专题35 实际应用题（5大类型）（解析版）

模块三重难点题型专项训练

专题35实际应用题

考查类型一行程问题

考查类型二方案问题

考查类型考查类型三购买、销售问题

考查类型四抛物线型问题

考查类型五其他类型

新题速递

考查类型一行程问题

例1（2022·四川攀枝花·统考中考真题）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅

西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、

科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，

线段OM表示货车离西昌距离y1(km)与时间x(h)之间的函数关系：折线OABN表示轿车离西昌距离y2(km)

与时间x(h)之间的函数关系，则以下结论错误的是（）

A．货车出发1.8小时后与轿车相遇

B．货车从西昌到雅安的速度为60km/h

C．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h

D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有60km

【答案】D

【分析】结合函数图象，根据时间、速度、路程之间的关系逐项判断，即可得出答案．

【详解】解：由题意可知，

第1页共76页.

货车从西昌到雅安的速度为：140460(km/h)，故选项B不合题意；

轿车从西昌到雅安的速度为：(24075)(31.5)110(km/h)，故选项C不合题意；

2

轿车从西昌到雅安所用时间为：2401102（小时），

11

299

32（小时），即A点表示h，

111111

设货车出发x小时后与轿车相遇，根据题意得：

9

60x110x，解得x1.8，

11

货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项A不合题意；

6020

轿车到雅安20分钟后，货车离雅安的距离为：60=40km，故选项D错误，符合题意．

60

故选D．

【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，能够从函数图象中获取相关信息．

例2（2020·重庆·统考中考真题）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B

地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速

8

的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距

5

的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚____分钟到达B

地．

【答案】12．

【分析】根据题意先求解乙的速度与甲的原速度，得到改变后的速度，由x86时，甲到达B地，再计算出

全程，从而可以得到乙与B地的距离，从而得到晚到的时间．

1500

【详解】解：由图及题意得：乙的速度为300米/分，

5

25300255v甲2500,

v甲250

即甲原速度为250米/分，

第2页共76页.

8

当x=25后，甲提速为250400米/分，

5

当x=86时，甲到达B地，

此时乙距B地为250（25-5）+400（86-25）-300×86=3600.

3600

t12,

300

即乙比甲晚12分钟到达B地．

答案：12．

【点睛】本题考查的是一次函数关于行程问题的应用，从图像中获取信息得到与问题相关的：速度，时间，

全程是解题的关键．

例3（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑

电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽

略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程

y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．

请解答下列问题：

(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；

(2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值

范围；

(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．

【答案】(1)300，800

(2)y800x2400（3x6）

618

(3)分钟，分钟，6分钟

115

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【分析】（1）根据函数图象先求出乙的速度，然后分别求出乙到达C地的时间和甲到达C地的时间，进而

可求甲的速度；

（2）利用待定系数法求出函数解析式，根据题意可得自变量x的取值范围；

（3）设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，分两种情况：①乙从B地到A地时，两人相距600

