专题13 三角形（6大考点）（解析版）

第四部分三角形

专题13三角形（6大考点）

核心考点一三角形及边角关系

核心考点二三角形中的重要线段

核心考点三等腰三角形

核心考点

核心考点四等边三角形

核心考点五直角三角形

核心考点六等腰直角三角形

新题速递

核心考点一三角形及边角关系

例1（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中

ACB90，ABC60，EFD90，DEF45，AB//DE，则AFD的度数是（）

A．15B．30C．45D．60

【答案】A

【分析】设AB与EF交于点M，根据AB//DE，得到AMFE45，再根据三角形的内角和定理求出

结果．

【详解】解：设AB与EF交于点M，

∵AB//DE，

∴AMFE45，

∵ACB90，ABC60，

∴A30，

∴AFM1803045105,

第1页共95页.

∵EFD90,

∴AFD=15，

故选：A．

．

【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的关键．

例2（2021·黑龙江大庆·统考中考真题）三个数3，1a,12a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数

为边长能构成三角形，则a的取值范围为______

【答案】3a2

【分析】根据三个数在数轴上的位置得到31a12a，再根据三角形的三边关系得到1a312a，

求解不等式组即可．

【详解】解：∵3，1a,12a在数轴上从左到右依次排列，

∴31a12a，解得a2，

∵这三个数为边长能构成三角形，

∴1a312a，解得a3，

综上所述，a的取值范围为3a2，

故答案为：3a2．

【点睛】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键．

例3（2022·北京·统考中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，

完成证明．

三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，

已知：如图，ABC,

第2页共95页.

求证：ABC180.

方法一

方法二

证明：如图，过点A作DE//BC.

证明：如图，过点C作CD//AB.

【答案】答案见解析

【分析】方法一：依据平行线的性质，即可得到BBAD，CEAC，从而可求证三角形的内角和

为180．

方法二：由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，从而可求证三角形的内角和为180．

【详解】证明：

方法一：过点A作DE//BC，

则BBAD，CEAC．(两直线平行，内错角相等）

∵点D，A，E在同一条直线上，

∴DABBACC180．（平角的定义）

BBACC180．

即三角形的内角和为180．

方法二：

如图，过点C作CD//AB.

第3页共95页.

∵CD//AB，

∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，

∴∠B+∠ACB+∠A=180°．

即三角形的内角和为180．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关

键．

三角形是初中阶段几何图形学习的基础，也是中考必考内容之一；三角形及边角关系内容比较简单，

中考中一般会出在选择题、填空题，解答题偶有出现，注意以下最基本的三角形边角关系：

1.两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

2.2.三角形的内角和为180°；

3.3.三角形外角和为360°；

【变式1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在ABC中，A60,ABC80，BD是ABC的高线，BE

是ABC的角平分线，则DBE的度数是（）

A．10B．12C．15D．18

【答案】A

【分析】利用角平分线的定义可求出ABE的度数，在△ABD中，利用三角形内角和定理可求出ABD的

度数，再结合DBEABEABD，即可求出DBE的度数．

【详解】解：

∵BE是ABC的角平分线，

第4页共95页.

11

∴ABECBEABC8040．

22

∵BD是ABC的高，

∴ADB90．

在△ABD中，ADB90,A60，

∴ABD180ADBA180906030，

∴DBEABEABD403010，

∴DBE的度数为10

故选A．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是180是解题的关键．

【变式2】（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在Rt△ABC中，ACB90，将ABC绕顶点C顺时针

旋转得到△ABC，D是AB的中点，连接BD，若BC2，ABC60，则线段BD的最大值为（）

A．3B．23C．3D．4

【答案】D

【分析】连接CD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知CD2，在△BCD中，利用三角形三边关

系可得BD的最大值．

【详解】解：如图，连接CD，

在Rt△ABC中，ACB90，BC2，ABC60，则A30，

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∴AB2BC4，

由旋转可知，AB4，

∵D是AB的中点，

1

∴CDAB2，

2

在△BCD中，利用三角形三边关系可得BDBCCD，（当B，C，D三点共线时取等号）

∴BDBCCD4，

∴BD的最大值为4，

故选：D．

【点睛】本题主要考查了含30的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边关系，

旋转的性质等知识，掌握几何最值的求解方法是解题的关键．

【变式3】（2022·广东韶关·校考二模）如图，ABC中，C90，AC10，BC8，线段DE的两个端

点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE6，若点△M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为_________．

【答案】413

11

【分析】根据三角形斜边中线的性质求得CNAB41，CMDE3，由当C、M、N在同一直线上时，

22

MN取最小值，即可求得MN的最小值．

【详解】解：如图，连接CM、CN，

ABC中，C90，AC10，BC8，

∴ABAC2BC2241．

∵DE6，点M，N分别是DE，AB的中点，

第6页共95页.

