专题36 圆的相关计算与证明（5大类型）（解析版）

模块三重难点题型专项训练

专题36圆的相关计算与证明（5大类型）

考查类型一圆与锐角三角函数的综合

考查类型二圆基本性质的证明与计算

考查类型考查类型三与圆的切线有关的证明与计算

考查类型四圆与相似三角形的综合

考查类型五扇形面积与圆锥侧面积综合

新题速递

考查题型一圆与锐角三角函数的综合

例1（2021·浙江丽水·统考中考真题）如图，AB是O的直径，弦CDOA于点E，连结OC,OD．若O

的半径为m,AOD，则下列结论一定成立的是（）

2

A．OEmtanB．CD2msinC．AEmcosD．SCODmsin

【答案】B

【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．

【详解】解：∵AB是O的直径，弦CDOA于点E，

1

∴DECD

2

在RtEDO中，ODm，AOD

DE

∴tan=

OE

DECD

∴OE=，故选项A错误，不符合题意；

tan2tan

DE

又sin

OD

第1页共97页.

∴DEODsin

∴CD2DE2msin，故选项B正确，符合题意；

OE

又cos

OD

∴OEODcosmcos

∵AODOm

∴AEAOOEmmcos，故选项C错误，不符合题意；

∵CD2msin，OEmcos

11

∴SCDOE2msinmcosm2sincos，故选项D错误，不符合题意；

COD22

故选B．

【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂

径定理和锐角三角函数的定义．

例2（2022·山东枣庄·统考中考真题）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳

理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE

＝_____．

【答案】3

3

【分析】由正六边形的性质得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，则

1

∠ABE＝∠ABC＝30°，即可得出结论．

2

【详解】连接BC、AC，

∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，

∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

∵BE⊥AC，

第2页共97页.

1

∴∠ABE＝∠ABC＝30°，

2

3

∴tan∠ABE＝tan30°＝，

3

故答案为：3．

3

【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的锐角三角函数，熟练掌握正

六边形的性质、等边三角形的判定与性质是本题的关键．

例3（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图CD是O直径，A是O上异于C，D的一点，点B是DC延

长线上一点，连接AB、AC、AD，且BACADB．

(1)求证：直线AB是O的切线；

(2)若BC2OC，求tanADB的值；

(3)在（2）的条件下，作CAD的平分线AP交O于P，交CD于E，连接PC、PD，若AB26，求AEAP

的值．

【答案】(1)见解析

2

(2)

2

(3)42

【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到OACOAD90，再证明

OADBAC即可证明结论；

ACBC

（2）先证明△BCA∽△BAD，得到，令半径OC=OA=r，则BC2r，OB3r，利用勾股定理

ADBA

求出AB22r，解直角三角形即可答案；

第3页共97页.

AC2

（3）先求出CD23，在Rt△CAD中，，AC2AD2CD2，解得AC2，AD22，证明

AD2

ACAP

△CAP∽△EAD，得到，则AEAPACAD42．

AEAD

（1）

解：如图所示，连接OA，

∵CD是O直径，

∴CAD90，

∴OACOAD90，

又∵OAOD，

∴OADODA，

∵BACADB，

∴OADBAC，

∴BACOAC90°，即BAO90，

∴ABOA，

又∵OA为半径，

∴直线AB是O的切线；

（2）

解：∵BACADB，BB，

∴△BCA∽△BAD，

ACBC

∴，

ADBA

由BC2OC知，令半径OC=OA=r，则BC2r，OB3r，

在Rt△BAO中，ABOB2OA222r，

ACBC2r2

在Rt△CAD中，tanADC，

ADBA22r2

2

即tanADB；

2

第4页共97页.

（3）

解：在（2）的条件下，AB22r26，

∴r3，

∴CD23，

AC2

在Rt△CAD中，，AC2AD2CD2，

AD2

解得AC2，AD22，

∵AP平分CAD，

∴CAPEAD，

又∵APCADE，

∴△CAP∽△EAD，

ACAP

∴，

AEAD

∴AEAPACAD22242．

【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三

角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．

解题策略一：利用圆的有关性质构造直角三角形

如果圆中存在直径，则可根据直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而为使用三角函数创造条件.垂

径定理和切线的性质也是圆中构造直角的重要依据.