米，②乙从A地前往C时，两人相距600米，分别列方程求解即可．

（1）

解：由题意可得：乙的速度为：（800+800）÷（3－1）＝800米/分钟，

∴乙到达C地的时间为：3＋2400÷800＝6分钟，

∴甲到达C地的时间为：6＋2＝8分钟，

∴甲的速度为：2400÷8＝300米/分钟，

故答案为：300，800；

（2）

解：由（1）可知G（6，2400），

设直线FG的解析式为ykxbk0，

∵ykxb过F（3，0），G（6，2400）两点，

3kb0

∴，

6kb2400

k800

解得：，

b2400

∴直线FG的解析式为：y800x2400，

自变量x的取值范围是3x6；

（3）

解：设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，

①乙从B地到A地时，两人相距600米，

由题意得：300t＋800t＝600，

6

解得：t；

11

②乙从A地前往C时，两人相距600米，

由题意得：300t－800（t－3）＝600或800（t－3）－300t＝600，

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18

解得：t或6，

5

618

答：出发分钟或分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．

115

【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．

行程问题是反映物体匀速运动的应用题。行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体

的运动，有的涉及两个物体的运动，有的涉及三个物体的运动。涉及两个物体运动的，又有

“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题）和“相背运动”（相离问题）三种

情况。但归纳起来，不管是“一个物体的运动”还是“多个物体的运动”，不管是“相向运

动”、“同向运动”，还是“相背运动”，他们的特点是一样的，具体地说，就是它们反映

出来的数量关系是相同的，都可以归纳为：速度×时间=路程。

【变式1】（2022·浙江丽水·一模）小张在一条笔直的绿谷跑道上以70米/分钟的速度，从起点出发匀速健

步走．30分钟后，他停下来休息了5分钟，然后原地返回起点，全程总用时70分钟．设小张离起点的距离

为y米，健步走的时间为x分钟，y关于x的函数关系如图所示，则小张返回的速度是（）

A．60米/分钟B．70米/分钟C．75米/分钟D．80米/分钟

【答案】A

【分析】根据去时的速度和时间可以求出路程，然后用路程回时的时间即可求出返回时的速度．

【详解】解：路程速度时间，即s70302100米，

返回时的时间为：703535分钟，

2100

则返回时的速度60米/分钟，

35

故选：A．

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，得出路程．

第5页共76页.

【变式2】（2021·重庆綦江·校考三模）小李和小王分别从甲、乙两地同时步行出发，匀速相向而行小李的

速度大于小王的速度，小李到达乙地后，小王继续前行.设出发x小时后，两人相距y千米，如图所示，折

线表示从两人出发至小王到达甲地的过程中y与x之间的函数关系．下列说法错误的是（）

A．点A的坐标意义是甲、乙两地相距10千米

B．由点B可知0.25小时小李、小王共行走了2.5千米

C．点C表示小李、小王相遇，C点的横坐标为0.75

D．线段DE表示小李到达乙地后，小王到达甲地的运动过程

【答案】C

【分析】根据已知及函数图象，逐项判断即可．

【详解】点A表示x0时y10，即甲、乙两地相距10千米，故A说法正确，不符合题意；

点B表示x0.25时y7.5，可知小李、小王共行走了107.52.5（千米），故B说法正确，不符合题意；

2.5

由0.25小时小李、小王共行走了2.5千米知二人速度和为10（千米/时），

0.25

点C表示小李、小王相遇，相遇的时间是10101（小时），即点C的横坐标是1，故C说法错误，符

合题意；

由已知可得，线段DE表示小李到达乙地后，小王到达甲地的运动过程，故D说法正确，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，理解图中特殊点表示的意义．

