专题04 方程（组）及其应用（8大考点）（原卷版）

第二部分方程（组）与不等式（组）

专题04方程（组）及其应用（8大考点）

核心考点一等式的基本性质

核心考点二一元一次方程的解法及其应用

核心考点三二元一次方程组的解法及其应用

核心考点四分式方程的解法及其应用

核心考点

核心考点五一元二次方程及其解法

核心考点六一元二次方程根的判别式

核心考点七一元二次方程根与系数的关系

核心考点八一元二次方程的实际应用

新题速递

核心考点一等式的基本性质

例1（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（）

A．若acbc，则abB．若a2b2，则ab

ab1

C．若，则abD．若x6，则x2

cc3

41

例2（2021·安徽·中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且bac，则下列结论正确的是（）

55

A．abcB．cbaC．ab4(bc)D．ac5(ab)

例3（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．

例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：

设任意一个实数为x，令xm，

等式两边都乘以x，得x2mx．①

等式两边都减m2，得x2m2mxm2．②

等式两边分别分解因式，得xmxmmxm．③

等式两边都除以xm，得xmm．④

等式两边都减m，得x＝0.⑤

所以任意一个实数都等于0.

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以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．

知识点、等式的基本性质（注意:等式的基本性质是解方程的依据）

基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),所得结果仍是等式.

基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数),所得结果仍是等式.

性质3：如果ab，那么ba（对称性）

性质4：如果ab，bc，那么ac（传递性）

112

【变式1】（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）已知实数a，b，c满足ac2b，．则下列结

acb

论正确的是（）

A．若ab0，则cb0B．若ac1，则b1

C．a，b，c不可能同时相等D．若a2，则b28c

abcabc

【变式2】（2022·安徽芜湖·二模）已知三个实数a，b，c满足abc0,a,c，则下

22

列结论不成立的是（）

A．b0B．c=0C．abD．ab

x2xy

【变式3】（2022·贵州黔西·二模）已知，则______.

y3y

【变式4】（2021·江苏·正衡中学一模）设实数a、b、c满足abc3，a2b2c24，则

a2b2b2c2a2c2

=_______．

2c2a2b

bccaab

【变式5】（2022·江西·石城县教育局教研室二模）已知abc0，且0，求证：

abc

bcbccacaabab

0．

b2c2c2a2a2b2

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核心考点二一元一次方程的解法及其应用

x1x2

例1（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程1的步骤如下：

23

解：方程两边同乘6，得3x112x2①

去括号，得3x312x2②

移项，得3x2x231③

合并同类项，得x4④

以上解题步骤中，开始出错的一步是（）

A．①B．②C．③D．④

例2（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2

元，则该商品的标价为每件______元．

例3（2022·江苏镇江·中考真题）某地交警在一个路口对某个时段来往的车辆的车速进行监测，统计数据

如下表：

车速（km/h）404142434445

频数6815a32

其中车速为40、43（单位：km/h）的车辆数分别占监测的车辆总数的12%、32%．

(1)求出表格中a的值；

(2)如果一辆汽车行驶的车速不超过40km/h的10%，就认定这辆车是安全行驶．若一年内在该时段通过此路

口的车辆有20000辆，试估计其中安全行驶的车辆数．

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知识点一、一元一次方程及其解法

1、一元一次方程:只含有1个未知数(元)，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这

样的方程叫做一元一次方程。任何一个一元一次方程都可

以化成ax+b=0（a，b是常数，且a≠0）的形式。

温馨提示

形如axb0(其中a，b为常数，且a0)的方程为一元一次方程，判断时应抓住以下两点：

(i)原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一个未知数，且未知数的次数为1。

若未知数的系数有分母，则要去分母。注

去分母意要在方程的两边都乘以各分母的最小公

倍数。

若方程含有括号，则先去小括号，再去中

括号，最后去大括号。若去括号时括号前

去括号

是负号，去掉括号后，括号内的各项均

要。

把含有未知数的项移到等式的一边，其他

移项项移到另一边。一般把含的项移到

等式左边。移项要改变符号。

合并同类项把方程化成axb（a0）的形式。

方程两边同未知数的系数，得到方

系数化为1

程的解。

知识点二、一次方程（组）的实际应用

1、列一次方程(组)解应用题的步骤

审：审清题意，分清题中的已知量、未知量，搞清题中的等量关系；

设：设关键未知数；

列：根据题中的等量关系，列方程(组)；

解：解方程(组)；

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验：检验所解答案是否符合题意；

答：规范作答，注意单位名称。

2、常见的关系式

基本关系式:路程=速度×时间.

相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=总路程.

行程问题

追及问题:同地不同时出发:前者走的路程=后者走的路程;同时不同地出发:慢者走的路程+两地间距离=快者走的

路程.

