挑战中考数学压轴题详解

目录

第一部分函数图象中点的存在性问题

因动点产生的相似三角形问题

例1

上海市中考第24题

例2

苏州市中考第29题

例3

例4黄冈市中考第25题

例义乌市中考第题

524

例临沂市中考第题

626

苏州市中考第29题

L2

因动点产生的等腰三角形问题

例1

上海市虹口区中考模拟第25题

例2

扬州市中考第27题

例3

临沂市中考第题

例426

例5湖州市中考第24题

例6盐城市中考第28题

例7南通市中考第27题

江西省中考第25题

L3

因动点产生的直角三角形问题

例1

山西省中考第26题

例2

广州市中考第24题

例3

杭州市中考第题

例422

例5浙江省中考第23题

北京市中考第题

例624

例7嘉兴市中考第24题

河南省中考第23题

L4

因动点产生的平行四边形问题

例1

上海市松江区中考模拟第24题

例2

福州市中考第21题

例3

烟台市中考第题

例426

例5上海市中考第24题

例6江西省中考第24题

例7山西省中考第26题

江西省中考第题

L524

因动点产生的梯形问题

例1

上海市松江中考模拟第24题

例2

衢州市中考第24题

例4

义乌市中考第24题

伤

I・5

-杭州市中考第24题

仞I»I7

・广州市中考第25题

16

»因动点产生的面积问题

伤I-1

T苏州市中考第29题

仞2

»I|荷泽市中考第21题

伤3

》

d河南省中考第23题

伤u4

I.南通市中考第28题

伤5

》

I一广州市中考第25题

伤6

.

I•扬州市中考第28题

伤.7

I.兰州市中考第29题

1.7

因动点产生的相切问题

伤1

-

I2上海市杨浦区中考模拟第25题

仞T

3河北省中考第25题

伤»I|

■无锡市中考第28题

18

I・

T1因动点产生的线段和差问题

伤

2天津市中考第25题

伤

3滨州市中考第24题

传d

u山西省中考第26撅

第二部分图形运动中的函数关系问题

2.1由比例线段产生的函数关系问题

例1宁波市中考第26题

例2上海市徐汇区中考模拟第25题

例3连云港市中考第26题

例4上海市中考第25题

22

由面积公式产生的函数关系问题

例1

荷泽市中考第21题

例2

广东省中考第22题

例3

例河北省中考第26题

4

淮安市中考第题

例28

5

例山西省中考第26题

6

重庆市中考第26题

第三部分图形运动中的计算说理问题

3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题

例1南京市中考第26题

例2南昌市中考第25题

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题

例1上海市黄浦区中考模拟第24题

例2江西省中考第24题

第一部分函数图象中点的存在性问题

1.1因动点产生的相似三角形问题

例1上海市中考第24题

如图1,在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线)，=底+云(a>0)经过点A

和x轴正半轴上的点5,AO=BO=2,NAO8=120°.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)连结OM,求N40M的大小：

(3)如果点C在x轴上，且△4BC与△40M相似，求点C的坐标.

动感体验

请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点。在

点B的右侧，有两种情况，△ABC与△4OM相似.

请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在

点8的右侧，有两种情况，△ABC与4人。〃相似.点击按钮的左部和中部，可到达相似的

准确位置。

思路点核

1.第(2)题把求NAOM的大小，转化为求N80M的大小.

2.因为N8OM=NA8O=30°,因此点。在点8的右侧时，恰好有NABC=NAOM.

3.根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似.

满分解答

(1)如图2,过点A作A”！)，轴，垂足为H.

在Rtz^AO”中，A0=2,ZAOH=30°,

所以4”=1,0/7=73.所以A(-l,6).

因为抛物线与x轴交于08(2,0)两点，

设y=ax(x—2),代入点A(-1,73),可得

百

ci=—.图2

3

所以抛物线的表达式为y=^x(x-2)=与x?—当x.

