第三章-变量之间的关系++大单元设计+2022-2023学年北师大版七年级数学下册

“变量之间的关系”单元教学分析本单元知识发展主线1.1课标要求三维目标：=1\*ROMANI.知识与技能:=1\*alphabetica、通过合作探究具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间的关系体验，进一步发展符号感和理解变量、自变量、因变量的意义。=2\*alphabeticb、了解表格、关系式、图像是表示变量之间关系的三种方法。=3\*alphabeticc、能借助图像，表示因变量随自变量的变化情况，用水平方向的数轴表示自变量，用树枝方向的数轴表示因变量。=2\*ROMANII.过程与方法:=1\*alphabetica、借助表格，关系式、图像表示因变量随自变量的变化情况。=3\*ROMANIII.情感态度与价值观:=1\*alphabetica、探索具体情境中变量之间的关系及其变化规律，并能结合实例，了解变量的三种表示方法，能够举出实例说明采用三种方法的异同。对应课标：=1\*alphabetica、经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。=2\*alphabeticb、能发现实际情境中的变量及其牵制关系，并确定其中的自变量或因变量。=3\*alphabeticc、能从表格、图像中分析出木屑变量之间的关系，并能用自己的语言进行表达，发展有条理的思考和表达能力。=4\*alphabeticd、能根据具体问题，选取表格或者关系式或者图像来表示一些变量之间的关系，并结合对变量之间的关系分析，尝试对变化趋势进行初步预测。=5\*alphabetice、能利用图像表示速度与时间、路程与时间之间的关系，并能根据变量间的关系判断和识别图像。1.2知识结构图1.3涉及的数学思想方法（举例说明）=1\*GB3①数形结合思想含义：数形结合思想是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决的一种数学思想。例：如图所示，点P是等边三角形ABC的边上的一个做匀速运动的动点，其由点A开始沿AB边运动到B,再沿BC边运动到C为止,设运动时间为t,△ACP的面积为S,则表示S与t的关系的大致图象是（）(解析)从动点的运动情况可知△ACP的面积逐渐增大,达到最大值后又逐渐变小，顾可排除B,△ABC为等边三角形，点P做匀速运动，可得S与t之间的关系的大致图象是C，故选C。[解题策略]解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段的变化情况，进而综合分析整体的变化情况。=2\*GB3②特殊到一般思想含义：通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论；由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。例：在本章的学习中，教材上每一节都是由特殊的例子引入，让学生初步认识到每一节所学的内容，后有通过每一节的大量例子，让学生理解此概念，并且最终将其应用到一般的数量上去。特殊到一般的思想是贯穿本章的。1.4相关的数学核心概念（举例说明）=1\*GB3①数感数感在本章的表现是学生在数量关系方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解、表述具体情境中的数量关系。eg：(1)上表反映了哪两个变量的关系?自变量和因变量各是什么?(2)12时，水位是多高?(3)哪一段水位上升最快?[分析]此题需要学生通过两组数据的特点，以及结合现实生活中的联系，判断出因变量和自变量是什么，要能够理解题中的数量关系，体现了数感。=2\*GB3②符号意识符号意识主要体现在本章的用关系式表示变量之间的关系中，学生需要理解并运用符号表示数量关系和变化规律。eg：某蓄水池开始蓄水，每时进水20米3，设蓄水量为V(米3),蓄水时间为t(时)(1)V与t之间的关系式是什么?(2)用表格表示当t从2变化到8时(每次增加1)，相应的V值?(3)若蓄水池最大蓄水量为1000米3，则需要多长时间能蓄满水?(4)当t逐渐增加时，V怎样变化?说说你的理由。[分析]此题中学生需要清楚t和V这两个符号在题中表示的实际意义从而解题。数学的联系与应用2.1数学史与数学文化我们知道，学习变量之间的关系是为了学生以后学习函数相关知识打下基础。故此，我收集到以下与函数有关的数学史及数学文化。1821年，柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。1822年傅里叶发现某些函数可用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。1837年狄利克雷突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。等到康托(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。高观点来看，变量的出现也是数学发展的重要时期之一，变量数学时期从17世纪中叶到19世纪20年代，这一时期数学研究的主要内容是数量的变化及几何变换。这一时期的主要成果是解析几何、微积分、高等代数等学科，它们构成了现代大学数学课程(非数学专业)的主要内容。十六、十七世纪，欧洲封建社会开始解体，代之而起的是资本主义社会。由于资本主义I场手工业的繁荣和向机器生产的过渡，以及航海、军事等的发展，促使技术科学和数学急速向前发展。