专题35 实际应用题（5大类型）（原卷版）

模块三重难点题型专项训练

专题35实际应用题

考查类型一行程问题

考查类型二方案问题

考查类型考查类型三购买、销售问题

考查类型四抛物线型问题

考查类型五其他类型

新题速递

考查类型一行程问题

例1（2022·四川攀枝花·统考中考真题）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅

西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、

科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，

线段OM表示货车离西昌距离y1(km)与时间x(h)之间的函数关系：折线OABN表示轿车离西昌距离y2(km)

与时间x(h)之间的函数关系，则以下结论错误的是（）

A．货车出发1.8小时后与轿车相遇

B．货车从西昌到雅安的速度为60km/h

C．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h

D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有60km

例2（2020·重庆·统考中考真题）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B

地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速

第1页共27页.

8

的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距

5

的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚____分钟到达B

地．

例3（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑

电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽

略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程

y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．

请解答下列问题：

(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；

(2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值

范围；

(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．

第2页共27页.

行程问题是反映物体匀速运动的应用题。行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，

有的涉及两个物体的运动，有的涉及三个物体的运动。涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇

问题）、“同向运动”（追及问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。但归纳起来，不管是“一个

物体的运动”还是“多个物体的运动”，不管是“相向运动”、“同向运动”，还是“相背运动”，他们的

特点是一样的，具体地说，就是它们反映出来的数量关系是相同的，都可以归纳为：速度×时间=路程。

【变式1】（2022·浙江丽水·一模）小张在一条笔直的绿谷跑道上以70米/分钟的速度，从起点出发匀速健步

走．30分钟后，他停下来休息了5分钟，然后原地返回起点，全程总用时70分钟．设小张离起点的距离为

y米，健步走的时间为x分钟，y关于x的函数关系如图所示，则小张返回的速度是（）

A．60米/分钟B．70米/分钟C．75米/分钟D．80米/分钟

【变式2】（2021·重庆綦江·校考三模）小李和小王分别从甲、乙两地同时步行出发，匀速相向而行小李的

速度大于小王的速度，小李到达乙地后，小王继续前行.设出发x小时后，两人相距y千米，如图所示，折

线表示从两人出发至小王到达甲地的过程中y与x之间的函数关系．下列说法错误的是（）

A．点A的坐标意义是甲、乙两地相距10千米

B．由点B可知0.25小时小李、小王共行走了2.5千米

C．点C表示小李、小王相遇，C点的横坐标为0.75

D．线段DE表示小李到达乙地后，小王到达甲地的运动过程

第3页共27页.

【变式3】（2022·江苏南京·模拟预测）某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，

甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在当

天12点至13点之间（含12点和13点）追上甲车，则乙车的速度v（单位∶千米/小时）的范围是_____．

【变式4】（2021·四川达州·校考一模）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C

三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，以各自速度匀速行走，各

自到达点C停止．甲机器人前3分钟速度不变，3分钟后与乙机器人的行走速度相同，甲、乙机器人各自

与B地之间的距离y（m）与各自的行走时间x（min）之间的函数图象如图所示：当甲、乙两机器人相距

30m时，则x的取值范围是____________________

【变式5】（2021·浙江宁波·校考三模）如图，有80名师生要到离学校若干千米的大剧院参加演出，学校只

有一辆能做40人的汽车，学校决定采用步行和乘车相结合的办法：先把一部分人送到大剧院，车按原路返

回接到步行的师生后开往大剧院，其中车和人的速度保持不变．（学生上下车，汽车掉头的时间忽略不计）．y

表示车离学校的距离（千米），x表示汽车所行驶的时间（小时）．请结合图象解答下列问题：

(1)学校离大剧院相距千米，汽车的速度为千米/小时；

(2)求线段BC所在直线的函数表达式；

(3)若有一名老师因临时有事晚了0.5小时出发，为了赶上学生，该老师选择从学校打车前往，已知出租车

速度为80千米/小时，请问该老师能在学生全部达到前赶到大剧院吗？并画出相关图象．

第4页共27页.

考查类型二方案问题

例1（2022·黑龙江·统考中考真题）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学

报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360

元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）

A．5B．6C．7D．8

例2（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购

买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元．学校准备购买

2

A,B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是_____元．

5

例3（2022·贵州黔东南·统考中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、

B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人

每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．

(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？

(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共

30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．

请根据以上要求，完成如下问题：

①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；

②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？

第5页共27页.

