期末复习之与轴对称图形有关的热考几何模型（解析版）

与轴对称图形有关的热考几何模型（考题猜想，热考+压轴必刷40题10种题型）折叠模型双垂直平分线导角见等腰，构造三线合一平行平分出等腰等腰三角形双腰上的高求定值等边三角形类弦图模型手拉手模型将军饮马问题三动点问题逆等线问题一．折叠模型（共4小题）1．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，∠AOB=α，点M是射线OA上的一个定点，点N是射线OB上的一个动点，连结MN，把∠AOB沿MN折叠，点O落在∠AOB所在平面内的点(1)如图1，点C在∠AOB的内部，若∠CMA=20°，∠CNB=60°，则α=___°．(2)如图2，若α=45°，ON=2，折叠后点C在直线OB上方，CM与OB交于点E，且MN=ME，求∠OMN的度数及折痕MN(3)如图3，若折叠后，直线MC⊥OB，垂足为点E，且OM=5，ME=3，直接写出此时ON的长．【答案】(1)40；(2)30°，(3)ON=52或【分析】（1）由对折的性质得：∠OMN=∠CMN，∠ONM=∠CNM，由∠CMA=20°及∠CNB=60°，则可求得（2）设∠OMN=α，由折叠知，∠NME=∠OMN=α；由三角形外角的性质及等腰三角形性质得：∠MEN=∠MNE=∠O+∠OMN=45°+α，由三角形内角和即可求得α的度数；过N点作ND⊥OM于D，则易得OD=ND=1；再由含30度直角三角形的性质得MN=2ND=2；（3）由勾股定理OE=4；分两种情况：①当点N在线段OE上时；②当点N在线段OE延长线上时；设ON=x，利用勾股定理建立方程求出x即可．【详解】（1）解：由对折的性质得：∠OMN=∠CMN，∵∠OMN+∠CMN+∠ACM=180°，∠ONM+∠CNM+∠CNB=180°，且∠CMA=20°，∠CNB=60°，∴∠OMN=1∴a=180°-∠OMN-∠ONM=180°-80°-60°=40°，故答案为：40；（2）解：设∠OMN=a，由折叠知，∠NME=∠OMN=a；∵MN=ME，∠MNE=∠O+∠OMN，∴∠MEN=∠MNE=45°+a，∵∠MNE+∠MEN+∠NME=180°，∴2(45°+a)+a=180°，解得：a=30°，即∠OMN=30°；如图，过N点作ND⊥OM于D，则∠OND=∠O=45°，∴OD=ND，由勾股定理得：2OD∴OD=ND=1；∵ND⊥OM，∴MN=2ND=2；（3）解：∵MC⊥OB，∴OE=O①当点N在线段OE上时，如图，设ON=x，由折叠性质得：CN=ON=x，CM=OM=5，∴NE=OE-ON=4-x，CE=CM-ME=5-3=2；∵MC⊥OB，∴NE即(4-x)2解得：x=5即ON=5②当点N在线段OE延长线上时，如图，设ON=x，由折叠性质得：CN=ON=x，CM=OM=5，∴NE=ON-OE=x-4，CE=CM+ME=5+3=8；∵MC⊥OB，∴NE即(x-4)2解得：x=10；即ON=10；综上，ON=52或【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）八上数学课本69页，数学活动《折纸与证明》中告诉我们：折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法，请用所学知识解决下列问题．（1）如图1，一个三角形的纸片中，MC>MB，证明：∠MBC>∠MCB．小龙同学通过折叠纸片，将MB折叠到MC上，点B与点D重合，展开后得到折痕ME，如图2，折痕ME交BC于点E，连接DE．帮助小龙同学写出证明过程．（2）如图3，在平面直角坐标系中，点B-107,237，点C2,5①求点E坐标；②直线l过点C，交y轴于点M，且∠ECM=45°，直线l沿y轴翻折恰好经过点B，只用圆规在直线BM上求作点G，使EG与直线BM所夹的锐角等于∠ECM．（不写作法，保留作图痕迹）③直接写出（2）中点G的坐标．【答案】（1）见解析；（2）①E0,4；②见解析；③-2,5，-1,2【分析】（1）由折叠的性质得到∠MDE=∠MBC，再根据三角形外角的性质即可证明；（2）①先利用待定系数法求出直线BC的解析式，令x=0，求出y的值，即可得到点E的坐标；②以点E为圆心，EC为半径画弧，交直线BM于点G，点G'，点G，点G'为所求；③先利用对称的性质求出点G的坐标，再利用待定系数法求出直线BM的解析式为y=-3x-1，根据【详解】（1）证明：由折叠的性质得：∠MDE=∠MBC，∵∠MDE=∠MCB+∠CED，∴∠MDE>∠MCB，∴∠MBC>∠MCB；（2）解：①设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0将B-107,237，解得：k=1∴直线BC的解析式为y=1令x=0，则y=4，∴E0,4②如图所示，以点E为圆心，EC为半径画弧，交直线BM于点G，点G'，点G，点G∵直线l沿y轴翻折恰好经过点B，∴直线l与直线BM关于y轴对称，∵点C与点G关于y轴对称，∴∠EGB=∠ECM=45°，∵EG=EG∴∠EG③由②知点C与点G关于y轴对称，且C2,5，由①知E∴G-2,5∵B-设直线BM的解析式为y=k将B-107,237，解得：k'∴直线BM的解析式为y=-3x-1，设G'∵EG=EG∴0--2∴10m2+30m+25=5解得：m=-1，或m=-2，∵G-2,5∴G综上，点G的坐标为-2,5，-1,2．【点睛】本题考查了对称作图，对称的性质，一次函数综合问题，等腰三角形的性质，两点的距离，掌握对称的性质是解题的关键．3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图是两个全等的直角三角形纸片，且AC:BC:AB=3:4:5，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S1