11

∴CNAB41，CMDE3．

22

当C，M，N三点在同一条直线上时，MN取最小值，

∴MN的最小值为413

故答案为：413

【点睛】本题考查了三角形三边关系，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确C、M、N在

同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．

【变式4】（2023·广东佛山·校考一模）如图，在四边形ABCD中，ABCADC90，E为对角线AC的

中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD52，则EBD_____°．

【答案】38

【分析】证明EAEBECDE，可得∠DAE∠EDA，BAEEBA，可得

DEB2DAEBAE104，再利用等腰三角形的性质可得答案．

【详解】解：∵ABCADC90，

∴EAEBECDE，

∴∠DAE∠EDA，BAEEBA，

在△AED中，DECDAEADE2DAE，

同理可得到：BEC2BAE，

∴DEBDECBEC2DAEBAE252104，

1

在等腰三角形BED中，EDB18010438；

2

故答案是：38．

【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练

的求解DEBDECBEC104是解本题的关键．

【变式5】（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在ABC和VADE中，ABAC，ADAE，且BACDAE，

且B，D，E在同一直线上，连接EC．

第7页共95页.

(1)求证：BDEC．

(2)若ACB55，求BEC的度数．

【答案】(1)见解析

(2)70

【分析】(1)利用SAS，即可证得△ABD≌△ACE，即可证得结论；

(2)利用(1)中的结论可得ADBAEC，则BACDAE70；在等腰VADE中可得

ADEAED55，则ADB125，再由BECAECAED，即可求解．

【详解】（1）证明：BACDAE，

BACDACDAEDAC，

即BADCAE．

在△ABD和△ACE中，

ABAC

BADCAE，

ADAE

△ABD≌△ACESAS．

BDCE．

（2）解：由(1)知：△ABD≌△ACE，

ADBAEC．

ABAC，

ABCACB55，

BAC1802ABC18011070，

DAEBAC70．

ADAE，

ADEAED55，

第8页共95页.

ADB180ADE18055125．

AEC125．

BECAECAED1255570．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．利用全等

三角形的对应角相等是解题的关键．

核心考点二三角形中的重要线段

例1（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在ABC中，AC22，ACB120，D是边AB的中点，

E是边BC上一点，若DE平分ABC的周长，则DE的长为（）

521

A．B．C．2D．3

22

【答案】C

【分析】延长BC至F，使得CFCA，连接AF，构造等边三角形，根据题意可得DE是△AFB的中位线，

即可求解．

【详解】解：如图，延长BC至F，使得CFCA，连接AF，

ACB120，

FCA60,

又CFCA，

AFC是等边三角形，

AFAC22，

D是边AB的中点，E是边BC上一点，DE平分ABC的周长，

ACCEADBEBD，ADBD，

第9页共95页.

ACCEBE，

ACCF，

CFCEBE，

即EFEB，

ED是△ABF的中位线，

1

EDFA2．

2

故选C．

【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与判定，等边三角形的性质，三角形中线的定义，构造等边三角

形是解题的关键．

例2（2021·辽宁阜新·统考中考真题）如图，直线AB//CD，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直

线CD上，EG平分CEF，则1的度数为_________°．

【答案】60

【分析】根据角平分线的定义可求出CEG的度数，即可得到CEF的度数，再利用平行线的性质即可解

决问题．

【详解】一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，

FEG30，

EG平分CEF，

CEGFEG30，

CEFCEGFEG60，

AB//CD，

1CEF60．

故答案为：60．

【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

例3（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．

第10页共95页.

例如：如图①．在ABC和ABC中，AD,AD分别是BC和BC边上的高线，且ADAD，则ABC和

ABC是等高三角形．

【性质探究】

如图①，用SABC，SABC分别表示ABC和ABC的面积．

11

则S△BCAD,S△BCAD，

ABC2ABC2

∵ADAD

∴S△ABC:S△ABCBC:BC．

【性质应用】

(1)如图②，D是ABC的边BC上的一点．若BD3,DC4，则S△ABD:S△ADC__________；

(2)如图③，在ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE:AB1:2，CD:BC1:3，S△ABC1，则

S△BEC__________，S△CDE_________；

(3)如图③，在ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB1:m，CD:BC1:n，SABCa，

则S△CDE__________．

【答案】(1)3:4

11

(2)；

26

a

(3)

mn

【分析】（1）由图可知△ABD和△ADC是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；

（2）根据BE:AB1:2，S△ABC1和等高三角形的性质可求得SBEC，然后根据CD:BC1:3和等高三角形

的性质可求得S△CDE；

第11页共95页.

