期末专题复习：轴对称图形与等腰三角形（十四大类型）（解析版）

轴对称图形与等腰三角形（14大类型提分练）目录类型一、轴对称与轴对称图形 1类型二、轴对称与折叠问题 3类型三、设计轴对称图形 5类型四、轴对称与坐标对称问题 9类型五、轴对称与最值问题 13类型六、角平分线的性质 17类型七、线段垂直平分线的性质 20类型八、等腰三角形的性质 22类型九、等边三角形的性质 24类型十、角平分线与线段垂直平分线的计算问题 26类型十一、角平分线与线段垂直平分线的作图 31类型十二、等腰三角形的性质与判定 35类型十三、等边三角形的性质与判定 39类型十四、等腰（等边）三角形的综合问题 43类型一、轴对称与轴对称图形1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，用心欣赏下列汉字，其中是轴对称图形的是（

）A．醉 B．美 C．东 D．国【答案】B【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴）进行逐一判断即可．【详解】解：A、“醉”不是轴对称图形，不符合题意；B、“美”是轴对称图形，符合题意；C、“东”不是轴对称图形，不符合题意；D、“国”不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．2．（23-24八年级上·江苏常州·期末）下列图形中，属于轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．3．（21-22八年级上·江苏南京·期末）若一个图形是轴对称图形，则这个图形可以是（写出一个答案即可）．【答案】圆（答案不唯一）【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．【详解】解：若一个图形是轴对称图形，则这个图形可以是圆．故答案为：圆（答案不唯一）．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：把一个图形沿某一条直线对折，抓痕两旁的图形能完全重合，那么这个图形是轴对称图形；轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．类型二、轴对称与折叠问题4．（20-21八年级上·江苏苏州·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A'处，折痕为A．40° B．30° C．20° D．10°【答案】C【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形内角和定理得出∠B=35°，再由折叠的性质可得：∠CA【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴∠B=180°-∠ACB-∠A=180°-90°-55°=35°，由折叠的性质可得：∠CA∴∠A故选：C．5．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）如图，将长方形纸片沿线段AB折叠，重叠部分为△ABC，若∠BAC=64°，则∠ACB的度数为（