解题策略二：用圆周角的性质把角转化到直角三角形中

借助同孤或等弧所对的圆周角相等或其他相等关系，可把三角函数中涉及的锐角转化为直角三角形中的锐

角，然后借助三角函数的定义解答.

第5页共97页.

总而言之，圆与三角函数都是初中数学知识的重点，也是难点，将这两部分知识综合考查时，难度相对较

大。其解题关键在于，找到相关的直角三角形。若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构

造直角三角形，或把角转化到直角三角形中解答。

圆的内容在考察的时候形式多样，不管是哪一种类型都可以随机结合，对于学生而言灵活变通能力要求较

高，所以在平时做题时需要多做总结和同类型整理，才能更快融会贯通。

【变式1】（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与O相切于点A、B，连接PO并延长与O交于

点C、D，若CD12，PA8，则sinADB的值为（）

4334

A．B．C．D．

5543

【答案】A

【分析】连接OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再证△APD≌△BPD（SAS），

然后证明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，利用勾股定理求出OP=OA2AP210，最后

利用三角函数定义计算即可．

【详解】解：连接OA

∵PA、PB分别与O相切于点A、B，

∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，

∴∠APD=∠BPD，

在APD和BPD中，

A△PBP△

APDBPD，

PDPD

∴APD≌BPD（SAS）

∴∠△ADP=∠△BDP，

∵OA=OD=6，

第6页共97页.

∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，

∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，

在Rt△AOP中，OP=OA2AP210，

AP84

∴sin∠ADB=．

OP105

故选A．

【点睛】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性质，

三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键．

【变式2】（2022·贵州遵义·统考二模）如图，AB为O的直径，延长AB到点P，过点P作☉O的切线PC，

1

PD，切点分别为C，D，连接CD交AP于点M，连接BD，AD．若PC2，tanBDC，则AD的长为

2

（）

6535

A．B．C．2D．5

55

【答案】A

5

【分析】连接OD，设BMx，O的半径为r，由勾股定理求出rx，在RtOPD中，由OP2PD2DO2

2

可得方程(44x2+rx)24r2，代入r的值，可求出x的值，再根据勾股定理可得出结论．

【详解】解：连接OD，如图所示，

第7页共97页.

∵PC，PD是O的切线，

∴PDPC2

设BMx,

1

∵tanBDC,

2

BM1

∴.

DM2

∴DM2BM2x,

设O的半径为r

∴OMOBBMrx,

在RtOMD中，(rx)2(2x)2r2，

5

解得，rx,

2

在RtDPM中，PM44x2,

∵PD是O的切线，

∴ODDP,

在RtOPD中，OP2PD2DO2,

∵(44x2+rx)24r2

5

∵rx,

2

325

∴(44x2x)24x2

24

整理得，344x28x

∴9(44x2)64x,

第8页共97页.

33

解得，x或x（舍去）

55

3

∴r,

2

312

∴AM2rx3,

55

6

DM2x,

5

22

2212665

在RtADM中，ADAMDM，故A正确．

555

故选：A．

【点睛】本题主要考查了切线长定理，垂径定理，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．

【变式3】（2022·广东云浮·校联考三模）如图，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且ADODOD1，

OC2，则tanABC_____．

【答案】21##12

【分析】如图，连接OA、OB，根据垂径定理证△ADO是等腰直角三角形，然后根据勾股定理和线段的加

CD

减运算求得BD、CD，最后根据tanABC计算即可．

BD

【详解】解：如图，连接OA、OB，

OCAB，

1

ODA90，ADBDAB

2

ADOD

△ADO是等腰直角三角形，

OAD45

OAOBOC2

OBAOAD45

BOA90

第9页共97页.

