2025人教版物理重难点-选择性必修1.3.1带电粒子在匀强磁场中的运动（（含答案））

2025人教版物理重难点-选择性必修1.3.1带电粒子在匀强磁场中的运动（（含答案））1.3带电粒子在匀强磁场中的运动原卷版目录TOC\o"1-1"\h\u一、【带电粒子在匀强磁场中运动的基本规律知识点梳理】 1二、【带电粒子在直线边界中的运动知识点梳理】 5三、【带电粒子在圆形边界中的运动知识点梳理】 7四、【带电粒子在临界条件下的运动知识点梳理】 11【带电粒子在匀强磁场中运动的基本规律知识点梳理】1.若v//B，带电粒子以入射速度v做匀速直线运动．2.若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v做匀速圆周运动3.基本公式（1）向心力公式：qvB=mv（2）轨道半径公式：r=mv（3）周期公式：T=2πrv=2πmqB注意：T的大小与轨道半径r和运行速率v无关，只与磁场的磁感应强度B和粒子的比荷qm(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面．(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．(3)左手判断洛伦兹力方向，但一定分正、负电荷．5.洛伦兹力与电场力的比较洛伦兹力电场力产生条件v≠0且v不与B平行电荷处在电场中大小F=qvBF=qE力方向与场方向的关系一定是F⊥B，F⊥v正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反做功情况任何情况下都不做功可能做正功、负功，也可能不做功作用效果只改变电荷的速度方向，不改变速度大小既可以改变电荷的速度大小，也可以改变运动的方向6.圆心的确定（1）已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点)．（2）已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)7.半径的确定：可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．8.运动时间的确定：粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为：t＝9.求解粒子在匀强磁场中运动问题的步骤：(1)画轨迹：即确定圆心，画出运动轨迹．(2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度的联系，偏转角度与圆心角、运动时间的联系，在磁场中的运动时间与周期的联系．(3)用规律：即牛顿运动定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式．【带电粒子在匀强磁场中运动的基本规律举一反三练习】1．（多选）薄铝板将同一匀强磁场分成Ⅰ、Ⅱ两个区域，高速带电粒子穿过铝板前后在两个区域内运动的轨迹如图所示，半径。假定穿过铝板前后粒子带电荷量保持不变，但铝板对粒子的运动有阻碍，则该粒子（）

A．带负电 B．在Ⅰ、Ⅱ区域的运动速度大小相同C．在Ⅰ、Ⅱ区域的运动时间相同 D．从Ⅱ区域穿过铝板运动到Ⅰ区域2．如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，两带电粒子（不计重力）沿直线AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，则下列说法正确的是（

）

A．若两粒子比荷相同，则从A分别到P、Q经历时间之比为1:2B．若两粒子比荷相同，则从A分别到P、Q经历时间之比为2:1C．若两粒子比荷相同，则两粒子在磁场中速率之比为2:1D．若两粒子速率相同，则两粒子的比荷之比为3:13．一束电子（电量为e）以速度v0从磁场右边界垂直射入宽为d，磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示。电子束离开磁场时速度方向与入射速度方向成角。（忽略电子所受重力。e、v0、B、d已知）（1）求电子在磁场中运动的轨道半径；（2）求电子的质量；（3）求粒子在磁场中运动时间。

4．如图，空间有宽度为d、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的边界竖直。一质量为m、电荷量为q的正电荷以初速度v（方向与边界成斜向下）从磁场左侧进入后恰好垂直磁场右边界射出。不计电荷重力。求：（1）画出电荷在磁场中运动的轨迹；（2）磁感应强度大小；（3）电荷在磁场中运动的时间。

5．加图所示，一足够长的矩形区域内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，在边中点O，方向垂直磁场方向向里射入一速度方向跟边夹角、大小为（未知量）的带正电粒子，已知该粒子的质量为m、电荷量为，边长为，边足够长，该粒子重力不计。求：（1）若该粒子恰好没有从磁场边界射出，该粒子的入射速度大小；（2）要使粒于从边离开磁场，入射速度的最大值；（3）该粒子在磁场中运动的最长时间。

6．如图所示，边长为L的正方形abcd区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从cd边的中点P处发射速率不同、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子沿纸面与Pd成30°的方向射人该磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。（1）求带电粒子在该磁场中做匀速圆周运动的周期T；（2）若粒子能从cd边界离开磁场，求粒子在磁场中运动时间t；（3）若粒子离开磁场时的速度方向偏转了120°，求该粒子的速度大小v。7．一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求：（1）匀强磁场的磁感应强度B。（2）射出点的坐标。

【带电粒子在直线边界中的运动知识点梳理】(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。垂直进垂直出，且直径最远Θ进，Θ出，且圆心角等于2Θ。若只改变进入的速度，在磁场中运动的时间不变。相同的粒子以Θ和π-Θ进入磁场的轨迹互补为一个完整的圆【带电粒子在直线边界中的运动举一反三练习】8．平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为（）

A． B． C． D．9．如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里。一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场。若电子在磁场中运动的轨道半径为2d。在MN上，且与MN垂直。下列判断正确的是（）A．电子将向右偏转 B．电子打在MN上的点与点的距离为dC．电子打在MN上的点与点的距离为 D．电子在磁场中运动的时间为10．如图所示，两个带等量异种电荷的粒子分别以速度和射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，则（

）A．两粒子圆周运动的周期之比 B．两粒子的质量之比C．两粒子的轨道半径之比 D．两粒子的速率之比11．如图所示，一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v垂直射入一有界匀强磁场区域内，速度方向跟磁场左边界垂直，从右边界离开磁场时速度方向偏转角，磁场区域的宽度为d，求：（1）试求带电粒子在磁场中做圆周运动的半径；（2）求磁感应强度B的大小；（3）求粒子在磁场中运动的时间；（4）若保持带电粒子的速度大小不变，方向在纸平面内转动，试求粒子能在右侧边界射出的范围s？12．（多选）如图所示，一束电子从M点垂直于磁场左边界，射入边界平行、宽度为d、磁感应强度大小为B的匀强磁场，射入速度为v，从右边界上的N点穿出磁场时，速度方向与原来射入方向的夹角为，则（）

