D，若CD12，PA8，则sinADB的值为（）

4334

A．B．C．D．

5543

【变式2】（2022·贵州遵义·统考二模）如图，AB为O的直径，延长AB到点P，过点P作☉O的切线PC，

1

PD，切点分别为C，D，连接CD交AP于点M，连接BD，AD．若PC2，tanBDC，则AD的长为

2

（）

6535

A．B．C．2D．5

55

【变式3】（2022·广东云浮·校联考三模）如图，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且ADODOD1，

OC2，则tanABC_____．

【变式4】（2022·四川广元·统考一模）如图，AB为O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与O

相切于点C，D，连接AC，AD．若AB6，PC4，则cosCAD______．

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【变式5】（2022·山东济宁·校考二模）如图，点E是O中弦AB的中点，过点E作O的直径CD，P是O

上一点，过点P作O的切线，与AB的延长线交于F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M．

(1)求证：FMFP；

3

若点是的中点，cosF，半径长为，求长．

(2)PFG5O6EM

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考查题型二圆基本性质的证明与计算

例1（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形ABCD中．A60，AB//CD，DEAD交AB于

点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（）

9393

A．693B．1293C．6D．12

22

例2（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形AOB中，点C，D在AB上，将CD沿弦CD折叠后恰

好与OA，OB相切于点E，F．已知AOB120，OA6，则EF的度数为_______；折痕CD的长为_______．

例3（2022·辽宁大连·统考中考真题）AB是O的直径，C是O上一点，ODBC，垂足为D，过点

A作O的切线，与DO的延长线相交于点E．

(1)如图1，求证BE；

(2)如图2，连接AD，若O的半径为2，OE3，求AD的长．

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知识点、圆的对称性

（1）对称中心

圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。

将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心

旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。

1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都

分别相等。

3.将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角，我们也称这样的弧为1的弧。圆心角的度数和它

所对的弧的度数相等．

（2）对称轴

经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图

形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。

（3）垂径定理

1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

几何语言：

垂径定理的几个基本图形：

垂径定理在基本图形中的应用：

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2．其它正确结论：

⑴弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．

3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三．

注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径．

4．常见辅助线做法：

⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；

⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．

【变式1】（2022·广东广州·广州市第一中学校考三模）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，

BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，PQ若

MP+NQ=12，AC+BC=18，则AB的长为（）

90

A．92B．C．11D．15

7

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【变式2】（2022·福建福州·福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）如图，YABCD的三个顶点A、B、

D均在O上，且对角线AC过圆心O，BC与O相切于点B，若O的半径为6，则▱ABCD的面积为（）

384725

A．35B．543C．D．72+

55

【变式3】（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，AB为O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DEAB

于点E，延长DE交O于点F，若AC12，AE3，则O的直径长为______．

【变式4】（2022·湖南株洲·统考模拟预测）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的

中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．

【变式5】（2022·贵州铜仁·模拟预测）已知：如图，O的直径AB与弦CD相交于点E，BCBD，O的

切线BF与弦AD的延长线相交于点F.

(1)求证：CD∥BF；

3

(2)连接BC，若O的半径为4，cosBCD，求线段AD，CD的长.

4

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考查题型三与圆的切线有关的证明与计算

例1（2022·重庆·统考中考真题）如图，AB是O的直径，C为O上一点，过点C的切线与AB的延长

线交于点P，若ACPC33，则PB的长为（）

3

A．3B．C．23D．3

2

例2（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知AB为⊙O的直径且AB2，点C是⊙O上一点（不与A、

B重合），点D在半径OB上，且ADAC，AE与过点C的⊙O的切线垂直，垂足为E．若EAC36，则

CD_____，OD_______．

例3（2022·内蒙古·中考真题）如图，O是ABC的外接圆，EF与O相切于点D，EF∥BC分别交AB，

AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，ABC的平分线BM交AD于点M．

(1)求证：AD平分BAC；

(2)若AB:BE5:2，AD14，求线段DM的长．

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切线的定义是：一直线若与一圆有且只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。一般如果题目给出有切线，那么我们可以

考虑添加过切点的半径，进而连接圆心和切点，利用切线的性质和定理构造出直角或直角三角形，从而使用勾股定理解出一

些边角关系。

【变式1】（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，直线y3x33与x轴、y轴分别交于

A、B两点，P1,0，P与y轴相切于点O，将P向上平移m个单位长度，当P与直线AB第一次相切

时，则m的值是（）

A．232B．23C．333D．233

【变式2】（2022·浙江宁波·一模）如图，RtABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=10，BC=24，点P是线

段CD上一动点，当半径为6的⊙P与ABC△的一边相切时，CP的长为___________．

△

【变式3】（2022·广东韶关·校考三模）如图，AB是O的直径，CD是ACB的平分线交O于点D，过D

作O的切线交CB的延长线于点E．若AB4，E75，则CD的长为______．

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1

【变式4】（2022·广东广州·校考二模）如图，已知ABC，tanC，A30．

3

(1)在AC边上求作点P，连接PB，使PBA30（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)在第（1）问图中，若AB43，