）A．36° B．52° C．56° D．64°【答案】B【分析】根据折叠的性质得出∠CAD=2∠BAC=128°，根据平行线的性质即可求解．【详解】解：如图∵AD∴∠ACB+∠CAD=180°，∵将长方形纸片沿线段AB折叠，重叠部分为△ABC，∠BAC=64°，∴∠CAD=2∠BAC=128°，∴∠ACB=180°-128°=52°，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．6．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，将长方形纸条ABCD沿着线段MN折叠，点A、B对应点为A'、B'，线段A'B'与边BC交于点A．60° B．75° C．70° D．80°【答案】D【分析】本题考查了折叠的性质，对顶角的性质，直角三角形的性质，由折叠可得∠B'=∠B=90°，∠MNB=∠MNB'，由对顶角相等得到∠NPB'【详解】解：由折叠可得，∠B'=∠B=90°∵∠A∴∠NPB∴∠B∴2∠BNM=180°+20°，∴∠BNM=100°，∴∠MNC=180°-∠BNM=180°-100°=80°，故选：D．类型三、设计轴对称图形7．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）仅使用无刻度的直尺作图，找出下面三图中直线l上的点P，使得点P到A、B两点距离之和最小．(请保留作图痕迹)【答案】见解析【分析】本题主要考查了轴对称变换—最短距离问题．作点B关于直线l的对称点，再根据两点之间，线段最短，即可求解．【详解】解：如图，点P即为所求．8．（19-20八年级上·江苏南京·期中）[学科素养·几何直观]如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，有一个以格点为顶点的△ABC．(1)作△ABC关于直线l对称的图形△A(2)求△ABC的面积；(3)在l上画出点Q，使得QA+QC的值最小．【答案】(1)见解析(2)13(3)见解析【分析】（1）本小问考查作图之轴对称变换，分别作出A、B、C关于直线l的对应点，依次连接对应点，即可解题．（2）本小问可利用割补法求三角形面积．（3）本小问考查利用“将军饮马”模型求线段和最小值，灵活掌握该模型即可解题．【详解】（1）解：如图，△A（2）解：如图所示，△ABC的面积等于矩形的面积减去①、②、③三个三角形的面积，即S△ABC（3）解：如图，点Q即为所求．9．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）在如图所示的5×5的网格中，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上．（1）如图1，作出△ABC关于直线m对称的△A（2）如图2，在直线m上作一点P，使△ACP的周长最小（仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；（3）如图3，请作出格点△ABC边AC上的高BE（仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据题意以及网格的特点直接作出△ABC关于直线m对称的△A'（2）根据题意以及网格的特点作点A关于直线m对称点A″，连接A″C，交m于点P，点（3）构造△ACD≌△BFG，延长AC交BF于点E，则BE即为所求．【详解】（1）根据题意以及网格的特点直接作出△ABC关于直线m对称的△A'B（2）作点A关于直线m对称点A″，连接A″C，交m于点P则△ACP的周长=AC+CP+PA=AC+PC+P∴点P即为所求（3）延长AC交BF于点E，则BE即为所求，如图所示：∵∠ADC=∠BGF=90°.AD=BG=3,CD=GF=1∴△ACD≌△BFG∴∠CAD=∠FBG∵∠BCE=∠ACD∴∠BEC=∠ADC=90°∴BE⊥AC．BE即为所求△ABC边AC上的高．【点睛】本题考查了网格作轴对称图形，两点之间线段最短，三角形的高的定义，三角形全等的性质与判定，正确的作出图形是解题的关键．类型四、轴对称与坐标对称问题10．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC的顶点A、C的坐标分别为-4，5、-1，3，先作△ABC关于y轴对称的△A1B(1)请在图中正确作出平面直角坐标系；(2)画出△A1B【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了平面直角坐标系，轴对称图形的作图，图形平移的作图，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．（1）根据A、C两点的坐标，可推得坐标原点的位置，由此即可作出图形；（2）根据轴对称图形的作法，分别作点A，B，C关于y轴的对称点A1，B1，C1，连结A1B1，B1C1，C1A1；作出点A1，B1，C1【详解】（1）如图即为所求作的平面直角坐标系；（2）如图，△A1B11．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A2,-1、B1,-2(1)将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1(2)请画出与△ABC关于y轴对称的△(3)点A1的坐标为，点A2的坐标为(4)若Pa,-b是△ABC内一点，按照（1）（2）操作后点P1的坐标为，点P2【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(2,3)，(-2,-1)(4)a,4-b，-a,-b【分析】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用所画图象得出对应点坐标；（4）利用（1）、（2）中的坐标变换规律确定点P1及P【详解】（1）解如图所示：△A（2）解：如图所示：△A（3）解：A1(2,3)，故答案为：(2,3)，(-2,-1)（4）解：Pa,-b是△ABC内一点，按照（1）操作后点P1的坐标为a,4-b，按照（2）操作后点P2故答案为：a,4-b，-a,-b12．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A1,1，B4,2，(1)画出△ABC关于y轴对称的△A(2)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并求出△PAB的面积．【答案】(1)详见解析(2)S△PAB【分析】本题考查了坐标的对称问题，线段和最小作图计算，分割法计算三角形的面积，熟练掌握对称点坐标的计算，正确作图是解题的关键．（1）根据纵不变，横相反，计算坐标，并画图即可．（2）根据点A关于y轴的对称点A1，连接A1B，交y轴于点P【详解】（1）∵△A1B1CA1,1∴A1则△A（2）根据点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，交x则点P即为所求．根据题意，得S△PAB类型五、轴对称与最值问题13．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，点P、Q分别是边BC、AC