方案选择问题解决策略：

1、理顺问题的数学思路

2、建立问题的数学模型

3、研究函数模型自变量的取值范围

4、根据自变量的取值范围，选择最佳方案

【变式1】（2022·四川眉山·校考一模）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车

将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示：

甲种货车乙种货车

载货量（吨/辆）2520

租金（元/辆）20001800

请问：李老板最少要花掉租金（）．A．15000元B．16000元C．18000元D．20000

元

【变式2】（2021·河北保定·统考二模）超市有A，B两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来

分装15升油（瓶子都装满，且无剩油）；当日促销活动：购买A型瓶3个或以上，一次性返还现金5元，

设购买A型瓶x（个），所需总费用为y（元），则下列说法不一定成立的是（）

型号AB

单个盒子容量（升）23

单价（元）56

2

A．购买B型瓶的个数是5x为正整数时的值B．购买A型瓶最多为6个

3

C．y与x之间的函数关系式为yx30D．小张买瓶子的最少费用是28元

第6页共27页.

【变式3】（2021·浙江杭州·校联考二模）A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运

往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，

D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/

台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式

为_______________．

【变式4】（2020·重庆·统考模拟预测）“双11”当天，重庆顺风快递公司出动所有车辆分上午、下午两批往

1

成都送件，该公司共有甲、乙、丙三种车型，其中甲型车数量占公司车辆总数的，乙型车辆是丙型车数

4

213

量的2倍，上午安排甲车数量的，乙车数量的，丙车数量的进行运输，且上午甲、乙、丙三种车型

324

5

每辆载货量分别为15吨，10吨，20吨，则上午刚好运完当天全部快件重量的；下午安排剩下的所有车

8

辆运输完当天剩下的所有快件，且下午甲、乙、丙三种车型每辆载货量分别不得超过20吨，12吨，16吨，

下午乙型车实际载货量为下午甲型车每辆实际载货量的2．已知同种货车每辆的实际载货量相等，甲、乙、

3

丙三种车型每辆车下午的运输成本分别为50元/吨，90元/吨，60元/吨．则下午运输时，一辆甲种车、一辆

乙种车、一辆丙种车总的运输成本最少为_____元．

【变式5】（2022·河南信阳·校考一模）由于疫情的原因，某公司决定为员工采购一批口罩（x包）和10瓶

消毒液，经了解，购买4包口罩和3瓶消毒液共需185元；购买8包口罩和5瓶消毒液共需335元．

(1)求一包口罩和一瓶消毒液各需多少元？

(2)实际购买时，厂家有两种优惠方案：

方案一：消毒液不优惠：购买口罩不超过20包时，每包都按九折优惠，超过20包时，超过部分每包按七

折优惠；

方案二：口罩、消毒液均按原价的八折优惠．

①求两种方案下所需的费用y（单位：元）与x（单位：包）的函数关系式；

②若该公司决定购买xx20包口罩和10瓶消毒液，请你帮该公司决定选择哪种方案更合算．

第7页共27页.

考查类型三购买、销售问题

例1（2020·贵州毕节·统考中考真题）由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出

售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（）

A．230元B．250元C．270元D．300元

例2（2021·江苏连云港·统考中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每

天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种

快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每

提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______

元．

例3．（2020·湖北黄冈·中考真题）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市

市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天

拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y(kg)与销售单价

x（元/kg）满足关系式：y100x5000．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．当

每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．

（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式

（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？

（3）当W40000元时，网络平台将向板栗公可收取a元/kg(a4)的相关费用，若此时日获利的最大值为

42100元，求a的值．

第8页共27页.

让学生在数学学习中，体会数学的实用价值，体验数学在解决实际问题中的作用，是数学教学的一项很重

要的任务。生活在商品经济社会，学生掌握必要的商品销售知识是现在和未来学生从事生产、生活的需要。

一、弄清几个重要的概念、公式

（1）商品的进价是指商店购进商品时的价格（也称采购价格）。

（2）商品的标价是指商店在销售商品时用标签标出的价格有时也叫定价（可以打折）。

（3）商品的销售价是指商店销售商品时买卖双方的成交价格。

（4）折扣（打折）是指商店在销售商品时售价占标价的百分数，一般地10%为一折。

（5）商品的利润（盈利）=商品的销售价-商品的进价。

（6）商品的标价（定价）=商品的进价+利润+折扣价。

（7）商品的售价（销售价格）=商品的标价x商品销售折扣。

利润问题常用公式如下:

(1)利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价.

