专题11 二次函数与图形几何综合（6大考点）（原卷版）

第三部分函数

专题11二次函数与图形几何综合（6大考点）

核心考点一线段问题

核心考点二面积问题

核心考点三角度问题

核心考点

核心考点四特殊三角形判定问题

核心考点五特殊四边形判定问题

核心考点六相似三角形判定问题

新题速递

核心考点一线段问题

例1（2020·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0,2，点B的坐标为

31

4,2．若抛物线y(xh)2k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CDAB，则k的值

22

为_________．

1

例2（2020·山东滨州·中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B(0,)，点F(2，1)

2

为其对称轴上的一个定点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离

为d，求证：PF＝d；

（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长

的最小值及点Q的坐标．△

第1页共24页.

1.确定线段长关系式（根据已知线段关系求点坐标）：

①先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；

②再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；

③继而表示出线段的长度（如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标

轴不平行的话，先转化为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似确

定）．

2.线段数量关系问题：

根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程求解即可（注意排

除不符合题意的数值）．

3.线段最值问题：

求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，首先联想到“对称性质”，最常见的有

以下模型：

（1）定直线与两定点

①同侧和最小值问题

②同侧差最小值问题

③同侧差最大值问题

④异侧差最大值问题

（2）角与定点

第2页共24页.

①一定点与两条直线上两动点问题

②两定点与两条直线上两动点问题

【变式1】（2020·贵州遵义·统考二模）如图，二次函数图象经过A2，0，O0，0且有最小值1，若A点关

于y轴的对称点为B点，过B作y轴平行线交抛物线于点C，在Rt△ABC的斜边AC上有一动点D，过D

作DEBC于E，DFAB于F，则EF的最小值为（）

8

A．5B．5C．25D．45

5

2

【变式2】（2021·浙江湖州·模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝a1x（a1≠0）

2

与抛物线C2：y＝a2x+bx（a2≠0）的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与物线C1，C2分别交于

PM2a1

点M，N．若＝，则的值是（）

PNna2

21

A．B．n﹣1C．nD．

nn1

【变式3】（2022·山东聊城·统考二模）平面直角坐标系中，将抛物线yx2平移得到抛物线C，如图所示，

且抛物线C经过点A1,0和B0,3，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足

第3页共24页.

为Q，则OQPQ的最大值为______．

【变式4】（2021·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AE为∠BAD

的角平分线，F为AE上一动点，M为DF的中点，连接BM，则BM的最小值是_____．

核心考点二面积问题

例1（2021·山东淄博·统考中考真题）已知二次函数y2x28x6的图象交x轴于A,B两点．若其图象

上有且只有三点满足SSSm，则m的值是（）

P1,P2,P3ABP1ABP2ABP3

3

A．1B．C．2D．4

2

例2（2021·浙江·统考中考真题）已知抛物线yax2bxc(a0)与x轴的交点为A(1,0)和B3,0，点

△

P1x1,y1，P2x2,y2是抛物线上不同于A,B的两个点，记P1AB的面积为S1,P2AB的面积为S2．有下列结

论：①当x1x22时，S1S2；②当x12x2时，S1S2；③当x12x221时，S1S2；④当

x12x221时，S1S2．其中正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

第4页共24页.

中考数学，最后的三道压轴题，一般都会有一题考察二次函数动点。本文只是针对常考的二次函数面积问

题进行解析，其它类型在以后的文章中陆续上传。解决二次函数动点面积问题，常用的方法有三种。

1、铅垂高法：一般用来求图形中三角形的面积；

2、平行法：平行法最关键的知识点，是平行线之间高的问题，一般这种情况都是平移高到与坐标轴交点处，

最后用相似求值。

3、矩形覆盖法：这是最容易想到的方法，但也是计算最麻烦的方法。利用面积的大减小去解决，一般不太

建议使用这种方法，庞大的计算量很容易出错。

【变式1】（2022·陕西西安·校联考二模）已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣2a﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交