A．电子的比荷为 B．电子的比荷为C．电子穿越磁场的时间为 D．电子穿越磁场的时间为13．如图所示，正方形区域abcd内（含边界）有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°的方向以不同的初速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。（1）求带电粒子在磁场中运动的最长时间；（2）若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。【带电粒子在圆形边界中的运动知识点梳理】(3)圆形边界(如图所示)。沿径向射入必沿径向射出若偏转圆的直径大于磁场圆的直径，则在偏转圆最长的玄为磁场圆的直径。磁会聚和磁发散⭐规律1:磁聚焦：如果磁场圆半径等于粒子的轨迹圆半径,带电粒子从圆形有界磁场边界上的某点射入磁场,则粒子的出射方向与磁场圆上入射点处的切线方向平行。证明:如图1所示,实线圆O表示一圆形有界磁场的边界,一个带电粒子(不计重力)从圆上的A点射入磁场,磁场圆的半径为R,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动半径也是R,AD为过A点的切线,粒子从边界上的C点沿CE方向射出,下面来证明AD//CE。推论：如果粒子的轨迹半径与圆形磁场半径相同时,从圆上任意一点沿不同方向进入磁场的粒子，但经过圆形有界磁场偏转后,射出时速度方向彼此平行。⭐规律2:磁发散：平行射入圈形有界磁场的相同带电粒子,如果磁场圆半径等于轨迹圆半径,则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出磁场。【带电粒子在圆形边界中的运动举一反三练习】14．如图所示，圆心角为90°的扇形区域MON内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，P点为半径OM的中点。现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速率先后从P点沿ON方向射入磁场，粒子a从M点射出磁场，粒子b从N点射出磁场，不计两粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是（）

A．粒子a带正电，粒子b带负电B．粒子a在磁场中运动时间较短C．粒子a、b的速度大小之比为D．粒子a、b的向心加速度大小之比为15．如图所示，是边长为的正方形。以为圆心、边长为半径的四分之一圆周内有磁感应强度大小为的匀强磁场，磁场的方向垂直于正方形所在的平面向外。一质量为、电荷量为的电子，以某一速度沿正方形所在的平面、从边的中点垂直于边射入正方形区域，该电子刚好从点离开磁场。不计电子重力，求：电子从边的中点入射的速度大小。16．（多选）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，半圆弧bc的半径为R，ab、cd与直径bc共线，ab间的距离等于圆的半径。一束质量为m、电荷量为的粒子，在纸面内从a点以大小不同的速率垂直于ab射入磁场。不计粒子重力及粒子之间的相互作用，，，下列说法正确的是（

）

A．若粒子运动轨迹经过圆心O，则粒子射入磁场时的速率为B．若粒子运动轨迹经过圆心O，则粒子在磁场中的运动时间为C．若粒子在磁场中的运动时间最短，则粒子射入磁场时的速率为D．若粒子在磁场中的运动时间最短，则粒子在磁场中的运动时间为17．（多选）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于平面向外的匀强磁场，AB为直径，磁感应强度大小为B0，两个带电荷量均为＋q，质量均为m的带电粒子a、b，同时从边界上两点垂直直径AB方向并沿该平面射入磁场，粒子的初速度大小均为，两入射点与圆心的连线跟直径AB的夹角均为30°，不计两粒子重力及两粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（）A．a、b两粒子都经过B点B．a、b两粒子可以在磁场中相遇C．a、b两粒子在磁场中的运动时间之比为5∶1D．a、b两粒子离开磁场时的速度偏向角之比为1∶518．如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AC是圆O的水平直径，P是圆周上的一点，P点离AC的距离为R，一个质量为m、电荷量为q的带负电粒子以一定的速度从A点沿AC方向射入，粒子在磁场中运动的偏向角为90°，保持粒子的速度大小、方向不变，让粒子从P点射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间为（）A． B． C． D．19．如图所示是具有弹性绝缘内壁、半径为R的圆柱形装置的横截面图，装置内有垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为（q＞0）的粒子，以一定的指向圆心O的初速度从M小孔进入装置，与内壁先后碰撞五次后恰好可从M孔射出。已知粒子与内壁碰撞过程无能量损失，粒子重力不计，求：（1）粒子的初速度大小v；（2）粒子在磁场内运动的时间。

20．（多选）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。M为磁场边界上一点，有无数个带电量为，质量为的相同粒子（不计重力及粒子间相互作用）在纸面内向各个方向以相同的速率通过M点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于上，的弧长是圆周长的，下列说法正确的是（）