（3）根据BE:AB1:m，SABCa和等高三角形的性质可求得SBEC，然后根据CD:BC1:n，和等高

三角形的性质可求得S△CDE．

【详解】（1）解：如图，过点A作AE⊥BC，

11

则SBDAE，SVDCAE

ABD2ADC2

∵AE=AE，

∴S△ABD:S△ADCBD:DC3:4．

（2）解：∵BEC和ABC是等高三角形，

∴SBEC:S△ABCBE:AB1:2，

111

∴SS△1；

BEC2ABC22

∵CDE和BEC是等高三角形，

∴S△CDE:SBECCD:BC1:3，

1111

∴SS．

CDE3BEC326

（3）解：∵BEC和ABC是等高三角形，

∴SBEC:S△ABCBE:AB1:m，

11a

∴SS△a；

BECmABCmm

∵CDE和BEC是等高三角形，

∴S△CDE:SBECCD:BC1:n，

11aa

∴SS．

CDEnBECnmmn

【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵

活运用是解题的关键．

第12页共95页.

三角形中的主要线段包括三角形的高线，中线和角平分线。

三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，从顶点到垂足之间的线段叫做这个三角形的高线，简称

三角形的高。

在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做这个三角形的中线。一个三角形共有三条中线，这

三条中线相交于一点，这个点叫三角形的重心。

三角形中一个角的角平分线与这个角的对边相交，得到顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

【变式1】（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，在ABC中，小美同学按以下步骤作图：①以点C为圆

1

心，以BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD；②分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径

2

画弧，两弧交于点E；③作射线CE交BD于点F，连接AF.若ABC的面积为10，则△ACF的面积为（）

A．2.5B．5C．7.5D．8

【答案】B

【分析】证明DFFB，推出SCFDSCFB，SADFSAFB，可得结论．

【详解】解：由作图过程可知，CDCB，且CE平分BCD，

点F是BD的中点，

SCFDSCFB，SADFSAFB，

11

SSSS105．

ACFCDFADF2ABC2

故选：B．

【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，

第13页共95页.

灵活运用所学知识解决问题．

【变式2】（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相

交于点O，ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若BM22，则线段AC的长为()

．．．．

A424B422C426D42

【答案】A

【分析】过点M做MGAC于G，利用角平分线的性质定理，得MG22，然后再利用△ACM的面积

公式求解正方形的边长，从而得解．

【详解】解：设正方形的边长为x，则AC2x，

过点M做MGAC于G，如图所示，

CM平分ACB，ABC90，BM22，

MBMG22，

AMx22，

11

SAMBCACMG，

AMC22

11

(x22)x2x22，

22

x422，

2x424，

AC424；

故选：A．

【点睛】此题考查了正方形的性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握正方形的性质与角平分线的性

第14页共95页.

质定理是解答此题的关键．

【变式3】（2022·江西九江·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB2，AD4，点E在△ABD边上运

动，设线段CE的长度为m，则m的取值范围是______．

45

【答案】„m„25

5

【分析】根据矩形的性质，结合勾股定理先求出AC、BD的长，当点E运动到点A时，CE的长度最长，当

点E在BD上运动，且CE⊥BD时，CE最小，分别求出此时CE的长，即可求出m的取值范围．

【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴CD=AB=2，BC=AD=4，ABCACBADCBAD90，