①求SPBC；

②已知经过点P的圆O与AB相切于点A，求扇形AOP的面积．

考查题型四圆与相似三角形的综合

例1（2021·辽宁锦州·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位

于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝62，CE＝2DE，则CE的长为（）

A．26B．42C．35D．43

例2（2022·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在O中，AB为直径，AB8，BD为弦，过点A的切线与

BD的延长线交于点C，E为线段BD上一点（不与点B重合），且OEDE．

（1）若B35，则AD的长为______（结果保留）；

DE

（2）若AC6，则______．

BE

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例3（2022·山东淄博·统考中考真题）已知ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点

D，连接DB．△

(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI；

图1

(2)如图2，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；

图2

(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O

的切线GH（切点为H），求证：GF=GH．

图3

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我们知道在圆中随便相连就可以形成很多三角形，而圆是轴对称图形，有无数条对称轴，这就造成了圆的一些特殊性质，

比如：

（1）直径所对的圆周角为直角；

（2）平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦；

（3）圆的切线与过该点的半径垂直等。

因此，圆中有非常多的直角三角形，且圆中三角形的相似一般是直角三角形的相似。

这些相似包括：A字相似（平行、不平行）；8字相似（平行、不平行）、摄影相似、母子相似等。

【变式1】（2021·贵州遵义·校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，以对角线AC为直径的O分别

交BC,CD于M，N．若AB13，BC14，CM9，则AN的长度为（）

168180

A．12B．15C．D．

1313

【变式2】（2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考三模）如图，点E是⊙O中弦AB的中点，过点E作⊙O的

直径CD，P是⊙O上一点，过点P作⊙O的切线与AB延长线交于点F，与CD延长线交于点G，若点P

3

为FG中点，cosF，⊙O的半径长为3则CE的长为（）

5

7834

A．B．C．D．

5523

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【变式3】（2023·广西玉林·一模）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与点M，N重合)，

MQ

PQMN于点Q，NE平分MNP，交PM于点E，交PQ于点F.若PN2PMMN，则______．

NQ

【变式4】（2022·陕西西安·校考三模）如图O半径为22，AB为直径，弦AC=2，点P是半圆弧AB上

的动点（不与A、B重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D，则△PCD面积的最大值为______．

【变式5】（2022·广东云浮·校联考三模）如图1，⊙O是ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，OD交

⊙O于点E，且CBDCOD．

(1)求证：BD是⊙O的切线；

(2)若点E为线段OD的中点，判断以O、A、C、E为顶点的四边形的形状并证明；

FG

(3)如图2，作CFAB于点F，连接AD交CF于点G，求的值．

FC

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考查题型五扇形面积与圆锥侧面积的综合

例1（2022·宁夏·中考真题）把量角器和含30角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，

移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即

OC2cm，BOF120）．则阴影部分的面积为（）

2222

A．23cmB．83cm

33

8282

C．83cmD．163cm

33

例2（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD＝23，DC＝43，将线段DC绕点D

按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是_____．

例3（2022·山东日照·统考中考真题）如图，在RtABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，

点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边△AB交于点D．

(1)求证：直线AB是⊙O的切线；

(2)若AC3，求图中阴影部分的面积．

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知识点、弧长及扇形的面积

设⊙O的半径为R，n圆心角所对弧长为l，

（一）弧长的计算

nR

（1）弧长公式：l.

180

（2）公式推导：在半径为R的圆中，因为360的圆心角所对的弧长就是圆周长C2R，所以1的圆心

角所

2RRnR

对的弧长是,即,于是n的圆心角所对的弧长为l.

360180180

注意：（1）在弧长公式中，n表示1的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径R6cm，计算20的圆

心角

206

所对弧长l时，不要错写成lcm.

180

（2）在弧长公式中，已知，l,n,R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

（二）扇形面积的计算

（1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。

2

（）扇形的面积：nR1为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。

2S扇形=lR,Rl

3602

（3）公式推导：

①在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积SR2，所以圆心角是1的扇

22

形面积是R于是圆心角为的扇形面积是nR

,nS扇形.

360360

21

②nRnR11即其中为扇形的弧长，为半径。

S扇形=RlR,S扇形lR,lR

360180222

1

点拨：（1）扇形面积公式SlR与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧

2

长l看成底，半径R看成高即可。

21

（）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式nR还是

2S扇形S扇形lR.