A．粒子从M点进入磁场时的速率为v＝B．从N点离开的粒子在磁场中运动的时间为t＝C．从N点离开的粒子在N点速度反向延长线过磁场区域的圆心D．若将磁感应强度的大小增加到B，则粒子射出边界的圆弧长度变为原来的四、【带电粒子在临界条件下的运动知识点梳理】解决带电粒子在临界问题可以通过以下三点来考虑：①边界相切②边界相交③直径最长然后找临界位置可以通过一下几个方式：1．缩放圆模型特征：带电粒子从某一点以速度方向不变而大小在改变（或磁感应强度变化）射入匀强磁场，在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动。把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大或缩小的“动态圆”，如图。解题时借助圆规多画出几个半径不同的圆，可方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的。2．环形磁场临界问题临界圆×××××××××××××××××××××××××××××××××v0R1R2×××××××××××××××××××××××××××××××××v0R1R2×××××××××××××××××××××××××××××××××v0R1R2临界半径勾股定理(R2-R1)2=R12+r2解得：旋转圆模型特征：带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）的速度射入匀强磁场中，这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图。解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。同时还要注意，粒子在做圆周运动时的绕行方向不随旋转而改变（即同旋性）。4．旋转圆五大特征①半径相等R=mv/qB②都过发射点③圆心分布在一圆周上④旋转方向相同（同旋性）⑤同时发射，同时刻在同一圆周上,最大范围π(2R)25．旋转圆中粒子运动的空间范围问题××××××××××××××××××××××××××××××v0ABO●●θ(AABC最近点：A（OA=2Rsinθ）最远点：B（OB为直径）圆中最大的弦长是直径左边界：相切点A；右边界：OB为直径边界点：相切点B、C6．圆形有界磁场中的旋转圆问题r<Rr>Rr=R在磁场中运动的最远距离为OA=2r在磁场中运动的最长时间为tmax=αrv0=αmqB离开磁场速度方向垂直于入射点与磁场圆心的连线【带电粒子在临界条件下的运动举一反三练习】21．如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角θ=30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：(1)粒子所受洛伦兹力大小；(2)粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围；(3)如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。22．如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度，磁场内有一块足够大的平面感光板，板面与磁场方向平行，在距的距离处，有一个点状的放射源，它向各个方向发射粒子，粒子的速度都是，已知粒子的电荷与质量之比，现只考虑在图纸平面中运动的粒子，已知。求：（1）粒子在磁场中运动的半径（2）能够打中感光板的粒子在磁场中运动的最短时间。23．如图所示，在平面直角坐标系中，虚线垂直于x轴，交点为N，在第一、四象限内，y轴与虚线之间有垂直于纸面向里的匀强磁场，P点位于x轴上，，。在P点有一粒子源，可连续释放不同速率的带正电的粒子，速度的方向均垂直于磁场，且与x轴正方向成角斜向上，粒子的比荷，已知磁感应强度，不计粒子重力和粒子之间的相互作用力。求：（1）打到y轴上的粒子速率的取值范围；（2）打到y轴上的粒子在磁场内运动的最大时间差。24．如图，在边长为L的等边三角形ACD区域内，存在垂直于所在平面向里的匀强磁场。大量的质量为m、电荷置为q的带正电粒子以相同速度（速度大小未确定）沿垂直于CD的方向射入磁场，经磁场偏转后三条边均有粒子射出，其中垂直于AD边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0。不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：(1)磁场的磁感应强度大小；(2)要确保粒子能从CD边射出，射入的最大速度；(3)AC、AD边上可能有粒子射出的范围。25．如图所示，在的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在t=0时刻，从原点O发射一束等速率的相同带电粒子，速度方向与y轴正方向的夹角分布在范围内。其中，沿y轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场右边界上点离开磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是（）A．粒子带正电B．沿y轴正方向射入的粒子在磁场中偏转速度的偏转角为C．粒子在磁场中做圆周运动的半径为aD．带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t026．如图所示，等边三角形OPQ区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。在纸面内从O点向磁场区域POQ各个方向瞬时射入带正电的粒子，所有粒子的速率都相同，不计粒子之间的相互作用和重力的影响。沿OQ方向射入的粒子从PQ边的中点M射出，此时还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例为（）A． B． C． D．27．（多选）如图所示，竖直平面内一半径为R的圆形区域内有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一束质量为m、电荷量为－q的带电粒子沿平行于直径MN的方向以不同速率从P点进入匀强磁场，入射点P到直径MN的距离，不计粒子重力，下列说法正确的是（）A．若粒子恰好能从N点射出，则粒子在磁场中运动的时间为B．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，则粒子在磁场中运动的时间为C．若粒子恰好能从N点射出，则粒子的速度为D．若粒子恰好能从M点射出，则粒子在磁场中偏转的半径为28．（多选）如图所示，直线MN与水平面方向成45°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率的质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子（重力不计），若所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab=L，则粒子的速度可能是（）A． B． C． D．29．（多选）如图所示，在直角三角形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场。速率不同的大量相同带电粒子从A点沿与边夹角为60°方向进入磁场，从和边的不同位置离开磁场。已知，，不计粒子的重力和粒子间相互作用力，则（）A．所有从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间相同B．从边离开的粒子在磁场中运动的时间一定比从边离开的粒子在磁场中运动的时间短C．粒子在磁场中运动的弧长越长，运动时间一定越长D．所有从BC边出去的粒子离C点的最近距离为30．（多选）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于圆平面向里的匀强磁场。磁感应强度大小为B，O为圆心，∠AOC=，D为AC的中点，DO为一块很薄的粒子吸收板。一束质量为m、电荷量为e的电子以相同速度在AD间平行于DO方向垂直射入磁场，不考虑电子的重力及相互作用，电子打在吸收板上即被板吸收。则电子在磁场中运动的时间可能为（）A． B． C． D．31．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为（）。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则下列结论正确的是（）A．粒子一定带负电B．当时，粒子也垂直x轴离开磁场C．粒子做圆周运动的半径为D．粒子以不同的角进入磁场，做圆周运动的半径也不相同32．如图所示，等边三角形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，、分别是、边上的某点。三个相同的带电粒子分别以相同的速率从点沿不同方向垂直磁场射入，分别从点、点和点离开磁场，粒子重力不计。下列说法正确的是（

