九年级数学上册第二十四章圆24.4弧长和扇形面积同步练习题新版新人教版

Page1224．4弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积1．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长是圆周长C＝__2πR___，所以n°的圆心角所对的弧长为l＝__eq\f(nπR,180)___．2．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积S＝__πR2___，所以圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝__eq\f(nπR2,360)___．3．用弧长表示扇形面积为__eq\f(1,2)lR___，其中l为扇形弧长，R为半径．学问点1：弧长公式及应用1．点A，B，C是半径为15cm的圆上三点，∠BAC＝36°，则弧BC的长为__6π___cm.2．扇形的半径是9cm，弧长是3πcm，则此扇形的圆心角为__60___度．3．已知扇形的圆心角为45°，弧长等于eq\f(π,2)，则该扇形的半径是__2___．4．(2024·兰州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为(B)A.eq\f(π,3)B.eq\f(\r(3)π,3)C.eq\f(2π,3)D．π5．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，求劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))的长．解：连接OB，OC.∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.又∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))的长为eq\f(60×π×6,180)＝2π(cm)学问点2：扇形的面积公式及应用6．钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是(A)A.eq\f(1,2)πB.eq\f(1,4)πC.eq\f(1,8)πD．π7．(2024·成都)在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA＝6cm，则扇形AOB的面积是(C)A．6πcm2B．8πcm2C．12πcm2D．24πcm28．如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为eq\r(3)，则图中弓形的面积为(C)A.eq\f(4π－3\r(3),4)B.eq\f(π－\r(3),4)C.eq\f(2π－3\r(3),4)D.eq\f(π－3\r(3),2),第8题图),第9题图)9．如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，且点A′，C′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是__7.2___．(π≈3.14，结果精确到0.1)10．如图，△OAB中，OA＝OB＝4，∠A＝30°，AB与⊙O相切于点C，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)解：连接OC，可求∠AOB＝120°，OC＝2，AC＝2eq\r(3)，∴S阴影＝S△AOB－S扇形＝2×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)－eq\f(120,360)×π×22＝4eq\r(3)－eq\f(4,3)π

11．如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面，为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为(B)A.eq\f(π,4)cmB.eq\f(7π,4)cmC.eq\f(7π,2)cmD．7πcm,第11题图),第12题图)12．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为(C)A.eq\f(1,4)πB．π－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)π＋eq\f(1,2)13．(2024·南充)如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是(A)A.eq\f(25,2)πB．13πC．25πD．25eq\r(2),第13题图),第14题图)14．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则eq\o(BC,\s\up8(︵))的长为__2π___．15．如图，已知菱形ABCD的边长为3cm，B，C两点在扇形AEF的eq\o(EF,\s\up8(︵))上，求eq\o(BC,\s\up8(︵))的长度及扇形ABC的面积．解：∵四边形ABCD是菱形且边长为3cm，∴AB＝BC＝3cm.又∵B，C两点在扇形AEF的eq\o(EF,\s\up8(︵))上，∴AB＝BC＝AC＝3cm，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，eq\o(BC,\s\up8(︵))的长l＝eq\f(60π×3,180)＝π(cm)，S扇形ABC＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)×π×3＝eq\f(3,2)π(cm2)16．(2024·昆明)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．(结果保留根号和π)解：(1)连接OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠BDO，∴∠DOC＝2∠1＝∠A.在Rt△ABC中，∠A＋∠C＝90°，即∠DOC＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，即OD⊥DC，∴AC为圆O的切线(2)当∠A＝60°时，在Rt△OCD中，有∠C＝30°，OD＝r＝2，∴∠DOC＝60°，CD＝2eq\r(3)，S△ODC＝eq\f(1,2)OD·DC＝2eq\r(3)，S扇形＝eq\f(60πr2,360)＝eq\f(2,3)π，∴S阴影＝S△ODC－S扇形＝2eq\r(3)－eq\f(2,3)π17．如图，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG.(1)求证：EF∥CG；(2)求点C，A在旋转过程中形成的eq\o(AC,\s\up8(︵))，eq\o(AG,\s\up8(︵))与线段CG所围成的阴影部分的面积．解：(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°，∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝EC，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG(2)∵AB＝2，E是AB的中点，∴FB＝BE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×2＝1，∴AF＝eq\r(AB2＋BF2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG＝eq\f(90×π×22,360)＋eq\f(1,2)×2×1＋eq\f(1,2)×(1＋2)×1－eq\f(90×π×（\r(5)）2,360)＝eq\f(5,2)－eq\f(π,4)

