专题27 倍长中线模型（原卷版）

模块二常见模型专练

专题27倍长中线模型

例1（2021·黑龙江大庆·统考中考真题）已知，如图1，若AD是ABC中BAC的内角平分线，通过证

ABBD

明可得=，同理，若AE是ABC中BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上

ACCD

述信息，求解如下问题：如图2，在ABC中，BD2,CD3,AD是ABC的内角平分线，则ABC的BC边

上的中线长l的取值范围是________

例2（2021·贵州安顺·统考中考真题）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，

若AE是BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证AEB≌FEC得到ABFC，从而把

AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．

AB，AD，DC之间的等量关系________；

（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中

点，若AE是BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

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例3（2021·山东东营·统考中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过

点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．

（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系

是________．

（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否

依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

②若COD60，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．

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倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中

线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移。

倍长中线模型模型：

【倍长中线】已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE

1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE

2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE

证明：

∵点D为∆ABC中BC边中点

∴BD=DC

在∆ABD和∆ECD中

AD=ED

∠1=∠2∴∆ABD≌∆ECD（SAS）∴∠ABD=∠ECD∴AB∥CE

BD=DC

在∆ADC和∆EDB中

AD=ED

∠ADC=∠BDE∴∆ADC≌∆EDB（SAS）∴∠EBD=∠ACD∴AC∥BE

BD=DC

【倍长类中线】已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段DF到点E使DF=DE,

连接EC，则∆BDF≌∆CDE

总结:

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【变式1】（2021·浙江湖州·统考二模）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，ABBD，AB5，BD4，

CD3，点E是AC的中点，则BE的长为（）．

5

A．2B．C．5D．3

2

【变式2】（2021·贵州遵义·校联考二模）如图，DE是ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交

2

AB于点G，若CEF的面积为12cm，则SDGF的值为△（）

△△

A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．9cm2

【变式3】（2022·四川成都·统考一模）在ABC中，AB6，AC4，AD是BC边上的中线，记ADm且

mx11

m为正整数．则m使关于x的分式方程4有正整数解的概率为______．

3xx3

【变式4】（2021·河南周口·统考二模）如图，在ABC中，AB4，BAC135，D为边BC的中点，若

AD1.5，则AC的长度为______．

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【变式5】（2022·山东泰安·校考二模）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和

等边BCE．

(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；

(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN

(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=2，如图3，则BM=_______（直接写出结果）

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【培优练习】

1．如图，AD为ABC的中线，AD3，AC4，则AB的长的取值范围是（）

A．4AB7B．2AB10C．3AB5D．2AB7

2．如图，在ABC中，AB6，BC10，BD是边AC上的中线，则BD的长度可能为（）

A．1B．2C．5D．8

3．如图，ABC中，AD为中线，ADAC，BAD30，AB3，则AC长（）

A．2.5B．2C．1D．1.5

4．对于任意△ABC（见示意图）．若AD是△ABC的边BC上的中线，ADB、ADC的角平分线分别

交AB、AC于点E、F，连接EF，那么EF、BE、CF之间的数量关系正确的是（）

A．BECFEFB．BECFEF

C．BECFEFD．BECFEF

5．如图，ABC中，点D是BC边的中点，线段AD平分BAC．BF//AC,FD的延长线交AC于点E，且

AE2BF．下列结论：

①ADBC；②DEAC；③DEDF；④AB3BF．

正确的个数为（）

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A．1B．2C．3D．4

6．在ABC中，AB8，AC6，则BC边上的中线AD的取值范围是_____．

7．如图，在ABC中，AD为中线，且AC5，AD6，则AB边的取值范围是___________．

8．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD上一点，BE=AC．若∠C=70°，∠DAC=50°，则∠EBD

的度数为__________________．

9．如图，在ABC中，AD是BC边上的中线．延长AD到点E，使DEAD，连接BE．

(1)求证：△ACD≌△EBD；

(2)AC与BE的数量关系是：____________，位置关系是：____________；

(3)若BAC90，猜想AD与BC的数量关系，并加以证明．

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10．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，ABC中，若AB8，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得

到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DEAD，请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．

A．SSSB．SASC．AASD．HL

(2)求得AD的取值范围是．

A．6AD8B．6AD8C．1AD7D．1AD7

(3)如图2，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF．求证：ACBF．

11．（1）阅读理解：

如图①，在ABC中，若AB8，AC12，求BC边上的中线AD的取值范围，并说明理由．

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DEAD，再连接BE（或将ACD绕着点D逆时针旋转180

得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在ABE中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系

即可判断．

（2）问题解决：

如图②，在ABC中，D是BC边上的中点，DMDN于点D，DM交AB于点M，DN交AC于点N，连

接MN，求证：BMCNMN；

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12．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在ABC中，AB6，AC8，D是BC

的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DEAD，请补充完整证明

“ABD≌ECD”的推理过程．

(1)求证：ABD≌ECD

证明：延长AD到点E，使DEAD

在△ABD和ECD中

∵ADED（已作）

ADBEDC（对顶角相等）

CD____________（中点定义）

∴ABD≌ECD（____________）

(2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是____________；

【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条

件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

(3)【问题解决】如下图，ABC中，ÐB=90°，AB2，AD是ABC的边BC上的中线，CEBC，CE4，

且ADE90，求AE的长．

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13．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，ABC中，若AB8，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到

了如下的解决方法：延长AD到点E，使DEAD，请根据小明的方法思考：

(1)由已知图能得到△ADC≌△EDB的理由是．

(2)求得AD的取值范围是．

(3)如图2，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF．求证：ACBF．

14．在ABC中，ABM45，AMBM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．

(1)如图①，若AB18，BC5，求AC的长；

(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是ABC外一点，ECAC，连接ED并延长交BC于

点F，且点F是线段BC的中点，求证：BDF＝CEF．

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15．数学活动课中，老师给出以下问题：

(1)如图1，在ABC中，D是边BC的中点，若AB5，AC9，则中线AD长度的取值范围______．

(2)如图2，在ABC中，D是边BC的中点，过D点的射线DE交边AB于E，再作DFDE交边AC于点F，

连结EF，请探索三条线段BE、EF、CF之间的大小关系，并说明理由．

(3)已知：如图3，ABAC，BACCDE90且DCDE，F是线段BE的中点．求证：AFFD．

16．(1)阅读理解：如图1，在ABC中，若AB10，AC6．求BC边上的中线AD的取值范围．解决此

问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DEAD，再连接BE(或将ACD绕着点D逆时针旋转180得到

△EBD)，把AB，AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是______；

(2)问题解决：如图2，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC

于点F，连接EF，求证：BECFEF；

(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，BD180，CBCD，BCD140，以C为顶点作一个

70角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并

加以证明．

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17．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得

到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．

(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，

并说明理由．

18．【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根

据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是（）．

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A．SSSB．SASC．AASD．ASA

(2)AD的取值范围是（）．

A．6AD8B．12AD16C．1AD7D．2AD14

(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已

知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．

【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．

19．我们定义：如图1，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转0180得到AB，把AC绕点A逆

时针旋转得到AC，连接BC．当180时，我们称ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC边

BC上的中线AD叫做ABC的“旋补