）A．粒子带负电B．从点离开的粒子在磁场中运动的路程一定最大C．从点离开的粒子在磁场中运动的时间一定最短D．从点离开的粒子在磁场中的运动时间一定大于从点离开的粒子在磁场中的运动时间33．如图所示，A、C两点分别位于x轴和y轴上，，OA的长度为。在区域内有垂直于平面向里的匀强磁场。质量为、电荷量为的带正电粒子，以平行于轴的方向从OA边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂直于OC边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为。不计粒子重力。（1）求磁场的磁感应强度的大小；（2）若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从OC边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和。34．如图所示直角坐标系xoy中，在第2、3、4象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=10T，沿x轴放置一挡板P，板的左端在坐标原点，任何带电粒子射到板上均会被板吸收。现有一群同种带电粒子在ab间以相同速度沿与y轴成37°射入磁场，最后都打在挡板P上。带电粒子的电荷量，质量，射入磁场速度。a点纵坐标为，b点纵坐标为。忽略粒子间的相互碰撞与影响，不考虑粒子的重力。（1）粒子在磁场中的运动半径；（2）挡板P的最小长度；1.3带电粒子在匀强磁场中的运动解析版目录TOC\o"1-1"\h\u一、【带电粒子在匀强磁场中运动的基本规律知识点梳理】 1二、【带电粒子在直线边界中的运动知识点梳理】 5三、【带电粒子在圆形边界中的运动知识点梳理】 7四、【带电粒子在临界条件下的运动知识点梳理】 11【带电粒子在匀强磁场中运动的基本规律知识点梳理】1.若v//B，带电粒子以入射速度v做匀速直线运动．2.若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v做匀速圆周运动3.基本公式（1）向心力公式：qvB=mv（2）轨道半径公式：r=mv（3）周期公式：T=2πrv=2πmqB注意：T的大小与轨道半径r和运行速率v无关，只与磁场的磁感应强度B和粒子的比荷qm(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面．(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．(3)左手判断洛伦兹力方向，但一定分正、负电荷．5.洛伦兹力与电场力的比较洛伦兹力电场力产生条件v≠0且v不与B平行电荷处在电场中大小F=qvBF=qE力方向与场方向的关系一定是F⊥B，F⊥v正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反做功情况任何情况下都不做功可能做正功、负功，也可能不做功作用效果只改变电荷的速度方向，不改变速度大小既可以改变电荷的速度大小，也可以改变运动的方向6.圆心的确定（1）已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点)．（2）已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)7.半径的确定：可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．8.运动时间的确定：粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为：t＝9.求解粒子在匀强磁场中运动问题的步骤：(1)画轨迹：即确定圆心，画出运动轨迹．(2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度的联系，偏转角度与圆心角、运动时间的联系，在磁场中的运动时间与周期的联系．(3)用规律：即牛顿运动定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式．【带电粒子在匀强磁场中运动的基本规律举一反三练习】1．（多选）薄铝板将同一匀强磁场分成Ⅰ、Ⅱ两个区域，高速带电粒子穿过铝板前后在两个区域内运动的轨迹如图所示，半径。假定穿过铝板前后粒子带电荷量保持不变，但铝板对粒子的运动有阻碍，则该粒子（）

A．带负电 B．在Ⅰ、Ⅱ区域的运动速度大小相同C．在Ⅰ、Ⅱ区域的运动时间相同 D．从Ⅱ区域穿过铝板运动到Ⅰ区域【答案】AC【详解】AD．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=m解得粒子穿过铝板后，速率减小，电量不变，知轨道半径减小，所以粒子是从区域Ⅰ穿过铝板运动到区域Ⅱ，根据左手定则知，粒子带负电，故A正确，D错误；B．高速带电粒子穿过铝板后速率减小，知在Ⅰ、Ⅱ区域的运动速度大小不同，故B错误；C．粒子在磁场中做圆周运动的周期周期大小与粒子的速度无关，粒子在你两区域的运动时间都是半个周期，则粒子在Ⅰ、Ⅱ区域的运动时间相同，故C正确。故选AC。2．如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，两带电粒子（不计重力）沿直线AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，则下列说法正确的是（

）

A．若两粒子比荷相同，则从A分别到P、Q经历时间之比为1:2B．若两粒子比荷相同，则从A分别到P、Q经历时间之比为2:1C．若两粒子比荷相同，则两粒子在磁场中速率之比为2:1D．若两粒子速率相同，则两粒子的比荷之比为3:1【答案】A【详解】AB．两粒子运动轨迹如图

粒子运动时间为若两粒子比荷相同，则从A分别到P、Q经历时间之比为A正确；C．设圆形区域半径为R，由题意可知，两粒子运动半径之比为根据若两粒子比荷相同，则两粒子在磁场中速率之比为C错误；D．同理C选项，若两粒子速率相同，则两粒子的比荷之比为1:3，D错误。故选A。3．一束电子（电量为e）以速度v0从磁场右边界垂直射入宽为d，磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示。电子束离开磁场时速度方向与入射速度方向成角。（忽略电子所受重力。e、v0、B、d已知）（1）求电子在磁场中运动的轨道半径；（2）求电子的质量；（3）求粒子在磁场中运动时间。

【答案】（1）2d；（2）；（3）【详解】（1）电子垂射入匀强磁场中，做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示

由几何知识可得（2）电子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得解得（3）电子在匀强磁场中的运动周期为由几何知识可得电子在磁场中运动轨迹的圆心角为则电子的运动时间为4．如图，空间有宽度为d、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的边界竖直。一质量为m、电荷量为q的正电荷以初速度v（方向与边界成斜向下）从磁场左侧进入后恰好垂直磁场右边界射出。不计电荷重力。求：（1）画出电荷在磁场中运动的轨迹；（2）磁感应强度大小；（3）电荷在磁场中运动的时间。