ABOA2OB222

BDADOD2

在BDC90中，

BDC=90，BD2，CDOCBD22

CD22

tanABC21

BD2

故答案为：21．

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质以及求角的正切值；解题的关键是利用

垂径定理和勾股定理求线段长度．

【变式4】（2022·四川广元·统考一模）如图，AB为O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与

O相切于点C，D，连接AC，AD．若AB6，PC4，则cosCAD______．

3

【答案】

5

【分析】连接OC、OD、CD，CD交PA于E，利用切线的性质和切线长定理得到OCCP，PCPD，

OP平分CPD；根据等腰三角形的性质得到COBDOB；再根据圆周角的定理即可求得

1

∠CAD∠COD．

2

【详解】解：连接OC、OD、CD，CD交PA于E

PC、PD与O相切，切点分别为C、D

OCCP，PCPD，OP平分CPD

OPCD

第10页共97页.

CBDB

COBDOB

1

CADCOD

2

COBCAD

在Rt△OCP中，

OPOC2PC232425

OC3

cosCOP

OP5

3

cosCAD

5

3

故答案为：．

5

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理和解直角三角形．

【变式5】（2022·山东济宁·校考二模）如图，点E是O中弦AB的中点，过点E作O的直径CD，P是O

上一点，过点P作O的切线，与AB的延长线交于F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M．

(1)求证：FMFP；

3

若点是的中点，cosF，半径长为，求长．

(2)PFG5O6EM

第11页共97页.

【答案】(1)证明见解析

8

(2)

5

【分析】（1）连接OP，则：OPOC，得到OCPOPC，根据切线的性质，垂径定理的推论得到：

OCMCMEOPCMPF，从而得到：CMEMPF，再根据对顶角相等，推出FMPMPF，

即可得到FMFP；

3

（）利用同角的余角相等，得到，利用cosF，求出，利用勾股定理求出，进而得到

2POGF5OGPG

3

的长，再利用cosF，求出，利用，即可得解．

GF,PF5EFEFFMEFPF

【详解】（1）证明：连接OP，则：OPOC，

∴OCPOPC

∵FP是O的切线，

∴OPFP，

∴OPF90，

∴OPCMPF90，

∵点E是弦AB的中点，

∴CEAB，

∴CEM90，

∴OCMCME90，

∴CMEMPF，

∵CMEPMF，

∴FMPMPF，

第12页共97页.

∴FMFP；

（2）解：由（1）知：OEEF,OPFG，

∴FG90,GGOP90，

∴FGOP，

OP3

∴cosGOPcosF，

OG5

∵OP6，

∴OG10，

∴PGOG2OG2102628，

∵点P是FG的中点，

∴GF2PG16,FPPG8，

EF3

∵cosF，

FG5

48

∴EF，

5

488

∴EMEFFMEFPF8．

55

【点睛】本题考查垂径定理的推论，切线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形．熟练掌握切

线垂直过切点的半径，平分弦（不是直径）的直径垂直弦，是解题的关键．

考查题型二圆基本性质的证明与计算

例1（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形ABCD中．A60，AB//CD，DEAD交AB于

点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（）

9393

A．693B．1293C．6D．12

22

【答案】B

第13页共97页.

【分析】过点E作EG⊥CD于点G，根据平行线的性质和已知条件，求出EDGAED30，根据ED=EF，

得出DFEFDE30，即可得出DEF1803030120，解直角三角形，得出GE、DG，最后

用扇形的面积减三角形的面积得出阴影部分的面积即可．

【详解】解：过点E作EG⊥CD于点G，如图所示：

∵DE⊥AD，

∴∠ADE=90°，

∵∠A=60°，

∴∠AED=90°-∠A=30°，

∵AB//CD，

∴EDGAED30，

∵ED=EF，

∴DFEFDE30，

∴DEF1803030120，

∵EGCD，

∴DGFG，

∵DE=6，EDF30，

1

∴EGDE3，

2

DGDEcos3033，

∴DF2DG63，

∴S阴影S扇形DEFSDEF

120621

633

3602

1293，．

故选：B．

第14页共97页.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，扇形面积计算公式，解直

角三角形，作出辅助线，求出∠DEF=120°，DF的长，是解题的关键．

例2（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形AOB中，点C，D在AB上，将CD沿弦CD折叠后恰

