专题15 图形的相似综合（6大考点）（原卷版）

第四部分三角形

专题15图形的相似综合（6大考点）

核心考点一比例线段

核心考点二相似三角形的判定

核心考点三相似三角形的性质

核心考点

核心考点四相似三角形中的动点问题

核心考点五位似图形

核心考点六相似三角形的实际应用

新题速递

核心考点一比例线段

例1（2022·湖南衡阳·统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）

的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，

那么该雕像的下部设计高度约是（）（结果精确到0.01m．参考数据：21.414，31.732，52.236）

A．0.73mB．1.24mC．1.37mD．1.42m

51

例2（2021·四川德阳·统考中考真题）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们

2

以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已

知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为51，则该矩形的周长为__________________．

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例3（2022·湖南常德·统考中考真题）在四边形ABCD中，BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E

使BEFC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD．

(1)当四边形ABCD是矩形时，如图，求证：①GEGD；②BOGDGOFC．

(2)当四边形ABCD是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明．

知识点、线段的比与成比例线段

线段的比两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）．

ac

四条线段a、b、c、d中，如果，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例

成比例线段bd

线段，简称比例线段．

知识点、比例的性质

ac

基本性质adbc

bd

合比的性质acabcd

bdbd

等比性质acmacm

kbdn0k

bdnbdn

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知识点、黄金分割

ACBC

若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，

ABAC

黄金分割

51

这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为0.618．

2

知识点、平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

图形：

几何语言：

定理

∵l1∥l2∥l3，

ABDEABDEBCEF

∴，，

BCEFACDFACDF

平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

图形：几何语言：

推论ADAE

∵DE∥BC，∴，

DBEC

ADAEBDCE

，

ABACABAC

【变式1】（2022·河北邯郸·统考三模）如图，已知P、Q是边AB的三等分点，△ABC的面积为27，现从

AB边一点D，沿平行BC的方向剪下一个面积为7的三角形，则点D在（）

A．线段AP上B．线段PQ上，且靠近P点

C．线段PQ上，且靠近Q点D．线段BQ上

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【变式2】（2022·浙江宁波·统考模拟预测）ABCD被分别平行于两边的四条线段EJ、FI、LG、KH分割成

9个小平行四边形，面积分别为S1-9，已知ALME∽PICH∽ABCD．若知道S1-9中的n个，就一定能算

出平行四边形ABCD的面积，则n的最小值是（）．

A．2B．3C．4D．6

【变式3】（2022·统考一模）已知线段a51，b51，则a，b的比例中项线段等于______．

51

【变式4】（2022·福建莆田·校考一模）我们把宽与长的比为黄金比（）的矩形称为黄金矩形，如图，

2

在黄金矩形ABCD中，AB＜BC，BC＝4，∠ABC的平分线交AD边于点E，则DE的长为_____．

【变式5】（2020·福建南平·统考一模）在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，

ADAE

EC＝4，．

DBEC

（1）求AD的长；

DBEC

（2）试问能成立吗？请说明理由．

ABAC

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核心考点二相似三角形的判定

k

例1（2020·贵州遵义·统考中考真题）如图，ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝

x

90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平△行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k

的值为（）

A．9B．12C．15D．18

例2（2021·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一

个条件：_____，使得VADE与ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）

例3（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在RtABC中，ABC90，E是边AC上一点，且BEBC，

过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．

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知识点、相似三角形的判定

平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原

预备定理

三角形相似．

有两个角对应相等的两个三角形相似．

判定1

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．

判定2

三边对应成比例的两个三角形相似

判定3

若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比

例，那么这两个直角三角形相似．

直角三角形

的特殊判定

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【变式1】（2023·上海杨浦·统考一模）如图，在ABC中，AG平分BAC，点D在边AB上，线段CD与AG

交于点E，且ACDB，下列结论中，错误的是（）

A．△ACD∽△ABCB．ADE∽ACG

C．△ACE∽△ABGD．△ADE∽△CGE

【变式2】（2022·广西梧州·统考一模）如图，在ABC中，C45，将ABC绕着点B逆时针方向旋转，

使点C的对应点C落在CA的延长线上，得到ABC，连接AA，交BC于点O．下列结论：①ACA90；

②AABC；③ABCAAC；④△AOC∽△BOA．其中正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【变式3】（2021·上海崇明·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个

动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．

【变式4】（2021·河南·统考模拟预测）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上

的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，

连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于____．

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【变式5】（2022·四川南充·统考三模）如图，在ABC中，ACB90，CD是边AB上的中线，EF垂直