【答案】（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）根据题意，电荷在磁场中运动的轨迹如同所示

（2）由几何关系得由洛伦兹力提供向心力得联立解得（2）粒子在磁场中运动的时间为5．加图所示，一足够长的矩形区域内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，在边中点O，方向垂直磁场方向向里射入一速度方向跟边夹角、大小为（未知量）的带正电粒子，已知该粒子的质量为m、电荷量为，边长为，边足够长，该粒子重力不计。求：（1）若该粒子恰好没有从磁场边界射出，该粒子的入射速度大小；（2）要使粒于从边离开磁场，入射速度的最大值；（3）该粒子在磁场中运动的最长时间。

【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）若该粒子恰好没有从磁场边界射出，如图所示

此时粒子速度为，则解得由几何关系得解得则有（2）要使粒于从边离开磁场，则速度最大时，轨迹与ab边界相切，如图所示

由几何关系得解得则入射速度的最大值为（3）由公式可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角越长，在磁场中运动的时间也越长。在磁场中运动的半径时，运动时间最长，则圆弧所对圆心角为所以最长时间为6．如图所示，边长为L的正方形abcd区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从cd边的中点P处发射速率不同、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子沿纸面与Pd成30°的方向射人该磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。（1）求带电粒子在该磁场中做匀速圆周运动的周期T；（2）若粒子能从cd边界离开磁场，求粒子在磁场中运动时间t；（3）若粒子离开磁场时的速度方向偏转了120°，求该粒子的速度大小v。【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动过程中，由牛顿第二定律有根据圆周运动的周期公式联立解得（2）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示。由图可知若粒子由边界cd离开磁场时，由对称性可知，运动轨迹所对圆心角为其运动时间联立可得（3）根据题意可知，带电粒子在磁场中运动的圆心角为120°，则弦切角与速度方向成60°，由几何关系可知，过P点做cd边的垂线，与ab边交点为，即粒子从ab边界中点离开磁场，运动轨迹如图所示：由几何关系可知解得根据牛顿第二定律有解得7．一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求：（1）匀强磁场的磁感应强度B。（2）射出点的坐标。

【答案】（1）；（2）【详解】（1）由几何关系得粒子做圆周运动的半径为由洛伦兹力提供向心力有解得（2）射出点的纵坐标为射出点的坐标为（0，）【带电粒子在直线边界中的运动知识点梳理】(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。垂直进垂直出，且直径最远Θ进，Θ出，且圆心角等于2Θ。若只改变进入的速度，在磁场中运动的时间不变。相同的粒子以Θ和π-Θ进入磁场的轨迹互补为一个完整的圆【带电粒子在直线边界中的运动举一反三练习】8．平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为（）

A． B． C． D．【答案】D【详解】带电粒子在磁场中做圆周运动轨道半径为轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由于

故△AO′D为等边三角形，∠O′DA=60°，而∠MON=30°，则∠OCD=90°，故CO′D为一直线故选D。9．如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里。一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场。若电子在磁场中运动的轨道半径为2d。在MN上，且与MN垂直。下列判断正确的是（）A．电子将向右偏转 B．电子打在MN上的点与点的距离为dC．电子打在MN上的点与点的距离为 D．电子在磁场中运动的时间为【答案】D【详解】A．电子带负电，进入磁场后，由左手定则可知，电子所受洛伦兹力方向向左，电子将向左偏转，故A错误；BC．设电子打在上的点与点的距离为，如图所示根据几何知识可得故BC错误；D．设轨迹对应的圆心角为，由几何关系得得则电子在磁场中运动的时间为故D正确。故选D。10．如图所示，两个带等量异种电荷的粒子分别以速度和射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，则（

）A．两粒子圆周运动的周期之比 B．两粒子的质量之比C．两粒子的轨道半径之比 D．两粒子的速率之比【答案】A【详解】A．如图由几何关系可得，从A运动到B，a粒子转过的圆心角为，b粒子转过的圆心角为，两粒子运动时间相同，根据可得运动周期为故A正确；BCD．设粒子a的运动轨迹半径为Ra，粒子b的运动轨迹半径为Rb，根据几何关系可知整理可得两粒子做匀速圆周运动有由此可得粒子所受洛伦兹力提供向心力，故有整理可得由此可得故BCD错误。故选A。11．如图所示，一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v垂直射入一有界匀强磁场区域内，速度方向跟磁场左边界垂直，从右边界离开磁场时速度方向偏转角，磁场区域的宽度为d，求：（1）试求带电粒子在磁场中做圆周运动的半径；（2）求磁感应强度B的大小；（3）求粒子在磁场中运动的时间；（4）若保持带电粒子的速度大小不变，方向在纸平面内转动，试求粒子能在右侧边界射出的范围s？【答案】（1）2d；（2）；（3）；（4）【详解】带电粒子在磁场中受到洛伦兹力作用而发生偏转，依左手定则可确定粒子带负电。（1）作出带电粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示，设轨道半径为r，依几何关系得：圆心角为，则有解得（2）依洛伦兹力等于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力，即得变式可得（3）依周期公式,粒子在磁场中转过的圆心角为30°，故粒子在磁场中运动的时间为解得（4）如图示，当粒子刚好与右边界相切时，为从右边界射出的下限（B点），当粒子速度与边界平行向上时，为粒子能够到达的右边界上限（A点）！由几何关系可知可得12．（多选）如图所示，一束电子从M点垂直于磁场左边界，射入边界平行、宽度为d、磁感应强度大小为B的匀强磁场，射入速度为v，从右边界上的N点穿出磁场时，速度方向与原来射入方向的夹角为，则（）