【变式3】（2022·江苏南京·模拟预测）某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，

甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在当

天12点至13点之间（含12点和13点）追上甲车，则乙车的速度v（单位∶千米/小时）的范围是_____．

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【答案】75v80

【分析】先根据函数图象求出甲车的速度，再根据甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，

甲车8点出发，乙车9点出发，若要在当天12点至13点之间追上甲车，注意临界点，乙再点12点时追上

甲和13点追上甲，解不等式即可．

【详解】解：根据图象可得，甲车的速度为60÷1=60（千米/时）．

460

v

3

由题意，得

560

v

4

解得75v80．

故答案为：75v80．

【点睛】本题考查了一次函数的应用，路程、速度与时间关系的应用，列一元一次不等式组解实际问题的

应用，能够根据题意列出不等式组是解题的关键．

【变式4】（2021·四川达州·校考一模）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C

三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，以各自速度匀速行走，各

自到达点C停止．甲机器人前3分钟速度不变，3分钟后与乙机器人的行走速度相同，甲、乙机器人各自

与B地之间的距离y（m）与各自的行走时间x（min）之间的函数图象如图所示：当甲、乙两机器人相距

30m时，则x的取值范围是____________________

【答案】x=1或3≤x≤6.5

【分析】结合图象得到A、B两点之间的距离，甲机器人前3分钟的速度；分前0~3分钟、3~7分钟时间段

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解答．

【详解】】解：如图，

由图象可知，A、B两点之间的距离是60m，

甲机器人前3分钟的速度为：（120+60）÷2=90（m/min），

乙机器人的速度为：420÷7=60（m/min）

由图可知，2min时，甲追上乙，

所以设前3分钟，甲xmin时与乙相距30m，

当在0<x<2分钟时，即甲追乙，甲与乙相距30m，则

90x+30=60+60x，

解之得：x=1．

当在2<x≤3分钟时，即乙追甲，甲与乙相距30m，则

90x-30=60+60x（m），

解得：x=3，

3分钟后，甲到达C地时，甲、乙两机器人速度都是60m/min．甲与乙都是相距30m，

甲到达C地时间为：（420-210）÷60+3=6.5（min），

∴在3<x≤6.5时，甲、乙两机器人相距30m．

综上，x的取值范围是：x=1或3≤x≤6.5．

故答案为：x=1或3≤x≤6.5．

【点睛】本题考查的是一次函数的综合运用，正确列出一元一次方程、灵活运用数形结合思想是解题的关

键．

【变式5】（2021·浙江宁波·校考三模）如图，有80名师生要到离学校若干千米的大剧院参加演出，学校

只有一辆能做40人的汽车，学校决定采用步行和乘车相结合的办法：先把一部分人送到大剧院，车按原路

返回接到步行的师生后开往大剧院，其中车和人的速度保持不变．（学生上下车，汽车掉头的时间忽略不

计）．y表示车离学校的距离（千米），x表示汽车所行驶的时间（小时）．请结合图象解答下列问题：

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(1)学校离大剧院相距千米，汽车的速度为千米/小时；

(2)求线段BC所在直线的函数表达式；

(3)若有一名老师因临时有事晚了0.5小时出发，为了赶上学生，该老师选择从学校打车前往，已知出租车

速度为80千米/小时，请问该老师能在学生全部达到前赶到大剧院吗？并画出相关图象．

【答案】(1)15，60

105

(2)y60x

4

(3)该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，图象见解析

【分析】（1）由图象直接可得学校与大剧院的距离，由路程除以时间可得汽车的速度；

15151511

（2）设步行速度为m千米/小时，可得：(m60)215，即可解得B(，)，从而可得C(，15)，用

3232816

105

待定系数法得线段BC所在直线的函数表达式为y60x；

4

111511

（3）由学生全部达到大剧院时，x，出租车到达大剧院时，x0.5，知该老师能在学生全部达

168016

到前赶到大剧院，再画出图象即可．

【详解】（1）解：由图象可得，学校与大剧院相距15千米，

1

汽车的速度为1560（千米/小时），

4

故答案为：15，60；

（2）设步行速度为m千米/小时，

15

根据题意得：(m60)215，

32

解得m4，

1515

步行的路程为4（千米），

328

1515

B(，)，

328

第9页共76页.

151511

(15)60，

32816

11

C(，15)，

16

设线段BC所在直线的函数表达式为ykxb，

151511

将B(，)，C(，15)代入得：

32816

1515

kb

328

，

11

kb15

16

k60

解得105，

b

4

105

线段BC所在直线的函数表达式为y60x；

4

（3）该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，理由如下：

11

由（2）知，学生全部达到大剧院时，x，

16

1511

出租车到达大剧院时，x0.5，

8016

该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，图象如下：

【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，结合图象，学会利用函数的思想求解

问题．

考查类型二方案问题

例1（2022·黑龙江·统考中考真题）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学

报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360

元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）

第10页共76页.

A．5B．6C．7D．8

【答案】A

【分析】设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合

x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．

【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，

15x+20y=360，即3x+4y=72，

3

∴y=18-x．

4

又∵x，y均为正整数，

x4x8x12x16x20

∴或或或或，

y15y12y9y6y3

∴班长有5种购买方案．

故选：A．

【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．

例2（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购

买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元．学校准备购买

2

A,B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是_____元．

5

【答案】330

【分析】设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个B种奖品共需

100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元”，即可得出关于A，B的二元一次方程组，在设购

2

买A种奖品m个，则购买B种奖品(20-m)个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，即可得

5

出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果．

【详解】解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，

2x4y100

依题意，得：，

5x2y130

x20

解得：

y15

∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元．

设购买种奖品个，则购买种奖品个，根据题意得到不等式：

AmB(20-m)

第11页共76页.