(1)若AC=3，求S1(2)若AE=2，求S2【答案】(1)3(2)8【分析】（1）由题意可得BC=4，AB=5，设DM=CM=x，则BM=4-x，依据S△ABM=12AB×DM=（2）设AC=3x，BC=4x，AB=5x，由折叠可得，BC=BE=4x，EN=CN，可得AE=AB-BE=x=2，可知AB=10，BC=8，AN=3x-EN=6-EN，由S△ABN=12AB×EN=【详解】（1）解：∵AC:BC:AB=3:4:5，AC=3，∴BC=4，AB=5，由折叠可得，DM=CM，∠ADM=∠C=90°，AD=AC=3，设DM=CM=x，则BM=4-x，∵S△ABM∴AB×DM=BM×AC，即5x=34-x解得x=3∴DM=3∴BD=AB-AD=2，∴S1（2）由AC:BC:AB=3:4:5，可设AC=3x，BC=4x，AB=5x，由折叠可得，BC=BE=4x，EN=CN，∴AE=AB-BE=x=2，则AB=5x=10，BC=4x=8，AN=3x-EN=6-EN，∵S△ABN∴AB×EN=AN×BC，即10×EN=6-EN解得EN=8∴S2【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是利用面积法求得某些线段的长度．4．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．点E为AD上的动点，点M为AB上的动点，连接ME，将△AME沿ME翻折．(1)图1沿ME折叠，点A与点C重合，连接MD，若MD=CD，①求证CM⊥AB；②∠B的度数为_________度；(2)如图2，若点M和点B重合，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△PBE，且BE=BC，设PB与AC相交于点F．求∠BFC度数．【答案】(1)①证明见解析；②67.5(2)60°【分析】（1）①证明BD=CD，可得BD=MD=CD，可得∠DBM=∠DMB，∠DMC=∠DCM，结合三角形的内角和可得∠BMD+∠DMC=90°=∠BMC，可得CM⊥AB；②由对折可得：AM=CM，AE=CE，可得∠ACM=∠MAC=45°，结合等腰三角形的性质可得∠B=1（2）如图，连接EC，先证明△BCE是等边三角形，得出∠BED=30°，再利用三角形的外角的性质得出∠BFC=2∠BED即可；【详解】（1）证明：①如图，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，AD⊥BC，∵MD=CD，∴BD=MD=CD，∴∠DBM=∠DMB，∠DMC=∠DCM，∵∠DBM+∠BMC+∠BCM=180°，∴∠BMD+∠DMC=90°=∠BMC，∴CM⊥AB；②由对折可得：AM=CM，AE=CE，而CM⊥AB，∴∠ACM=∠MAC=45°，∵AB=AC，∴∠B=1（2）如图，连接EC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD，∴EB=EC，又∵EB=BC，∴BE=EC=BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC=60°，∴∠BED=30°，由翻折的性质可知：∠ABE=∠PBE=1∴∠ABF=2∠ABE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAF=2∠BAE，∴∠BFC=∠BAF+∠ABF=2∠BAE+∠ABE∴∠BFC的度数为60°；【点睛】本题属于几何变换综合题，考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，内角和定理的应用等知识，掌握轴对称的性质是解本题的关键．二．双垂直平分线导角（共3小题）5．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．(1)若AB=3cm，求△CMN(2)若∠MFN=80°，求∠MCN的度数．【答案】(1)3(2)20°【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．（1）根据线段垂直平分线的性质得到AM=CM，BN=CN，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据三角形内角和定理求出∠MNF+∠NMF，进而求出∠A+∠B，结合图形计算即可．【详解】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=3(cm故△CMN的周长为3cm（2）∵∠MFN=80°，∴∠MNF+∠NMF=180°-80°=100°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=100°，∴∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°-100°=80°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°-2(∠A+∠B)=180°-2×80°=20°，故∠MCN的度数为20°．6．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=110°，则【答案】40°【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂直平分线的性质成为解题的关键．根据三角形内角和定理可得∠B+∠C=70°，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，AF=FC，然后根据等边对等角可得【详解】解：∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°，∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、∴AE=BE，∴∠BAE=∠B,∠CAF=∠C，∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=70°，∴∠EAF=110°-70°=40°．7．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB,AC的垂直平分线交于点P，两垂直平分线交△ABC的边于点G，D，E，H，连接AD,AE,AP．

(1)求∠DAE的度数；(2)求证：AP平分∠DAE．【答案】(1)∠DAE=60°(2)见解析【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得AD=DB,AE=EC，根据等角对等边得出∠B=∠DAB,∠C=∠CAE，根据三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，即可求解；（2）过点P作AD,AE,BC的垂线，垂足分别为点M,F,N，根据角平分线的性质与判定即可得证；【详解】（1）∵GD,HE分别为AB,AC的垂直平分线，∴AD=DB,AE=EC，∴∠B=∠DAB,∠C=∠CAE，∴∠ADE=2∠B,∠AED=2∠C，∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=60°，∴∠ADE+∠AED=2∠B+∠C∴∠DAE=60°；（2）证明：过点P作AD,AE,BC的垂线，垂足分别为点M,F,N，