售价-成本

(2)利润率=100%

成本

(3)销售额=销售价×销售量.

(4)销售利润=(销售价–成本价)×销售量

【变式1】（2022·浙江衢州·统考二模）某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500

件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应

涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（）

A．(5040x)(500x)8000B．(40x)(50010x)8000

C．(5040x)(50010x)8000D．(50x)(50010x)8000

【变式2】（2020·湖北武汉·统考模拟预测）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，

发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（）

A．180B．220C．190D．200

第9页共27页.

【变式3】2022·湖北省直辖县级单位·统考一模）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元

出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，

那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．

【变式4】（2021·山东青岛·统考一模）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某网络平台为一服装厂直

播代销一种服装(这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)．销

售中发现每件售价为250元时，日销售量为40件，当每件衣服每下降10元时，日销售量就会增加8件．已

知每售出1件衣服，该平台需支付厂家和其它费用共100元．设每件衣服售价为x(元)，该网络平台的日销

售量为y(件)．则下列结论正确的是_______(填写所有正确结论序号)．

4

①y与x的关系式是y=-x+240；

5

4

②y与x的关系式是y=x-160；

5

4

③设每天的利润为W元，则W与x的关系式是W=-x2+320x-24000；

5

④按照厂家规定，每件售价不得低于210元，若该经销商想要每天获得最大利润，当每件售价定为210元

时，每天利润最大，此时最大利润为7920元．

【变式5】（2022·贵州遵义·三模）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件.

一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设

月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.

(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款a元，已知该公司捐款

当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值

第10页共27页.

考查类型四抛物线型问题

例1（2021·山东临沂·统考中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动

时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒

后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h30m时，t1.5s．其中正确的是()

A．①④B．①②C．②③④D．②③

例2（2022·四川成都·统考中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面

的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h5t2mtn，其图像如图所示，物体运动

的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0

秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0t1时，w的取值范围是_________；当2t3时，w的取

值范围是_________．

第11页共27页.

例3（2022·浙江台州·统考中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带

浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直

角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE3m，竖直高度

为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为

2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．

(1)若h1.5，EF0.5m；

①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；

②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；

(2)若EF1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．

第12页共27页.

【变式1】（2021·河北张家口·统考一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图

2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射

出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草

坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能

被喷灌．下列说法正确的是（）

1

A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1

40

B．水流喷射的最远水平距离是40米

C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米

D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌

【变式2】（2022·北京海淀·校考一模）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口

向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而

防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上

升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为

下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过

A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”P的可能性最大的线路是（）

A．PAQB．PBQC．PCQD．PDQ

第13页共27页.

【变式3】（2022·浙江台州·统考一模）斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物

线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为h1，第二次反弹后的最大高度为h2，

2

第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度BCh，若

31

h

OB90dm,OA2AB，则2为________．

h1

【变式4】（2022·浙江舟山·校考一模）准备在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水装置（如图1），已知遮阳

棚DB与竖杆OB垂直，遮阳棚的高度OB＝3米，喷水点A与地面的距离OA＝1米（喷水点A喷出来的水

柱呈抛物线型），水柱喷水的最高点恰好是遮阳棚的C处，C到竖杆的水平距离BC＝2米（如图2），此时

水柱的函数表达式为_____，现将遮阳棚BD绕点B向上旋转45°（如图3），则此时水柱与遮阳棚的最小距

离为____米．（保留根号）

【变式5】（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，

为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象

为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图像，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE3m，

竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的

水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．若当h1.5m，EF0.5m时，

解答下列问题．

第14页共27页.

(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC．

(2)下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标为________．

(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．

考查类型五其他问题

例1（2020江苏南通·统考中考真题）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的

函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是()

A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m

B．线段CD的函数解析式为s32t40（025t50）

C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快

D．曲线段AB的函数解析式为s（3t20）2120（05t20）

例2（2020·山东淄博·统考中考真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、

乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货

包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是_____

个．

第15页共27页.

例3（2022·四川攀枝花·统考中考真题）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日

至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上

跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵

成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角37的跳台A点以速度v0沿水平方向跳出，若

忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，

因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB150m，且

sin370.6．忽略空气阻力，请回答下列问题：

(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？

(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；

(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？

【变式1】（2021·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考二模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气

量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）(0°＜x≤90°)近似满足函数关系yax2bxc(a≠0)．如

图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可

推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）

A．18°B．36°C．41°D．58°

第16页共27页.

