向量基本定理及坐标表示（十三大题型）-2024学年高一数学同步学与练（苏教版）（解析版）

9.3向量基本定理及坐标表示

学习目标

课程标准学习目标

（1）能解释正交分解的含义，会举出正交分解的实例，（1）理解平面向量基本定理及其意义.

能分析平面向量正交分解与平面向量基本定理的内在（2）会运用平面向量基本定理解决简单平

联系.面几何问题.

（2）能在平面向量坐标表示的基础上，得出平面向量的（3）借助平面直角坐标系，掌握平面向量

和、差、数乘运算的坐标表示，并进行相关的计算.的正交分解及坐标表示.

（3）能用坐标表示平面向量的数量枳，会进行坐标表示（4）会用坐标表示平面向量的加、减运算

下的平面向量数量积的运算；能描述两个平面向量夹角与数乘运算.

的含义，会用坐标表示向量的模与夹角.（5）能用坐标表示平面向量的数量积和两

（4）能用坐标表示向量共线的条件，并会用其判断两个个平面向量的夹角.

向展是否共线；能用坐标表示向最垂直的条件，并会用（6）能用坐标表示平面向后共线、垂直的

其判断两个向量是否垂直；体会数形结合的思想.条件.

（5）在探究平面向量基本定理和坐标表示的过程中，感

悟联系的观点，体会转化与化归的思想，能说出用向量

法解决几何问题的基本路径，体会用向量语言、向量方

法表述和解决问题的简捷性.

思维导图

第1页共44页

平面向量基本定理

平面向量基本定理基底

向星的正交分菖

向量的坐标表示

一向量加法

向量的坐标运算向量减法

向量基本定理及向量数乘

坐标表示

向量数量积的坐标表示

向量的模

向量的夹角

向量平行的坐标表示

知识清单

知识点01平面向量基本定理

1、平面向量基本定理

如果不g是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量。，有且只有一对实数4,4,

使〃=4弓+462，称为。1，©2的线性组合.

①其中不与叫做表示这一平面内所有向量的基底：

第2页共44页

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量外出的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.

这说明如果a=+4电且〃=4%+4g，那么4=4'，4=4’•

③当基底4,小是两个互相垂直的单位向最时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向最基本定理实际

上是平面向量坐标表示的基础.

知识点诠释：

平面向最基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应

的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.

2、如何使用平面向量基本定理

平面向量基本定理反映了平面内任意•个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合.

（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解

答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的.

（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示.选择了不共线的两个向量

6、%,平面上的任何一个向量。都可以用4、G唯一表示为。=44+不/，这样几何问题就转化为代数

问题，转化为只含有《、g的代数运算.

【即学即练1】（2024•河南省直辖县级单位•高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，在工BC中，

AD=\DC,尸是线段BD上一点，若=+则实数〃?的值为（）

【答案】A

【解析】•：AD=^DC,：.AC=^AD^

J

12

又AP=〃iA8+—AC,AP=mAB+—AD,

63

2|

•:B,P,。三点共线，Aw+-=l,?./«=-.

故选:A.

知识点02平面向量的坐标表示

1、正交分解

第3页共44页

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

知识点诠释：

如果基底的两个基向量6、Q互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正

交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式.

2^平面向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系内，分别取与工轴、轴方向相同的两个单位向量i、，作为基底，对于平面

上的一个向量4,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数X,），，使得。=刀+q.这样，平面内的任一

向量。都可由X），唯一确定，我们把有序数对（X,），）叫做向量a的（直角）坐标，记作〃=（用力，X叫做。在

x轴上的坐标，y叫做。在），轴上的坐标.把。=（%,），）叫做向量的坐标表示.给出了平面向量的直角坐标表

示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，

为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系.

y

.二/

。丁工

知识点诠释：

（1）由向量的坐标定义知，内向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即〃%=W且y=%，其

中a=（M，y）,b=（x2,y2）.

（2）要把点的坐标.与向量坐标区别开来.相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同.比

如，若A（2,3）,8（5,8）,则人8=[3,5）；若C（T,3）,D（-l,8）,则CQ=（3,5）,AB=CD,显然A、B、。、

。四点坐标各不相同.