ACBD224225，

当点E运动到点A时，CE的长度最长，此时CEAC25，

即m的最大值为25；

当点E在BD上运动，且CE⊥BD时，CE最小，

11

∵SBCCDBDCE，

BCD22

BCCD4245

∴CE，

BD255

45

即m的最小值为，

5

45

综上分析可知，m的取值范围是m25．

5

45

故答案为：m25．

5

第15页共95页.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，根据题意找出CE取最大值和最小值

时，点E所处的位置，是解题的关键．

【变式4】（2022·内蒙古包头·包钢第三中学校考三模）在Rt△ABC中，BAC90，D是BC的中点，E

是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，若AB8，四边形ADBF的面积为40．则

AC______．

【答案】10

【分析】由E是AD的中点及AF∥BC，可证明△ADE≌△DCE，则可得AF=CD，再由D是BC的中点，

可得四边形ADBF是平行四边形，则可得△ABF与△ABD的面积相等，再由三角形中线平分三角形面积，

易得△ABC面积等于四边形ADBF的面积，则由三角形面积公式即可求得AC的长．

【详解】∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵AF∥BC，

∴∠FAE=∠CDE

∵∠AEF=∠DEC，

∴△ADE≌△DCE(ASA)，

∴AF=CD．

∵D是BC的中点，

∴AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，

1

∴BD=CD=AD，SS，

ABD2ABC

∴AF=BD，

∵AF∥BC，

第16页共95页.

∴四边形ADBF是平行四边形，

∴AD=BF，

∵AB=AB，AF=BD，

∴△ABF≌△ABD(SSS)，

1

∴S△S△=S四边形20．

ABFABD2ADBF

∴S△ABC2S△ABD40，

1

即ABAC40，

2

1

∴8AC40，

2

∴AC=10．

故答案为：10．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质

等知识，判定四边形ADBF是平行四边形，进而得到它的面积等于△ABC的面积是解题的关键．

【变式5】（2022·浙江杭州·翠苑中学校考二模）在图1，图2，图3中，AF，BE是ABC的中线，AF⊥BE，

垂足为P．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．

(1)①如图1，当ABE=45，c22时，a，b．

②如图2，当ABE30，c8时，a，b．

(2)观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明．

【答案】(1)①25，25；②413；47

(2)a2b2＝5c2，见解析

【分析】（1）先判断ABP是等腰直角三角形，再得到△EFP也是等腰直角三角形，最后计算即可；

第17页共95页.

（2）先设APm，BPn，表示出线段PE，PF，最后利用勾股定理即可．

【详解】（1）

①如图1，连接EF，则EF是ABC的中位线，

ABE＝45，AEEF，

ABP是等腰直角三角形，

EF∥AB,

EFP也是等腰直角三角形，

APBP2，EPFP1，

AEBF5，

aBC2BF25，bAC2AE25；

故答案为：25，25；

②如图2，

连接EF，则EF是ABC的中位线．

ABE30，AEBF，AB8，

AP4，BP3，AP43，

第18页共95页.

1

PFEF2,PE323，

2

AE27,BF213，

BCa2BF413,bAC2AE47；

故答案为：413，47．

（2）a2b25c2，理由如下：

如图3，连接EF，则EF是ABC的中位线．

1

∴EF∥AB,EFAB，

2

∴ABP∽FEP，

APBP

∴2，

FPEP

设APm，BPn，

则c2AB2m2n2，

1111

PEBPn,PFAPm，

2222

11

AE2AP2PE2m2n2，BF2＝PF2BP2m2n2，

44

b2＝AC2＝4AE2＝4m2n2，a2＝BC2＝4BF2＝4n2m2，

a2b2＝5m2n2＝5c2．

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定

理等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解本题的关键．

核心考点三等腰三角形

第19页共95页.

例1（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，已知ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将ABC绕A

点逆时针旋转50°得到AB′C′，以下结论：①BC＝B△′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝△∠ACC′，

正确的有（）△

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

【答案】B

【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角

的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．

【详解】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到AB′C′，

∴BC＝B′C′．故①正确；△

②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，

∴∠BAB′＝50°．

∵∠CAB＝20°，

∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．

∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，

∴∠AB′C′＝∠B′AC．

∴AC∥C′B′．故②正确；

③在BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，

1

∴∠A△B′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．

2

∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．

∴CB′与BB′不垂直．故③不正确；

④在ACC′中，

AC＝△AC′，∠CAC′＝50°，

1

∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．

2

∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．

第20页共95页.

∴①②④这三个结论正确．

故选：B．

【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查

了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

例2（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在RtABC中，ACB90，ACBC3，D为AB边上一点，

且BDBC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E（异于点C），连接DE，则BE

的长为___________．

【答案】323##332

【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据题意得出DCDE，根据等腰三角形性质得出CFEF，根据

BFBD

ACB90，ACBC3，得出AB32，设CFx，则BF=3-x，证明DF∥AC，得出，

CFAD

列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可得出BE323．

【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示：

根据作图可知，DCDE，

∵DF⊥BC，

∴CFEF，

∵ACB90，ACBC3，

∴ABAC2BC2323232，

∵BDBC3，

∴AD323，

设CFx，则BF=3-x，

第21页共95页.