∵AD=BD,PG⊥AG，∴∠ADG=∠BDG，又∵∠ADG=∠PDM,∠BDG=∠PDN，∴∠PDM=∠ADG=∠BDG=∠PDN，∵PM⊥AD,PN⊥BC，∴PM=PN，同理PF=PN，∴PM=PF∴AP平分∠DAE．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质以及角平分的性质与判定是解题的关键．三．见等腰，构造三线合一（共3小题）8．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC的外部，∠ABD=∠C,∠D=90°．求证BC=2BD．【答案】证明见解析【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，先证明BE=CE，∠ABC=∠ACB，∠AEB=∠AEC=90°，再证明△ABD≌△ABE，即可得到结论，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．【详解】解：如图，过A作AE⊥BC于E，而AB=AC，∴BE=CE，∠ABC=∠ACB，∠AEB=∠AEC=90°，∵∠ABD=∠C,∠D=90°，∴∠D=∠AEB=90°，∠ABD=∠ABE，∵AB=AB，∴△ABD≌△ABE，∴BD=BE，∴BC=2BD．9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC,AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．(1)求证：BE=AC；(2)若∠B=35°，求∠BAC的度数．【答案】(1)证明过程见解析(2)75°【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三线合一，三角形的内角和定理：（1）连接AE，由题意可判定AD垂直平分CE，由线段垂直平分线的性质可得AC=AE=BE，即可证明结论；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE=35°，由直角三角形的性质可得∠BAD的度数，即可求得∠EAD,∠CAD的度数，进而可求解．【详解】（1）证明：连接AE，∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，∴AD垂直平分CE，∴AC=AE，∵EF垂直平分AB，∴AE=BE，∴BE=AC；（2）解：∵AE=BE,∠B=35°，∴∠BAE=∠B=35°，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-35°=55°，∴∠EAD=55°-35°=20°，∵AC=AE，AD⊥BC∴∠CAD=∠EAD=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=55°+20°=75°．10．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．(1)求证：DE=DF；(2)若∠BDE=55°，求∠BAC的度数．【答案】(1)见解析(2)110度【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键．（1）连接AD，根据“三线合一”得出AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质定理，即可求证；（2）先根据直角三角形两个锐角互余得出∠B=35°，再根据“等边对等角”得出∠C=∠B=35°，最后根据三角形的内角和定理，即可求解．【详解】（1）证明：连接AD，∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．（2）解：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∵∠BDE=55°，∴∠B=35°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=35°，∴∠BAC=110°．11．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE=DF．(1)求证：△ABC是等边三角形．(2)延长ED交BC的延长线于点G，求证：BE=FG．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证Rt△AED≌Rt△CFDHL得∠A=∠C，又AB=AC得（2）连接BD，先证明∠G=∠DBF得DB=DG，进而利用三线合一得FG=BF，由（1）知Rt△AED≌Rt△CFD得AE=CF【详解】（1）证明：∵D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC∴AD=CD，∠AED=∠CFD=在Rt△AED和RtDE=DF∴Rt∴∠A=∠C∵AB=AC∴∠B=∠C∴∠A=∠B=∠C∴△ABC是等边三角形（2）证明：连接BD∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点∴∠DBF=12∵EG⊥AB，∴∠G=90°-∠ABC=90°-60°=30°∴∠G=∠DBF∴DB=DG∵DF⊥BC∴FG=BF由（1）知Rt∴AE=CF∴AB-AE=BC-CF，即BE=BF∴BE=FG【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，全等三角形的判定及性质，垂线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三线合一，全等三角形的判定及性质是解题的关键．四．平行平分出等腰（共2小题）12．如图，在△ABC中∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．若过点O作直线EF和边BC平行，与AB交于点E，与AC交于点F，则线段EF和EB，FC之间有怎样的数量关系并证明？【答案】EF=EB+FC．理由见解析【分析】此题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．由BD为角平分线，利用角平分线的性质得到一对角相等，再由EF与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换可得出∠EBD=∠EDB，利用等角对等边得到EB=ED，同理得到FC=FD，再由EF=ED+DF，等量代换可得证．【详解】解：EF=EB+FC．理由：∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB．又∵EF∥∴∠OBC=∠BOE，∠OCB=∠COF，∴∠BOE=∠EBO，∠COF=∠FCO，即EB=EO，FC=FO，∴EF=EO+FO=EB+FC．13．（23-24八年级上·山东济南·期末）用尺规作平行线的方法：已知：直线AB及直线AB外一点P．求作：经过点P的直线CD，使得CD∥AB．尺规作图步骤：如图，①过点P作直线AB的相交线，与直线AB交于点H；②以点H为圆心，任意长为半径画弧，交直线HP于点E，交直线AB于点F；③以点P为圆心，以线段HF长为半径画弧，交射线HP于点M；④以点M为圆心，线段长为EF半径画弧交前弧于点N；④过点P，N作直线CD．(1)在上述作图步骤中通过______（填写合适的选项）可判定△PMN≌△HEF，从而可得到∠MPN=∠EHF．A．“SSS”B．“SAS”C．“ASA”D．“AAS”(2)在上述作图步骤中用到的判定CD∥AB的依据是________________．(3)如图3，在△ABC中，AB=AC，小明通过刚才的方法，作出了∠EAD=∠B，可以得到AD是△ABC底边BC的平行线，那么AD是△ABC外角∠EAC的平分线吗？请说明理由．【答案】(1)A(2)同位角相等，两直线平行(3)是，理由见解析【分析】（1）由作图可知，PM=HE，MN=EF，（2）根据平行线的判定定理作答即可；（3）由平行线的性质，等边对等角可得∠EAD=∠DAC，进而可证AD是△ABC外角∠EAC的平分线．【详解】（1）解：由作图可知，PM=HE，∴△PMN≌△HEFSSS故选：A；（2）解：由题意知，∠MPN=∠EHF，∴CD∥AB，∴判定CD∥AB的依据是同位角相等，两直线平行，故答案为：同位角相等，两直线平行；（3）解：AD是△ABC外角∠EAC的平分线，理由如下；∵∠EAD=∠B，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAD=∠DAC，∴AD是△ABC外角∠EAC的平分线．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线是解题的关键．五．等腰三角形双腰上的高求定值（共小题）14．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在△ABC中，AB=AC，且∠B=60°，过A作AP⊥BC于点P，点M是直线BC上一动点，设点M到△ABC两边AB、AC的距离分别为m，n，△ABC的高为

(1)当点M运动到什么位置时，m=n，并说明理由．(2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论．(3)如图（3），当点M运动到BC的延长线上时，求证：m【答案】(1)证明见解析(2)m+n=h，证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）当点P与点M重合时，过点M作MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E，由等边三角形的性质得出BM=CM，则S△ABM（2）连接AM，根据S△ABC（3）连接AM，根据S△AMC+S【详解】（1）解：当点P与点M重合时，m=n，理由：过点M作MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E，如图，则MD=m，ME=n，

∵AB=AC，且∴△ABC是等边三角形，∵AP⊥BC即AM⊥BC，∴BM=CM，∴S△ABM∴12∴MD=ME，∴m=n；（2）解：m+n=h．理由如下：如图②，连接AM，则S△ABC

∴12AB⋅MD+1又∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC，∴m+n=h；（3）解：如图，连接AM，则S△AMC