平分CD，分别交AC，BC于E，F，连接DE，DF．

(1)求证：△OCE∽△OFD．

(2)当AE7，BF24时，求线段EF的长．

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核心考点三相似三角形的性质

例1（2022·山东威海·统考中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB

＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为()

4443

A．（）3B．（）7C．（）6D．（）6

3334

例2（2022·湖南常德·统考中考真题）如图，已知F是ABC内的一点，FD∥BC，FE∥AB，若BDFE

11

的面积为2，BDBA，BEBC，则ABC的面积是________．

34

例315．（2020·山东济南·中考真题）在等腰ABC中，AC＝BC，VADE是直角三角形，∠DAE＝90°，

1

∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD△的中点，连接CF．

2

（1）当∠CAB＝45°时．

①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是．线段BE与线段CF

的数量关系是；

②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予

证明，若不成立，请说明理由；

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学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：

思路一：作等腰ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；

思路二：取DE的△中点G，连接AG，CG，并把CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全

等或相似有关知识来解快问题．

（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理

由．

知识点、相似三角形的性质

性质1相似三角形的对应边成比例，对应角相等。

相似三角形的周长比等于相似比。

∽，则

由比例性质可得：

性质2

类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。

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相似三角形的面积比等于相似比的平方。

∽，则分别作出与的高

11

BCADkBCkAD

S

和，则△ABC22=k2

S11

△ABCBCADBCAD

22

性质3

要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。

如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到：

相似多边形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。

性质4

要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。

【变式1】（2022·广东佛山·佛山市南海区石门实验学校校考三模）如图，在ABC中，AB4，AC3，BC5.

将ABC沿着点A到点C的方向平移到DEF的位置，图中阴影部分面积为4，则平移的距离为（）

A．36B．6C．36D．26

k

【变式2】（2022·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，双曲线y（x0）经过RtOAB斜边OB的中点D，

x

与直角边AB交于点C，过点D作DEOA于点E，连接OC，若△OBC的面积是6，则k的值为（）

A．3B．4C．5D．6

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【变式3】（2023·上海松江·统考一模）已知ABC，P是边BC上一点，PAB、△PAC的重心分别为G1、

S

AG1G2

G2，那么的值为________．

SABC

【变式4】（2022·广东深圳·校考模拟预测）如图，三角形△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，点P从A出

发沿AB运动到点B，作如图的Rt△PQC，且∠P＝30°，∠Q＝90°，点P运动过程中，BQ的最小值为_____．

【变式5】（2022·宁夏银川·校考一模）如图，ABC是边长为4cm的等边三角形，AD为ABC的中线，动

点P，Q分别从A，B同时出发，分别沿AB，BC方向做匀速运动，它们的速度都是1cm/s．当点P到达点

B时，停止运动，设点P的运动时间为t(s)．

(1)当t_____时PBQ为等边三角形

(2)当PBQ与△ABD相似时，求出t的值

(3)设四边形APQC的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并求出t为何值时，四边形的面积S有最小值，

并求出最小值

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核心考点四相似三角形中的动点问题

例1（2021·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M从点

A出发沿折线AHHCCB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB运动到点B停止，它们的运动速度都

是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为ts，AMN的面积为Scm2，已知S与t之间函数图

象如图②所示，则下列结论正确的是（）

①当0t6时，AMN是等边三角形．

②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．

3

③当0t6时，St2．

4

④当t93时，ADH∽ABM．

⑤当9t933时，S3t933．

A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤

例2（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、

BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，

动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，

两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长

是_____．

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例3（2022·辽宁大连·统考中考真题）如图，在ABC中，ACB90，BC4，点D在AC上，CD3，

连接DB，ADDB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相

交于点Q，连接DQ，设APx，PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．

(1)求AC的长；

(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．

几何内容就是每年中考数学热门考查对象，在中考数学中占有相当高的分值，考查范围一般包括三角形、

四边形、圆相关的知识内容等等，其中与三角形相关的相似三角形更是其中的重难点，它是历年中考数学

的热点内容。

动点问题一直是中考数学试题热门考点，在很多地方中考试卷里，动点问题一直是必考题型。在很多动点

问题当中，还会考查到很多数学思想，如数形结合、分类讨论思想、函数与方程等等都会考查到。

相似三角形作为中考数学中的一块非常重要的知识内容，一般会考查到以下三个方面内容：

1、考查相似三角形的判定定理；

2、考查利用相似三角形的性质去解决具体问题；

3、考查与相似三角形有关的综合内容。

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【变式1】（2022·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，ABC中，A90,ABAC1,BFBC，点D从点A

出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB作匀速运动，同时点E从点B出发，沿射线BF以每秒2个单位