∵ACB90，

∴ACBC，

∵DFBC，

∴DF∥AC，

BFBD

∴，

CFAD

3x3

即，

x323

632

解得：x，

2

632

∴CE2x2632，

2

∴BE3CE3632323．

故答案为：323．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，

作出辅助线，根据题意求出CF的长，是解题的关键．

例3（2022·山东日照·统考中考真题）如图1，ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分

别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩△形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．

(1)判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；

(2)①当a=b时，求∠ECF的度数；

②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．

【答案】(1)直角三角形，理由见解析

(2)①45°；②成立，理由见解析

【分析】（1）分别表示出AE，BF及EF，计算出AE2+BF2及EF2，从而得出结论；

（2）①连接PC，可推出PC⊥AB，可推出AE=PE=PF=BF，从而得出ME=EG=GF=NF，进而得出CE平分

第22页共95页.

∠PCF，CF平分∠BCP，从而得出结果；

②将BCF逆时针旋转90°至ACD，连接DE，可推出DE=EF，进而推出DCF≌△FCE，进一步得出结

果．△△△

（1）解：线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b，∴AE=2AM=2

(4−a)，BE=2(4−b)，∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32），2AC=42，∴EF=AB-AE-BF=2

[4-（4-a）-（4-b）]，∵ab=8，EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32），∴AE2+BF2=EF2，

∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；

（2）解：①如图1，连接PC交EF于G，∵a=b，∴ME=AM=BN=NF，∵四边

形CNPM是矩形，∴矩形CNPM是正方形，∴PC平分∠ACB，∴CG⊥AB，∴∠PEG=90°，∵CM=CN=PM=PN，

∴PE=PF，∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2，∴PE=AE=PF=BF，

1

∴ME=EG=FG=FN，∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF，∵∠ACB=90°，∴∠ECG+∠FCG=∠ACB=45°；

2

②如图2，仍然成立，理由如下：将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，

∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF，∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°，∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2，∵EF2=BF2+AE2，

11

∴DE=EF，∵CD=CF，CE=CE，∴△DCF≌△FCE（SSS），∴∠ECF=∠DCF=∠DCF=×90°=45°．

22

【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，正方形判定和性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和

性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．

第23页共95页.

知识点：等腰三角形的性质

1、等腰三角形

（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫

做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

（2）性质

①两腰相等

②两底角相等（简称等边对等角）

③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）

④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。

证明题目中的写法：

①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD

②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD

（3）等腰三角形的构造

（1）“角平分线+平行线”构造等腰三角形

①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形

②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形

（2）“角平分线+垂线”构造等腰三角形

如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形

（3）“角平分线+中线”构造等腰三角形

如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形

（4）“中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示

第24页共95页.

(5)“平行+等腰”构造等腰三角形

已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线

知识点：等腰三角形的判定

等腰三角形的判定

①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”）

总结：

第25页共95页.

【变式1】（2022·江苏南京·南京大学附属中学校考模拟预测）如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的

中垂线，直线m为ABC的角平分线，l与m相交于P点．若A60，ÐACP=24°，则ABP的度数是

（）

A．24B．30C．32D．36

【答案】C

【分析】根据角平分线定义求出ABPCBP，根据线段的垂直平分线性质得出BPCP，求出

CBPBCP，根据三角形内角和定理得出方程3ABP2460180，求出方程的解即可．

【详解】解：BP平分ABC，

ABPCBP，

直线l是线段BC的垂直平分线，

BPCP，

CBPBCP，

ABPCBPBCP，

AACBABC180，A60，ACP24，

3ABP2460180，

解得：ABP32，故C正确．

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，能

求出ABPCBPBCP是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．

【变式2】（2022·四川乐山·统考二模）如图，在Rt△ABC中，BC2，BAC30，斜边AB的两个端

点分别在相互垂直的射线OM和ON上滑动，给定下列命题，其中正确命题的序号是（）．

第26页共95页.