∴12AC⋅ME+12又∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB，∴n+h=m，∴m-n2∴m2两边同时除以2022得，m2∴m2+n【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，完全平方公式的应用，运用等积法建立关系式是解题的关键．15．（23-24七年级下·全国·期末）在△ABC中，AB=AC=a，AB边上的高CD=h，点P是直线BC上任意一点，过P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，且(1)如图①，若点P在边BC上时，h，(2)如图②，③，若点P在BC或CB的延长线上时，h，(3)若点P是直线BC上的点，h1=5，【答案】(1)h=h(2)在图②中，h=h1-h(3)h2的值为3或【分析】（1）连接AP，根据面积法可得12AB×CD=12AB×PE+（2）点P在BC或CB的延长线上时，连接AP，根据面积法可得h，h1，h（3）当h1=5，h=8时，根据上述结论中h，h1，h本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，运用面积法得出线段之间的数量关系，解决问题的关键是作辅助线，运用分类思想解决问题．【详解】（1）解：如图，连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，∴S△ABC=12又∵∴12∵AB=AC，∴CD=PE+PF，即h=h（2）解：如图，点P在BC的延长线上时，连接AP，∵S∴12∵AB=AC，∴CD=PE-PF，即h=h如图，点P在CB的延长线上时，连接AP，∵S∴12∵AB=AC，∴CD=PF-PE，即h=h（3）解：当点P在边BC上时，由（1）可知，h=h那么8=5+h故h2当点P在BC的延长线上时，由（2）可知，h=h那么8=5-h故h2当点P在CB的延长线上时，由（2）可知，h=h那么8=h故h2综上所述，h2的值为3或1316．（21-22八年级上·山东临沂·期中）阅读下列材料：阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中AB=AC，BD是△ABC的高，P是BC边上一点，PM、PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M、求证：BD=PM+PN．阳阳发现，连接AP，有S△ABC=S△ABP+S△ACP他又画出了当点P在CB的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时BD、PM、PN之间的数量关系是：BD=PN-PM．请回答：(1)请补全阳阳同学证明猜想的过程：证明：连接AP，∵S△ABC=∴12AC⋅BD=12∵AB=AC，∴BD=PN-PM．(2)参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一点，PM、PN、PQ分别与直线AB、AC、BC垂直，垂足分别为点M、①如图3，若点P在△ABC的内部，猜想BD、PM、PN、PQ之间的数量关系并写出推理过程．②若点P在如图4所示的位置，利用图4探究得此时BD、PM、PN、PQ之间的数量关系并写出推理过程．【答案】(1)S△APB，PN，PM(2)①BD=PM+PN+PQ，理由见解析；②BD=PM+PQ-PN，理由见解析．【分析】（1）根据图2，结合阅读材料填写即可；（2）①连接AP、BP、CP，根据②连接AP、BP、CP，根据本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线运用类比方法构建三个三角形是解题的关键．【详解】（1）证明：连接AP，∵S△ABC∴12∵AB=AC,∴BD=PN-PM，故答案为：S△APB，PN，PM（2）解：①BD=PM+PN+PQ．理由如下：如图3，连接AP、∵S△ABC∴12∵AB=AC=BC，∴BD=PM+PN+PQ．②BD=PM+PQ-PN．理由如下：如图4，连接AP、∵S△ABC∴12∵AB=AC=BC，∴BD=PM+PQ-PN．17．（21-22八年级上·河南南阳·期末）阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ARP+S(1)类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h(2)理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？若存在，求出这个距离r的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)存在，2【分析】（1）连接PA，PB，PC，仿照面积的割补法，得出∵S（2）作∠ACB与∠ABC的角平分线相交于O，根据角平分线的性质可得点O到各边的距离相等，连接AO，根据S△OBC+S【详解】（1）解：连接PA，PB，PC，∵S∴12∵BC=AC=AB，∴r1+r（2）解：存在，作∠ACB与∠ABC的角平分线相交于O，过点O作OD⊥BC于D，作OE⊥AC于E，作OF⊥AB于F，∵AO平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC，∴OD=OE，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OF⊥AB，∴OD=OF，∴OD=OE=OF，∴△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等．连接AO，设OD=OE=OF=r∵∴1∴1∴r=2．【点睛】本题考查三角形的面积，角平分线的性质，解题关键是利用面积分割法，求线段之间的关系．18．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC,P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=(1)深入探究将“在△ABC中，AB=AC,P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC,PM-⊥BC,BG⊥AC，垂足分别为E、F(2)理解与应用当点P在△ABC外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、【答案】(1)PE+PF+PM=BG，理由见解析(2)PE+PF-PM=BG，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积；（1）连接PA、PB、PC，利用S△ABP（2）连接PA、PB、PC，利用S△ABP【详解】（1）PE+PF+PM=BG，理由如下：连接PA、PB、PC，则S∵等边三角形ABC，∴AB=AC=BC，∵PE⊥AB，PF⊥AC,PM∴12∴12∴PE+PF+PM=BG；（2）PE+PF-PM=BG，理由如下：连接PA、PB、PC，则S∵等边三角形ABC，∴AB=AC=BC，∵PE⊥AB，PF⊥AC,PM∴12∴12∴PE+PF-PM=BG．六．等边三角形类弦图模型（共3小题）19．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）【课本巩固】如图①，在等边△ABC中，D为边AB上一点，E为BC上一点，且AD=BE，连接AE与CD相交于点F．（1）AE与CD的数量关系为______，AE与CD构成的锐角夹角∠CFE的度数是______；【探究发现】（2）在（1）的基础上，延长AE至点G，使FG=FC，连接BG，CG，如图②所示，求证：GA平分∠BGC．【拓展延伸】（3）如图③，在等边△ABC中，D为边AB上一点，E为BC上一点，且AD=BE，CF=3AF，CE=3BE，求AFEF【答案】（1）AE=CD，60°；（2）见解析；（3）4【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形的面积公式；（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；（2）由（1）可知，∠CFE=60°，求得∠AFC=120°，推出△CFG是等边三角形，根据等边三角形的性质得到CF=CG，∠FCG=∠CGF=60°，根据全等三角形的性质得到∠AFC=∠BGC=120°，根据角平分线的定义即可得到结论；（3）连接BF，设S△ADF=S，S△BEF=y，得出S△FBD【详解】（1）解：如图①，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，在△ABE和△CAD中AB=CA∴△ABE≌△CAD(SAS)∴AE=CD，∠BAE=∠ACD，∵∠CFE=∠ACD+∠CAE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°，故答案为：AE=CD，60°；（2）证明：由（1）可知，∠CFE=60°，∴∠AFC=120°，∵FG=FC，∴△CFG是等边三角形，∴CF=CG，∠FCG=∠CGF=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠ACB=60°，∴∠ABC=∠FCG，∴∠ACB-∠FCB=∠FCG-∠FCB，即∠ACF=∠BCG，∴△ACF≌△BCG(SAS∴∠AFC=∠BGC=120°，∴∠BGF=∠BGC-∠BGF=120°-60°=60°，∴∠BGF=∠CGF，∴GA平分∠BGC；（3）如图所示，连接BF，设S△ADF在等边△ABC中，AB=BC，又∵AD=BE，∴BD=CE=AB-AD，∴BD=CE=3BE=3AD，∴S△FAD又∵S△FAD=S，则同理可得，S△FBE:S∴S△FEC∵S△BFDS△AFD∴S△AFC∴AFEF20．（23-24八年级上·广东汕头·期末）在等边△ABC的顶点A，C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D，E处，请问：