A．4 B．245 C．5 D．【答案】D【分析】由勾股定理可得AB=6，作A关于BC的对称点A'，过点A'作A'Q⊥AC，交AC于点Q，交BC于点P，根据对称可得：AP+PQ=A'P+PQ≥A'【详解】解：在△ABC中，∠ABC=90°，∴AB=作A关于BC的对称点A'，过点A'作A'Q⊥AC，交AC于点Q，交

∵AP+PQ=A∴当A',P,Q三点共线时，∵垂线段最短，∴A'Q⊥AC时，连接A'∵A,A'关于∴A'∴AA∵A'Q⊥AC∴S△ACA'∴A'故选D．【点睛】本题主要考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称解决线段和最小是解题的关键．14．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，∠AOB=20°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ=α，∠PQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则β-α的度数为（

）A．20° B．40° C．10° D．60°【答案】B【分析】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理.三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，可得【详解】如图，作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q则MP+PQ+QN最小，∴∠OPM=∠OPM'=∠NPQ∴∠QPN=1∴180°-α=40°+180°-β∴β-α=40°，故选:C15．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，AE=2BD．以DE为边向右作等边△DEF，则AF+BF的最小值为（

）A．4 B．42 C．43 D【答案】C【分析】先作辅助线，根据等边三角形的性质得到边长之间的关系，再根据三角形全等，得到角度的关系，再根据对称的性质可得到最值．【详解】解：作EH⊥AB于点H，作射线CF，则∠DHE=∠AHE=90°，∵△ABC和△DEF都是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=∠ABC=∠DEF=60°，AC=AB=BC,EF=DE，∴∠CEF=180°-∠DEF-∠AED=120°-∠AED，∠HDE=180°-∠BAC-∠AED=120°-∠AED，∴∠CEF=∠HDE，∴∠AEH=90°-∠BAC=30°，∴AE=2AH，∵AE=2BD，∴AH=BD，∴CE=AC-AE=AC-2AH,HD=AB-AH-BD=AC-2AH，∴CE=HD，在△CEF和CE=HD∠CEF=∠HDE∴△CEF≌△HDESAS∴∠ECF=∠DHE=90°，∴CF⊥AC，∴点F在经过点C且与AC垂直的直线上运动，作BL⊥AB交AC的延长线于点L，则∠ABL=90°，∴∠ALB=90°-∠BAC=30°，∴∠CBL=∠ACB-∠ALB=30°，∴∠ALB=∠CBL，∴LC=BC=AC，∴点L与点A关于直线CF对称，∴LF=AF，∵LF+BF≥BL，∴AF+BF≥BL，∵AB=AC=BC=4，∴AC=LC=BC=4，∴AL=2AC=8，∴BL=A∴AF+BF≥43∴AF+BF的最小值为43故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、含30°的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，灵活运用知识是解题的关键．类型六、角平分线的性质16．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线．若BC=10，AC=8，则CDA．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，证明Rt△ABD≌Rt△EBD【详解】解：过点D作DE⊥BC于点F，∵BC=10，AC=8，∴AB=B∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD，在Rt△ABD和Rt△EBDBD=BDAD=DE∴Rt△ABD∴AB=BE=6，∴CE=BC-BE=4，设CD=x，则AD=DE=8-x，∵CD∴x2∴x=5，∴CD=5，故选：B．17．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）如图，在△ABC中，AB=6，BC=10，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA、BC于M、N两点，分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线BP交AC于点A．9 B．12 C．15 D．18【答案】C【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点D作AB的垂线DE⊥AB，BC的垂线DF⊥BC，由角平分线定理得出DE=DF，再由三角形面积公式计算即可得到答案．【详解】解：过点D作AB的垂线DE⊥AB，BC的垂线DF⊥BC，根据题意可得BP是∠ABC的角平分线，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，∵△ABD的面积为9，即12∴DE=DF=3，∴S故选C．18．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若AC=a，AD=b，则△DEB的周长为．【答案】b+a/a+b【分析】本题考查角平分线的性质、等腰直角三角，熟练掌握角平分线、等腰直角三角的性质在实际问题中的应用，等量代换是解题关键，先根据角平分线性质定理证明AD=DE=b，再根据等要直角三角形的性质求出∠B=45°，根据直角三角形两锐角互余求出∠BDE=45°，进一步推BE=DE=b，从而求出△DEB的周长．【详解】解：∵CD平分∠ACB，∠A=90°，DE⊥BC，∴AD=DE=b，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠DEC=90°，∴∠BDE=45°，∴∠BDE=∠B，∴BE=DE=b，∵AB=AC=a，∴=AD+BD+BE=AB+BE=b+a，故答案为：b+a．类型七、线段垂直平分线的性质19．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE=4，EC=2