第2课时圆锥的侧面积与全面积1．圆锥是由一个__侧___面和一个底面围成的，连接圆锥的__顶点___和底面圆上任一点的线段叫做圆锥的母线．2．圆锥的侧面绽开图是一个__扇___形，扇形的半径为圆锥的__母线___长，扇形的弧长即为圆锥底面圆的__周长___．3．圆锥的全面积＝S侧＋S__底___．学问点1：圆锥的侧面积1．用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm，底面周长是6πcm，则扇形的半径为(B)A．3cmB．5cmC．6cmD．8cm,第1题图),第2题图)2．(2024·淮安)如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为(B)A．3πB．3C．6πD．63．圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为__60π___cm2.4．圆锥的侧面积为6πcm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为__3___cm.5．圆锥的底面半径是1，侧面积是2π，则这个圆锥的侧面绽开图的圆心角为__180°___．6．已知圆锥的母线AB＝6，底面半径r＝2，求圆锥的侧面绽开图的扇形的圆心角．解：设圆心角为n°，则有2πr＝eq\f(nπ,180)·AB，∴4π＝eq\f(nπ,180)×6，∴n＝120，故扇形的圆心角α＝120°学问点2：圆锥的全面积7．一个圆锥的侧面绽开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积为(C)A．5πB．4πC．3πD．2π8．已知直角三角形ABC的一条直角边AB＝12cm，另一条直角边BC＝5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是(A)A．90πcm2B．209πcm2C．155πcm2D．65πcm29．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，求该几何体的全面积(即表面积)是多少？(结果保留π)解：圆锥的母线长是eq\r(32＋42)＝5，圆锥的侧面积是eq\f(1,2)×8π×5＝20π，圆柱的侧面积是8π×4＝32π，几何体的下底面面积是π×42＝16π，所以该几何体的全面积(即表面积)是20π＋32π＋16π＝68π

10．一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面绽开图为半圆，则圆锥的母线长为(B)A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm11．(2024·襄阳)用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为(B)A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．212．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是(A)A．4cmB．6cmC．8cmD．2cm,第12题图),第13题图)13．(2024·南京)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为__6___cm.14．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面绽开图扇形的圆心角是__180___°.15．已知圆锥的侧面绽开图是一个半径为12cm，弧长为12πcm的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．解：侧面积为eq\f(1,2)×12×12π＝72π(cm2)．设底面半径为r，则有2πr＝12π，∴r＝6cm.由于高、母线、底面半径恰好构成直角三角形，依据勾股定理可得，高h＝eq\r(122－62)＝6eq\r(3)(cm)16．如图①是某校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图所示，单位：m)，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其绽开图是矩形，如图②是车棚顶部截面的示意图，eq\o(AB,\s\up8(︵))所在圆的圆心为点O，车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积．(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)解：连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交eq\o(AB,\s\up8(︵))于F，由垂径定理，知E是AB的中点，F是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，从而EF是弓形的高，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝2eq\r(3)m，EF＝2m．设半径为Rm，则OE＝(R－2)m．在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2＝(R－2)2＋(2eq\r(3))2，解得R＝4，∴OE＝4－2＝2(m)．在Rt△AEO中，AO＝2OE，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，∴∠AOB＝120°，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为eq\f(120×4π,180)＝eq\f(8π,3)(m)，故帆布的面积为eq\f(8π,3)×60＝160π(m2)17．如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A动身沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是(D)A．5eq\r(2)B．10eq\r(2)C．15eq\r(2)D．20eq\r(2)18．如图，有一个直径是1m的圆形铁皮，圆心为O，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC，求：(1)被剪掉阴影部分的面积；(2)若用所留的扇形ABC铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？解：(1)连接OA，OB，OC，由SSS可证△ABO≌△ACO，∵∠BAC＝120°，∴∠BAO＝∠CAO＝60°，又OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，可知AB＝eq\f(1,2)m，点O在扇形ABC的eq\o(BC,\s\up8(︵))上，∴扇形ABC的面积为eq\f(120,360)π·(eq\f(1,2))2＝eq\f(π,12)(m2)，∴被剪掉阴影部分的面积为π·(eq\f(1,2))2－eq\f(π,12)＝eq\f(π,6)(m2)(2)由2πr＝eq\f(120,180)π·eq\f(1,2)，得r＝eq\f(1,6)，即圆锥底面圆的半径是eq\f(1,6)m