A．电子的比荷为 B．电子的比荷为C．电子穿越磁场的时间为 D．电子穿越磁场的时间为【答案】BC【详解】AB．粒子运动轨迹如图所示

根据几何关系有根据洛伦兹力提供向心力电子的比荷为故A错误，B正确；CD．电子穿越磁场的时间为故C正确，D错误。故选BC。13．如图所示，正方形区域abcd内（含边界）有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°的方向以不同的初速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。（1）求带电粒子在磁场中运动的最长时间；（2）若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。【答案】（1）；（2）<v0≤【详解】（1）粒子从ab边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图1所示，有又解得又由几何关系得则粒子在磁场中运动的最长时间（2）当粒子轨迹与ad边相切时，如图2所示，设此时初速度为v01，轨道半径为R1，由几何关系可得又解得当粒子运动轨迹与cd边相切时，如图3所示，设此时初速度为v02，轨道半径为R2，由几何关系可得又解得综上可得【带电粒子在圆形边界中的运动知识点梳理】(3)圆形边界(如图所示)。沿径向射入必沿径向射出若偏转圆的直径大于磁场圆的直径，则在偏转圆最长的玄为磁场圆的直径。磁会聚和磁发散⭐规律1:磁聚焦：如果磁场圆半径等于粒子的轨迹圆半径,带电粒子从圆形有界磁场边界上的某点射入磁场,则粒子的出射方向与磁场圆上入射点处的切线方向平行。证明:如图1所示,实线圆O表示一圆形有界磁场的边界,一个带电粒子(不计重力)从圆上的A点射入磁场,磁场圆的半径为R,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动半径也是R,AD为过A点的切线,粒子从边界上的C点沿CE方向射出,下面来证明AD//CE。推论：如果粒子的轨迹半径与圆形磁场半径相同时,从圆上任意一点沿不同方向进入磁场的粒子，但经过圆形有界磁场偏转后,射出时速度方向彼此平行。⭐规律2:磁发散：平行射入圈形有界磁场的相同带电粒子,如果磁场圆半径等于轨迹圆半径,则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出磁场。【带电粒子在圆形边界中的运动举一反三练习】14．如图所示，圆心角为90°的扇形区域MON内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，P点为半径OM的中点。现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速率先后从P点沿ON方向射入磁场，粒子a从M点射出磁场，粒子b从N点射出磁场，不计两粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是（）

A．粒子a带正电，粒子b带负电B．粒子a在磁场中运动时间较短C．粒子a、b的速度大小之比为D．粒子a、b的向心加速度大小之比为【答案】D【详解】A．根据左手定则，粒子a带负电，粒子b带正电，故A错误；B．粒子a在磁场中运动时，轨迹的圆心角比b大，运动时间较长，故B错误；C．粒子的运动轨迹如图所示

设扇形的半径为l，根据几何关系，a粒子的轨迹半径为对b粒子，有解得粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，即由于粒子a、b的比荷相等，所以速度之比为故C错误；D．粒子运动的向心加速度为所以向心加速度之比为故D正确。故选D。15．如图所示，是边长为的正方形。以为圆心、边长为半径的四分之一圆周内有磁感应强度大小为的匀强磁场，磁场的方向垂直于正方形所在的平面向外。一质量为、电荷量为的电子，以某一速度沿正方形所在的平面、从边的中点垂直于边射入正方形区域，该电子刚好从点离开磁场。不计电子重力，求：电子从边的中点入射的速度大小。【答案】【详解】设电子从P点的入射速度大小为v，电子从P1点进入磁场，轨迹如图所示在磁场中做圆周运动的圆心为O，设轨道半径为R，有连接DP1、AP1、延长PP1交AD于E点，则三角形ADP1和三角形AOP1均为等边三角形，所以以上联合求解得16．（多选）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，半圆弧bc的半径为R，ab、cd与直径bc共线，ab间的距离等于圆的半径。一束质量为m、电荷量为的粒子，在纸面内从a点以大小不同的速率垂直于ab射入磁场。不计粒子重力及粒子之间的相互作用，，，下列说法正确的是（

）

A．若粒子运动轨迹经过圆心O，则粒子射入磁场时的速率为B．若粒子运动轨迹经过圆心O，则粒子在磁场中的运动时间为C．若粒子在磁场中的运动时间最短，则粒子射入磁场时的速率为D．若粒子在磁场中的运动时间最短，则粒子在磁场中的运动时间为【答案】ACD【详解】AB．若粒子运动轨迹经过圆心O，则粒子运动的轨迹如图；由几何关系解得根据可得由几何关系可知粒子在磁场中转过的角度为127°，则时间选项A正确，B错误；CD．当轨迹圆弧所对应的弦与bc半圆形边界相切时，轨迹圆弧所对应的弦与ab的夹角最大，那么轨迹的圆心角θ最小，运动时间最短，其轨迹如图所示，圆心恰好位于b点，此时r＇=R则由解得此时粒子在磁场中的运动时间为故CD正确。故选ACD。17．（多选）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于平面向外的匀强磁场，AB为直径，磁感应强度大小为B0，两个带电荷量均为＋q，质量均为m的带电粒子a、b，同时从边界上两点垂直直径AB方向并沿该平面射入磁场，粒子的初速度大小均为，两入射点与圆心的连线跟直径AB的夹角均为30°，不计两粒子重力及两粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（）A．a、b两粒子都经过B点B．a、b两粒子可以在磁场中相遇C．a、b两粒子在磁场中的运动时间之比为5∶1D．a、b两粒子离开磁场时的速度偏向角之比为1∶5【答案】AC【详解】A．根据牛顿第二定律根据题意解得过a、B作一个圆，过b、B再作一个圆，因为四边形AObO1和四边形BObO1都是菱形，则O1就是圆心，所以两个粒子均经过B点，A正确；B．a、b两粒子在磁场中的速度大小相同，路程不相同，粒子b先到达B点，两个粒子不会相遇，B错误；C．a、b两粒子在磁场中的运动时间分别为解得C正确；D．a、b两粒子离开磁场时的速度偏向角之比为D错误。故选AC。18．如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AC是圆O的水平直径，P是圆周上的一点，P点离AC的距离为R，一个质量为m、电荷量为q的带负电粒子以一定的速度从A点沿AC方向射入，粒子在磁场中运动的偏向角为90°，保持粒子的速度大小、方向不变，让粒子从P点射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】带负电粒子从A点沿AC方向射入，偏向角为90°，故粒子从D点射出，如左图所示根据几何关系，易知粒子的轨迹圆半径等于磁场圆半径R。若粒子从P点射入磁场，根据几何关系，粒子还是从D点射出，如右图所示。此时粒子的偏向角为120°，根据粒子在磁场中圆周运动的周期公式及粒子在磁场中部分圆周运动的时间公式得故选C。【点睛】本题求出轨迹圆半径等于磁场圆半径后，可确定属于磁聚焦模型，粒子从P点射入可迅速判断粒子还是从D点离开磁场，从而快速求解。19．如图所示是具有弹性绝缘内壁、半径为R的圆柱形装置的横截面图，装置内有垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为（q＞0）的粒子，以一定的指向圆心O的初速度从M小孔进入装置，与内壁先后碰撞五次后恰好可从M孔射出。已知粒子与内壁碰撞过程无能量损失，粒子重力不计，求：（1）粒子的初速度大小v；（2）粒子在磁场内运动的时间。