⑵由丫=受苧邛(1)2-冬

得抛物线的顶点M的坐标为(1,—亨).所以tanNB0M=与.

所以NBOM=30°.所以NAOM=150°.

(3)由A(-l,扬8(2,0)M(L-乌，

得tan/A80=且，4B=2石，OM.

33

所以N48O=30°,—=>^.

OM

因此当点C在点B右侧时，/ABC=/4OM=150°.

△ABC与A40M相似，存在两种情况：

①如图3,当但1=*=石时，3C=丝=¥=2.此时C(4,0).

BCOM66

②如图4,当空=*=6时，BC=GB4=GX2J5=6.此时C(8,0).

BAOM

考点伸展

在本题情境下，如果△ABC与△80M相似，求点C的坐标.

如图5,因为△80M是30°底角的等腰三角形，NA5O=30°,因此△ABC也是底角

为30°的等腰三角形，AB=AC,根据对称性，点C的坐标为（一4,0）.

图5

例2苏州市中考第29题

如图1,已知抛物线y=_Lf-j_s+］）x+2（b是实数且0>2）与X轴的正半轴分别交

444

于点A8（点4位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C.

（1）点8的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC

是以点尸为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点尸的坐标；如果不存在，请说

明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCOZXQOA和△QA8中的任

意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点。的坐标；如果

不存在，请说明理由.

动成体歌

请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点8在x轴的正半轴上运动，可以体验到,

点尸到两坐标轴的距离相等，存在四边形PC06的面积等于2人的时刻.双击按钮“第（3）

题”，拖动点B,可以体验到，存在N0Q4=N8的时刻，也存在/。。乂=/8的时刻.

思路点拨

1.第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点尸到两坐标轴的距离相等.

2.联结0尸，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子

表示.

3.第（3）题要探究三个三隹形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点。

最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上.

满分解答

（1）B的坐标为（A0）,点C的坐标为（0,-）.

4

（2）如图2,过点P作尸。lx轴，尸轴，垂足分别为OE,那么△PDBg△PEC.

因此PD=PE.设点P的坐标为（x,x）.

如图3,联结OP.

所以S酬边形PCOB=S^pco+S^P8o=—x—x+—xb-x=—bx=2b.

2428

解得x=所以点P的坐标为（史,3）.

555

图2图3

(3)由y=442一，s+])x+2=_L(x-])(x-b),得A(1,O),OA=\.

4444

①如图4,以。40C为邻边构造矩形OAQC那么△OQCg/XQOA.

当丝=0即QA2=BA.OA时，XBQAsXQOA.

QAOA

所以(分“_|.解得人=8±4&.所以符合题意的点。为(1,2+6).

4

②如图5,以。。为直径的圆与直线x=l交于点。，那么/。。。=90°。

因此△0CQSZ\QQ4.

当空=出时，XBQAs4QOA.此时NOQ8=90。.

QAOA

所以C08三点共线.因此空=怨，即2=0.解得04=4.此时。(1,4).

COOAb\

考点伸展

第(3)题的思路是，ACO三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而NQO4与/

QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况.

这样，先根据△QOA与△QOC相似把点。的位置确定下来，再根据两直角边对应成比

例确定点B的位置.

如图中，圆与直线x=l的另一个交点会不会是符合题意的点。呢？

如果符合题意的话，那么点8的位置距离点A很近,这与O5=4OC矛盾.

例3黄冈市中考模拟第25题

如图1,已知抛物线的方程C1：)，=一,。+2)。一〃?)(机＞0)与4轴交于点BC,与y

m

轴交于点E,且点5在点C的左侧.

(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值；

(2)在(1)的条件下，求ABCE的面积：

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点”，使得最小，求出点”

的坐标；

(4)在第四象限内，抛物线。上是否存在点八使得以点BC/为顶点的三角形与△

BCE相似？若存在，求相的值；若不存在，请说明理由.