原来的初等数学已经不能满足实践的需要,在数学研究中自然而然地就引入了变量与函数的概念，从此数学进入了变量数学时期。它以笛卡儿的解析几何的建立为起点(1637年)，接着是微积分的兴起。2.2数学与现实生活中的联系函数在数学这个大家庭中是一个必不可少的成员，而且在生活中他也同样随处可见。正如我们学习过的一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数,这些形形样样的函数，都在用不同的表示方法，不同的角度来表示着自然界中变量与变量之间的关系。因此，数学中函数的知识与我们的生活实践有着不可分割的联系。一次函数的应用购物时总价与数量间的关系，是最基本的一次函数的应用，由函数解析式可以清楚地了解到其中的正比例关系，在单价一定的条件下，数量越大，总价越大。此类问题非常基本，却也运用最为广泛。2.二次函数的应用当某一变量在因变量变化均匀时变化越来越快，常考虑用二次函数解决。如细胞的分裂数量随时间的变化而变化、利润随销售时间的增加而增多、自由落体时速度随时间的推移而增大、计算弹道轨迹等。二次函数的解析式及其图像可简明扼要地阐述出我们需要的一系列信息。如增加的速度、增加的起点等。3.反比例函数的应用反比例函数在生活中应用广泛，其核心为一个恒定不变的量。如木料的使用，当木料一定时，长与宽的分别设置即满足相应关系。还有总量一定的分配问题，可应用在公司、学校等地方。所分配的数量及分配的单位即形成了这样的关系。4.三角函数的应用实际生活中，我们常常可以遇到三角形，而三角函数又蕴含其中。如建筑施工时某物体高度的测量，确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性以及河宽的测量都可以利用三角函数方便地测出。5.在生活中的利润问题总利润=每件利润X销售量、人口增长率问题、个人所得税问题、市场预测问题、运货调配问题、经济图标问题、平衡价格问题、工程造价问题，这些生活常见的问题在计算、应用方面离不开函数的知识。利用函数就可以把各种数据都放到表格里，然后再绘制成函数图像，从平面直角坐标系中观察出事情发展的趋势以及计算出他们之间的函数关系式，来进行合理的预算。2.3数学与其他学科的联系物理规律，大都是运用函数图像，定性、定量进行研究，最后得出物理规律。函数图像，在物理中，可以说是遍地开花。它通过数形结合，直观、形象地反映物理过程。加深人们对物理规律的理解，下面谈谈函数图像的应用。在物理实验中，先采取了控制变量法，测出两个物理量的数据，然后，进行数据分析:一种是计算法，另一种是图像法。而后一种更被人们认可，因为有些实验数据，无法通过计算，得到两个量之间的关系。只有图像法，以两个量分别为两条坐标轴，建立直角坐标，描点画出图像，就可以通过图像，定性或定量分析它们之间的关系，得出规律。所以函数图像，在实验数据分析中，起决定作用。2.4高观点下的中小学数学早在14世纪，法国数学家奥莱斯姆使用图形表示随时间t而变化的x，并把“t”与“x”分别称为“经度”与“纬度”。这一思想被开普勒，伽利略应用于天体研究中.17世纪伽利略在《两门科学》一书中，几乎处处包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但当时尚未意识到需要提炼函数的一般概念，只是说明了代数曲线与超越曲线的区别，直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数只是被当作曲线来研究的。原因在于:数学家们一直同具体的函数打交道，对具体函数求导、积分，讨论各种各样的问题，并没有感到有定义一般函数概念的需要和动机。随着人类对连续函数，可微函数，解析函数等各种函数类的进一步研究，到康托创立的集合论在数学中占有重要地位时，维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义.通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一-步具体化，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象(点、线、面、体、向量、矩阵等)。1914年费利克斯在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数，其优点是避开了意义不明确的“变量”“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基于1921年用集合概念来定义“序偶”，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了.1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任何元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义了一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。教学研究（以“用关系式法表示变量之间的关系”课为例）3.1重点与难点分析[设计依据]通过查阅《义务教育阶段课程标准》，结合教材分析学生已有的知识储备及心理特征后，我首先将本节内容的教学目标确定为：=1\*ROMANI.知识与能力目标：=1\*alphabetica、理解两个变量之间的关系可以用关系式表示，能在-一个关系式中指出自变量和因变量；=2\*alphabeticb、能够在具体的情境中列出表示变量关系的关系式。=2\*ROMANII.