好与OA，OB相切于点E，F．已知AOB120，OA6，则EF的度数为_______；折痕CD的长为_______．

【答案】60°##60度46

【分析】根据对称性作O关于CD的对称点M，则点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再

结合切线的性质和垂径定理求解即可．

【详解】作O关于CD的对称点M，则ON=MN

连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N

∵将CD沿弦CD折叠

∴点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上

∵将CD沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．

∴ME⊥OA，MF⊥OB

∴MEOMFO90

∵AOB120

∴四边形MEOF中EMF360AOBMEOMFO60

即EF的度数为60°；

第15页共97页.

∵MEOMFO90，MEMF

∴MEOMFO（HL）

1

∴EMOFMOFME30

2

ME6

∴OM43

cosEMOcos30

∴MN23

∵MO⊥DC

1

∴DNDM2MN262(23)226CD

2

∴CD46

故答案为：60°；46

【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是

解题的关键．

例3（2022·辽宁大连·统考中考真题）AB是O的直径，C是O上一点，ODBC，垂足为D，过点

A作O的切线，与DO的延长线相交于点E．

(1)如图1，求证BE；

(2)如图2，连接AD，若O的半径为2，OE3，求AD的长．

【答案】(1)见解析

221

(2)

3

【分析】（1）证明ODBOAE90，DOBAOE，即可得出BE；

（2）证明ODB:OAE，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂径定理求出BC，进而利用勾股定理求出

AC，AD．

【详解】（1）解：∵ODBC，

第16页共97页.

∴ODB90，

∵AE是O的切线，

∴OAE90，

在ODB和OAE中，ODBOAE90，DOBAOE，

∴BE；

（2）解：如图，连接AC．

∵O的半径为2，

∴OAOB2，AB4，

∵在ODB和OAE中，

ODBOAE90，DOBAOE，

∴ODB:OAE，

ODOBOD2

∴，即，

OAOE23

4

∴OD，

3

在RtODB中，由勾股定理得：OD2DB2OB2，

2

222425

∴DBOBOD2．

33

∵ODBC，OD经过O的圆心，

25

∴CD=DB=，

3

45

∴BC2DB．

3

∵AB是O的直径，C是O上一点，

∴ACB90，

在RtACB中，由勾股定理得：AC2BC2AB2，

第17页共97页.

2

∴222458．

ACABBC4

33

在RtACD中，由勾股定理得：AC2CD2AD2，

2

2

∴22825221．

ADACCD

333

【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性

较强，熟练掌握上述知识点，通过证明ODB:OAE求出OD的长度是解题的关键．

知识点、圆的对称性

（1）对称中心

圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。

将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心

旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。

1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都

分别相等。

3.将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角，我们也称这样的弧为1的弧。圆心角的度数和它

所对的弧的度数相等．

（2）对称轴

经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图

形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。

（3）垂径定理

1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

几何语言：

第18页共97页.

垂径定理的几个基本图形：

垂径定理在基本图形中的应用：

2．其它正确结论：

⑴弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．

3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三．

注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径．

4．常见辅助线做法：

⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；

⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．

【变式1】（2022·广东广州·广州市第一中学校考三模）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，

BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，PQ若

第19页共97页.

MP+NQ=12，AC+BC=18，则AB的长为（）

90

A．92B．C．11D．15

7

【答案】D

【分析】连接OP，OQ分别与AC、BC相交于点I、H，根据DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，P，

1

Q，得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BD的中点，利用中位线定理得到OH+OI=(AC+BC)=9

2

和PH+QI=18-12=6，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．

【详解】解：如下图，连接OP，OQ分别与AC、BC相交于点I、H，

∵DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，P，Q，

∴OP⊥AC，OQ⊥BC，

∴H、I是AC、BD的中点，

1

∴OH+OI=(AC+BC)=9，

2

∴MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=12，

∴PH+QI=18-12=6，

∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+6=15，

故选：D．

【点睛】本题考查了中位线定理、垂径定理的应用，解题的关键是正确的作出辅助线．

【变式2】（2022·福建福州·福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）如图，YABCD的三个顶点A、B、

第20页共97页.