图1

动感体睑

请打开几何画板文件名“12黄冈25"，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可

以体验到，EC与B/保持平行，但是NBFC在无限远处也不等于45°.观察右图，可以体

验到，NQ5尸保持45°,存在N8FC=N5CE的时刻.

思路点拨

1.第(3)题是典型的“牛喝水”问题，当“落在线段EC上时，BH+EH最小.

2.第(4)题的解题策略是：先分两种情况画直线BF,作NCBF=NEBC=45°,或

者作BF//EC.再用含用的式子表示点尸的坐标.然后根据夹角相等，两边对应成比例列关

于m的方程.

满分解答

(1)将M(2,2)代入y=一~—(x+2)(x-m)»得2=—■-x4(2-m)-解得m=4.

mm

(2)当〃?=4时，了=_；(X+2)(工一4)=一；/+；工+2.所以C(4,0),E(0,2).

所以SMCE=LBCOE=」X6X2=6.

22

(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=l,当“落在线段EC上时，BH+EH最小.

设对称轴与x轴的交点为P,那么空=型.

CPCO

因此与=:.解得=所以点H的坐标为(12).

(4)①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于尸，过点尸作尸尸J_x轴于尸.

由于N8CE=NPBC,所以当臣=空，BPBC2=CEBF\H,ABCE^AFBC.

CBBF

i1717,pc-(x+2)(x—tn),

设点尸的坐标为a,_La+2)a—m)),由±土=丝，得理------------=上.

mBF'COx+2m

解得x=〃i+2.所以F'(m+2,0).

由空="，得mfn+4.所以8户=（用+4）加三

CEBF\jm2+4BFtn

由BC:CEBF,得(〃?+2)2=加?+4x。〃十加府+,

由于NE8C=NCBF,所以些=g£,即BC?=BEBF时,△BCEsgFC.

BCBF

在RtaBFF中，由尸F=BF',得上（％+2）（彳一6）=x+2.

m

解得x=2m.所以F'（2皿0）.所以BF'=2/n+2,BF=>/2（2m+2）.

由BC'BEBF,得（冽+2）2=2&xVI（2m+2）.解得加=2±2&.

综合①②，符合题意的/〃为2+2\/^.

考点伸根

第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点尸尸的坐标后，根据两点间的距离公式求

的长.

例4义乌市中考第24题

如图1,已知梯形0A8C,抛物线分别过点0(0,0)(2,0)B(6,3).

(1)直接写出抛物线的对称轴解析式及顶点”的坐标；

(2)将图1中梯形Q48C的上下底边所在的直线OAC8以相同的速度同时向上平移，

分别交抛物线于点OiAGB”得到如图2的梯形设梯形物乱于的面积为S,

A]Bi的坐标分别为(汨，yi)(X2，72).用含S的代数式表示X2-x\f并求出当5=36时点A\

的坐标；

(3)在图1中，设点。的坐标为(1,3),动点P从点8出发，以每秒1个单位长度的

速度沿着线段8C运动，动点。从点。出发，以与点尸相同的速度沿着线段。M运动.PQ

两点同时出发，当点Q到达点M时，PQ两点同时停止运动.设PQ两点的运动时间为人

是否存在某一-时刻，，使得直线PQ直线ABx轴围成的三角形与直线PQ直线AB抛物线的

动威体验

请打开几何画板文件名“10义乌24"，拖动点/上下运动，观察图形和图象，可以体验

到，及一内随S的增大而减小.双击按钮“第(3)题”，拖动点。在。”上运动，可以体验

到，如果NG4/=NGQE,那么Z\G4/与△GQE相似.

思路点馍

1.第(2)题用含S的代数式表示及一加，我们反其道而行之，用即，X2表示S.再注

意平移过程中梯形的高保持不变，即”一》=3.通过代数变形就可以了.

2.第(3)题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位

置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证.

3.第(3)题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线A8与抛物

线的对称轴的夹角不变.变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴

的下方，或者假设交点G在x轴的上方.