储蓄问题本金×利率×期数=利息,本金+利息=本息和.

利润

销售问题总价=单价×数量,利润率=×100%,利润=售价-成本(或进价)=利润率×成本.

成本

分配问题总量=甲的数量+乙的数量,总金额=甲的金额+乙的金额.

工程问题工作总量=工作效率×工作时间,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.

增长率问

已知基础量为a,增长后为b,若设增长率为x,则可得a(1+x)=b.

题

数字问题十位a，个位b，表示为10a+b；百位a，十位b，个位c，表示为100a+10b+c

【变式1】（2022·湖南·长沙市南雅中学二模）在风凰山教育共同体数学学科节中，为展现数学的魅力，M

老师组织了一个数学沉浸式互动游戏：随机请A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈，每个人心里先

想好一个实数，并把这个数悄悄的告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的

平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那

个数是（）

A．3B．4C．5D．9

【变式2】（2022·浙江金华·二模）一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、B表示的数分别

是－8，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B=4，则C点表示的数是（）

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A．1B．－1C．1或－2D．1或－3

【变式3】（2020·浙江·模拟预测）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以

点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A落在点B的右边，并且AB3，则C点表示的数是______．

【变式4】（2022·北京四中模拟预测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大

利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算

4671，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位

数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相

乘，则k______．

【变式5】（2022·辽宁朝阳·模拟预测）根据小王在两个超市看到的商品促销信息解决下列问题：

甲超市促销信息栏乙超市促销信息栏

不超过300元不优惠；

全场8.5折超过300元而不超过500元，打9折；

超过500元，500元部分优惠10%，超过500元部分打8折．

(1)当一次性购物标价总额是400元时，甲、乙两超市实付款分别是多少？

(2)当一次性购物标价总额是多少时，甲、乙两超市实付款一样？

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核心考点三二元一次方程的解法及其应用

例1（2022·湖北武汉·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——

九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例

如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（）

A．9B．10C．11D．12

1016

例2（2020·甘肃天水·中考真题）已知a2b，3a4b，则ab的值为_________．

33

例3（2022·贵州黔西·中考真题）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B

两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植

费用为300元．

(1)每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？

(2)若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和

90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何

安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．

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知识点一、二元一次方程（组）及其解法

1、二元一次方程（组）定义

定义方程的解解的情况

二元一次含有个未知数，并且所含未使二元一次方程两边的值的两有无数组解

方程知数的项的次数都是1的方程。个未知数的值。

二元一次把具有相同未知数的两个二元一一般地，二元一次方程组的两个方程只有一组公共解

方程组次方程合在一起。的 叫做二元一次方程组的解。

2、二元一次方程（组）的解法（基本思想是“消元”）

（1）代入消元法：将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代

入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。

（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等(或通过适当变形后可

以使同一个未知数的系数相反或相等)时，把这两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未

知数，化二元一次方程组为一元一次方程。

消元法使用技巧（解题时依据方程自身特点，灵活运用消元思想）

一般地，当二元一次方程组中的一个方程的某个未知数的系数是1或-1时，选择代入消元法

较简单。

当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关

系时，选择加减消元法较简单。

注：还可以用整体代入消元或换元法化繁为简，快速解题。

知识点二、三元一次方程组

1.三元一次方程组:一个方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的

次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.

2.解三元一次方程组的基本思路

三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程

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【变式1】（2022·广东·华南师大附中三模）如果|x+y-1|和2（2x+y-3）²互为相反数，那么x,y的值为（）

x1x1x2x2

A．B．C．D．

y2y2y1y1

4x3y6

【变式2】（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于x，y的方程组的解是整数，那么

6xmy26

整数m的值为（）

A．4，4，5，13B．4，4，5，13

C．4，4，5，13D．4，5，5，13

【变式3】（2021·四川成都·三模）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝

3a+b﹣7c，则m的最小值为_________________．

2axby40x1

【变式4】（2022·甘肃庆阳·二模）已知，关于x，y的二元一次方程组的解为，则

axby10y1

2a－b＝______．

【变式5】（2022·河南洛阳·二模）已知实数x，y满足3x2y7①，x3y9②，求2x5y和5x4y的

值．

本题常规的解题思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值．再代入欲求值的代数式得到答案，常

规思路运算量较大．其实，仔细观察两个方程未知数x，y的系数与所求代数式中x，y的系数之间的关系，

本题还可以通过适当的变形整体求得代数式的值．由①②得：2x5y2，由①②2得5x4y25，

这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．

问题解决：

2xy6

(1)已知二元一次方程组，则xy值为，xy的值为．

x2y9

(2)某班组织活动购买奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本

日记本共需58元．则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

(3)对于实数x，y，定义新运算：x*yaxbyc，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法

运算．已知3*515，4*728，则1*1的值为．

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核心考点四分式方程的解法及其应用

mx1

例1（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的方程3无解，则m的值为（）

x1

A．1B．1或3C．1或2D．2或3

11xa

例2（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是

xx1x(x1)