（3）（x,y）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，乂可以表示一个向量.

【即学即练2]（2024.全国•高一随堂练习）如图，设｛仃｝为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示

向量”，〃，c，d，并求出它们的坐标.

第4页共44页

【解析】由图可知：

a=2i+3j,对应坐标为(2,3)；

b=-2i+3j,对应坐标为(一2,3)；

c=-2/-3j♦对应坐标为(-2,-3)；

d=2i-3j,对应坐标为(2,-3).

知识点03平面向量的坐标运算

1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算

运算坐标语言

记OA=(%,y),OB=(x2,y2)

加法与减法

OA+OB=O]+x2,x+%)，OB-OA=(x2-玉，y2-y)

实数与向量的乘机记。=(x,y),则Xa=(2x,Ay)

2、如何进行平面向量的坐标运算

在进行平面向量的坐标运算时，应先将平:面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法

则进行计算.在求•个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐

标得到该向最的坐标.求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.但同时注意

以下几个问题：

(1)点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点

在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等.

(2)进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系.

(3)要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的.

(4)要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.

【即学即练3](2024.山西运城.高一统考期末)已知M(-2,5),N(10,-1),点P是线段MN的一个三等分

点且靠近点M,则点P的坐标为.

【答案】(2,3)

【解析】由题可知MN=3MP，

设P(x,y),则MN=(12,-6),

MP=(x+2,y-5),3MP=(3.r+6,3>'-15),

.3x+6=12x=2

..3y-15=-6=>=>P(2,3).

)'=3

故答案为:(2,3).

知识点()4平面向量平行(共线)的坐标表示

第5页共44页

1、平面向量平行（共线）的坐标表示

设非零向量〃=（3,%）,/?=（工2，＞2），则4〃匕=（4凹）=/亿,丁2），即，",或玉）、-My=O.

1凹=%为

知识点诠释：

若则不能表示成工=工，因为分母有可能为。・

&H

2、三点共线的判断方法

判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知

A（x1,y\）,B（X2,y2）,C（x3,y3）,,4B=（x2-xpy2-yj,AC=（七一',%-），J,

若（七一寸）（必一凹）一（七一内）（、2-y）=0,则A，B,C三点共线.

【即学即练4】（2024•江苏无锡•高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）向量0A=（Z/2）,尸8=（4,5）,

PC=（10次）,若A,B,C三点共线，则攵的值为（）

A.-2或11B.2或11C.-2或-IID.2或一11

【答案】A

【解析】由幺=化［2）,*（45）,PC=（1（U）,

得A8=P8-E4=（4-Z,-7）,AC=PC-PA=（\0-kyk-\2）f

又A,B,C三点共线，

则4B=/MC，

4-A=/l（IOd）,{k=~2=

即|一』（12）：解得“6味=7，

故选:A.

知识点05向量数量积的坐标表示

1、已知两个非零向量a=（5，y）,b=（x2,y2）,a-b=x}xr+y\y2

2、设。=（x,y）,则|«『=设+,2或।々|=旧+，

3、如果表示向量”的有向线段的起点和终点的坐标分别为（西,凹）、（S'M），那么

|a|=J（内一七）2+（X一）’2）2（平面内两点间的距离公式）.

【即学即练5］（2024.全国•高一随堂练习）已知AC=（2/），AB=（1J）,且人。相=3,贝打=.

【答案】1

【解析】AC・/W=2+/=3,解得，=1，

故答案为:1.

第6页共44页

题型精讲

用

题型一：平面向量基本定理的理解

【例1】（2024•高一课时练习）已知q,&是不共线的非零向晟，则以下向量可以作为基底的是（）

A.〃=0,6=q+6B.。=%]+%，方=q+6

111tl一一一111tl

C.a=e}-2e2,h=ex+e2D.a=et-2e2,b=2e1-4e2

【答案】C

【解析】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；

对于B：因为。=%]+他，b=e{+e2,所以。=3力，所以此两个向量不可以作为基底；

对于C：设〃=劝，即弓-2S=/1卜+62），则所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一

一乙—人

组基底;

第7页共44页

对于D：设）=之-2?b=2e/4e2,所以。彳〃，所以此两个向量不可以作为基底;

故选：C.