负半轴于点C，△ABC的面积为15，则该抛物线的对称轴为（）

711

A．直线x＝2B．直线x＝﹣C．直线x＝D．直线x＝

232

【变式2】（2022·江苏常州·校考一模）抛物线y=x2上有三个点A、B、C，其横坐标分别为m、m1、m3，

则ABC的面积为（）

A．1B．2C．3D．4

【变式3】（2022·吉林长春·校考二模）已知抛物线y=x22x3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）

与y轴交于点C，点D(6,y)在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE十DE的值最小时，△ACE

的面积为是____

【变式4】（2022·辽宁·统考二模）如图，在ABC中，BC8，ABC的面积是24，在ABC中截出一个矩

形DEFG，其中E，F在BC边上，D，G分别在边AB，AC上．设DGx，那么，当x__________时，

矩形DEFG的面积最大．

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核心考点三角度问题

例1（2020·黑龙江·统考中考真题）如图，已知二次函数yx2bxc的图象经过点A1,0，B3,0，

与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点P，使PABABC，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．

22

例2（2021·江苏连云港·统考中考真题）如图，抛物线ymxm3x(6m9)与x轴交于点A、B，

与y轴交于点C，已知B(3,0)．

（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；

（2）P为抛物线上一点，若S△PBCS△ABC，请直接写出点P的坐标；

（3）Q为抛物线上一点，若ACQ45，求点Q的坐标．

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题型归纳：

1、角度相等问题

通过平行线，等腰等角，轴对称、相似求解！

2、45°角问题

通过等腰直角三角形、同弧所对圆周角等于90°圆心角的一半、平分直角等解题！

3、二倍角问题

在求二倍角的问题中，先根据等腰三角形和外角定理构造二倍角，再利用三角函数（一般用正切）计算。

128

【变式1】（2022秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如图，抛物线yxx3与x轴交于点A和点B两

33

点，与y轴交于点C，D点为抛物线上第三象限内一动点，当ACD2ABC180时，点D的坐标为（）

16

A．(8,3)B．(7,)C．(6,7)D．(5,8)

3

【变式2】（2021秋·河南·九年级河南省淮滨县第一中学校考期末）如图，抛物线yx22x3与x轴交于A，

B两点，与y轴交于点C．若E为射线CA上一点，F(m,n)为抛物线上一点，E、A是位于直线BF同侧的不

同两点，若SEFB2|n|，连接AF，FAEAEB，则点E的坐标为__________．

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【变式3】（2021秋·河南·九年级河南省淮滨县第一中学校考期末）如图，抛物线yx22x3与x轴交于A，

B两点，与y轴交于点C．若E为射线CA上一点，F(m,n)为抛物线上一点，E、A是位于直线BF同侧的不

同两点，若SEFB2|n|，连接AF，FAEAEB，则点E的坐标为__________．

1

【变式4】（2022·吉林·吉林省实验校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x3)2-1的顶点为

4

A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C．若AB=AC，BAC=90°，则m=______．

∠

核心考点四特殊三角形判定问题

例1（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，抛物线yx26x5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，

点Dm，m1是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为_________．

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例2（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2xm（a≠0）的图象

与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．

(1)求此抛物线的函数解析式．

(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？

若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．

1、二次函数中的等腰三角形存在性问题

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．因此，解等腰三角形的存

在性问题时，通常要进行分类讨论。

2、二次函数中的直角三角形存在性问题

如果△ABC是直角三角形，那么存在①∠A为直角，②∠B为直角，③∠C为直角三种情况．因此，解直角

三角形的存在性问题时，通常要进行分类讨论。这类问题有几何法和代数法两种方法，我们要根据具体情

况灵活选择简便的方法。

3、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题

在解决等腰直角三角形存在性问题时，往往要用到几何和代数相结合的方法，设出点的坐标后，利用等腰

直角三角形的几何性质及函数关系式列方程求解，

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【变式1】（2022秋·浙江温州·九年级温州绣山中学校考期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交