【答案】6【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到EB=AE=4，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EB=AE=4，∴BC=BE+EC=4+2=6，故答案为：6．20．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E为AD边的垂直平分线上一点，连接BE．把BE绕点B顺时针旋转90°得BF，连接CF，则△FBC的面积为．【答案】14/【分析】该题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是证明三角形全等．证明△BFC≌△AEB，即可求解．【详解】解：如图，设AD与AD边的垂直平分线交点为点F，连接CF,AE，则AF=1∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD=1,∠ABC=90°，∴∠EBF=90°,BE=BF，∴∠1=∠3=90°-∠2，∴△BFC≌△AEBSAS∴S△BFC故答案为：1421．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，若△ABC的周长为122【答案】6【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质、三角形中位线的性质、等角对等边等知识．依次证明AE=CE=12AC，DC=BD=DA=【详解】解：由作图可知，DE垂直平分AC，∴DA=DC，AE=CE=∴∠A=∠ACD，∵∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠B，∴DC=BD=DA=1∵AE=CE，∴DE=1∴△CDE的周长=EC+DE+DC====6故答案为：6类型八、等腰三角形的性质22．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）等腰三角形的一个内角是40°，则它顶角的度数是（

）A．40° B．40°或100° C．40°或120° D．80°【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质．分40°角是顶角与底角两种情况讨论求解．【详解】解：40°角是顶角时，三角形的顶角为40°；40°角是底角时，顶角为180°-40°×2=100°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为40°或100°．故选：B23．（23-24八年级上·江苏·期末）等腰三角形的一个内角是50°，它的一腰上的高与底边的夹角是（

）．A．65° B．40° C．25° D．25°或40°【答案】D【分析】此题主要考查了学生的三角形的性质、三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分情况进行分析，从而得到答案．【详解】当底角是50°时，则它一腰上的高与底边的夹角是90°-50°=40°；当顶角是50°时，则它的底角就是12180°-50°=65°故选：D．24．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在三角形纸片ABC中，AC=BC．把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD．若∠BAC=40°，则∠CBD的度数为（