【变式1・1】（2024•黑龙江齐齐哈尔・高一齐齐哈尔中学校考期中）设,4}是平面内所有向量的一个基

底，则下列不能作为基底的是（）

A.6和弓+/B.q和q-q

C.2G4c2和qi2c2D.c}l2c2木口2qie2

【答案】C

/«=0

【解析】对于A,令02=加,+4），则，加不存在，「.J,q+e2不共线，可以作为基底，A错

m=1

误；

对于B,令4=〃,一《2）,则,；］:，〃不存在，「.e；,马一.不共线，可以作为基底，B错误;

对于C,V2q-46=_2(_q+2e2],

...2q—44和—4+26共线，不能作为•组基底，C正确；

对于D,令6+2%=（2q+0），则I，不存在，.•.4+2/，2q+e；不共线，可以作为基底，D错

误.

故选：C.

【变式1・2】（2024.高一课时练习）设外为是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基

底的是（）

A.q+/和q-/B.3q—46和6e1-Se2

C.et+2e2和2e,+e2D.4和q+e2

【答案】B

【解析】卬马是平面内所有向最的一组基底，所以0型2不共线；

所以e}+e2和q-e2不共线，e}+%和2e、+e2不共线，q和e1+e2不共线；

所以选项A,C,D都可以作为基底；

B中，6q-&2=20弓-46）,

所以30-把和6e「8e?共线，不能作为基底.

故选:B

【变式1・3】（2024♦山西•高一校联考阶段练习）如果,勺}表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四

第8页共44页

组向量，不能作为一个基底的是（）

A.e2、q-2^,B.q+羽、e2+2e]

C.et-3e2、6e2-2etD.e,-e2、et-3e2

【答案】C

【解析】对于A选项，设q-2/=%/（%£R），

一一[1=0

因为《、。，不共线，则r，显然不成立，A中的两个向量可作一个基底:

Z=-2

对于B选项,设q+%=4（2q+e2j=22et+2e2（2eR）,

[22=1

因为q、与不共线，则】，显然不成立，B中的两个向量可作一个基底；

对于C选项，因为6，-24=-2（4-36）,C中的两个向量不能作•个基底：

对干D选项，设q=义（《—6）=4弓一^.（awR），

Z=1

因为,、与不共线，则，钎显然不成立，D中的两个向量可作一个基底.

—X=-3

故选：C.

【方法技巧与总结】

考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面

上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.

题型二：用基底表示向量

【例2】（2024•全国•高一假期作业）如图，在平行四边形A8CO中，E是。。的中点，AE和6。相交于点

F.记AB=a,AD=b>M（）

C.CF=—a——bD.CF=-a+—b

3333

【答案】A

【解析】在平行四边形ABC。中A8//CO,AE和友）相交于点尸,

所以小ABFS&EDF,乂E是。。的中点，

所以箓=I所以。尸=:。8=:（44-4可，

BFAB233'/

第9页共44页

i\01

所以C77=CO+O/=-AB+-（AB—A£））=-£AB--AD=--a--b.

33333

故选：A

【变式2・1】（2024.陕西•高一校联考期中）如图，在..A8C中，设人8=a,AC=b，BD=2DC，

AE=4ED^则BE:（）

2』

B.

315

C.D.-L+&

3151515

【答案】D

4441

【解析】由题意8£：二4E-48:14。一〃二弓（48+8。）-0=18。一S〃

5351551515

故选:D.

【变式2・2】（2024•安徽芜湖•高一安徽省无为襄安中学校考期中）在.ABC中，力。为边上的中线，E

为A。的中点，则EC等于（）

31|33I13

A.-AB——ACB.——AB+-ACC.--AB+-ACD.-AB--AC

44444444

【答案】B

【解析】因为AO=g（A8+ACb

所以或="-却）=衣-#8+n）=-：44+（心

【方法技巧与总结】

平面向量基本定理的作用以及注意点

第10页共44页

（1）根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三

角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.