【变式2】（2022·山东聊城·统考三模）北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数

学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳

11

台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线C:yx2x30近

14804

似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线

1

C:yx2bxc运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，离水平线的高度为60米．那

2120

么当运动员滑出点A后，运动员运动的水平距离为（）米时，运动员与小山坡C1的竖直距离为20米．

160200320

A．50B．C．D．

333

【变式3】（2020·浙江温州·校联考模拟预测）小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部

A下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口B流出，已知瓶子上部分的CE和FD的圆心分别为D，C，下部分

的视图是矩形CGHD，GH＝10cm，GC＝8cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面GH的距离为

16cm，且B，D，H三点共线．如果从喷口B流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C．E

两点，接洗手液时，当手心O距DH的水平距离为2cm时，手心O距水平台面GH的高度为_____cm．

【变式4】（2022·山东济南·校考模拟预测）两辆车A和B，从相同标记处同时出发，沿直线同方向行驶，并

1

且由出发点开始计时，行驶的距离x与行驶时间t的函数关系分别为：xt32t2和xt28t，求：

A3B

（1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是_____；

（2）它们出发后，B车相对A车速度为零的时刻是_____．

第17页共27页.

【变式5】（2022·河北保定·校考一模）新型建材（即新型建筑材料）是区别于传统的砖瓦、灰砂石等建材

的建筑材料新品种，行业内将新型建筑材料的范围作了明确的界定，即新型建筑材料主要包括新型墙体材

料、新型防水保温隔热密封材料和装饰装修材料三大类，某开发商承建一精密实验室，要求全部使用新型

建筑材料，经调查发现：新型建筑材料总成本包括装饰装修材料成本、新型墙体材料成本和新型防水保温

隔热密封材料成本，其中装饰装修材料成本固定不变为100万元，新型墙体材料成本与建筑面积x（m2）成

正比，新型防水保温隔热密封材料成本与建筑面积x（m2）的平方成正比，在建筑过程中，设新型建筑材料

总成本为y（万元），获得如下数据：

x（单位：m2）2050

y（单位：万元）240600

(1)求新型建筑材料总成本为y（万元）与建筑面积x（m2）的函数表达式；

(2)在建筑过型中，开发商测算出此时每平方米的平均成本为12万元，求此时完成的建筑面积；

(3)设建设该厂房每平方米的毛利润为Q（万元）且有Q＝kx+b（k≠0），已知当x＝50时，Q为12.5万元，

且此时开发商总纯利润W最大，求k、b的值．（纯利润＝毛利润﹣成本）

第18页共27页.

【新题速递】

1．（2022秋·八年级课时练习）某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案（设购票

张数为x张，购票总价为y元）．方案一：购票总价由图中的折线OAB所表示的函数关系确定；方案二：提

供8000元赞助后，每张票的票价为50元．则两种方案购票总价相同时，x的值为（）

A．80B．120C．160D．200

2．（2021秋·河南驻马店·九年级统考期末）某口罩生产企业于2020年1月份开始了技术改造，其月利润y（万

元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函

数图象的一部分，下列选项错误的是（）

A．4月份的利润为45万元

B．改造完成后每月利润比前一个月增加30万元

C．改造完成前后共有5个月的利润低于135万元

D．9月份该企业利润达到205万元

3．（2021秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）一座拱桥的示意图如图所示，当水面宽为12m时，桥洞顶部离

水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴（向右为正向），若A为原点建立坐标系时，该抛

14

物线的表达式为yx2x,则B为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为（）

93

14141414

A．yx2xB．yx2xC．yx2xD．yx2x

93939393

第19页共27页.

4．（2022秋·浙江绍兴·九年级新昌县七星中学校考期中）学校组织学生去绍兴进行研学实践活动，小王同

学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当

小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为

该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD．小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径

GH12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗手

液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平面是

（）cm

A．123B．122C．63D．62

5．（2022春·九年级课时练习）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，

每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为x（元/

千克）（x30，且x是按0.5的倍数上涨），当日销售量为y（千克）．有下列说法：

①当x36时，y420

②y与x之间的函数关系式为y30x1500

③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克

④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克

其中正确的是（）

A．①②B．①②④C．①②③D．②④

6．（2022秋·河北廊坊·九年级校考期末）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球

在地面上的落点为B，网球飞行路线是一条拋物线，小明在直线AB上点C（靠点B一侧）右侧竖直向上摆

放若干个无盖的、直径为0.5米，高为0.3米的圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．已知

AB4米，AC3米，网球飞行的最大高度OM3米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放圆柱形桶（）．

第20页共27页.