【答案】（1）；（2）【详解】（1）由题意可知，要使粒子与内壁碰撞五次后又从点飞出，粒子在磁场中的运动轨迹为六段相等的圆弧，如图所示

每一段圆弧对应的圆心角为，由几何关系可知解得根据洛伦兹力提供向心力，有解得（2）电子在磁场中做圆周运动的周期为由图可知，粒子在磁场中运动的时间为20．（多选）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。M为磁场边界上一点，有无数个带电量为，质量为的相同粒子（不计重力及粒子间相互作用）在纸面内向各个方向以相同的速率通过M点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于上，的弧长是圆周长的，下列说法正确的是（）

A．粒子从M点进入磁场时的速率为v＝B．从N点离开的粒子在磁场中运动的时间为t＝C．从N点离开的粒子在N点速度反向延长线过磁场区域的圆心D．若将磁感应强度的大小增加到B，则粒子射出边界的圆弧长度变为原来的【答案】AD【详解】A．边界上有粒子射出的范围是偏转圆直径为弦所对应的边界圆弧长，则可知旋转圆的半径为粒子在磁场中，由洛伦兹力充当向心力有解得故A正确；BC．当M点的粒子竖直向上，速度反向延长线不会经过磁场区域的圆心，则从N点离开的粒子，速度反向延长线不会经过磁场区域的圆心，如图

而粒子的运动周期粒子在磁场中运动时间为联立解得故BC错误；D．根据洛伦兹力充当向心力可得当磁感应强度增加到原来的倍时，偏转圆半径为此时弧长对应的弦长为，因此可知，有粒子射出的边界圆弧对应的圆心角为60°，则粒子射出边界的圆弧长度变为原来的，故D正确。故选AD。四、【带电粒子在临界条件下的运动知识点梳理】解决带电粒子在临界问题可以通过以下三点来考虑：①边界相切②边界相交③直径最长然后找临界位置可以通过一下几个方式：1．缩放圆模型特征：带电粒子从某一点以速度方向不变而大小在改变（或磁感应强度变化）射入匀强磁场，在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动。把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大或缩小的“动态圆”，如图。解题时借助圆规多画出几个半径不同的圆，可方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的。2．环形磁场临界问题临界圆×××××××××××××××××××××××××××××××××v0R1R2×××××××××××××××××××××××××××××××××v0R1R2×××××××××××××××××××××××××××××××××v0R1R2临界半径勾股定理(R2-R1)2=R12+r2解得：旋转圆模型特征：带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）的速度射入匀强磁场中，这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图。解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。同时还要注意，粒子在做圆周运动时的绕行方向不随旋转而改变（即同旋性）。4．旋转圆五大特征①半径相等R=mv/qB②都过发射点③圆心分布在一圆周上④旋转方向相同（同旋性）⑤同时发射，同时刻在同一圆周上,最大范围π(2R)25．旋转圆中粒子运动的空间范围问题××××××××××××××××××××××××××××××v0ABO●●θ(AABC最近点：A（OA=2Rsinθ）最远点：B（OB为直径）圆中最大的弦长是直径左边界：相切点A；右边界：OB为直径边界点：相切点B、C6．圆形有界磁场中的旋转圆问题r<Rr>Rr=R在磁场中运动的最远距离为OA=2r在磁场中运动的最长时间为tmax=αrv0=αmqB离开磁场速度方向垂直于入射点与磁场圆心的连线【带电粒子在临界条件下的运动举一反三练习】21．如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角θ=30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：(1)粒子所受洛伦兹力大小；(2)粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围；(3)如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。【答案】(1)；(2)；(3)【详解】(1)粒子所受洛伦兹力大小为(2)如下图，若粒子速度为v0，则所以有设圆心在O1处对应圆弧与ab边相切，相应速度为v01，则将代入上式可得类似地，设圆心在O2处对应圆弧与cd边相切，相应速度为v02，则将代入上式可得所以粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足(3)由及可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越长，在磁场中运动的时间也越长。由下图可知，在磁场中运动的半径时，运动时间最长，弧所对圆心角为，所以最长时间为22．如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度，磁场内有一块足够大的平面感光板，板面与磁场方向平行，在距的距离处，有一个点状的放射源，它向各个方向发射粒子，粒子的速度都是，已知粒子的电荷与质量之比，现只考虑在图纸平面中运动的粒子，已知。求：（1）粒子在磁场中运动的半径（2）能够打中感光板的粒子在磁场中运动的最短时间。【答案】（1）10cm；（2）【详解】（1）α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有