过程与方法目标：=1\*alphabetica、如何将生活中的实际问题转化为数学问题；=2\*alphabeticb、经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。=3\*ROMANIII.情感态度价值观目标：=1\*alphabetica、培养学生动手的能力，探索问题、研究问题的能力及应用数学知识的能力；=2\*alphabeticb、通过教学让学生领悟探索问题和研究问题的方法。因此，我将本节的重难点设为如下内容3.1.1教学重点=1\*alphabetica、如何在具体的情境中列出表示变量关系的关系式。=2\*alphabeticb、理解两个变量之间的关系可以用关系式表示，能在一个关系式中指出自变量和因变量。3.1.2教学难点=1\*alphabetica、用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系。3.1.3常见错误在查阅分析了近几年的中考试卷及优秀教师对于本堂课的分析后，我总结了以下对于学生来说容易错误的地方，在授课时老师应多加注意易错1：有的变量是由不变量与变量之和组成的，在解题时易忽略不变部分(在个别问题中，一定条件下变量也可能成为不变量)而导致错误。易错2：在写关系式时，不能够通过题中的两组数据全面得出两个变量之间的关系规律，易出现片面性错误。易错3：在计算关系式时忽略题目中给出的自变量的范围。易错4：在分析变量之间的关系时无法结合实际问题弄清楚变量在问题中表示的实际意义。3.2课题引入设计3.2.1现实情境下的课题引入[引入方式]（PPT以视频的形式展示30张图片，教师介绍）前一段时间大萌子和萌爸的三十年照片被晒在网上，这30张照片是一个北京姑娘1岁到30岁和爸爸的合影，从小到大,她的每一步都有爸爸陪伴,每张照片都有那一年的故事，触动心灵!孩子茁壮成长，父母日渐老去。[处理方式]通过上面的例子，我们感到：我们生活在一个变化的世界中。从数学的角度研究变化的量,讨论它们之间的关系，将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来,这也是我们第三章将要学习的变量之间的关系。[设计意图]通过具体生活的实例激发学生的学习兴趣，在学生熟悉的情境中自然地引入本章的内容，学生感到亲切，贴近生活。乐意去学习探究，又通过具体的情境，让学生对本章学习研究的内容有个大致的了解，目的性较强，直接指向本节课所要学习的内容。3.2.2例题情境下的课题引入[引入方式]（PPT上给出）如图是某地一天的气温变化图，从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化。那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢？[处理方式]让学生看着PPT上的图说出两种数的变化情况，然后引导学生根据实际情况说出其他类似的数量关系。[设计意图]通过实际的例子让学生认识变量、直观性较强；便于学生理解自变量、因变量的概念；对学生学习后面的用图像表示变量间的关系有铺垫作用。询问式语言的结尾可以激发学生对新知的探索欲。3.3.3试验情境下的课题引入[引入方式]提前分小组让学生完成试验：将饮料瓶用针戳一个小眼，让水从小眼流走，对饮料瓶中的刻度尺一分钟记录一次，将观察到的数据填入表格中。在课堂上与同学一起讨论结果。[处理方式]在课前提前给学生分组并布置试验任务，让学生提前对变量有现实的感知。[设计意图]通过具体的动手试验让学生理解变量以及因变量与自变量之间的关系。可以增强学生的动手能力，培养学生的探究、试验精神，将对学生的德育教育融入课堂。同时也可以激发学生的好奇心，增加对课堂的专注度。3.3典型例题与变式练习3.3.1概念理解例题：如图OABC底边BC.上的高是6cm.当三角形的项点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化。(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?(2)如果三角形的底边长为x(cm)，那么三角形的面积y(cm2)可以表示为(3)当底边长从12cm变化到3cm时，三角形的面积从cm2变化到cm2教师展示同时提出引导式问题：三角形是日常生活中很常见的图形，决定一个三角形面积的因素有哪些?①操作多媒体，演示“三角形面积的变化’②问题探究:(1)问题:决定一个三角形面积的因素有哪些?(2)课件演示:(高一定)变化中的三角形最后与学生一起得出结果并总结：y=3x表示了图3-2中三角形底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式。变式：如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?(2)如果圆锥底面半径为r(cm)那么圆锥的体积V(cm3)与r的关系式为。(3)当底面半径由1cm变化到10cm时，圆锥的体积由cm3变化到cm3[设计意图]在此题中要求学生清楚理解两种变量的概念，清楚他们之间的关系，能够从图像中剥离出他们的关系。3.3.2数学思想方法1、数形结合思想利用数量关系来研究图形特征，利用图形特征来研究数量关系，即借助数与形的相互转化来研究和解决问题的一种数学思想叫做数形结合思想。数形结合思想在日常生活中应用广泛，也是中考热点之一。一天晚饭后，小明陪妈妈从家里出去散步，图3-36描述了他们散步过程中离家的距离s(米)散步时间t(分)之间的关系，下面的描述符合他们散步情景的是()