满分斛答

⑴抛物线的对称轴为直线d解析式为尸卜』，顶点为土.

(2)梯形OM⑻G的面积S二独心咨二史坦=3(%+%)-6,由此得到

x

X14-x2=—I-2.由于%—丁1=3，所以丁2一丁1二一若—2—芍*|—$=3.整理，得

3"~8~4~84

1172

“2一百)-(X2+^)--=3.因此得到工2一玉=一♦

x^+x.=14,fx=6,

当S=36时，解得4c此时点4的坐标为(6,3).

x2-x1=2.[^2=8.

(3)设直线48与尸。交于点G,直线43与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x

轴交于点凡那么要探求相似的aGA尸与△GQE,有一个公共角NG.

在△GE。中，NGE。是直线A8与抛物线对称轴的夹角，为定值.

在△GA尸中，NG4户是直线与x轴的夹角，也为定值，而且NGEQWNG4F.

因此只存在NGQE=NGA产的可能，△GQE^AGAF.这时NG4F=NGQE=NPQO.

由于tan/GA尸=3,tanNPQ。=强=一二，所以3=_!_.解得f=22.

4QP5-t45-t7

图3图4

考点伸展

第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4,假如存在，说理过程相同，求得

的,的值也是相同的.事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3.

例5临沂市中考第26题

如图1,抛物线经过点44,0)8(1,O)C(0,一2)三点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)P是抛物线上的一个动点，过P作轴，垂足为是否存在点P,使得以

为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,

请说明理由；

动感体验

请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点F在抛物线上运动,可以体验到，△用M

的形状在变化，分别双击按钮“尸在8左侧”“P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显

示与△04。相似的三个情景.

双击按钮“第(3)题”，拖动点。在x轴上方的抛物线上运动，观察△OCA的形状和面

积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大.

思路点拨

1.已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便.

2.数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长.

3.按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程.

4.把△OCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA.

满分斛答

(1)因为抛物线与x轴交于A(4,0)8(1,0)两点，设抛物线的解析式为

y=a(x-l)(x-4),代入点。的坐标(0,-2),解得〃=所以抛物线的解析式为

y=-^(x-l)(x-4)=--x2+-X-2

(2)设点P的坐标为3,一一(x-l)(x-4)).

2

①如图2,当点尸在x轴上方时，1VXV4,

-i(x-l)(x-4)

AM旦2,

如果那么'------------=2.解得x=5不合题意.

~PMCO4-x

-i(x-l)(x-4)

如果四二.」

那么'------------=-解得x=2.

PMCO24-x2

此时点P的坐标为(2,1).

②如图3,当点P在点4的右侧时，x＞4,PA^=-(x-l)(x-4),=

2

i(x-l)(x-4)

解方程2-----------=2,得x=5.此时点P的坐标为(5,-2).

x-4

i(x-l)(x-4)

解方程2-----------=-,得x=2不合题意.

x-42

③如图4,当点P在点8的左侧时，xVl,PiW=-(x-l)(x-4),AM=4-x.

2

解方程2-----------=2,得x=-3.此时点。的坐标为(-3,-14).

4-x

彳(x-l)(x-4).

解方程2-----------=-,得x=0.此时点P与点0重合，不合题意.

4—x2

综上所述，符合条件的点P的坐标为(2,1)或(-3,-14)或(5,-2).

设点O的横坐标为相(1＜加＜4),那么点。的坐标为(加,-,m2+*加-2),点E的

22

11511

坐标为(九一相一2).所以DE=(——m9~+—w-2)-(―w-2)=——m9~+2m.

22222

122

因此SSAC=-I"/+2旭)x4=-m+4/n=-(m-2)+4.

当〃7=2时，△OCA的面积最大，此时点。的坐标为(2,1).

图5图6

考点伸展

第(3)题也可以这样解：

如图6,过。点构造矩形OAMN,那么△004的面积等于直角梯形CAMN的面积减去

△CDV和△AOM的面积.