（2）当粒子达到板上用时间最短时，粒子在磁场中做圆周运动的弧长最短，弦最短，即当弦长为L=16cm时，时间最短，根据几何关系可知，此时圆弧所对的圆心角为106°。则最短时间23．如图所示，在平面直角坐标系中，虚线垂直于x轴，交点为N，在第一、四象限内，y轴与虚线之间有垂直于纸面向里的匀强磁场，P点位于x轴上，，。在P点有一粒子源，可连续释放不同速率的带正电的粒子，速度的方向均垂直于磁场，且与x轴正方向成角斜向上，粒子的比荷，已知磁感应强度，不计粒子重力和粒子之间的相互作用力。求：（1）打到y轴上的粒子速率的取值范围；（2）打到y轴上的粒子在磁场内运动的最大时间差。【答案】（1）；（2）【详解】（1）当粒子的速度较小时，轨迹与y轴相切，此时由几何关系可知粒子的轨道半径解得当粒子的速度较大时，轨迹与右侧虚线相切，此时由几个关系可知粒子的轨道半径解得则能达到y轴上的粒子的速度范围是（2）当轨迹与y轴相切时达到y轴的时间最长当轨迹与右侧虚线相切时达到y轴的时间最短则时间差24．如图，在边长为L的等边三角形ACD区域内，存在垂直于所在平面向里的匀强磁场。大量的质量为m、电荷置为q的带正电粒子以相同速度（速度大小未确定）沿垂直于CD的方向射入磁场，经磁场偏转后三条边均有粒子射出，其中垂直于AD边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0。不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：(1)磁场的磁感应强度大小；(2)要确保粒子能从CD边射出，射入的最大速度；(3)AC、AD边上可能有粒子射出的范围。【答案】(1)；(2)；(3)【详解】(1)洛伦兹力提供向心力，有周期

当粒子垂直AD边射出时，根据几何关系有：圆心角为60°的时间为联立解得(2)当轨迹圆与AC、AD都相切时，粒子能从CD边射出，半径最大，速度为最大值，此时根据得联立解得所以粒子射入的速度应满足(3)由(2)知，当轨迹圆与AC相切时，从AC边射出的粒子距C最远故有粒子射出的范围为CE段当轨迹圆与AD边的交点F恰在圆心O正上方时，射出的粒子距D点最远。故有粒子射出的范围为DF段25．如图所示，在的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在t=0时刻，从原点O发射一束等速率的相同带电粒子，速度方向与y轴正方向的夹角分布在范围内。其中，沿y轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场右边界上点离开磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是（）A．粒子带正电B．沿y轴正方向射入的粒子在磁场中偏转速度的偏转角为C．粒子在磁场中做圆周运动的半径为aD．带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t0【答案】D【详解】ABC．如图甲所示，由左手定则得带电粒子带负电。由几何关系可知解得粒子在磁场中做圆周运动的半径为由几何知识求得此时轨迹对应的圆心角为，可判断得沿y轴正方向射入的粒子在磁场中偏转速度的偏转角也为。故ABC错误；D．如图乙所示当粒子运动轨迹恰好与磁场右边界相切时，运动时间最长，由几何知识可得转过圆心角恰好为，由于沿y轴正方向发射的粒子从磁场右边界上P点离开磁场时，转过圆心角为，时间为t0，则带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t0，故D正确。故选D。26．如图所示，等边三角形OPQ区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。在纸面内从O点向磁场区域POQ各个方向瞬时射入带正电的粒子，所有粒子的速率都相同，不计粒子之间的相互作用和重力的影响。沿OQ方向射入的粒子从PQ边的中点M射出，此时还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】从OP上N点射出的粒子做圆周运动的弦长ON=OM，粒子做圆周运动的圆弧对应的圆心角也为60°，如图所示，由几何知识得入射速度与ON的夹角应为30°，即沿OM方向射入的粒子在磁场中运动的时间与沿OQ方向射入的粒子从PQ边的中点M射出的时间相等，从OQ方向到OM方向这30°范围内的粒子此时都还在磁场中，而入射的范围为60°，故还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例是，D项正确；ABC三项错误；故选D。27．（多选）如图所示，竖直平面内一半径为R的圆形区域内有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一束质量为m、电荷量为－q的带电粒子沿平行于直径MN的方向以不同速率从P点进入匀强磁场，入射点P到直径MN的距离，不计粒子重力，下列说法正确的是（）A．若粒子恰好能从N点射出，则粒子在磁场中运动的时间为B．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，则粒子在磁场中运动的时间为C．若粒子恰好能从N点射出，则粒子的速度为D．若粒子恰好能从M点射出，则粒子在磁场中偏转的半径为【答案】AD【详解】A．若粒子恰好能从N点射出，粒子的轨迹图如图所示，连接PN即为粒子做圆周运动的弦长，连接PO，由，可知∠POM=60°，β=30°，则有∠PON=120°，α=30°，∆PNO′为等边三角形，由几何关系可得PN=PO′=r=2Rsin60°粒子在匀强磁场中匀速圆周运动，解得粒子运动周期为∠PO′N=60°，则有粒子在磁场中运动的时间为A正确；B．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，可知粒子在磁场中偏转了180°，则粒子在磁场中运动的时间为B错误；C．若粒子恰好能从N点射出，由PN=PO′=r=2Rsin60°解得解得粒子的速度为C错误；D．若粒子恰好能从M点射出，其运动轨迹如图所示，由图可知α+θ=60°，且θ=30°，由几何关系有则粒子在磁场中偏转的半径为，D正确。故选AD。28．（多选）如图所示，直线MN与水平面方向成45°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率的质量为m、电荷量为