240

m≥(20-m)，解得：m≥，

57

40

∴≤m≤20，

7

设总费用为W，根据题意得：

W=20m+15(20-m)=5m+300，

∵k=5>0，

∴W随m的减小而减小，

∴当m=6时，W有最小值，

∴W=5×6+300=330元

则在购买方案中最少费用是330元．

故答案为：330．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：

找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函数．

例3（2022·贵州黔东南·统考中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、

B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人

每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．

(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？

(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共

30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．

请根据以上要求，完成如下问题：

①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；

②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？

【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．

(2)①w0.8m60；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4

万元．

【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后

根据题意可列分式方程进行求解；

（2）①由题意可得购买B型机器人的台数为30m台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易

第12页共76页.

90m10030m2830

得，然后可得15m17，进而根据一次函数的性质可进行求解．

0.8m6048

【详解】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，

由题意得：

540600

，

xx10

解得：x90；

经检验：x90是原方程的解；

答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．

（2）解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为30m台，

∴w=1.2m+2(30-m)=-0.8m+60；

90m10030m2830

②由题意得：，

0.8m6048

解得：15m17，

∵-0.8＜0，

∴w随m的增大而减小，

∴当m=17时，w有最小值，即为w0.8176046.4，

答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．

【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程

的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．

方案选择问题解决策略：

1、理顺问题的数学思路

2、建立问题的数学模型

3、研究函数模型自变量的取值范围

4、根据自变量的取值范围，选择最佳方案

第13页共76页.

【变式1】（2022·四川眉山·校考一模）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车

将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示：

甲种货车乙种货车

载货量（吨/辆）2520

租金（元/辆）20001800

请问：李老板最少要花掉租金（）．A．15000元B．16000元C．18000元D．20000

元

【答案】B

20025x

【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，

20

进行判断即可．

20025x

【详解】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得：

20

20025x

y2000x1800250x18000，

20

∵20025x0，

∴x8，

∴当x8时，y最小，最小值为：

25081800016000（元），

即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键．

【变式2】（2021·河北保定·统考二模）超市有A，B两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用

来分装15升油（瓶子都装满，且无剩油）；当日促销活动：购买A型瓶3个或以上，一次性返还现金5元，

设购买A型瓶x（个），所需总费用为y（元），则下列说法不一定成立的是（）

型号AB

单个盒子容量（升）23

单价（元）56

第14页共76页.

2

A．购买B型瓶的个数是5x为正整数时的值B．购买A型瓶最多为6个

3

C．y与x之间的函数关系式为yx30D．小张买瓶子的最少费用是28元

【答案】C

2

【分析】设购买A型瓶x个,B(5x)个,由题意列出算式解出个选项即可判断.

3

【详解】设购买A型瓶x个，

∵买瓶子用来分装15升油，瓶子都装满，且无剩油，

152x2

∴购买B型瓶的个数是5x,

33

∵瓶子的个数为自然数,

222

∴x=0时,5x=5;x=3时,5x=3;x=6时,5x=1;

333

2

∴购买B型瓶的个数是(5x)为正整数时的值，故A成立;

3

由上可知，购买A型瓶的个数为0个或3个或6个，所以购买A型瓶的个数最多为6，故B成立;

2

设购买A型瓶x个，所需总费用为y元，则购买B型瓶的个数是(5x)个，

3

2

④当0≤x<3时，y=5x+6×(5x)=x+30，

3

∴k=1>0，

∴y随x的增大而增大，

∴当x=0时，y有最小值，最小值为30元;

2

②当x≥3时，y=5x+6×(5x)-5=x+25，

3

∵.k=1>0随x的增大而增大，

∴当x=3时，y有最小值，最小值为28元;

综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为28元.

故C不成立，D成立

故选:C.

【点睛】本题考查一次函数的应用,关键在于读懂题意找出关系式.

【变式3】（2021·浙江杭州·校联考二模）A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部

运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往

C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150

第15页共76页.