于点G，正方形CDEF的边CD在x轴上，E，F在抛物线上，连结GA，GB，ABG是正三角形，AB2，

则阴影部分的面积为（）

123

A．3B．33C．2D．2

223

【变式2】（2022春·黑龙江大庆·九年级校考期中）如图所示，已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交

于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c>3b；

2

③当ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当BCD是直角三角形时，a＝．其中正确的个数（）

2

△△

A．0个B．1个C．2个D．3个

123

【变式3】（2022秋·江苏盐城·九年级统考阶段练习）如图，抛物线yxx4与坐标轴交于点A、B、

42

C，点M在直线BC下方的抛物线上运动，当ABCMCB时，点M的坐标为____．

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【变式4】（2022·江苏泰州·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴交于A、

B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．点P为抛物线

对称轴上一点．以BP为边在BP的下方作等边三角形VBPQ，则当点P从点D运动到点E的过程中，点Q

经过路径的长度为______．

核心考点五特殊四边形判定问题

例1（2021·广西来宾·统考中考真题）如图，已知点A(3,0)，B(1,0)，两点C(3,9)，D(2,4)在抛物线y=x2

上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C，D¢，当四边形ABCD的周长最小时，抛物线

的解析式为__________．

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例2（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，二次函数yax2bxc的图象与x轴交于O（O为坐标原

点），A两点，且二次函数的最小值为1，点M(1,m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0,1)．

(1)求二次函数的表达式；

(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，PAB的面积为S，求S

与t的函数关系式；

(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写

出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．

本考点主要考查平行四边形、矩形、菱形与二次函数的综合，主要考查平行四边形、矩形、、菱形的性质与

判定，把握对边相等和对角线互相平分是解决本题的关键；

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【变式1】（2022秋·福建南平·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线yx22x2

上运动．过点A作ACx轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值（）

A．0.5B．1C．1.5D．2

【变式2】（2022·四川眉山·校考一模）如图，矩形OABC，点A的坐标为2,0，AB＝1．若抛物线y2x2c

与矩形OABC的边界总有两个公共点，则实数c的取值范围是（）．

A．c＞8或c＜－1B．－1＜c＜8C．c＞1或c＜－8D．－8＜c＜1

【变式3】（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期中）如图所示，四边形ABCD的两条对角线AC，BD相互垂

直，AC+BD=10，则四边形ABCD的最大面积是___________．

【变式4】（2022秋·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的

边BC与x轴重合，顶点A、D在抛物线y4x2c上．若抛物线的顶点到x轴的距离比BC长4，则c的值

为_______．

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核心考点六相似三角形判定问题

例1（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于

点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说

明理由；

(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上

是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，

请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．

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例2（2022·辽宁·统考中考真题）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经

过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，BAF的面积记为S1，PAC的面积记为S2，

3△△

当S2＝S1时．求点P的横坐标；

8

(3)如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与CDF相似时（AE

与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．△

根据相似三角形的判定方法，结合二次函数的图象与性质是解决本题的关键；

2

【变式1】（2021春·九年级课时练习）抛物线yax3axba0，设该抛物线与x轴的交点为A5,0和

B，与y轴的交点为C，若ACO∽CBO，则tanCAB的值为（）

331014

A．B．C．D．

3257

第15页共24页.

2

【变式2】（2021春·九年级课时练习）如图，已知二次函数ymx4mx3m(m0的图像与x轴交于A、

B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，若CA平分OCB，则m的值为(）

23

A．3B．2C．D．

23

15

【变式3】（2022秋·浙江宁波·九年级校考期末）已知过点B3,1的抛物线yx2xc与坐标轴交于

22

点A、C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作AMMP交

y轴于点P，当点P在点A上方，且AMP与ABC相似时，点M的坐标为______．

【变式4】（2022·福建泉州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，AB4，点E、F分别是边AB、AD上

的动点（不与正方形ABCD的端点重合），连接EF、BD，现给出以下结论：

①若BCEDCF，则EF∥BD；

②若ECF45，则EFC可能为直角；

11

③若AFBEBC，则CE平分BCF；

24

④若EFEC，则AF的最大值为1.5．

其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）

第16页共24页.