__________．

例3（2020·新疆·中考真题）某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多

10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．

(1)A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？

(2)由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温

杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，

两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？

知识点一、分式方程的相关概念

定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别。

增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为0，这样的根叫

方程的增根。

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知识点二、解分式方程

基本去分母，化分式方程为整式方程。

x3

例：1思路

x1x21

一般①方程两边同时乘以各分式的，化

解：最简公分母：x1x1

步骤为整式方程；

xx1x213

②解整式方程；

x2xx213③检验，把整式方程的解代入最简公分母，

x2看计算结果是否为0，若结果不为0，说明

此解是原分式方程的解；若为0，则为增根，

检验：当x2时，x1x10

原分式方程无解。

所以原分式方程的解为x2

验根方法一：利用方程解的定义，直接代回原方

方法程检验；

方法二：把整式方程的解代入最简公分母，

看计算结果是否为0。

知识点三、分式方程的实际应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤

审：审清题意，分清题中的已知量、未知量，搞清等量关系。

设：设出未知数。

列：根据题中的等量关系，列出分式方程。

解：解分式方程

验：既要检验所得的解是否适合分式方程，又要检验是否符合实际问题。

答：完整作答（包括单位）

2、常见模型及关系式

路程

行程问题基本关系式：=时间

速度

常用关系式：（注意统一单位）

同一路程同一路程同一路程同一路程

=时间差；=时间差

甲的速度乙的速度慢速快速

工作总量

工程问题基本关系式：=工作时间

工作效率

常用关系式：

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工作总量工作总量甲工作总量乙工作总量

=时间差=时间差

原工作效率改进后工作效率甲工作效率乙工作效率

总价

销售问题基本关系式：=数量

单价

总销售金额总销售金额

常用关系式：=数量差

变化后单价原单价

21

【变式1】（2022·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室一模）方程0的解为（）

x12x3

75

A．xB．x=1C．xD．x1

32

xaxa

1

【变式2】（2022·重庆市第三十七中学校二模）若数a既使得关于x的不等式组23无解，又使

x2a6

5ay

得关于y的分式方程1的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为()

y22y

A．4B．3C．2D．5

2m

【变式3】（2022·山东省淄博第六中学模拟预测）关于x的分式方程2有增根，则m的值为

x3x3

______．

1ax1

【变式4】（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程2有解，则a的取值范围是________．

x22x

【变式5】（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功

着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”

模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”

模型多5个．

(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？

(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设

购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．

①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；

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1

②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获

3

得最大利润？最大利润是多少？

核心考点五一元二次方程及其解法

例1（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则

c的值为（）

A．﹣3B．0C．3D．9

例2（2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，

则a＝___．

例3（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．

用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；

（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请

从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．

①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．

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知识点、一元二次方程及其解法

定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的整式方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式（又叫标准形式）

ax2bxc0，其中ax2叫做二次项，a是二次项的系数；bx叫做一次项，b是一次项的系

数；c叫常数项。a，b，c是任意实数，且a0。

一元二次方程的解法

解法适用情况方程的根

2

xmm0x1m，x2m

直接开平方

2

xnpp0

x1np，

ax2bxc0（a0，0）→

配方法x2np

2

xnpp0

公式法ax2bxc0（a0，b24ac0）x

2

因式分解法axbxc0→axmxn0x1m，x2n

对于一元二次方程的四种解法，要结合方程中的具体数据进行选择，一般地，直接开平方法、

因式分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。

73

【变式1】（2021·山东·潍坊市寒亭区教学研究室一模）已知Mt2,Nt2t（t为任意实数），则M,N

55

的大小关系为（）

A．MNB．MNC．M=ND．不能确定

22

【变式2】（2021·山东滨州·三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)+k＝0与a2(x﹣m)+k＝0称为“同

族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1

＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（）

A．2020B．2021C．2023D．2018

【变式3】（2022·广东深圳·模拟预测）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程x=-1

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时，突发奇想：x=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=-1，那么当x2=-1时，有x=±i，从而x=±i

是方程x2=-1的两个根．据此可知：方程x2-4x+5=0的两根为__．(根用i表示)