（2）基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量.

题型三：平面向量基本定理的应用

【例3】（2024•全国•高一随堂练习）如图所示，中，A。为边8c的中线，AP=SQ,MP=xMN，

AM=AAB^4N=〃AC,其中/>0,x>0,A>0,〃>0.

⑴当/=g时，用向量八8,AC表示AP；

(2)证明：,为定值.

/I〃

【解析】(1)当/=!时，AP=：AQ,

JJ

因为AQ为边的中线，

所以AQ=/W+AQ=人8+；/昭="+#。一")=3"+3心

所以4户=

66

(2)由(1)可知AQ='A8+LAC,

22

所以”=/AQ/(A8+4C).

2

而MP=xMN，AM=AABAN="AC,

所以MP=AP-AM=xAN-xAM，

(A8+AC)—2AB=xpAC-xXAB,

整理可得——A+x/lAB=^A7/——AC,

1=2-

而AB，AC是不共线向品，所以，/+9=邛，-《=0=]

~2-=2x

两式相加可得：+工=2,是定值，证毕.

2〃

第11页共44页

【变式3.1】（2024•海南•高一校考期末）如图，在.A8C中，A。是8c边上的中线，E为AO的中点.

⑴用A8，表示AO：

（2）用A8，AC表示仍.

【解析】（1）因为AO是8c边上的中线，

所以4O=AB+B/）=

2

（2）因为E为A。的中点，

所以£3=E4+A4=—；AO+43=-gx；（A4+AC）+A8=；4〃—；AC.

【变式3-2］（2024•河北邢台・高一邢台市第二中学校考阶段练习）如图，四边形ABC。是平行四边形，点

(1)以人8，A。为基底，分别表示向量AE，BFx

(2)以AE，4『为基底，表示向量AC.

【脩析】(1)因为E为。C中点，则AE=AO+£^=AO+gA8,

F为AO中点，WlJBF=BA+AF=-AD-ABi

2

(2)注意到AC=A3+AO，

又E为DC中点、,则A£=AO+DE=A£>+」A3,

2

b为A。中点，贝IJB/=BA+AF=-AD-AB,

2

I574

则2+4E=/AOnAD=-BF+-AE,

2455

10—•5.■2.4.

一AE—BF=-ABnAB=一AE——BF,

2455

则AC=AB+AD|>4E-|BF.

【变式3-3](2024•广西钦州•高一校考期末)如图，在一ABC中，BC=4BD,AC=3CE,4£与人。相交

第12页共44页

于点M.

(2)若+,求"?+〃的值.

【解析】(I)因为BC=4BD,所以BO=」8C=L(AC-A8)=L4C-LA8,

44、744

1131

所以AO=AB+/?O=48+±AC—±AB=2/W+±AC.

4444

-2

因为AC=3CE,所以AE=§AC,

所以8E=AE-48=gAC-48.

miniur笫um;iiu

(2)因为A,M,/)三点共线，所以AM=/IAO=—A8+-AC.

44

32

m=一

4

因为AM=〃L48+〃AC，所以，.,即〃?=3〃.

n=­

4

uiuurnnuia.nrZil-k)1111r

因为8,M,E三点共线，所以AM=J4B+(l-k)AE=148+A』AC.

in=k

因为AM=〃LAB+〃/1C，所以《2(I-Q.

n=-------

3

07

因为〃?=3〃，所以&=3x：(l-&),解得2=9,

22R

从而〃l=g,〃=§,故加+〃=§.

【变式3・4】(2024•高一校考单元测试)如图所示，已知点G是.A8O的重心.