D均在O上，且对角线AC过圆心O，BC与O相切于点B，若O的半径为6，则▱ABCD的面积为（）

384725

A．35B．543C．D．72+

55

【答案】B

【分析】连接OB，延长BO交AD于E，如图，先根据切线的性质得OBBC，再利用平行四边形的性质

得AD∥BC，AD=BC，所以BEAD，接着根据垂径定理得到AE=DE，然后证明△AOE∽COB，利用

相似比求出OE=3，OC=12，则根据勾股定理可计算出BC，然后利用平行四边形的面积公式求解．

【详解】解：连接OB，延长BO交AD于E，如图，

BC与O相切于点B，

OBBC，

四边形ABCD为平行四边形，

AD∥BC，AD=BC，

BEAD，

11

AE=DE=AD=BC，

22

ADBC，

AE∥BC,

AOE∽COB，

OEOAAE1

===，

OBOCBC2

1

OE=OB=3，OC=2OA=12，

2

在RtOCB中，BC=12262=63，

第21页共97页.

YABCD的面积=BEBC=3+663=543．

故选B．

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的性质，相似三

角形的性质与判定和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．

【变式3】（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，AB为O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DEAB

于点E，延长DE交O于点F，若AC12，AE3，则O的直径长为______．

【答案】15

【分析】根据点是弧的中点，得到；根据为的直径，，得到，

DACADDCABODEABADAF

从而得到ADDCAF,ADDCADAF，得到ADCDAF，得到ACDF12，得到DEEF6，设

2

圆的半径为R，连接OD，根据勾股定理，得到R2R362，计算2R的值即可．

【详解】如图，因为点D是弧AC的中点，

所以；

ADDC

因为AB为O的直径，

DEAB，

所以ADAF，

所以ADDCAF,ADDCADAF，

所以ADCDAF，

所以ACDF12，

所以DEEF6，

第22页共97页.

2

设圆的半径为R，连接OD，根据勾股定理，得到R2R362，

解得2R15．

故答案为：15．

【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题

的关键．

【变式4】（2022·湖南株洲·统考模拟预测）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的

中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．

【答案】42

【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF=CF，进而证得DF=BC，根据三角

11

形中位线定理求得OF=BC=DF，从而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC．

22

【详解】解：如图，连接OD，交AC于F，

∵D是AC的中点，

∴OD⊥AC，AF=CF，

∴∠DFE=90°，

∵OA=OB，AF=CF，

1

∴OF=BC，

2

∵AB是直径，

第23页共97页.

∴∠ACB=90°，

在△EFD和△ECB中，

DFE=BCE=90

DEF=BEC，

DE=BE

∴△EFD≌△ECB（AAS），

∴DF=BC，

1

∴OF=DF，

2

∵OD=3，

∴OF=1，AB=2OD=6，

∴BC=2，

∴ACAB2BC2622242．

故答案为：42．

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的

关键．

【变式5】（2022·贵州铜仁·模拟预测）已知：如图，O的直径AB与弦CD相交于点E，BCBD，O

的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.

(1)求证：CD∥BF；

3

(2)连接BC，若O的半径为4，cosBCD，求线段AD，CD的长.

4

【答案】(1)证明见解析

(2)AD6，CD37

第24页共97页.