(1)如图1，爬行过程中，CD和BE的数量关系是________；(2)如图2，当蜗牛们分别爬行到线段AB，CA的延长线上的D，E处时，若EB的延长线与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小将会保持不变，请你证明：∠CQE=60°；(3)如图3，如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着线段BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，求证：DF=EF．【答案】(1)CD=BE(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．（1）证明△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质证明；（2）根据△ADC≌△CEB，得到∠ADC=∠E，再根据三角形的外角性质计算，得到答案；（3）过点D作DH∥BC交AC于H，证明△DFH≌△EFC，根据全等三角形的性质证明．【详解】（1）解：CD=BE，理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC，由题意得：AD=CE，在△ADC和△CEB中，AD=CE∠A=∠ACB∴△ADC≌△CEBSAS∴CD=BE；（2）证明如下：由（1）可知△ADC≌△CEBSAS∴∠ADC=∠E，∵∠E+∠ABE=∠BAC=60°，∠DBQ=∠ABE，∴∠CQE=∠ADC+∠DBQ=60°；（3）证明：过点D作DH∥BC交AC于H，∴∠HDF=∠CEF，∵△ABC为等边三角形，∴△ADH为等边三角形，∴HD=AD，∵AD=CE，∴DH=CE，在△DFH和△EFC中，∠HDF=∠CEF∠DFH=∠EFC∴△DFH≌△EFCAAS∴DF=EF．21．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．

【材料理解】（1）如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，则有△ABD≌；线段BD和CE的数量关系是．【深入研究】（2）如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；【深化模型】（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求证：AD+CD=BD【答案】（1）△ACE，BD=CE；（2）BD=CE，BD⊥CE，证明见解析；（3）见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键．（1）先得到∠BAD=∠CAE，再证明△ABD≌（2）同理先得到∠CAE=∠BAD，再证明△ABD≌△ACESAS，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE（3）作∠DBH=∠ABC=60°，BD=BH，连接DH，证明△BDH是等边三角形，得到DH=BD，∠BDH=60°，进而得到D、C、H三点共线，则BD=DH=CH+CD，然后证明△ABD≌△CBHSAS得到AD=CH【详解】解：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌∴BD=CE，故答案为：△ACE；BD=CE；（2）BD=CE，BD⊥CE，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠BAD，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE，∴∠BPC=∠BAC=90°，∴BD⊥CE．（3）证明如图，作∠DBH=∠ABC=60°，BD=BH，连接DH，

∴△BDH是等边三角形，∴DH=BD，∠BDH=60°，∵∠BDC=60°，∴D、C、H三点共线，∴BD=DH=CH+CD，∵∠ABC-∠DBC=∠DBH-∠DBC，∴∠ABD=∠CBH，又AB=BC，BD=BH，∴△ABD≌△CBHSAS∴AD=CH，∴AD+CD=BD．七．手拉手模型（共6小题）22．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图1，已知△ABC，△CDE均为等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接AE，(1)判断线段AE，BD的数量关系，并说明理由．(2)求线段AE与线段BD的夹角∠AFB的度数．(3)如图2，若点B，C，E不在同一条直线上，则（1）（2）中的结论_____________（填“成立”或“不成立”）．【答案】(1)见解析(2)60°(3)成立【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟悉等边三角形的性质和三角形内角和定理．（1）根据等边三角形的性质证明△ACE≌△BCD，即可得出AE=BD；（2）根据全等三角形的性质得出∠EAC=∠DBC，结合三角形内角和定理即可求出∠AFB；（3）用和（1）（2）同样的方法，即可解答．【详解】（1）解：AE=BD；理由如下：∵△ABC，∴AC=BC，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠ACD+∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD；（2）解：∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC=∠DBC，∴∠AFB=180°-∠EAC-∠CAB-∠ABD=180°-∠DBC-∠CAB-∠ABD=180°-∠CAB-=180°-∠CAB-∠ABC=60°；（3）解：∵△ABC，∴AC=BC，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠ACD+∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，∴∠AFB=180°-∠EAC-∠CAB-∠ABD=180°-∠DBC-∠CAB-∠ABD=180°-∠CAB-=180°-∠CAB-∠ABC=60°．故答案为：成立．23．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）【问题情境】如图1，△ABD与△AEC都是等边三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN，MN．