O

AB

第13页共44页

⑴求G4+GB+GO；

⑵若PQ过&ABO的重心G,且OA=a，OB=b,OP=ma，OQ=nb,求证：—i—=3.

inn

【解析】（1）如图所示，延长0G交A3于例点，则M是A4的中点，

:・GA+GB=-2MG，

•・，G是的重心，:.GO=-2GM，，GA+G8+GO=0;

（2）是A3边的中点，••・OM=；（QA+O8）=g（a+b）,

又G是^ABO的重心,・•.OG==；（。+。），

PG=0G-OP=+-ma=^-m〃+g匕>

而PQ=OQ-OP=nb-ma,

•・・P、G、。三点共线，，有且只有一个实数丸，使得PG=A尸Q,

:.（g-〃?）4+g〃=Anb-Ama,/,（g-m+a+（g-4〃/?=0,

,•,"与〃不共线，.,・!一+且2—2〃=。消去4，得‘+,=3.

33mn

【方法技巧与总结】

若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用

已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量（一般需建立两个不同的向量表达式），再利用待定

系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.

题型四：平面向量的坐标表示

【例4】（2024•全国•高一课堂例题）如图"，与是夹角为120。的两个单位向量，卜2逐，且

（哂）=30。,住e>90。.求04在基,，斗下的坐标.

Oei

【解析】如图,

第14页共44页

作平行四边形O84C,则OA=OB+OC.

因为NOAC=Z4O8=30。，|。$=26,

所以，在RlaOAC中，|。。|=2JC$=4.

所以网=同=4,即OA=4q+羽.

因此OA在基,©｝下的坐标为（42）.

【变式4・1】（2024•全国•高一课堂例题）如图，设。（0,0）,£；（L0）,£,（0J）,P（x,y）是平面直角坐标

系中的4个点，且q=。鸟，e2=OE2.求OP在基｛%%｝下的坐标.

【解析】q=0E，S=OE2分别是大轴和轴上的单位向量，并且相互垂直，因此不共线，则6，6组成

平面上的一组基.

在1轴上取与P（x,y）横坐标相同的点4（x,0），则片P与y轴平行或共线.

在y轴上取与p（x,y）纵坐标相同的点6（0,），），则鸟尸与X轴平行或共线.

因此OP=O4+O4.

由A，6的坐标可知OR=咫，0P?=ye?,

因此OPfq+y。，即OP在基｛。勺｝下的坐标为（x，＞）.

【变式4・2】（2024•高一课时练习）在直角坐标系宜力中，向量〃、）、c的方向和长度如图所示，分别求

它们的坐标.

第15页共44页

1c|=3,

b=(\h\cos(30°+90°),|/>|sin(30°+90°))=(一^,孚).

c=(|c|cos(-30°),|c|sin(-30°))=(乎|)；

【方法技巧与总结】

在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义

求坐标.

题型五：平面向量加、减运算的坐标表示

【例5】(2024•全国•高一随堂练习)已知”=(-1,2),。=(1,-2),求〃+0，2a_3〃的生标.

【解析】由题意,«+Z>=(-l,2)+(1,-2)=(0,0),

«-/?=(-1,2)-(1,-2)=(-2,4),

2«-3Z?=2x(-1,2)-3x(l,-2)=(-2,4)-(3,-6)=(-5,10).

【变式5」】(2024•全国•高一随堂练习)已知：=(2,4),〃=(-■),求2a-3b，4a+2b的坐标.

【解析】因为:=(2,4),〃二(一1,1),则%-3〃=2(2,4)-3(-1,1)=(7,5),

4。+2〃=4(2,4)+2(-1,1)=(6,18).

【变式5・2】(2024.全国•高一随堂练习)已知向量〃、b的坐标，求〃+八叱8的坐标.

(l)a=(-2,4),力=(2,3)；

⑵a=(4,3),。=(-2,8)；

⑶n=(2,3),^=(-2,-3)；

第16页共44页

(4)a=(2,4),Z>=(0,3).

【解析】(1)因为〃=(一2,4),5=(2,3),则办。=(-2,4)+(2,3)=(0,7),

~=(-2,4)-(2,3)=(<1).

(2)因为〃=(4,3),。二(一2,8),则〃+力=(4,3)+(-2,8)=(2[1),

。-〃=(4,3)-(-2,8)=(6,-5).