）A．9° B．10° C．20° D．30°【答案】B【分析】此题考查了折叠的性质与等腰三角形的性质．解题关键是注意折叠中的对应关系，等腰三角形性质的熟练应用．由AC=BC，∠BAC=40°，根据等边对等角的性质，即可求得∠ABC的度数，又由折叠的性质，求得∠ABD的度数，继而求得∠CBD的度数．【详解】解：∵AC=BC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠BAC=40°，由折叠的性质可得：∠CAD=∠BAC=40°，AB=AD，∴∠BAD=∠CAD+∠BAC=80°，∴∠ABD=1∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=10°．故选：B．类型九、等边三角形的性质25．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1，B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2A．2024 B．4042 C．22023 D．【答案】D【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到∠B1A1A2=60°【详解】解：∵△A∴∠B∴∠OB∴∠OB∴A1同理可得A2B2∴△A2023B故选：D．26．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，在边长为6的等边三角形ABC中，D为边AC上的三等分点，则BD的长为()A．5 B．42 C．27 D【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质以及勾股定理：先运用勾股定理求出AC边上的高BH，进而根据勾股定理建立BD=B【详解】解：过点B作BH⊥AC，如图所示：∵△ABC是边长为6的等边三角形∴AC=6∵D为边AC上的三等分点，BH⊥AC∴AD=2那么BH在Rt△BHD中，故选：C27．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，∠AOB＝90°，以点O为圆心，适当长为半径画弧交∠AOB两边于点A、B，再以点A为圆心，OA长为半径画弧，交弧AB于点C，作射线OC，则A．20° B．30° C．36° D．40°【答案】B【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质．根据题意得出△ABC为等边三角形，从而得出∠AOC的度数，再利用角度和差即可求解．【详解】解：∵用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，∴OA=OB，∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，∴OA=AC，∴OA=OB=OC=AC，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠BOC=90°-∠AOC=30°，故选：B．类型十、角平分线与线段垂直平分线的计算问题28．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）已知：如图所示△ABC．(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠BAC的平分线和BC的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹）(2)若AB=15，AC=9，过点D画DE⊥AB，则BE的长为．（如需画草图，请使用备用图）【答案】(1)见解析(2)3【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，角平分线，三角形全等的判定与性质．（1）根据点D到边AB、AC的距离相等，即点D在∠BAC的角平分线上，又根据DB=DC，即点D在线段BC的垂直平分线上，所以，点D为∠BAC的角平分线与线段（2）过点点D作DE⊥AB交AB于点E，过点D作DF⊥AC交AC于点F，由（1）知BD=DC,∠BAD=∠CAD，证明Rt△BDE≌Rt△CDFHL，再证Rt△ADE≌Rt△ADF【详解】（1）解：如图，点D即为所求，（2）解：如图，过点作DE⊥AB交AB于点E，过点D作DF⊥AC交AC于点F，由（1）知BD=DC,∠BAD=∠CAD,DE=DF，在Rt△BDE与RtBD=CDDE=DF∴Rt△BDE∴BE=CF，在Rt△ADE与RtAD=ADDE=DF∴Rt△ADE∴AE=AF，∴BE=CF=AB-AE=AB-AC+CF，即BE=AB-AC-BE∴BE=AB-AC∵AB=15，AC=9，∴BE=15-9故答案为：3．29．（19-20八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知△ABC(AB<AC<BC)，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）；(1)在边BC上找一点M，使得：将△ABC沿着过点M的某一条直线折叠，点B与点C能重合；(2)在边BC上找一点N，使得：将△ABC沿着过点N的某一条直线折叠，点B能落在边AC上的点D处，且ND⊥AC，请在图②中作出点N．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】本题考查了作图-复杂作图、翻折变换，解决本题的关键是熟练翻折的性质．