【分析】（1）由切线的性质和垂径定理证明BFAB，CDAB即可证明CD∥BF；

（2）连接BD，先解Rt△ABD求出AD6，进而求出BD，再解Rt△BDE求出DE的长即可得到答案．

【详解】（1）证明：∵BF是O的切线，AB是O的直径，

∴BFAB，

∵BCBD，

∴CDAB，

∴CDBF；

（2）解：连接BD，

∵AB是O的直径，

∴ADB90，

∵O的半径4，

∴AB8，

∵BADBCD，

3AD

∴cosBADcosBCD，

4AB

∴AD6，

∴BDAB2AD227，

∵BCBD，

∴EDBECB，

∵ABCD，

DE3

∴cos∠EDBcos∠BCD，

BD4

37

∴DE，

2

∴CD2DE37．

第25页共97页.

【点睛】本题主要考查了切线的性质、平行线的判定、圆周角定理以及三角函数，勾股定理等等．此题难

度适中，注意数形结合思想与转化思想的应用．

考查题型三与圆的切线有关的证明与计算

例1（2022·重庆·统考中考真题）如图，AB是O的直径，C为O上一点，过点C的切线与AB的延长

线交于点P，若ACPC33，则PB的长为（）

3

A．3B．C．23D．3

2

【答案】D

【分析】连接OC，根据ACPC，OCOA，证出∠A∠OCA∠P，求出∠A∠OCA∠P30，在

OCPC

Rt△OPC中，tan∠P,cos∠P，解得OC、OP的长度即可求出PB的长度．

PCOP

【详解】解：连接OC，如图所示，

第26页共97页.

∵ACPC，

∴AP，

∵OCOA，

∴AOCA，

∴∠A∠OCA∠P，

∵PC是O的切线，

∴OCP90，

∵∠A∠P∠OCA∠OCP180，

∴∠A∠OCA∠P30，

OCPC

在Rt△OPC中，tan∠P，cos∠P，

PCOP

PC33

3OP6

∴OCPCtan∠P333，cos∠P3，

3

2

∵PBOPOB，OB3，

∴PB3，

故选D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答此

题的关键．

例2（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知AB为⊙O的直径且AB2，点C是⊙O上一点（不与A、

B重合），点D在半径OB上，且ADAC，AE与过点C的⊙O的切线垂直，垂足为E．若EAC36，

则CD_____，OD_______．

第27页共97页.

51

【答案】1

2

【分析】根据题意作出图形，连接CO，根据切线的性质，等边对等角，平行线的性质可得CAD36，

根据ADAC，可得CDOCOD72,可得OCCD1,进而证明ACD∽COD，根据相似三角形的性

质列出方程，解方程即可求解．

【详解】如图，连接CO，

EC是⊙O的切线，AEEC，EAC36，

OCEC,

AE∥OC，

ACOEAC36,

OAOC,

OACOCA36,

COD2CAO72,

ACAD,

ADCACD72,

ADCCOD72,

1

CDCOAB1,

2

CODCDO72

OCD18027236

CADOCD36,ADCCDO72,

第28页共97页.

ACD∽COD

ACCD

COOD

设ODx，则ACAD1x

1x1

1x

5151

解得x,x（舍去）

22

51

即DO

2

51

故答案为：1,．

2

【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知

识结合图形求解是解题的关键．

例3（2022·内蒙古·中考真题）如图，O是ABC的外接圆，EF与O相切于点D，EF∥BC分别交AB，

AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，ABC的平分线BM交AD于点M．

(1)求证：AD平分BAC；

(2)若AB:BE5:2，AD14，求线段DM的长．

【答案】(1)见解析

(2)DM2

【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得OD⊥EF，由EF∥BC得OD⊥BC，由垂径定理得BDCD，

进而即可得出结论；

214

（2）由平行线分线段定理得DN，再证明BDN∽ADB，可得BD=2，最后证明BMDDBM,

7

进而即可求解．

【详解】（1）证明：连接OD交BC于点H.

第29页共97页.