元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系

式为_______________．

【答案】W140x12540

【分析】因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，

B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机，就可以得到关系式．

【详解】解：由题意得：因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡

（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机

W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240[40﹣（34﹣x）]

＝140x+12540，

故答案为：W＝140x+12540．

【点睛】本题考查一次函数的应用，属于一般的应用题，解答本题的关键是根据题意得出y与x的函数关系

式．

【变式4】（2020·重庆·统考模拟预测）“双11”当天，重庆顺风快递公司出动所有车辆分上午、下午两批往

1

成都送件，该公司共有甲、乙、丙三种车型，其中甲型车数量占公司车辆总数的，乙型车辆是丙型车数

4

213

量的2倍，上午安排甲车数量的，乙车数量的，丙车数量的进行运输，且上午甲、乙、丙三种车型

324

5

每辆载货量分别为15吨，10吨，20吨，则上午刚好运完当天全部快件重量的；下午安排剩下的所有车

8

辆运输完当天剩下的所有快件，且下午甲、乙、丙三种车型每辆载货量分别不得超过20吨，12吨，16吨，

下午乙型车实际载货量为下午甲型车每辆实际载货量的2．已知同种货车每辆的实际载货量相等，甲、乙、

3

丙三种车型每辆车下午的运输成本分别为50元/吨，90元/吨，60元/吨．则下午运输时，一辆甲种车、一辆

乙种车、一辆丙种车总的运输成本最少为_____元．

【答案】2700.

【分析】设重庆顺风快递公司总共有x辆车，用表示各型车的数量，上午运输快递重量，下午快递重量，

2

设下午甲型车每辆实际载货量为y吨，丙型车每辆实际载货量为z吨，则乙型车每辆实际载货量y吨，根

3

据题意列出y的不等式组，求得y的取值范围，再用y的代数式表示：下午运输时，一辆甲种车、一辆乙种

车、一辆丙种车总的运输成本，最后根据一次函数的性质求最小值．

1211

【详解】解：设重庆顺风快递公司总共有x辆车，则甲型车有x辆，乙型车有1x＝x辆，丙型

4342

111

车有1x＝x辆，根据题意得，

344

第16页共76页.

21113135

上午运货总量为：15×x+10××x+20×＝x（吨），

3422444

355

全天运货总量为：x＝14x（吨），

48

521

下午运货总量为：14x•（1﹣）＝x（吨），

84

2

设下午甲型车每辆实际载货量为y吨，丙型车每辆实际载货量为z吨，则乙型车每辆实际载货量y吨，根

3

据题意得，

111121121

xy+xy+xz＝x，

34223444

化简得，4y+z＝84，

∴z＝84﹣4y，

∵下午甲、乙、丙三种车型每辆载货量分别不得超过20吨，12吨，16吨

y„20

2

∴y„12，

3

844y„16

∴17≤y≤18，

∴下午运输时，一辆甲种车、一辆乙种车、一辆丙种车总的运输成本为：

2

w＝50y+90×y+60（84﹣4y）＝﹣130y+5040，

3

∵﹣130＜0，

∴w随y的增大而减小，

∴当y＝18时，w有最小值为：﹣130×18+5040＝2700（元），

故答案为：2700．

【点睛】本题考查了不等式组和一次函数的实际应用问题，掌握解不等式组的方法、一次函数的性质是解

题的关键．

【变式5】（2022·河南信阳·校考一模）由于疫情的原因，某公司决定为员工采购一批口罩（x包）和10瓶

消毒液，经了解，购买4包口罩和3瓶消毒液共需185元；购买8包口罩和5瓶消毒液共需335元．

(1)求一包口罩和一瓶消毒液各需多少元？

(2)实际购买时，厂家有两种优惠方案：

方案一：消毒液不优惠：购买口罩不超过20包时，每包都按九折优惠，超过20包时，超过部分每包按七

折优惠；

方案二：口罩、消毒液均按原价的八折优惠．

第17页共76页.