（1）根据线段垂直平分线的性质即可在边BC上找一点M，使得：将△ABC沿着过点M的某一条直线折叠，点B与点C能重合；（2）延长CB至G，作∠CBG的平分线，得过点B的垂线n，延长CA交n于点E，作∠BEC的角平分线交BC于点N，过点N作AC的垂线m交AC于点D即可．【详解】（1）解：如图1所示：点M即为所求作的点；（2）如图2所示：点N即为所求作的点．作图如下：延长CB至G，作∠CBG的平分线，得过点B的垂线n，延长CA交n于点E，作∠BEC的角平分线交BC于点N，过点N作AC的垂线m交AC于点D．30．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°．(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线DE，交AB、BC于点E、D．（保留作图的痕迹，不写作法）(2)在（1）条件下，若AC=3，BC=4，①求DE长；②连接AD，判断∠CAD和∠BAD的大小，并解释你的观点．【答案】(1)见解析(2)①DE=158；②【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法解答即可；（2）①连接DB，如图，根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB，设CD=x，然后在Rt△BDE中，根据勾股定理可建立关于x②作∠CAB的平分线AF，交BC于点F，由勾股定理求出CF，可得CD＜CF，从而证明【详解】（1）解：如图1，直线DE就是所求作的垂直平分线．（2）①如图1，连接AD，设CD为x，则BD为4-x．在Rt△ACD中，∠C=90°，32+∴DA=DB=4-7在Rt△BDE中，∠BED=90°∴DE∴DE=15②∠CAD＜∠BAD如图1，作∠CAB的平分线AF，交BC于点F，作FG⊥AB．∵AF平分∠CAB，FG⊥AB，FC⊥AC，∴FC=FG，设FC为y，则FG=FC=y．BF=4-y．在Rt△BGF中，22+∵CD＜∴∠CAD＜∴∠CAD＜【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质以及勾股定理、角平分线性质等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．类型十一、角平分线与线段垂直平分线的作图31．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AC的垂直平分线交CB于点D，连接AD．(1)判断△ABD的形状，并说明理由；(2)过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若△ABD的周长是10，求CE的长．【答案】(1)等腰三角形，理由见解析(2)CE=5【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．（1）根据垂直平分线的性质得AD=CD，所以∠C=∠CAD，根据三角形外角的性质得∠ADB=2∠C，再根据∠B=2∠C，所以∠ADB=∠B，即可得出结论；（2）根据等于三角形三线合一的性质得DE=BE，所以AD+DE=5，所以CE=CD+DE=AD+DE=5．【详解】（1）△ABD为等腰三角形，理由：∵AC的垂直平分线交CB于点D，∴AD=CD，∴∠C=∠CAD，∴∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠ADB=∠B，∴AD=AB，∴△ABD为等腰三角形；（2）∵AE⊥BD，∴DE=BE，∵△ABD的周长是10，∴AD+DE=5，∴CE=CD+DE=AD+DE=5．32．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，∠A=45°，点D在AB边上，BC=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F．(1)求证△DCE≌△CBF；(2)若AB=AC，求证DE=1【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）先证明∠FBC=∠DCE，再根据AAS可证ΔDCE≌（2）过点C作CH⊥BD于点H，根据等腰三角形的性质可得∠BCH=∠DCH，BH=DH，再证明∠ACD=∠DCH，根据角平分线的性质可知DE=DH，进一步即可得证．【详解】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠CFB=90°，∠BFA=90°，∵∠A=45°，∴∠ABF=45°，∵BC=CD，∴∠DBC=∠BDC，∵∠DBC=∠ABF+∠FBC，∠BDC=∠A+∠DCE，∴∠FBC=∠DCE，在△DCE和△CBF中，∠DEC=∠CFB∠ECD=∠FBC∴△DCE≌△CBF(AAS（2）证明：过点C作CH⊥BD于点H，如图所示：∵BC=CD，∴∠BCH=∠DCH，BH=DH，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FBC=∠DCE，∴∠BCD=∠ABF=45°，∴∠DCH=22.5°，∠BDC=(180°-45°)÷2=67.5°，∴∠ACD=67.5°-45°=22.5°，∴∠ACD=∠DCH，∵DE⊥AC，CH⊥BD，∴DE=DH，∴DE=1【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．33．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线l1