【变式4】（2022·广西南宁·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此

abc

公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p，则

2

其面积Sppapbpc．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若p3，c2，则此三角形面

积的最大值是_________．

【变式5】（2022·云南昆明·一模）我们可以用以下方法求代数式x26x5的最小值．

2

x26x5x22x332325x34

2

∵x30

2

∴x344

∴当x3时，x26x5有最小值4．

请根据上述方法，解答下列问题：

(1)求代数式x24x2的最小值；

(2)求代数式x26x9的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；

(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式2x210y26xy6x2y11的值都是正数．

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核心考点六一元二次方程根的判别式

例1（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数a，b定义新运算：a※bab2b，若关于x

的方程1※xk有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）

1111

A．kB．kC．k且k0D．k且k0

4444

2

例2（2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且

3

x2x2，则m=__________．

1216

2

例3（2021·湖北荆门·中考真题）已知关于x的一元二次方程x6x2m10有x1，x2两实数根．

（1）若x11，求x2及m的值；

6

（2）是否存在实数m，满足x1x1？若存在，求出求实数m的值；若不存在，请说明理由．

12m5

知识点、一元二次方程根的判别式

0方程实数根

一元二次方程ax2bxc0

0方程实数根

（a0）的判别式=b24ac

0方程实数根

易错点：因忽视一元二次方程二次项系数不为零的隐含条件，导致失分。

如：已知关于x的一元二次方程ax23x10有两个实数根,求a的取值范围.

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ab

【变式1】（2022·河南安阳·二模）将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，

cd

ab24x3

并规定adbc，例如23412，则3的根的情况为（）

cd13xx1

A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根D．没有实数根

【变式2】（2022·宁夏·吴忠市第三中学一模）若关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数

根，则实数k的取值范围（）

A．k1B．k1C．k1D．k1且k0

22

【变式3】（2022·四川成都·二模）已知关于x的一元二次方程x2m1xm0有两个实数根x1和x2．若

22

x1,x2之间关系满足x1x20，则m的值为__________．

【变式4】（2022·安徽·模拟预测）若关于x的一元二次方程ax2bx10有两个相等的实数根，则

ab2

的值为________．

a24ab2

22

【变式5】（2022·湖北黄石·一模）已知关于x的一元二次方程x(2m3)xm0有两个实数根x1，x2．

(1)求实数m的取值范围；

(2)若x1x26x1x2，求m的值．

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核心考点七一元二次方程根与系数的关系

22

例1（2022·内蒙古包头·中考真题）若x1,x2是方程x2x30的两个实数根，则x1x2的值为（）

A．3或9B．3或9C．3或6D．3或6

xx

221

例2（2022·四川内江·中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝

x1x2

2

x1+2x2﹣1，则k的值为_____．

例3（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题：

材料1

2

为了解方程x213x2360，如果我们把x2看作一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为

2

y13y360，经过运算，原方程的解为x1,22，x3,43．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做

换元法．

材料2

已知实数m，n满足m2m10，n2n10，且mn，显然m，n是方程x2x10的两个不相等的

实数根，由书达定理可知mn1，mn1．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

方程x45x260的解为_______________________；

(2)间接应用：

已知实数a，b满足：2a47a210，2b47b210且a¹b，求a4b4的值；

(3)拓展应用：

111

已知实数x，y满足：7，n2n7且n0，求n2的值．

m4m2m4

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知识点、一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）

bc

若x，x是一元二次方程ax2bxc0的两个实数根，那么xx，xx

1212a12a

【变式1】（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x的方程x26xkx3有两个解，

则k的取值范围是（）

38

A．k＞﹣9B．k≤3C．﹣9＜k＜6D．k＞

4

【变式2】（2022·重庆巴蜀中学三模）已知：Mx2ax3，Nx1（其中为a整数，且a0）；有下列

结论，其中正确的结论个数有（）

M17

①若M·N中不含x2项，则a1；②若为整式，则a2；③若a是MN0的一个根，则a2．

Na24

A．0个B．1个C．2个D．3个

mn

【变式3】（2022·四川眉山·模拟预测）若实数m，n满足m23m1,n23n1,的值为______．

nm

【变式4】（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）已知实数a、b满足a3b20，若关于x的一

11

2

元二次方程xaxb0的两个实数根分别为x1，x2，则的值为______．

x1x2

2

【变式5】（2022·湖北·黄石十四中模拟预测）x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若

满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：

(1)通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：

①x2﹣4x﹣5＝0；

②2x2﹣23x+1＝0；

(2)已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；

(3)若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．

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核心考点八一元二次方程的实际应用

例1（2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点

BPAP

P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中

APAB

处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，

主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（）

A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）

C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对

例2（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x26x40的

两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．

例3（2022·贵州毕节·中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，

进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）

类别

A款钥匙扣B款钥匙扣

价格

进货价（元/件）3025

销售价（元/件）4537

(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；

(2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销

售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润

是多少？

(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查

发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售

利润为90元？

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知识点、一元二次方程的应用

实际数量-基准数量

（1）增长率=100%

基准数量

基准数量-降低后达到数量

（2）降低率=100%

基准数量

变化率问题

（3）设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增