①求两种方案下所需的费用y（单位：元）与x（单位：包）的函数关系式；

②若该公司决定购买xx20包口罩和10瓶消毒液，请你帮该公司决定选择哪种方案更合算．

【答案】(1)一包口罩需20元，一瓶消毒液需35元；

18x350(0x20)

(2)①方案一：y与x的函数关系式为y；方案二：y与x的函数关系式为y16x280；

14x430(x20)

②当20<x<75时，选择方案二更合算；当x=75时，两种方案一样；当x>75时，选择方案一更合算．

【分析】（1）根据购买4包口罩和3瓶消毒液共需要185元，购买8包口罩和5瓶消毒液共需要335元，

可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得一包口罩和一瓶消毒液各需要多少元；

（2）①根据题意，可以写出两种方案下所需的费用y与x的函数关系式；②根据题意和①中的函数关系可

以列出相应的不等式，从而可以得到该公司决定选择哪种方案更合算．

【详解】（1）解：设一包口罩需x元，瓶消毒液各需y元，根据题意得：

4a3b185a20

，解得：，

8a5b335b35

答：一包口罩需20元，一瓶消毒液需35元；

（2）解：①方案一：当0x20时，

y200.9x351018x350；

当x20时，

y200.920200.7(x20)351014x430；

18x350(0x20)

综上所述，方案一：y与x的函数关系式为y；

14x430(x20)

方案二：y与x的函数关系式为y200.8x35100.816x280；

②当14x+430>16x+280时，解得x<75，

即当20<x<75时，选择方案二更合算；

当14x+430=16x+280时，解得x=75，

即当x=75时，两种方案一样；

当14x+430<16x+280时，解得x>75，

即当x>75时，选择方案一更合算．

综上，当20<x<75时，选择方案二更合算；当x=75时，两种方案一样；当x>75时，选择方案一更合算．

第18页共76页.

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是

明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

考查类型三购买、销售问题

例1（2020·贵州毕节·统考中考真题）由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出

售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（）

A．230元B．250元C．270元D．300元

【答案】D

【分析】设该商品的原售价为x元，根据成本不变列出方程，求出方程的解即可得到结果．

【详解】解：设该商品的原售价为x元，

根据题意得：75%x+25=90%x-20，

解得：x=300，

则该商品的原售价为300元．

故选：D．

【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．

例2（2021·江苏连云港·统考中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每

天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种

快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每

提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______

元．

【答案】1264

【分析】根据题意，总利润=A快餐的总利润＋B快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，

分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．

【详解】解：设A种快餐的总利润为W1，B种快餐的总利润为W2，两种快餐的总利润为W，设A快餐的份

数为x份，则B种快餐的份数为120x份．

x40x12

据题意：W112x1220xx32x，

222

第19页共76页.

80120x12

W2=8120xx72x2400，

22

22

∴WW1W2x104x2400=x521264，

∵10，

∴当x52的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元，

故答案为：1264．

【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．

例3．（2020·湖北黄冈·中考真题）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市

市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天

拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y(kg)与销售单价

x（元/kg）满足关系式：y100x5000．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．当

每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．

（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式

（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？

（3）当W40000元时，网络平台将向板栗公可收取a元/kg(a4)的相关费用，若此时日获利的最大值为

42100元，求a的值．

100x25500x27000(6x10)

【答案】（）；（）当销售单价定为元时，日获利最大，且最

1w2228

100x5600x32000(10x30)

大为46400元；（3）a2

【分析】（1）首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可；

（2）对于（1）得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果；

（3）先求出当w40000，即100x25600x3200040000时的销售单价，得当w40000,20x36，

1

从而20x30，得w(x6a)(100x5000)2000，可知，当x28a时，w42100元，从而有

12max

11

28a6a10028a5000200042100，解方程即可得到a的值．

22

【详解】解：（1）当y4000，即100x50004000，

x10．

∴当6≤x≤10时，w(x61)(100x5000)2000

100x25500x27000

第20页共76页.

当10x30时，w(x6)(100x5000)2000

100x25600x32000．

100x25500x27000(6x10)

w2

100x5600x32000(10x30)

（2）当6≤x≤10时，w100x25500x27000．

b550055

∵对称轴为x10，

2a2(100)2

∴当x10时，wmax54000200018000元．

当10x30时，w100x25600x32000．

b5600

∵对称轴为x28，

2a2(100)

∴当x28时，wmax222200200046400元．

4640018000

∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元．

（3）4000018000，

10x30，则w100x25600x32000．

令w40000，则100x25600x3200040000．

解得：x120,x236．

在平面直角坐