2025版高中数学第3章不等式3.4基本不等式第2课时基本不等式的应用-证明与最值问题课时作业案新人教A版必修5

PAGEPAGE1第2课时基本不等式的应用—证明与最值问题A级基础巩固一、选择题1．已知直线l1：a2x＋y＋2＝0与直线l2：bx－(a2＋1)y－1＝0相互垂直，则|ab|的最小值为(C)A．5 B．4C．2 D．1[解析]由条件知，直线l1与l2的斜率存在，且l1⊥l2，k1＝－a2，k2＝eq\f(b,a2＋1)，∴k1k2＝eq\f(－a2b,a2＋1)＝－1，∴b＝eq\f(a2＋1,a2)>0，∴|ab|＝|eq\f(a2＋1,a)|＝|a|＋eq\f(1,|a|)≥2，等号成立时|a|＝eq\f(1,|a|)，∴a＝±1，b＝2，∴|ab|的最小值为2.2．若点(a，b)在直线x＋2y＝3上移动，则2a＋4bA．8 B．6C．4eq\r(2) D．3eq\r(2)[解析]点(a，b)在直线x＋2y＝3上，则a＋2b＝3，所以2a＋4b＝2a＋22b≥2eq\r(2a＋2b)＝2eq\r(23)＝4eq\r(2)，当且仅当a＝2b＝eq\f(3,2)时等号成立．故选C．3．已知m>0，n>0，m＋n＝1且x＝m＋eq\f(1,m)，y＝n＋eq\f(1,n)，则x＋y的最小值是(B)A．4 B．5C．8 D．10[解析]依题意有x＋y＝m＋n＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝1＋eq\f(m＋n,m)＋eq\f(m＋n,n)＝3＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥3＋2＝5，当且仅当m＝n＝eq\f(1,2)时取等号．故选B．4．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．假如在距离车站10km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(A)A．5km处 B．4km处C．3km处 D．2km处[解析]设仓库建在离车站xkm处，则土地费用y1＝eq\f(k1,x)(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝eq\f(4,5)，故总费用y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4,5)x≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4,5)x)＝8，当且仅当eq\f(20,x)＝eq\f(4,5)x，即x＝5时等号成立．5．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(B)A．16 B．25C．9 D．36[解析](1＋x)(1＋y)≤[eq\f(1＋x＋1＋y,2)]2＝[eq\f(2＋x＋y,2)]2＝(eq\f(2＋8,2))2＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取最大值25.故选B．6．已知a>0，b>0，且2是2a与b的等差中项，则eq\f(1,ab)的最小值为(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4[解析]∵2是2a与b的等差中项，∴2a＋又∵a>0，b>0，∴2ab≤(eq\f(2a＋b,2))2＝(eq\f(4,2))2＝4，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b∴eq\f(1,ab)≥eq\f(1,2).故选B．二、填空题7．若正数a、b满意ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是__[9，＋∞)__.[解析]∵a、b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3(当a＝b时取“＝”)，即ab－2eq\r(ab)－3≥0，∴eq\r(ab)≥3或eq\r(ab)≤－1(舍去)，∴ab≥9.8．某种饮料分两次提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，其次次提价q%；方案乙：每次都提价eq\f(p＋q,2)%，若p>q>0，则提价多的方案是__乙__.[解析]设原价为1，则提价后的价格，方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，乙：(1＋eq\f(p＋q,2)%)2，因为eq\r(1＋p%1＋q%)≤eq\f(1＋p%＋1＋q%,2)＝1＋eq\f(p＋q,2)%，因为p>q>0，所以eq\r(1＋p%1＋q%)<1＋eq\f(p＋q,2)%，即(1＋p%)(1＋q%)<(1＋eq\f(p＋q,2)%)2，所以提价多的方案是乙．三、解答题9．(如图)某村安排建立一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，[解析]设矩形的一边长为xm，则另一边长为eq\f(800,x)m，因此种植蔬菜的区域宽为(x－4)m，长为(eq\f(800,x)－2)m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4>0,\f(800,x)－2>0))，得4<x<400，所以其面积S＝(x－4)·(eq\f(800,x)－2)＝808－(2x＋eq\f(3200,x))≤808－2eq\r(2x·\f(3200,x))＝808－160＝648(m2)．当且仅当2x＝eq\f(3200,x)，即x＝40∈(4,400)时等号成立．因此当矩形温室的两边长为40m,20m时蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648m210．已知a、b、c∈R＋，求证：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.[证明]∵a、b、c∈R＋，eq\f(a2,b)，eq\f(b2,c)，eq\f(c2,a)均大于0，又eq\f(a2,b)＋b≥2eq\r(\f(a2,b)·b)＝2a，eq\f(b2,c)＋c≥2eq\r(\f(b2,c)·c)＝2b，eq\f(c2,a)＋a≥2eq\r(\f(c2,a)·a)＝2c，(当且仅当a＝b＝c时上式等号成立)三式相加得eq\f(a2,b)＋b＋eq\f(b2,c)＋c＋eq\f(c2,a)＋a≥2a＋2b＋2c，∴eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.B级素养提升一、选择题1．(2024·贵州凯里一中高二月考)已知正数a，b满意a＋b＝1，则eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)的最小值为(D)A．eq\f(5,3) B．3C．5 D．9[解析]∵a＋b＝1，∴eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝(eq\f(4,a)＋eq\f(1,b))·(a＋b)＝5＋eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b)≥5＋2eq\r(\f(4b,a)＋\f(a,b))＝5＋4＝9，当且仅当eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝2b时，等号成立，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2b,a＋b＝1))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3),b＝\f(1,3))).2．