的速度作匀速运动，当点D与点B重合时两点停止运动，连接DE,EC,CD．设点D运动的时间为x秒，CDE

的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A．B．C．D．

【变式2】（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的

顶点坐标分别为O0,0，A12,0，B8,6，C0,6．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿

边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．作AGPQ

于点G，则运动过程中，AG的最大值为（）

18536

A．B．35C．D．8

55

【变式3】（2022·河北唐山·统考二模）如图，在ABC中，AB8cm,AC16cm，点P从A出发，以2cm/s

的速度向B运动，同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动

点也随之停止运动，设运动的时间为t．

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（1）用含t的代数式表示：AQ=_______；

（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似时，运动时间t________

【变式4】（2021·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，C90，AC2，BC3，点P从点A出

发，沿AB方向以每秒13个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒3

个单位长度的速度向终点C运动，设点P运动的时间为t秒，当PBQ是直角三角形时，t的值为_______．

【变式5】（2022·宁夏银川·校考三模）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为

6,0、6,8，动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点

A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NPBC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒．

(1)用含x的代数式表示P的坐标．

(2)设四边形OMPC的面积是y，求y的最小值，求出此时x的值．

(3)是否存在x的值，使以P、A、M为顶点的三角形与AOC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，

请说明理由．

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核心考点五位似图形

例1（2022·重庆·统考中考真题）如图，ABC与DEF位似，点O为位似中心，相似比为2:3．若ABC

的周长为4，则DEF的周长是（）

A．4B．6C．9D．16

例2（2022·四川成都·统考中考真题）如图，ABC和DEF是以点O为位似中心的位似图形．若

OA:AD2:3，则ABC与DEF的周长比是_________．

例3（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，

把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角

线OB．

（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似

1

图形与OAB的相似比等于；

2

（2）将OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90，得到OA1B1，作出OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所

形成扇形的周长．

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知识点、位似图形

两个相似图形，如果对应点的连线交于同一点，对应边平行或在同一直线上，像这样的

定义

两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．

性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比．

（1）确定位似中心；

画位似图形（2）连结原图形中关键点与位似中心的线段（或延长线）；

的步骤（3）按相似比进行取点；

（4）顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形。

【变式1】（2021·广东广州·广州大学附属中学校考一模）如图，ABO缩小后变为△ABO，其中A、B的

对应点分别为A、B，点A、B、A、B均在图中格点上，若线段AB上有一点P(m,n)，则点P在AB上

的对应点P的坐标为（）

mnmn

A．,nB．m,C．,D．m,n

2222

1

【变式2】（2022·内蒙古包头·校考三模）如图，直线yx1与x轴交于点A，与y轴交于点B，BOC与

2

BOC是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点B的坐标为()

333

A．(8,3)B．4,C．4,或2,D．(8,3)或(4,3)

222

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【变式3】（2022·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，ABC顶点A的坐标为2,3，若以原点O为

位似中心，画ABC的位似图形ABC，使ABC与ABC的相似比等于2:1，则点A的坐标为________．

【变式4】（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，已知ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且点

C与点D在直线AB同侧ABC和△EDC的周长之比为1:2，点C的坐标为(-2，0)，若点A的坐标为(-4，

3)，则点E的坐标为______．

【变式5】（2023·广东深圳·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，ABC各顶点的坐标分别是

A(4,8),B(4,4),C(10,4)，△A1B1C1与ABC关于原点O位似，A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1，其中B1的坐

标是(2,2)．

(1)△A1B1C1和ABC的相似比是；

(2)请画出△A1B1C1；

(3)BC边上有一点M(a,b)，在B1C1边上与点M对应点的坐标是；

(4)△A1B1C1的面积是．

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核心考点六相似三角形的实际应用

例1（2022·江苏盐城·统考中考真题）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法

步骤：

第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；

第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；

第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距

离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；

第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点

的距离值．

如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的

距离约为（）

A．40米B．60米C．80米D．100米

例2（2021·贵州毕节·统考中考真题）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如

图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长

是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为_______________m．

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例3（2022·江苏连云港·统考中考真题）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏

北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育

王塔最高点C的仰角CAE45，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角CBE53，

AB10m；小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG1.5m，

GD2m．（注：结果精确到0.01m，参考数据：sin530.799，cos530.602，tan531.327）

(1)求阿育王塔的高度CE；

(2)求小亮与阿育王塔之间的距离ED．

数学来源于生活，相似三角形之所以重要，不仅仅因为它是解决线段的数量关系、线段的长度、图形的面

积等有关问题的重要工具；它还能解决我们生活中的实际问题。

类型一，测量不可以到达对岸的河的宽度。

类型二，测量底部不可以到达的物体的高度。

类型三，利用投影、平行线、标杆等构造相似形求解问题。

类型四，测量底部可以到达的物体的高度。

类型五：与三角形、四边形、圆、函数等综合考查；

对于相似形的应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，从实际问题中抽象出相似三角形，

进而利用对应边成比例列方程解题。

【变式1】（2023·山东枣庄·校考模拟预测）如图，一棵大树AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，