【猜想证明】请证明：（1）求证：BE=CD；（2）求证：△AMN是等边三角形．【类比探究】如图2，△ABD与△AEC都是等腰直角三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN.请探究：（3）若点N恰好也是AE的中点，且AE=2，求△ABE的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）△ABE的面积为2【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．（1）由等边三角形的的性质得AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠EAC=60°，可推导出∠BAE=∠DAC，进而证明△BAE≌△DAC，得出BE=CD；（2）由BM=12BE，DN=12CD，且BE=CD，证明BM=DN，而AB=AD，∠ABM=∠AND，可证明（3）由等腰直角三角形的性质得AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠EAC=90°，可推导出∠BAE=∠DAC，进而证明△BAE≌△DAC，得BE=CD，∠ABE=∠ADC，而BM=12BE，DN=12CD，所以BM=CD，可证明△BAM≌△DAN，得∠BAM=∠DAN，AM=AN，推导出∠MAN=∠BAD=90°，因为【详解】解：（1）∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°，∴∠BAE=∠DAC=60°+∠DAE，在△BAE和△DAC中，AB=AD∠BAE=∠DAC∴△BAE≌△DACSAS∴BE=CD．（2）证明：∵点M，N分别是BE，CD的中点，∴BM=12BE∵BE=CD，∴BM=DN，∵△BAE≌△DAC，∴∠ABE=∠ADC，在△BAM和△DAN中，AB=AD∠ABM=∠ADN∴△BAM≌△DAN(SAS∴∠BAM=∠DAN，AM=AN，∴∠MAN=∠DAN+∠DAM=∠BAM+∠DAM=∠BAD=60°，∴△AMN是等边三角形．（3）∵△ABD与△AEC都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=90°，∴∠BAE=∠DAC=90°+∠DAE，在△BAE和△DAC中，AB=AD∠BAE=∠DAC∴△BAE≌△DACSAS∴BE=CD，∠ABE=∠ADC，∵点M，N分别是BE，CD的中点，∴BM=12BE∴BM=DN，在△BAM和△DAN中，AB=AD∠ABM=∠ADN∴△BAM≌△DAN(SAS∴∠BAM=∠DAN，AM=AN，∴∠MAN=∠DAN+∠DAM=∠BAM+∠DAM=∠BAD=90°，∵AE=2，且点N也是AE的中点，∴AM=AN=EN=1∴S∵AE=2AN，BE=2EM，∴S∴S∴△ABE的面积为2．24．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知△ABC是等边三角形．(1)如图1，点D、E分别为AB，AC边上的点，CE=AD，连接BE，CD相交于点F．求∠BFD的度数；(2)如图2，AE∥BC，点D在AB边上，点F在射线AE上，AC与DF相交于点Q，且①求证：DC=DF；②作FH⊥AC于点H，当点D在AB边上移动时，请同学们探究线段AD，AC，CH之间的数量关系，并对结论加以证明．【答案】(1)60°(2)①证明见解析；②AC+AD=2CH【分析】（1）由等边三角形的性质证明△ADC≌△CEB，可得∠ACD=∠CBE，再结合三角形的外角的平分线可得结论；（2）①如图，过D作DT∥BC，证明△ADT为等边三角形，可得∠ADT=60°=∠CDF，DA=DT，再证明△ADF≌△TDC，可得②延长BA过点F作FG⊥BA于点G，连接CF，过点D作DN⊥EN于点N，过点D作DM⊥AC于点M，证明Rt△FAH≌Rt△FAGHL得出AH=AG，证明Rt△NDF≌Rt△MDCHL得出∠NDF=∠MDC，证明【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形．∴AB=AC=BC，∠A=∠ACB=60°，∵CE=AD，∴△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE，∴∠BFD=∠CBE+∠DCB=∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°；（2）证明：①如图，过D作DT∥BC交AC于∴∠ATD=∠ACB=60°，而∠BAC=60°，∴△ADT为等边三角形，∴∠ADT=60°=∠CDF，DA=DT，∴∠ADF=∠CDT，∵AE∥∴∠FAC=∠ACB=60°，∴∠FAC=∠CDF=60°，∵∠AQF=∠DQC，∴∠AFD=∠ACD，∴△ADF≌△TDC，∴DF=DC；②AC+AD=2CH；理由如下；延长BA，过点F作FG⊥BA于点G，连接CF，过点D作DN⊥EA于点N，过点D作DM⊥AC于点M，如图所示：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠BAC=60°，∵AE∥∴∠EAC=∠ACB=60°，∴∠FAG=180°-60°-60°=60°，∴∠FAG=∠EAC，∵FG⊥AB，FH⊥AC，∴FH=FG，∵AF=AF，∴Rt△FAH≌∴AH=AG，∵∠NAD=∠GAF=60°，∴∠NAD=∠DAM=60°，∵DN⊥AN，DM⊥AM，∴DN=DM，∵DF=DC，∴Rt△NDF≌∴∠NDF=∠MDC，∴∠NDF-∠MDF=∠MDC-∠MDF，∴∠NDM=∠FDC=60°，∵DF=DC，∴△DCF为等边三角形，∴CF=CD=DF，∵FH=FG，FD=FC，∴Rt△FHC≌∴CH=DG，∴CH=DG=AD+AG=AD+AH，∴AH=CH-AD，∴AC=CH+AH=CH+CH-AD=2CH-AD，即AC+AD=2CH．【点睛】本题主要考查了三角形全等判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．25．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．

(1)如图①，在△ABC与△ADE中，AB=AC，当∠BAC、∠BAD、∠BAE、满足条件____时，△ABC与△ADE互为(2)如图②，在△ABC与△ADE互为“兄弟三角形”，AB=AC，BE、CD相交于点M，连AM，求证：MA(3)如图③，在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AD=AB，AC=BC+DC，求∠BAD的度数．【答案】(1)∠BAE=∠BAC+∠BAD(2)见解析(3)∠BAD=60°【分析】（1）顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．据此推导出∠BAC、∠BAD、∠BAE的关系便可；（2）过点A作AM⊥BE于点M，作AN⊥CD于点N，再证明△ABE≌△ACD得AM=AN，再根据角平分线的判定定理得结论；（3）延长CD至E，使得DE=BC，连接AE，证明△ABC≌△ADE，进而得△ACE是等边三角形，便可得∠BAD=∠CAE=60°．【详解】（1）解：∵在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∴当∠BAC=∠DAE时，△ABC与△ADE互为“兄弟三角形”，∵∠BAE=∠DAE+∠BAD，∴∠BAE=∠BAC+∠BAD，故当∠BAE=∠BAC+∠BAD时，△ABC与△ADE互为“兄弟三角形”，故答案为∠BAE=∠BAC+∠BAD；（2）解：∵在△ABC与△ADE互为“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD(SAS)∴AB=AC，∠ABE=∠ACD．过点A作AH⊥BE于点H，作AN⊥CD于点N，如图②，

∴∠AHB=∠ANC=90°，∴△ABH≌△ACN(AAS∴AH=AN（全等三角形的对应高相等），∴HA平分∠BMD；（3）解：延长CD至E，使得DE=BC，连接AE，如图③，

∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，∵AB=AD，∴△ABC≌△ADE(SAS)∴AC=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵AC=BC+DC=DE+DC=CE，∴AC=CE=AE，∴∠CAE=60°，∴∠BAD=60°．【点睛】此题考查了新定义，等腰三角形的定义，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形和全等三角形是解本题的关键．26．（22-23八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，已知△ABC中，AB≠AC≠BC．分别以AB、AC为腰在AB左侧、AC右侧作等腰三角形ABD．等腰三角形ACE，连接CD、BE．