已知a>b>1，且2logab＋3logba＝7，则a＋eq\f(1,b2－1)的最小值为(A)A．3 B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(2)[解析]令logab＝t，由a>b>1得0<t<1,2logab＋3logba＝2t＋eq\f(3,t)＝7，得t＝eq\f(1,2)，即logab＝eq\f(1,2)，a＝b2，所以a＋eq\f(1,b2－1)＝a－1＋eq\f(1,a－1)＋1≥2eq\r(a－1·\f(1,a－1))＋1＝3，当且仅当a＝2时取等号．故a＋eq\f(1,b2－1)的最小值为3.3．设M是△ABC内一点，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\r(3)，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为eq\f(1,2)，x，y，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值为(D)A．8 B．9C．16 D．18[解析]由条件可得|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，设△ABC的面积为S，则S＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|sin∠BAC＝1，∵S△MBC＝eq\f(1,2)，∴x＋y＝eq\f(1,2)，故eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝2(x＋y)·(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))＝2(5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y))≥18，当且仅当x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)时等号成立．故选D．4．设a>b>0，则a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)的最小值是(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析]a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)＝a2－ab＋ab＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)＝a(a－b)＋ab＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)≥2eq\r(aa－b·\f(1,aa－b))＋2eq\r(ab·\f(1,ab))＝4，当且仅当a(a－b)＝eq\f(1,aa－b)且ab＝eq\f(1,ab)即a＝2b＝eq\r(2)时，等号成立．故选D．二、填空题5．等差数列的各项均为正数，其前n项和为Sn，满意2S2＝a2(a2＋1)，且a1＝1，则eq\f(2Sn＋13,n)的最小值是__eq\f(33,4)__.[解析]因为2S2＝a2(a2＋1)，且a1＝1，所以2(a2＋1)＝a2(a2＋1)，即a2＝2(an>0)，所以an＝n，Sn＝eq\f(nn＋1,2)，所以eq\f(2Sn＋13,n)＝eq\f(nn＋1＋13,n)＝n＋eq\f(13,n)＋1由于函数f(x)＝x＋eq\f(13,x)(x>0)在(0，eq\r(13))上单调递减，在[eq\r(13)，＋∞)上单调递增，而3<eq\r(13)<4，且f(3)＝eq\f(22,3)>f(4)＝eq\f(29,4)，所以当n＝4时，n＋eq\f(13,n)＋1的最小值为eq\f(33,4)，即eq\f(2Sn＋13,n)的最小值是eq\f(33,4).6．不等式x2＋2x<eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a)对随意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是__(－4,2)__.[解析]不等式x2＋2x<eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a)对随意a，b∈(0，＋∞)恒成立，即x2＋2x<(eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a))min，由eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a)≥2eq\r(\f(a,b)·\f(16b,a))＝8，当且仅当eq\f(a,b)＝eq\f(16b,a)，即a＝4b时，取得等号，则x2＋2x<8，解得－4<x<2.三、解答题7．已知a，b为正数，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)≥eq\f(2\r(2)＋12,2a＋b).[解析]因为a>0，b>0，所以(2a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))＝6＋eq\f(b,a)＋eq\f(8a,b)≥6＋2eq\r(\f(b,a)·\f(8a,b))＝6＋4eq\r(2)＝2(eq\r(2)＋1)2，即得eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)≥eq\f(2\r(2)＋12,2a＋b).8．(2024·山东莒县二中高二月考)某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部销售完，每一万件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝eq\f(4400,x)－eq\f(40000,x2)(10＜x＜100)，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W(万元)，(注：利润＝销售收入－成本)(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式，并求年利润的最大值；(2)为了让年利润W不低于2360万元，求年产量x的取值范围．[解析](1)W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq\f(40000,x)－16x＋4360＝－(eq\f(40000,x)＋16x)＋4360(10＜x＜100)，∵eq\f(40000,x)＋16x≥2eq\r(\f(40000,x)·16x)＝1600.当且仅当x＝50时，“＝”成立，∴W≤－1600＋4360＝2760，即年利润的最大值为2760万元．(2)W＝－eq\f(40000,x)－16x＋4360≥2360，整理得x2－125x＋2500≤0.解得：25≤x≤100.又10＜x＜100.∴25≤x＜100.故为了让年利润W不低于2360万元，年产量x的范围是[25,100)．9．某单位在国家科研部门的