【新题速递】

1

1．（2020秋·九年级统考期末）抛物线是由yx2平移得到，它经过原点O，且交x轴正半轴于点D，A

4

为OD上一点，C为抛物线上一点，以OA，OC为边构造OABC，点B6,n恰好落在抛物线上，连接CD

交AB于点E，若CEDE，则n等于（）

A．22B．3C．6D．9

2

2．（2022秋·湖北孝感·九年级汉川市实验中学校考阶段练习）如图，抛物线L1:yabxc(a0)与x轴

只有一个公共点A(2,0)，与y轴交于点B(0,4)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛

物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（）

A．4B．2C．6D．8

3．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在ABC中，ACB90，BC边在x轴上，A(1,4),B(7,0)．点P

是AB边上一点，过点P分别作PEAC于点E，PDBC于点D，当四边形CDPE的面积最大时，点P

的坐标为（）

35

A．4,B．2,C．(2,3)D．(3,2)

22

1

4．（2023秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，抛物线yx22xc与x轴交于点A，B两点，与y轴负

2

半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是AB,BM的中点，若DEB与ACD的面积比为9∶10，则c

的值为（）

第17页共24页.

35

A．B．2C．D．3

22

5．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交

于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP

的面积最大，则点P的坐标为（）

353333

A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，1）D．（，3）

222222

1

6．（2023春·九年级单元测试）如图，抛物线ya(x2)23与y(x3)21交于点A(1,3)，过点A作x

122

轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数．②a1．③

当x0时，y2y14．④2AB3AC．其中正确结论是（）

A．①②B．①④C．③④D．①③

7．（2022秋·九年级单元测试）如图，抛物线yx22x3与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y

轴交于点C，P是ABC的外接圆．点D在抛物线的对称轴上，且BDC=90，则点D的坐标是________．

第18页共24页.

8．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，点P是抛物线yx22x2在第一象限上的点，过点P分

别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为______．

22

9．（2022秋·河南安阳·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线y1x4x2与抛物线y2x2x的图象

PM

相交于点P，过P作x轴的平行线分别交y1，y2于点M、N，则的值是_____．

PN

1

10．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）如图，点P抛物线yx2x4上一点，且点P位于直线BC

2

的上方，D为对称轴与直线BC的交点，连接PC，PD，过点P作PNx轴，交BC于点M，则PCD的面

积的最大值为________．

第19页共24页.

22

11．（2022秋·湖北黄冈·九年级校考期中）二次函数yx的图像如图，点A位于坐标原点，点A，A2，A，…，

3013

An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在二次函数位于第一象限的图像上，点C1，C2，C3，…，

Cn在二次函数位于第二象限的图像上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形

An1BnAnCn都是菱形，A0B1A1A1B2A2A2B3A3An1BnAn60，菱形An1BnAnCn的周长为______．

12．（2022秋·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，已知二次函数

yx22x3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P

作直线BC的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为

________．

13．（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）如图，二次函数yax2bxc经过点A1,0，B5,0，C0,5，

点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线BC于E．

第20页共24页.

(1)求此二次函数解析式及点D坐标

(2)连接CD，求三角形CDE的面积

(3)当ax2bxc>0时，x的取值范围是___________

14．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，抛物线yx24x5与x轴交于点A和点B，与y轴交

于点C．

(1)求出A、B、C三点的坐标；

(2)将抛物线yx24x5图像x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图像，

得到的新图像记作M，图像M与直线yt恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以

EF为直径作圆，该圆记作图像N