3602

（3）已知S扇形,l,R,n四个量中任意两个，都可以求出另外两个。

（4）公式中的“n”与弧长公式中的“n”的意义是一样的，表示“1”的圆心角的倍数，计算时不带单

位。

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知识点、圆锥的侧面积与全面积

（1）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体（如图所示）。连接圆锥顶点和底面圆

周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心

的线段叫作圆锥的高。

圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，故圆锥的母线l、

高h、底面半径r恰好构成一个直角三角形，满足r2h2l2。已知任意两个量，可以求出第三个量。

（2）圆锥的侧面展开图（如图1-49-4所示）：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面展开图是

扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。

（3）圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积，

1

计算公式为：S扇形l2rrl;

2

2

圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为S全S侧+S底=rl+rrlr。

【变式1】（2022·宁夏固原·校考一模）如图，在Rt△ABC中，C90，ACBC，点O在AB上，经过

点A的O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD3则图中阴影部分面积为（）

33

A．3B．1C．3D．4

244

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【变式2】（2022·四川乐山·统考二模）如图，在Rt△ABC中，BC2，BAC30，斜边AB的两个端点

分别在相互垂直的射线OM和ON上滑动，给定下列命题，其中正确命题的序号是（）．

①若C、O两点关于AB对称，则OA23；

②C、O两点距离的最大值为4；

③若AB平分CO，则ABCO；

3

④斜边AB的中点D运动路径的长为．

2

A．①③④B．②③④C．①④D．①②

【变式3】（2022·四川遂宁·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB6，BC4，以A为圆心，AD长

为半径画弧交AB于点E，以C为圆心，CD长为半径画弧交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积

是_____．

【变式4】（2022·山东泰安·校考二模）如图，在扇形BOC中，BOC=60，OD平分BOC交BC于点D，

点E为半径OB的中点．若OB=4，则阴影部分的面积为________．

【变式5】（2022·河北沧州·统考二模）石家庄市水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工

作人员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本

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题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱，运行一圈时间恰好是13分14秒，寓意“一

生一世”．小明从摩天轮的底部出发开始观光，摩天轮转动1周．

(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为m；

(2)在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P、Q两点），

①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（弧PQ的长）；

②求此时两人所在座舱距离地面的高度差；

(3)受周围建筑物的影响，当乘客与地面的距离不低于76m时，可视为最佳观赏位置，求最佳观赏时间有多

长（不足一分钟按一分钟记）．

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【培优练习】

1．（2021·浙江·九年级自主招生）如图所示，APB2ACB,APBP,PD3,PB4，求ADDC的值为

（）

A．4B．6C．7D．12

2．（2022·浙江·九年级自主招生）如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D是AC的中点，连接

BD交AC于点E，连接OE，且OEB45，若OB10，则OE的长为（）

A．6B．33C．25D．210

3．（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，将量角器和含30角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面

内，使D、C、B在一条直线上，且DC2BC，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在

量角器上所对应的锐角度数是（）

A．60B．45C．30D．50

4．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸

板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），使得阴影面积尽可能大，他们的具体裁法如下：

甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为S1；

乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为S2；

丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰Rt△的直角边上，面积记为S3；

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丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为S4；

则下列判断正确的是（）

=

①S1S2；②S3S4；③在S1，S2，S3，S4中，S2最小

A．①②B．②③C．①③D．①②③

5．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，C90，AC6，BC23，半径为1

的O在Rt△ABC内平移（O可以与该三角形的边相切），则点A到O上的点的距离的最大值为（）

A．27B．33C．271D．331

6．（2022秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图，已知ABC为等腰直角三角形，BAC90,AC2，

以点C为圆心，1为半径作圆，点P为C上一动点，连接AP，并绕点A顺时针旋转90得到AP，连接CP，

则CP的最小值是()

A．221B．221C．22D．2

7．（2023秋·安徽合肥·九年级校考期末）如图，RtABC中，ABBC，AB6，BC4，P是平面内一

动点，且APB90，取BC的中点E，连接PE，则线段PE的最大值为（）

A．213B．313C．210D．213

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8．（2023秋·河北秦皇岛·九年级校联考期末）如图，在半径为2的O中，CD为直径，弦ABCD且过半

径OD的中点，E为O上一动点，CFAE于点F，当E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过

的路径长为（）

2333

A．3B．C．D．

323

9．（2022秋·四川广元·九年级校考阶段练习）如图，矩形纸片ABCD中，AD12cm，把它分割成正方形纸

片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，

则该圆锥的高为______cm．

10．（2021·浙江·九年级自主招生）如图，在RtABC中，ACB90，以该三角形的三条边为边向形外作

S1

正方形，正方形的顶点E，F，G，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，ABC面积为S2，则的值

S2

是_________．

11．（2022·浙江·九年级自主招生）如图，在半径为1的O中，引两条互相垂直的直径AE和BF，在EF上

取点C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q，则四边形APQB的面积为_________．

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12．（2021秋·河南信阳·九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB1，BC2．将矩形ABCD绕点C

逆时针旋转至矩形ABCD的位置，此时边AD恰好经过点