A．4个B．5个C．6个D．7个

7．（2022春·九年级单元测试）如图是王叔叔晩饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函

数图像，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线的一部分．下列说法正确的是（）

A．线段CD的函数表达式为s30t40025t50

B．25min~50min，王叔叔步行的路程为2000m

2

C．曲线段AB的函数表达式为s3t2012005t20

D．5min~20min，王叔叔步行的速度由慢到快

8．（2022·山东淄博·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5cm，CD=3cm，AC⊥CD，点P从点

C出发，以1cm/s的速度沿C→D→A匀速运动，点M从点B出发，以相同的速度沿B→C匀速运动，其中

一点停止时，另一点随之停止运动，图2是△PMC的面积S（cm2）随时间t（s）变化的函数图象，若a秒

8

与b秒时△PMC的面积均为cm2，则b﹣a的值为（）

5

1685

A．B．C．3D．

532

第21页共27页.

9．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，是某电信公司甲、乙两种业务：每月通话费用y(元)与通话时间

x(分)之间的函数关系．某企业的周经理想从两种业务中选择一种，如果周经理每个月的通话时间都在100

分钟以上，那么选择________种业务合算．

10．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）中秋将至，某公司为员工准备了五仁月饼、莲蓉

蛋黄月饼和云腿月饼，已知五仁月饼、莲蓉蛋黄月饼和云腿月饼的单价之和为22元，其中云腿月饼的单价

为10元．计划购买五仁月饼、莲蓉蛋黄月饼和云腿月饼的数量总共不超过200个．其中云腿月饼购买50

个，五仁月饼的数量不多于莲蓉蛋黄月饼数量的一半，但至少购买30个．但在做计划时，将五仁月饼和莲

蓉蛋黄月饼的单价弄反了，结果在实际购买时，总费用比计划多了80元．若五仁月饼和莲蓉蛋黄月饼的单

价均为整数，则实际购买五仁月饼、莲蓉蛋黄月饼和云腿月饼的总费用最多需要花费___________元．

11．（2022秋·八年级课时练习）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①表示产品日销售量y（单位：

件）与时间t（单位：天）的关系，图②表示一件产品的销售利润z（单位，元）与时间t（单位：天）的关

系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列正确结论的序号是_______．

①第24天的销售量为200件；

②第10天销售一件产品的利润是15元；

③第12天与第30天这两天的日销售利润相等；

④第30天的日销售利润是750元．

12．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图1，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均

为12m，在距离D点3m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建

立平面直角坐标系．如图2，桥面上方有3根高度均为5m的支柱CG、OH、DI，过相邻两根支柱顶端的

钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2m，下面结论正确的是______(填写正确结论序号)．

1

①图1抛物线型拱桥的函数表达式yx2．

6

第22页共27页.

1

②图2右边钢缆抛物线的函数表达式y(x3)22．

3

1

③图2左边钢缆抛物线的函数表达式y(x3)22．

3

④图2在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是3m．

13．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）小林家的洗手台上有一瓶洗手液（如图1所示）．如图2所示，

当手按住顶部A下压位置时，洗手液瞬间从喷口B流出路线呈抛物线经过C与E两点．瓶子上部分是由CE

和FD组成的，其圆心分别为D，C，下部分是矩形CGHD，GH10cm，CG8cm，点E到台面GH的

距离为14cm，点B距台面的距离为16cm，且B，D，H三点共线．若手心距DH的水平距离为2cm去接洗

手液，则手心距水平台面的高度为________cm．

14．（2023春·九年级单元测试）某市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产

品在某月，（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为

2

x40(0x20)

5

p，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．

1

x12(20x30)

5

第23页共27页.

（1）求y与x之间的函数关系式为y___________；

（2）若该农产品当月的销售额最大，最大销售额是___________．（销售额=销售量×销售价格）

15．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市第十一中学校考阶段练习）某日6时至10时，某交易平台上一种水

果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所示（图1、图2中的图象分别是线

段和抛物线，其中点P是抛物线的顶点）.在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是_____，

此时每千克的收益是_________

16．（2022秋·四川达州·九年级校联考期末）为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身

器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有