∵EF与O相切于点D

∴ODEF，

∴ODF90，

∵BC∥EF，

∴OHCODF90，

∴ODBC，

∴BDCD，

∴BADCAD即AD平分BAC；

（2）解：∵BC∥EF，

BEND

∴，

AEAD

∵AB:BE5:2，AD14，

214

∴DN，

7

∵BADCAD，CADCBD，

∴BADCBD，

∵BM平分ABC，

∴∠ABM∠CBM，

∴BADABMCBDCBM，

∴BMDMBD，

∴BDDM，

∵NBDBAD，BDMADB，

∴BDN∽ADB，

第30页共97页.

NDDB

∴

BDAD

214

∴BD2NDAD144，

7

∴BD2（负值舍去），

∴DMBD2

【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，

等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键．

切线的定义是：一直线若与一圆有且只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。一般如果题目给出有切线，那么我们可以

考虑添加过切点的半径，进而连接圆心和切点，利用切线的性质和定理构造出直角或直角三角形，从而使用勾股定理解出一

些边角关系。

【变式1】（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，直线y3x33与x轴、y轴分别交于

A、B两点，P1,0，P与y轴相切于点O，将P向上平移m个单位长度，当P与直线AB第一次相切

时，则m的值是（）

A．232B．23C．333D．233

【答案】A

【分析】求出A、B的坐标，得到OA、OB的长，设平移后P与直线AB相切与点E，与y轴相切于点F，

连接PE,PF,PA,PB，则四边形PPFO是矩形，然后利用面积法求解即可．

【详解】解：当x0时，y33，

第31页共97页.

当y0时，x3；

∴OA3，OB33，

2

∴AB32336．

设平移后P与直线AB相切与点E，与y轴相切于点F，连接PE,PF,PA,PB，则四边形PPFO是矩形，

∴OFPPm，

∴BF33m．

∵P1,0，P与y轴相切于点O，

∴OPPEPF1，

∴AP312．

∵S矩形PPFOSAPPSABPSBFPSABC，

1111

∴m2m6133m1333，

2222

∴m232．

故选A．

【点睛】本题考查对直线与圆的位置关系，勾股定理，面积法求线段的长，一次函数与坐标轴的交点，熟

练掌握面积法是解此题的关键．

【变式2】（2022·浙江宁波·一模）如图，RtABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=10，BC=24，点P是线

段CD上一动点，当半径为6的⊙P与ABC△的一边相切时，CP的长为___________．

△

第32页共97页.

1342

【答案】或

213

【分析】分三种情况，⊙P与BC边相切，⊙P与AC边相切，⊙P与AB边相切．利用相似三角形的判定和

性质，切线的性质以及勾股定理求解即可．

【详解】解：在RtABC中，AC=10，BC=24，

△

∴AB=AC2BC2102242=26，

∵CD⊥AB，

11

∴△ABC的面积=AB•CD=AC•BC，

22

∴26CD=10×24，

120

∴CD=，

13

分三种情况：

当⊙P与BC边相切，如图：

过点P作PE⊥BC，垂足为E，

∵PE⊥BC，

∴∠PEC=90°，

∴∠CPE+∠PCE=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠CDB=90°，

∴∠PCE+∠B=90°，

∴∠B=∠CPE，

∵∠CEP=∠ACB=90°，

∴△BCA∽△PEC，

BABC

∴，

PCPE

2624

∴，

PC6

13

∴PC=；

2

当⊙P与AB边相切，如图：

第33页共97页.

∵PD⊥AB，

12042

∴CP=CD-PD=-6=；

1313

当⊙P与AC边相切，如图：

过点P作PF⊥AC，垂足为F，

∵PF⊥AC，

∴∠PFC=90°，

∴∠CPF+∠PCF=90°，

∵CD⊥AB，

∵∠ADC=∠CDB=90°，

∴∠PCF+∠A=90°，

∴∠A=∠CPF，

∵∠CFP=∠ACB=90°，

∴△BCA∽△CFP，

BACA

∴，

PCFP

2610

∴，

PC6

78

∴PC=，

5

78120

∵＞，

513

78

∴PC=（舍去），

5

1342

综上所述，当半径为6的⊙P与ABC的一边相切时，CP的长为：或，