(1)如图1，当∠BAD=∠CAE=60°时，①△ABD、△ACE的形状是____________；②求证：BE=DC．(2)若∠BAD=∠CAE≠60°，①如图2，当AB=AD，AC=AE时，②如图3，当AB=DB，AC=EC时，【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，证明△BAE≌（2）①证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得△BAE与【详解】（1）解：①∵△ABD是等腰三角形，△ACE是等腰三角形，∠BAD=∠CAE=60°∴△ABD、△ACE是等边三角形，故答案为：等边三角形．②证明：∵△ABD、△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠BAE=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△BAE与△DAC中，∵AB=AD∠BAE=∠DAC∴△BAE≌∴BE=DC．（2）解：①当AB=AD，AE=AC时，成立．理由：如图，∵AB=AD，∠BAD=∠EAC，AE=AC，∴∠BAE=∠DAC

∴△BAE≌∴BE=DC；②当AB=DB，AC=EC时，不成立．理由：如图，∵∠BAD=∠CAE≠60°，

∴AB=DB≠AD，AC=EC≠AE，∴△BAE与△DAC不全等，∴BE≠DC．八．将军饮马问题（共6小题）27．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】【问题背景】如图1，A，B表示两个村庄，要在A，B一侧的河岸边建造一个抽水站P，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站P应该修建在什么位置？【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：如图2，A，B是直线l同侧的两个点，点P在直线l上．P在何处时，PA+PB的值最小．画图：如图3，作B关于直线l的对称点B'，连结AB'与直线l交于点P证明：∵B和B'关于直线l∴直线l垂直平分B∴PB=________，∴PA+PB=PA+P根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得PA+PB'最小值为________（填线段名称），此时P点是线段AB【问题拓展】如图4，村庄B的某物流公司在河的对岸有一个仓库C（河流两侧河岸平行，即GD∥EF），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥MN（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥MN修建在何处才能使得B到C的路线最短？请你画出此时桥MN的位置（保留画图痕迹，否则不给分）．【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形AEDC为花海景区，∠CDE=∠E=90°，AE=80米，DE=50米，长方形CFGH为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线AM-MN-BN），A为起点，终点B在ED上，BD=30米，MN为湖边观景台，长度固定不变(MN=40米），且需要修建在湖边所在直线CF上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度．【答案】【数学建模】PB'，①，AB【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．【数学建模】由垂直平分线的性质得PB=PB'，由两点之间线段最短得【问题拓展】解过B作BB'垂直于河岸，使得BB'=NM，连接CB'交另一河岸于N，过N【迁移应用】过B作BB'∥FC，使得BB'=NM，作B'关于直线FC对称点B″【详解】PB'，①，解：【问题拓展】桥MN修建在如图所示的位置才能使得B到C的路线最短；解：【迁移应用】如图所示，过B作BB'∥FC，使得BB'=NM，作B'关于直线FC对称点B″，延长B″B'交∵BB'∥∴四边形BB∴BN=B∵B'关于直线FC对称点B″∴B'M=B″M∴AM+BN=AM+B在Rt△ABAB∴AM+BN+MN=405故步行观光路线的最短长度为40528．（23-24七年级下·河南焦作·期末）唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题．(1)如图2，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C理由：如图3，在直线l上另取不同于点C的任一点C'，连接因为点B、B'关于直线l对称，点C、C'在直线所以CB=，C'B=所以AC+CB=AC+CB'在△AC'B可得A所以AC+CB<A即AC+CB最小．(2)迁移应用：如图4，△ABC是等边三角形，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，AD=6，M是AD上的一个动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值是．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）根据轴对称的性质得到CB=CB'，（2）连接MC，NC，根据题意得到当点N，M，C三点共线时，BM+MN有最小值，即NC的长度，然后根等边三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：理由：如图3，在直线l上另取不同于点C的任一点C'，连接因为点B、B'关于直线l对称，点C、C'在直线所以CB=CB'，所以AC+CB=AC+CB在△AC可得A所以AC+CB<A即AC+CB最小．故答案为：CB'，（2）解：如图所示，连接MC，NC，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD垂直平分BC，∴BM=CM，∴BM+MN=CM+MN≥NC，∴当点N，M，C三点共线时，BM+MN有最小值，即NC的长度，∵AD=6，N是AB的中点，△ABC是等边三角形，∴NC=AD=6，∴BM+MN的最小值为6．【点睛】本题主要考查的是轴对称图形的性质以及两点之间线段最短，三角形三边关系，等边三角形的性质等知识，正确掌握两点之间，线段最短是解题的关键．29．（22-23八年级上·吉林长春·期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：△ABC(1)如图②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，(2)如图③，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，E、P分别是【答案】(1)20(2)10【分析】教材呈现：根据“SAS”证明△PCA≌△PCB即可；定理应用：（1）根据线段垂直平分线的性质定理证明AD=BD，AE=EC，那么△ADE的周长就转化为（2）根据等腰三角形的三线合一性质，可知AD是BC的垂直平分线，所以想到过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点P，此时EP+BP=CE，【详解】（1）教材呈现：证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∵AC=BC，∴△PCA≌△PCB(∴PA＝定理应用：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、∴AD=BD，∵△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=20，故答案为：20．（2）过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点P，∵AB=AC，∴BD=DC=1∴AD是BC的垂直平分线，∴BP=PC，∴BP+EP=CP+EP=CE，此时BP+EP的值最小，∴△ABC的面积=1∴CE=10，则BP+EP的最小值为10．故答案为：10．【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．30．（22-23八年级上·陕西渭南·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，△ABC的面积为12，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，求△BDM周长的最小值．【答案】8【分析】连接AD、AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，从而可得△BDM周长的最小值．【详解】解：连接AD、AM∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC,∴S解得AD=6，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A,AM=BM,∴AD的长为BM+MD的最小值,∴△BDM的周长最小值=BM+MD+BD=AD+【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，同时涉及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，利用数形结合的思想是解题关键．31．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在∠MON内．