设点。的横坐标为(川，〃)(1<m<4),那么

S=—(2〃+2)x4--m(n+2)-—〃(4-m)=-m-2〃+4.

222

由于〃=一工加2+』〃?一2,所以S=-/??+4根.

22

例6苏州市中考第29题

如图1・抛物线】)(l一5)与工■的交点为M、N.直+b与工■交于

P(-2.0)•与v轴交于C.若A、B两点在直线y・*工+。上•且AO-BO-^.AO±BO.

D为线段MN的中点.OH为Rt^OPC斜边上的高.

(DOH的长度等于▲▲・6=▲.

(2)是否存在实数明使得抛物线N-aa+D《工一5》上有一点E,满足以D、N、E为夜氤的

三角形与AAOB相似？

若不存在，说明理由：若存在•求所有符合条件的触物线的解析式,同时探索所求得的抛

物线上是否还有符合条件的£点(简要说明理例九并迸一步探索对符合条件的每一个

E点.真线NE与直线A8的交点G是否总满足PB-PGV10&.写出探索过程.

动威体徐

请打开几何画板文件名“08苏州29”，拖动表示。的点在)，轴上运动，可以体验到，当

抛物线经过点后和后时，直线NE|N£和直线月8交于同一个点G,此时△POBsaPGN.当

抛物线经过点场和反时，宜线NEW昌和直线48交于同一个点G,可以体验到，这个点G

在点N右侧较远处.

思路点核

1.求等腰直角三角形OAB斜边上的高O”,解直角三角形尸0〃求他的值.

2.以ON为边画正方形及对角线，可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有

符合题意的点£写出点E的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出乙

3.当E在x轴上方时，NGNP=45°,/\POB^APGN,把PRPG转化为

POPN=14.

4.当上在x轴下方时，通过估算得到P3-PG大于10啦.

满分解答

(1)0/7=1,k=—,b=—.

33

(2)由抛物线的解析式y=«x+l)(x-5),得

点M的坐标为(—1,0),点N的坐标为(5,0).

因此MN的中点。的坐标为(2,0),DN=3.

因为aAOB是等腰直角三角形，如果AONE与△A08相似，那么也是等腰直角

三角形.

①如图2,如果。N为直角边，那么点上的坐标为昂(2,3)或反(2,-3).

将昌(2,3)代入y=〃(x+l)(x-5),求得白=一工.

此时抛物线的解析式为y=—；(x+l)(x—5)=—；x2+gx+g.

将E2(2,—3)代入)，=。*+1)。-5),求得。=g.

此时抛物线的解析式为>=g(%+D(x-5)=1x2-^x-1.

②如果DN为斜边，那么点E的坐标为&(3,,J)或&(3±-J).

2222

119

将员(35，15)代入〉=4(1+1)(工一5),求得4二一§.

27X1()

此时抛物线的解析式为y=--(x+l)(x-5)=--x2+-x+y.

11?

将£4(3--1耳)代入y=a(x+l)(x-5),求得。二一.

noR10

此时抛物线的解析式为y=](%+l)(X-5)=|x2-^X-y.

图2图3

对于点E为©(2,3)和田(32,J)，直线NE是相同的，NENP=45°.

22

又/。60=45°，NP=NP,所以6s△PGM

因此尸B•PG=PO•尸N=2x7=14v10后.

对于点E为Ez(2,-3)和反(3士一1,)，直线NE是相同的.

22

此时点G在直线x=5的右侧，PG>—V3.

3

又PB>±6所以PBPG>VgxW6=14x±>10V^.

3333

考点伸展

在本题情景下，怎样计算的长？

如图3,作A/_LA3交OF于F,那么△OBCMAOAF,OF=OC=-6，PF=2—20,

33

以=母尸尸=亭(2-2百)=、行一1,所以23=百+1.