量得CD6米，BC21米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为3米，则大树的高度为（）

A．(93)米B．33米C．（3033）米D．（103）米

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【变式2】（2023·广东深圳·校考一模）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，

在观测员与旗杆AB之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像

与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为1.6m，观测员到标记E的距离CE为2m，

旗杆底部到标记E的距离AE为16m，则旗杆AB的高度约是（）

A．22.5mB．20mC．14.4mD．12.8m

【变式3】（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如

图，为了测量旗杆的高度，某综合实践小组设计了以下方案：用2.5m长的竹竿做测量工具，移动竹竿，保

持竹竿与旗杆平行，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距5m、与

旗杆相距20m，则旗杆的高度为_____m．

【变式4】（2022·贵州毕节·二模）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5m有一棵树，

小华站在离南岸20m的点P处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假设龙

头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内），已知龙舟的长为18.5m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与

河岸平行，则河宽为_______m．

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【变式5】（2023·安徽宿州·统考一模）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借

鉴意义．如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，

具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继

续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水

平线上，小王的步间距保持一致．

(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．

(2)估计路灯AO的高，并求影长PQ的步数．

(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明

同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且

边DE与点B在同一直线上．测得DF0.5m，EF0.3m，CD10m，小明眼睛到地面的距离为1.5m，则

树高AB为______m．

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【新题速递】

1．（2022秋·四川遂宁·九年级统考期末）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上，若直

线l4∥l3∥l2∥l1且间距相等，AB4，BC3，则tan的值为（）

3115

A．B．C．5D．

83215

1

2．（2023秋·海南海口·九年级校联考期末）如图，在YABCD中，延长CD到点E，使DECD，BE交AD

2

于点F，则DEF和ABF的面积比为（）

A．1:4B．1:2C．1:3D．2:3

3．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，ABE和CDE是以点E为位似中心的位似图形，点E的坐标为

1，0，若点A、C、D的坐标分别是3，4、2，2、3，1．则点D的对应点B的坐标是（）

A．4，2B．4，1C．5，2D．5，1

4．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，ABBD，点E，F分别是边AB,AD上任意点（不

与端点重合），且AEDF，连接BF,DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，下列结论：①△AED≌△DFB；

②BGE的大小为定值；③CG与BD一定不垂直；④若AF2DF，则BG6GF，其中正确的结论有（）

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A．①②B．①②④C．③④D．①③④

5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，ABC中，BAC30，ACB90，且VABC∽VABC，连接CC，

将CC沿CB方向平移至EB，连接BE，若CC6，则BE的长为（）

A．1B．2C．3D．2

6．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，ACB90，边AC，AB上的中线BE，

CD相交于点F，若AC6，BC4，则BF（）

105413

A．B．C．D．13

323

7．（2023秋·山东德州·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点吗，AEEF，

则下列结论正确的有（）

1

①BAE30；②CE2ABCF；③CFCD；④ABE∽AEF

4

A．1个B．2个C．3个D．4个

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8．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，在四边形ABCD中，ABBC，对角线AC平分BAD，BAD120，

P为线段AC上一点，PD∥AB，连接BP并延长交CD于E，连接AE．下列结论错误的是（）

A．BED120B．PAPCPBPE

C．△BPC△DEPD．ABEDCA

y2xy

9．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）若，则__________．

x7x

10．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB6，BC8，点E在边AD上，CE与

BD相交于点F．若AE2，则BF的长的________．

11．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，数学实践课上，老师布置任务如下：让小明AB站在B点

处去观测10m外的位于D点处的一棵大树CD，所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（点B，

P，D在同一条直线上）．已知小明眼睛距地面1.6m，大树高6.4m，当小明与平面镜相距______m时，恰好

能从平面镜里观测到大树的顶端．

12．（2023·广东河源·校联考一模）如图，ABC与△AED都是等腰三角形，ABCAED120，点P

为AC边上一点，且PAm，PB与BA所夹锐角为PBA，点E为PB上一动点，求点E自点B运动至

点P时，点D所经过的路径长_____．（用含β与m的式子表示）

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13．（2022秋·山西大同·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，ACB90，D是AB的中点，连接CD，

4

过点B作CD