(3)因为：/=(2,3),〃一(一2,一3),贝口十方一(2,3)十(一2,一3)—(0.0),

。-〃=(2,3)-(-2,-3)=(4,6).

(4)因为;/=(2,4),人=(0,3),则〃+6=(2,4)+(0,3)=(2,7),

a-^=(2,4)-(0,3)=(2,1).

【变式5・3】(2024•新疆•高一校考期末)。=(2,1)4=(-3,4),求为+434a-劝的坐标.

【解析】因为a=(2,1),5=(-3,4).

所以3。+4〃=3(2,1)+4(-3,4)=(-6,19).

4a-2)=4(2,1)-2(-3,4)=(141).

【方法技巧与总结】

平面向量坐标运算的技巧

(I)若已知向最的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.

题型六；平面向量数乘运算的坐标表示

【例6】(2024•高一单元测试)已知点42,3),A(5,4),C(7,10),AP=AB+AACR),试求当点?在第三

象限时，4的取值范围.

【答案】(华,-1)

【解析】设P(X，A，

•・・A(2,3),8(5,4)07,10),

二"二(x-2,)，-3),AA=(3,l),4C=(5,7),

•/AP=AB+AAC^/.(-r-2,y-3)=(3,l)+/l(5,7)=(3+52,1+72),

x-2=3+5/l,,fx=5+5/l

•••=।力，解得力

y—3=1+72[y=4+7Z

•・•点P在第三象限，

5+5A<0

解得/〈-1，

4+72<0

第17页共44页

故答案为：(-°0,-1).

【变式6・1】(2024.陕西宝鸡.高一统考期末)已知1=(2,-1),4=(1,2),若"①+”，则

【答案】-3

【解析】根据题意，由向量的坐标表示，列出方程，求出义，〃，即可得出结果.因为々=(-1,1),

=(2,-1),f=(1,2),

若A=则,।:解得’.5»所以2=-3.

I=-A+2u14

故答案为：-3.

【变式6-2](2024.高一课时练习)已知点50。，A(1.0),8(0,2),C(-l,4),若

OC=AOA+GR),则义+〃的值为.

【答案】1

【解析】由题知。。=(一1,4),04=(1.0),08=(0,2),

由。C=WA+juOB得(-1,4)=2(1,0)+〃(0,2),

.-1=A,2=-1,

―4=2/7,n=2,

工儿+〃=1.

故答案为：1

【变式6・3】(2024•高一单元测试)已知41,-2),氏-1,3),若人。=38。,则。的坐标是

【答案】12；)

【解析】设C«y),则AC=("l,y+2),BC=(x+l,y-3),

VAC=3BC,(x-l,y+2)=3(x+l,j-3)»

二.x—I=3x+3.N+2=3y—9,

・・・C的坐标是｛2，?)

故答案为：12,蓝)

【方法技巧与总结】

第18页共44页

平面向量坐标运算的技巧

（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.

（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向我的坐标，然后再进行向最的坐标运算.

（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.

题型七：向量共线的判定

【例7】（2024•广东佛山•高一佛山市三水区实验中学校考阶段练习）已知A4=（l,-2）,BC=（-3,8）,

C/?=（l,-3）,则（）

A.A,8,。三点共线B.A,。三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,。三点共线

【答案】D

【解析】由题意可得：AC=A3+3C=(-2,6),则有AC=2CO.

则A,C,D三点共线.

故选：D.

【变式7」】（2024•全国•高一假期作业）已知向量不共线，AB=a+3b^BC=5〃+3〃，

CD=-3a+3b,则（）

A.A,B,C三点共线B.A,C,。三点共线

C.A,B,。三点共线D.B,C,力三点共线

【答案】C

【解析】因为G方不共线，48=6+3。，BC=5a+3/?，CD=-3a+3b，

易得人及BC,CO互不共线，所以A,B,C三点不共线，B,C,。三点不共线，故AD错误

又AC=AB+BC=6a+6〃，易得ACCD不共线,则4,C,。三点不共线，故B错误；

而BO=BC+C£>=2a+6〃=2(a+3A)=2A8,所以A,B,。三点共线，故C正确.

故选:C.