1.2因动点产生的等腰三角形问题

例1上海市虹口区中考模拟第25题

如图1,在RlZXABC中，ZA=90°,A8=6,AC=8,点。为边的中点，DELBC

交边4c于点E,点P为射线上的一动点，点。为边AC上的一动点，且NPDQ=90°.

(1)求EDEC的长；

(2)若BP=2,求C。的长：

(3)记线段PQ与线段。石的交点为尸，若△尸。尸为等腰三角形，求BP的长.

劫感体验

请打开几何画板文件名“13虹口25”,拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，APDM

与△QQN保持相似.观察4PDF,可以看到，PF可以落在对边的垂直平分线上，不存在

DF=DP的情况.

请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点尸在射线4B上运动，可以体验到，丛PDM

与4QDN保持相似.观察APDF,可以看到，PF可以落在对边的垂直平分线上，不存在

DF=DP的情况.

思路点彼

1.第(2)题8P=2分两种情况.

2.解第(2)题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系.

3.第(3)题探求等腰三角形PD尸时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三

角形CQ。.

满分解答

(1)在RtZXABC中，4B=6,AC=8,所以BC=IO.

31595

在RiACDE中，8=5,所以石Z)=CDlanNC=5x2=U，EC=—.

444

(2)如图2,过点。作OM_LA8,DNLAC,垂足分别为MM那么OMAN是

△A8C的两条中位线，OM=4,DN=3.

由/PQQ=90°,NMDN=90°,可得NPOM=NQON.

因此△POMS/XQON.

①如图3,当BP=2,尸在BW上时，PM=1.

33319

此时。N=所以CQ=CN+QN=4+3==.

4444

②如图4,当BP=2,P在MB的延长线上时，PM=5.

3IS1531

此时QN=^PM=^.所以CQ=CN+QN=4+^=Z.

4444

（3）如图5,如图2,在RtzXPOQ中，匕11/。匹。="=里=3.

PDDM4

R43

在RtZ\4BC中，tanZC=—=-.所以NQPQ=/C.

C44

由NPOQ=90°,ZCDE=90°,可得NPDF=NCDQ.

因此△PQPS/\CQQ.

当△「£）尸是等腰三角形时，也。。。也是等腰三角形.

①如图5,当CQ=CO=5时，QN=CQ-CN=5—4=1（如图3所示）.

4445

此时PM=—QN=—.所以32=3M—PM=3——=-.

3333

②如图6,当。。=。。时，日cosC=",可得。。=2+3=竺.

CQ258

2s7

所以QN=CN—CQ=4-==,（如图2所示）.

88

47725

此时尸M二一QN=—.所以8P=6M+PM=3+-=—.

3666

考点伸展

如图6,当△8。是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△8QP也是等腰

三角形，PB=PD.在aBOP中可以直接求解3尸二

6

例2扬州市中考第27题

如图1,抛物线尸江+区+c经过A(—l,0)8(3,0)C(0,3)三点，直线/是抛物线的对称

轴.

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点尸是直线/上的一个动点，当△抬。的周长最小时，求点尸的坐标；

(3)在直线/上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合

条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

动感体验

请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验

到，当点P落在线段8。上时，以+PC最小，的周长最小.拖动点M在抛物线的对

称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点例有

1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次

机会落在M4的垂直平分线上，但是有1次M4C三点共线.

思路点拨

1.第(2)题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段8c上时△以。的周长最小.

2.第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.

满分解答

(1)因为抛物线与x轴交于4(一l,0)B(3,0)两点，设'=°(3+1)(4—3),

代入点C(0,3),得一3a=3.解得〃=-1.

所以抛物线的函数关系式是y=-a+l)(X—3)=-/+2x+3.

(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=l.

当点P落在线段8C上时，出+PC最小，△%C的周长最小.

设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.

由也=也，BO=CO,得尸H=BH=2.

BOCO

所以点尸的坐标为(1,2).

(3)点M的坐标为(1,1)(1,76)(1,-V6)^(1,0).