(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)连接OA，若AB=BC=5，BO=154，【答案】(1)证明见解析；(2)2120【分析】（1）过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F，根据角平分线的性质得到（2）如图所示，连接AO，根据三线合一定理得到BO⊥AC，由此推出B、O、E三点共线，设OE=x，则BE=x+154，由勾股定理建立方程25-x+154本题考查了角平分线的性质与判定，三线合一定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）证明：过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为∵∠ACB、∠ABC的平分线l1∴OD=OF，∴OD=OE，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴点O在∠BAC的平分线上；

（2）解：如图所示，连接OA，∵AB=BC，BO平分∠ABC，∴BO⊥AC，∵OE⊥AC，∴B、设OE=x，则BE=BO+OE=x+15在Rt△ABE中，AE2在Rt△OAE中，AE2∴25-x+解得x=21∴OE=21∴点O到三角形三条边的距离是2120故答案为：2120

类型十二、等腰三角形的性质与判定34．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，在边AB上截取BD=BC，连接CD，过点D作DE⊥AB交AC于点E．(1)求证：DE=CE；(2)若∠A=30°，AC=6，则CD=______．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）由等边对等角可得∠BCD=∠BDC，且∠BCD+∠ACD=90°，∠EDC+∠BDC=90°，即可得到∠ECD=∠EDC，再由等角对等边即可得出结论；（2）根据直角三角形的性质得出BC=12AB，∠B=90°-30°=60°，根据勾股定理得出BC2+6【详解】（1）证明：∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∵DE⊥AB，∴∠EDC+∠BDC=90°，∴∠ACD=∠EDC，∴CE=DE；（2）解：∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴BC=12AB根据勾股定理得：BC∴BC解得：BC=23∵BD=BC，∠B=60°，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=23【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，余角的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．35．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，锐角△ABC中，CD、BE分别是边AB、AC上的高，M、N分别是线段DE、BC的中点．(1)求证：MN⊥DE；(2)连接DN、EN，猜想∠A与∠DNE之间的关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)∠DNE=180°-2∠A，理由见解析【分析】（1）根据CD、BE分别是AB、AC边上的高，可得△BDC和△BCE都是直角三角形，又因为点N是BC边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DN=EN，再根据等腰三角形的三线合一可证；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：△DNB和△CNE都是等腰三角形，根据三角形内角和定理可得：∠BND+∠CNE=2∠A，根据平角的定义可得∠DNE=180°-∠BND+∠CNE，等量代换【详解】（1）证明：如下图所示，连接DN、EN，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，∴∠BDC=∠BEC=90°，在Rt△BDC和Rt△BEC中，点N是斜边∴DN=12BC∴DN=EN，△NDE是等腰三角形，∵点M为底边DE的中点，∴MN⊥DE．（2）解：∠DNE=180°-2∠A．理由如下：在中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，由（1）可知DN=EN=BN=CN，∴∠ABC=∠NDB，∠ACB=∠NEC，∴∠BND=180°-2∠ABC，∠CNE=180°-2∠ACB，∴∠BND+∠CNE=360°-2∠ABC+∠ACB∵∠DNE=180°-∠BNE+∠CNE∴∠DNE=180°-2∠A．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质和等腰三角形的性质．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线三线合一．36．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)若△ABC的周长为25，AB=8，GC=2BG，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)AE=6【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键．（1）首先依据平行线的性质证明∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B=∠C，故此可证明为等腰三角形；（2）通过证明△AFE≌△CFG，求得结论．【详解】（1）证明：∵AE∥∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠CAE．∴∠B=∠C．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵△ABC的周长=25，AB=AC=8∴BC=9，∵GC=2BG，∴BG=3，CG=6，∵F是AC的中点，∴AF=CF．∵AE∥BC，∴∠C=∠CAE．在△AFE和△CFG中，∠C=∠CAEAF=CF∴△AFE≌△CFGASA∴AE=CG=6．类型十三、等边三角形的性质与判定37．（21-22八年级上·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AB交BC于点D，AE⊥AC交BC于点E．求证：△ADE是等边三角形．