【变式7・2】（2024•江苏镇江・高一扬中市第二高级中学校考期末）设是平面内的一组基底

ULUUUULUUUULILIUUU

则（）

AB=3e}+2e2iAC=4et—e2,AD=5e]—4e2,

A.A3,C三点共线B.AC。三点共线

C.及C。三点共线D.A8,。三点共线

【答案】C

milIUUH4a=3

【解析】A选项，设=则《，,无解，故ARC三点不共线，A错误;

-a=2

uiniuuu[56=4

B选项，设AC=ZMO,则-41'无解‘故A"三点不共线，B错误,

第19页共44页

uiaiuimuiuirirzuirxirir

C选项，BC=AC-AI3=4e,-e2-(3e,+2e2\=et-3e2,

LUUHL1UUIB1UU111111n

CD-AD-AC=5^-4e2-4e,+e2=e,-3e2»

故陇=左，故仇CD三点共线，C正确；

UUtlUUtlUUU1111tluuu

D选项，［3D=AD-AB=5e1-4e2-3e1-2e2=2e1-6e2，

UU11mill2c=3

设A8=c8O,则＜r，无解，故A&。三点不共线，D错误.

-6c=2

故选：C

【方法技巧与总结】

向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐

标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配.

题型八：利用向量共线的坐标表示求参数

【例8】(2024•江苏泰州•高一校考期末)设弓，4为平面内一个基底，已知向量AB=e；-Ae；,

CB=4et-2e2,CD=3ei-3e2,若A,B,。三点共线，则k的值是()

A.2B.1C.—2D.-1

【答案】D

［解析】因为C“=钠-，CD=3q-%，

所以BD=CD-CB=—ex—e2,

因为A,&。三点共线，

所以有AB=ABD，即q-ke?=X卜q—6)=G-攵4=-A,ex-Ae2

因为e；，R为平面内•个基底，

所以6，与不是共线向量，因此有＜,,n&=—，

\—k=­X

故选：D

uuu

【变式8・1】(2024.河北邯郸•高一统考期末)已知向量相=(一1,2),AC=(2,3),AD=(m-3),若从

C,。三点共线，则〃…()

97

A.-16B.16C.-D.--

33

【答案】A

【解析】由题意得8C=AC-4B=(3,1),BD=AD-AB=(fn+l-5),

因为&C,D三点共线,

所以

则加+1=-15,得〃7=-16.

第20页共44页

故选：A.

【变式8・2】(2024♦新疆•高一八一中学校考期末)在平面直角坐标系中，向量产八=(1,4),PB=(2,3),

PC=(x,l),若A,B,C三点共线，则x的值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】因为A,B,。三点共线，

则PC=NFA+〃尸6,(Z+//=l),

即(x,1)=4(1,4)+〃(2,3)=(%+2442+3〃)，

x=2+2〃仅=3

则"=44+3〃,解得"=-2.

%+〃=1[x=4

故选：C

【方法技巧与总结】

利用向最平行的条件处理求值问题的思路

(1)利用向量共线定理a=Ab(b/0)列方程组求解.

(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.

提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值.

题型九：定比分点坐标公式及应用

【例9】(2024•高一课时练习)已知A(2,3),B(4,-3),点P在线段相的延长线上，旦kP卜■!„,则

点P的坐标为.

【答案】(8,75)

3

【解析】丁点P在线段A8的延长线上，且|AP|=1|产例，

AB=-BPt

2

OP=OB+2AB=(4,-3)+2(2,-6)=(8,-15).

所以点。的坐标为(8,-15).

故答案为：(8,-15).

【变式9・1】(2024.浙江宁波.高一宁波市北仑中学校考期末)已知两点6(2,-1),6(7,3),点尸在直线片鸟

2-

上，且满足比昨早吗I,则点P的坐标为.

43>/43

制

--&或

595-9)/((8',9

XI

-

55-

第21页共44页

22

【解析】若点p在线段耳耳的反向延长线上,又因为14Pl=?吗I,则有耳P=、PR,设尸|x,y),则

不一2=_鼻(_|一力