①若C、O两点关于AB对称，则OA23；

②C、O两点距离的最大值为4；

③若AB平分CO，则ABCO；

3

④斜边AB的中点D运动路径的长为．

2

A．①③④B．②③④C．①④D．①②

【答案】D

【分析】①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AB和AC，由对称的性质可知：AB是OC的垂

直平分线，所以OAAC；②由OCOECE4，当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点

距离的最大值为4；③如图2，当ABO30时，易证四边形OACB是矩形，此时AB与OC互相平分，但

所夹锐角为60°，明显不垂直，④如图3，半径为2，圆心角为90°的扇形的圆弧是点D的运动路径，根据

弧长公式进行计算即可．

【详解】在Rt△ABC中，BC2，BAC30，

∴AB4，AC422223．

①若C、O两点关于AB对称，如图1，

∴AB是OC的垂直平分线，则OAAC23；

所以①正确；

②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，

∵AOBACB90，

1

∴OECEAB2．

2

∵OCOECE4，

∴当OC经过点E时，OC最大，且C、O两点距离的最大值为4；

所以②正确；

③如图2，当ABO30时，OBCAOBACB90，

第27页共95页.

∴四边形OACB是矩形，

∴AB与OC互相平分，但AB与OC的夹锐角为60°，不垂直；

所以③不正确；

1

④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，

4

902

则其弧长为：．

180

所以④不正确；

综上所述，本题正确的有：①②；

故选：D．

【点睛】本题是三角形的综合题，考查了含30°角直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三

角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角

形斜边中线等于斜边一半是本题的关键，确定点D的运动路径是本题的难点．

【变式3】（2023·山东济南·山东大学附属中学校考一模）如图，点E是正方形ABCD边BC的中点，AD2，

连接AE，将ABE沿AE翻折，得到△AFE，延长EF，交AD的延长线于点M，交CD于点N．则MN的

长度为______．

5

【答案】

6

第28页共95页.

15

【分析】连接AN，过点M作MHAE于点H，求出AEAB2BE25，得出AHEHAE，

22

5

证明AHM∽EBA，求出AM，再证明DNM∽CNE，求出结果即可．

2

【详解】解：连接AN，过点M作MHAE于点H，如图所示：

∵四边形ABCD为正方形，

∴ABBCCDAD2，BCADCBAD90，

AD∥BC，

∵E是BC的中点，

∴BECE1，

根据折叠可知，AFAB2，EFBE1，AFEB90，AEFAEB，

∴AEAB2BE25，

∵AD∥BC，

∴EAMAEB，

∴AEFEAM，

∴AMEM，

∵MHAE，

15

∴AHEHAE，

22

∵AHMB90，EAMAEB，

∴AHM∽EBA，

AMAH

∴，

AEBE

5

即AM，

2

51

第29页共95页.

5

解得：AM，

2

15

∴DMAMAD，MEAM，

22

∵MDNC90，DNMCNE，

∴DNM∽CNE，

DMMN

∴，

ECEN

1

MN

即2，

5

1MN

2

5

解得：MN．

6

5

故答案为：．

6

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，

AMAH5

折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明，求出AM．

AEBE2

【变式4】（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）如图，▱ABCD中，ABAD，点E是AB上一点，

连接CE、DE，且BCCE，若BCE40，则ADE______．

【答案】15##15度

1

【分析】首先证明四边形ABCD是菱形，然后根据等腰三角形的性质可得CEBB1804070，

2

利用三角形内角和定理即可解决问题．

【详解】解：在▱ABCD中，

ABAD，

四边形ABCD是菱形，

ABADBCCD，AB//CD，

BCCE，

第30页共95页.

CDCE，

CEDCDE，

BCE40，

1

CEBB1804070，

2

ADCB70，

ECDBEC70，

1

CDECED1807055，

2

ADE705515．

故答案为：15．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握

菱形的判定与性质．

【变式5】（2023·陕西西安·统考一模）如图，在YABCD中，BAD，ADC的平分线AF，DE分别与线

段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．

(1)求证：AFDE，BFCE．

(2)若AD10，AB6，AF8，求DE的长度．

【答案】(1)见解析

(2)45

【分析】（1）先根据平行线的性质得到BADADC180，再由角平分线的定义证明

11

DAFADEBADADC90，得到AGD90，即可证明AFDE；再根据平行线的性质和

22

角平分线的定义证明BAFAFB，得到ABBF，同理可得CDCE，则BFCE；

（2）过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，证明四边形AFCK是平行四边形，KID90，得到

第31页共95页.

AFCK8，再证明DKIDCI，得到DKDC6，则KICI4，同理证明CECD，得到EIDI，

求出DI25，则DE2DI45．

【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD中，ABDC，

∴BADADC180．

∵AE，DF分别是BAD，ADC的平分线，

11

∴DAFBAFBAD，ADECDEADC．

22

1