【答案】见解析【分析】先求出∠B=∠C=30°，再根据垂直的定义得出∠BAD=∠CAE=90°，进而得出∠ADB=∠AEC=60°，再根据三角形的内角和得出∠EAD=60°，即可得出结论．【详解】证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠BAD=∠CAE=90°，∴∠ADB=∠AEC=60°，∴∠EAD=180°-60°-60°=60°，∴△ADE是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，关键在于能够熟记等边三角形的判定方法．38．（22-23八年级上·江苏常州·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是AC的中点连接DF、(1)求证：DF=EF；(2)连接DE，若AC=2，ED=1．①判断△DEF的形状，并说明理由；②BDAB=【答案】(1)见解析；(2)①等边三角形，见解析；②12【分析】（1）在Rt△AEC和Rt△ADC中用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证（2）①由（1）EF、DF求出长度都为1，由等边三角形的定义即可证明；②利用等边对等角、三角形内角和定理可求∠B=60°，在用“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半”可求出比值．【详解】（1）证明：CE⊥AB，AD⊥BC，∴∠AEC=90°，∠ADC=90°，∵在Rt△AEC中，∠AEC=90°，F是AC∴EF=1∵在Rt△ADC中，∠ADC=90∘，F∴DF=1∴EF=DF．（2）解：①等边三角形，理由如下：由（1）知，EF=DF=1∵ED=1，∴ED=EF=DF，∴△DEF是等边三角形．②解：由（1）得EF=AF∴∠AEF=∠EAF，同理可证：∠CDF=∠DCF，∵△DEF是等边三角形，∴∠BED+∠AEF=120°，∠BDE+∠CDF=120°，∴∠BED+∠EAF=120°，

∠BDE+∠DCF=120°，∴∠BED+∠EAF+∠BDE+∠DCF=240°，∵∠B+∠BED+∠BDE=180°，∴∠BED+∠BDE=180°-∠B，∵∠B+∠EAF+∠DCF=180°，∵∠EAF+∠DCF=180°-∠B，∴180°-∠B+180°-∠B=240°，∴∠B=60°，∴在Rt△ADB中，∠BAD=30°∴AB=2∴BD故答案为12【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、直角三角形中相关基本性质的综合运用及等边三角形判断问题，掌握并熟练应用是解决问题的关键．39．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）已知等边△ABC，D为AC中点，延长BC至E，使CE=CD．(1)△BDE的形状为；图中有个等腰三角形；(2)若DM⊥BE于M（图中未画出），MCME【答案】(1)等腰三角形，3(2)1【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质成为解题的关键．（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC；然后运用等边对等角以及三角形外角的性质可得∠CDE=∠E=30°，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠DBC=30°，即∠DBC=∠E；进而得到BD=DE，即可判定△BDE的形状；根据等腰三角形的定义结合图形即可确定等腰三角形的个数．（2）由直角三角形的性质可得DM=12DE，再运用勾股定理可得ME=【详解】（1）解：∵等边△ABC，∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC,∵CD=CE,∴∠CDE=∠E,∵∠CDE+∠E=∠ACB=60°，∴∠CDE=∠E=30°，∵D为AC中点，AB=BC,∴∠DBC=1∴∠DBC=∠E,∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形；图中等腰三角形有：△ABC、△DCE、△BDE共3个．故答案为：等腰三角形，3．（2）解：如图：∵MC⊥BE,∠DBC=30°，BD=DE，∴DM=12BD=∴ME=BM=B∵MD⊥BE,∠DCM=60°，∴∠MDC=30°，∴MC=1∵DM=DC2∴MCME类型十四、等腰（等边）三角形的综合问题40．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知AD为等边△ABC的角平分线，动点E在直线AD上（不与点A重合），连接BE．以BE为一边在BE的下方作等边△BEF，连接CF．(1)如图1，若点E在线段AD上，且DE=BD，则∠CBF=______度．(2)如图2，若点E在AD的反向延长线上，且直线AE，CF交于点M．①求∠AMC的度数；②若△ABC的边长为4，P，Q为直线CF上的两个动点，且PQ=5．连接BP，BQ，判断△BPQ的面积是否为定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)15；(2)①∠AMC=60°；②是，5【分析】此题考查手拉手全等模型，和等边三角形的性质，解题关键是通过全等证明角度相等，推出特殊角度的三角形，将面积用公式用底和高表示出来，直接求高然后代值判断即可．（1）已知等边三角形，推论出等腰直角三角形，直接计算即可．（2）①通过手拉手模型证明全等推出等角即可；②已知底边求面积，推出高的值即可，联系第①问中的角度，直接推理出30°的直角三角形，代值计算即可．【详解】（1）解：∵AD为等边△ABC的角