专题训练(八)平面图形的运动及不规则图形面积问题一、求动态中弧长或扇形面积1．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了爱护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路途长是__(2π＋50)m___．(结果用π表示),第1题图),第2题图)2．如图，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动地在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成图形的面积为(C)A.eq\f(π,2)＋eq\f(1,2)B.eq\f(π,2)＋1C．π＋1D．π＋eq\f(1,2)3．如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，求点P运动的路径长．解：点P运动的路径长为eq\f(60π×12,180)＋eq\f(60π×10,180)＋eq\f(60π×8,180)＋eq\f(60π×6,180)＋eq\f(60π×4,180)＋eq\f(60π×2,180)＝eq\f(π,3)(12＋10＋8＋6＋4＋2)＝14π(cm)4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，求点A经过的路途长．解：如图，A″C1＝eq\r(32＋42)＝5，eq\o(AA′,\s\up8(︵))＝eq\f(90π×3,180)＝eq\f(3,2)π，A′A″⌒＝eq\f(90π×4,180)＝2π，A″A1⌒＝eq\f(90π×5,180)＝eq\f(5,2)π，则点A第一次翻滚到点A1位置时，点A经过的路途长为eq\o(AA′,\s\up8(︵))＋A′A″⌒＋A″A1⌒＝eq\f(3,2)π＋2π＋eq\f(5,2)π＝6π5．如图，把Rt△ABC的斜边AB放在直线l上按顺时针方向在l上转动两次，使它转动到三角形A″B′C′的位置．若BC＝1，AC＝eq\r(3)，当顶点A运动到点A″的位置时．(1)求点A所经过的路途长；(2)求点A所经过的路途与l所围成的图形的面积．解：点A所经过的路途图略．(1)在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝2，∴∠BAC＝30°，则∠ABC＝60°，∴∠ABA′＝120°，∴eq\o(AA′,\s\up8(︵))的长为eq\f(120π×2,180)＝eq\f(4π,3).又∵∠A′C′A″＝90°，∴A′A″⌒的长为eq\f(90π×\r(3),180)＝eq\f(\r(3),2)π，∴点A所经过的路途长为eq\f(4,3)π＋eq\f(\r(3),2)π(2)S扇形BAA′＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×2＝eq\f(4π,3)，S扇形C′A′A″＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3)π,2)×eq\r(3)＝eq\f(3π,4)，S△A′BC′＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，∴点A经过的路途与l所围成的图形的面积是eq\f(4,3)π＋eq\f(3,4)π＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(25,12)π＋eq\f(\r(3),2)

二、求不规则图形面积问题6．(用割补法)如图，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2.(1)求线段EC的长；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)在矩形ABCD中，AB＝2DA，DA＝2，∴AB＝AE＝4，∴DE＝eq\r(AE2－AD2)＝2eq\r(3)，∴EC＝CD－DE＝4－2eq\r(3)(2)在Rt△DEA中，∵eq\f(AD,AE)＝eq\f(1,2)，∴∠DEA＝30°，∴∠DAE＝60°，∴S阴影＝S扇形EAF－S△DAE＝eq\f(60π×42,360)－eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝eq\f(8,3)π－2eq\r(3