考点伸展

第(3)题的解题过程是这样的：

设点M的坐标为(1,阳).

在△MAC中，AC2=\0,^=1+(///-3)2,AM2=4+m2.

①如图3,当MA=MC时，MA2=MC2.解方程4+/=1+(〃?一3%得机=1.

此时点M的坐标为(1,1).

②如图4,当人M=AC时，A1^2=AC2.解方程4+M=]0,得吁士痴.

此时点M的坐标为(1,6)或(1,-拓).

③如图5,当CM=C4时，CM=CA2.解方程1+(加-3产=10,得机=0或6.

当M(l,6)时，MAC三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0).

例3临沂市中考第26题

如图1,点人在x轴上，0A=4,将线段0A绕点。顺时针旋转120°至08的位置.

(1)求点8的坐标；

(2)求经过A08的抛物线的解析式；

(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点尸OB为顶点的三角形是等腰三

角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

动感体建

请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点尸在抛物线的对称轴上运动，可以体验

到，OO和。B以及08的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到

00与对称轴的另一个交点时，BOP三点共线.

请打开超级画板文件名“121缶沂26”，拖动点P,发现存在点P,使得以点P0B为顶

点的三角形是等腰三角形

思路点拨

1.用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的

距离公式列方程；然后解方程并检验.

2.本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起.

满分解答

(1)如图2,过点作ACly轴.垂足为C.

在Rl^OBC中，ZBOC=303,08=4,所以BC=2,OC=2>j3.

所以点8的坐标为(-2,.

(2)因为抛物线与x轴交于OA(4,0),设抛物线的解析式为)=依。-4),

代入点8(-2,-2®-2x/3=-2dx(-6).解得a=-走.

6

所以抛物线的解析式为y=-gx(x-4)=-曰/+竽x.

(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2,y).

①当0P=0B=4时，OP2=16.所以4+炉=16.解得y=±2G.

当尸在(2,26)时，BOP三点共线(如图2).

②当5P=80=4时，8P2=16.所以42+(y+2百尸=16.解得y=%=-2>/5.

③当尸8=PO时，PB2=PO2.所以42+(y+26)2=22+y2.解得)，二一2百.

综合①②③，点P的坐标为(2,-2百)，如图2所示.

考点伸展

如图3,在本题中，设抛物线的顶点为"，那么△"UA与△04E是两个相似的等腰三

角形.

由y=-第x(x-4)=-曰(％-2>+手，得抛物线的顶点为0(2,

因此tan/OOA=拽.所以NOOA=30°,ZODA=\200.

3

例4盐城市中考第28题

如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数),=Wx的图象交于点A,且与x轴交于

3

点B.

(1)求点A和点8的坐标；

(2)过点A作AC±y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动

点P从点。出发，以每秒I个单位长的速度，沿。一。一4

的路筏向点A运动；同时直线/从点5出发，以相同速度

向左平移，在平移过程中，直线/交x轴于点R,交线段B4

或线段40于点Q.当点P到达点A时，点P和直线/都

停止运动.在运动过程中，设动点P运动的时间为/秒.

①当f为何值时，以A尸R为顶点的三角形的面积为8?

②是否存在以APQ为顶点的三角形是等腰三角形？若

存在，求f的值；若不存在，请说明理由.

动威体徐

请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由8向。运动，从图象中可以看到，

△4PR的面积有一个时刻等于8.观察△APQ,可以体验到，P在0C上时，只存在AP=

A。的情况；P在C4上时，有三个时刻，△AP。是等腰三:角形.

思路点拨

1.把图1好制若干个，在每一个图形中解决一个问题.

2.求的面积等于8,按照点尸的位置分两种情况讨论.事实上，P在CA上运动

时，高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能.

3.讨论等腰三角形APQ,按照点P的位置分两种情况讨论，点尸的每一种位置又要讨

论三种情况.

满分解答

y=-x+l,

(1)解方程组J4得”‘所以点A的坐标是(3,4).