(1)如图①，点P关于射线OM、ON的对称点分别是G、H，连接①若∠MON=30°，则△OGH是什么特殊三角形？为什么？②若∠MON=90°，试判断GH与OP的数量关系，并说明理由；(2)如图②，若∠MON=30°，A、B分别是射线OM、ON上的点，AB⊥ON于点B，点P、Q分别为OA、AB上的两个定点，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一动点【答案】(1)①△OGH是等边三角形，理由见解析；②GH=2OP，理由见解析(2)PE+QE的最小值为5．【分析】（1）①由轴对称的性质可得OP=OG=OH，∠POM=∠GOM，∠PON=∠HON．根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得出△OGH是等边三角形；②当∠MON=90°时，∠GOH=180°，G、O、H在同一直线上，由此可得GH与OP的数量关系；（2）过Q作ON的对称点Q'，连接PQ'，交ON于点E，连接QE，则PE+QE的最小值为PQ'，由已知条件可得∠OAB=60°，易得AP=5，AQ'【详解】（1）解：①△OGH是等边三角形，∵点P关于OM对称的点为G，∴OP=OG，∠POM=∠GOM，同理OP=OH，∠PON=∠HON，∴OG=OH，∵∠MON=30°，∴∠GOH=60°，∴△OGH是等边三角形．②GH=2OP，当∠MON=90°时，∠GOH=180°，∴G、O、H在同一直线上，OP=OG=OH．∵GH=OG+OH=2OC，∴GH=2OP；（2）解：过Q作ON的对称点Q'，连接PQ'，交ON于点E

∴PE+QE最小值为PQ∵∠MON=30°，∠ABO=90°，∴∠OAB=60°．∵AQ=OP=2，QB=1.5，∴AB=3.5，∴OA=2AB=7，∴AP=5．∵点Q与Q'关于ON∴QB=Q∴AQ∴△APQ∴PQ即PE+QE的最小值为5．【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键．32．（21-22八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上A、B两站相距8km，C、D为两个村庄，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AC=2km，BD=4km，现在要在铁路AB上修建一个中转站P，使得P到C、D两村的距离和最短．请在图中画出P【答案】图见解析，PC+PD的最小值为10km【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题．作C点关于AB的对称点C'，连接C'D与AB的交点就是P点，点P【详解】解：如图，作C点关于AB的对称点C'，连接C'D与AB点P即为中转站的位置；过C'作C'E⊥DB则BE=AC'=AC=2∴DE=BD+BE=6km在Rt△DEC'∴C∴PC+PD的最小值为10km九．三动点问题（共3小题）33．（21-22八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，锐角△ABC中，∠A=30°，BC=72，△ABC的面积是6，D，E，F分别是三边上的动点，则△DEF【答案】247/【分析】根据对称性质，将△DEF周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点E关于AB的对称点M，作点E关于AC的对称点N，连接AM，AE，AN，三角形AMN是等边三角形，△DEF周长DE+DF+EF=MN，即MN最小就是AE的值最小，△ABC的面积是6，BC=7【详解】解：如图所示，作点E关于AB的对称点M，作点E关于AC的对称点N，连接AM，AD，AN，∴AM=AE=AN，即AB是EM的垂直平分线，AC是EN的垂直平分线，且∠MAB=∠BAE，∠CAE=∠CAN∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°，∴∠MAN=∠MAB+∠BAE+∠EAC+∠CAN，即∠MAN=2(∠BAE+∠EAC)=2×30°=60°，∴三角形AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN=AE，∴当点M,D,F,N在一条直线上时，△DEF周长DE+DF+EF=MN，即MN最小就是AD的值最小，根据点到直线垂线段最短，可知当AE⊥BC时，AE最小，即△DEF周长最小，∵△ABC的面积是6，BC=6，即S△ABC∴AD=247，即△DEF周长最小故答案为：247【点睛】本题主要考查点的对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键．34．（21-22七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AD上，连接BE，CE，CF，延长CF交BE于点G．(1)若AE：ED＝2：3，S△ABC＝20，则S△ABE＝；(2)若GE＝GF，∠BAE+∠ECF＝∠GEF．求证：AE＝EF；(3)如图2，在（2）条件下，点P、M、N分别是△GEF三边上的动点，且∠BAF＝60°，∠GBC+∠GCB＝2∠ABE，当△PMN的周长最小时，直接写出FPAP【答案】(1)4(2)见解析(3)PF【分析】（1）由AD是BC边上的中线，可得S△ABD＝S△ADC＝12S△ABC，由题意知S△ABE：S△BED＝2：3（2）延长ED至Q，使DQ＝ED，则可证△BDE≌△CDQ（SAS），再证明△ABE≌△ECF（AAS），即可求解．（3）作P点关于GE的对称点K，连接GK，KP，作P点关于GF的对称点L，连接GL，PL，连接KL交GE于M，交GF于N，连接MP，NP，则△PMN的周长＝PM+MN+PN＝KM+MN+NL≥KL，设∠GBC+∠GCB＝α，在△GEC中，α+12a+60°+90°﹣12a＝180°，可得α＝30°，从而得到△GLK是等边三角形，当GP【详解】（1）∵AD是BC边上的中线，∴S△ABD＝S△ADC＝12S△ABC∵S△ABC＝20，∴S△ABD＝10，∵AE：ED＝2：3，∴S△ABE：S△BED＝2：3，∴S△ABE＝25S△ABD＝4故答案为：4；（2）如图1，延长ED至Q，使DQ＝ED，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵∠BDE＝∠CDQ，∴△BDE≌△CDQ（SAS），∴CQ＝BE，∵GE＝GF，∴∠GEF＝∠GFE，∵∠GFE＝∠QFC，∴CF＝CQ，∴BE＝CF，∵∠BAE+∠ECF＝∠GEF，∠GFE＝∠ECF+∠FEC，∴∠BAE＝∠FEC，∵∠GEF＝∠BAE+∠ABE，∠GFE＝∠FEC+∠ECF，∴∠ABE＝∠ECF，∴△ABE≌△ECF（AAS），∴AE＝EF；（3）如图2，作P点关于GE的对称点K，连接GK，KP，作P点关于GF的对称点L，连接GL，PL，连接KL交GE于M，交GF于N，连接MP，NP，∴MP＝KM，PL＝NL，∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝KM+MN+NL≥KL，设∠GBC+∠GCB＝α，∴∠EGF＝α，∵GE＝GF，∴∠GEF＝90°﹣12由（2）知，∠CEF＝∠BAF，∠ABE＝∠ECF，∵∠BAF＝60°，∴∠CEF＝60°，∵∠GBC+∠GCB＝2∠ABE，∴∠ECF＝12在△GEC中，α+12a+60°+90°﹣12∴α＝30°，∴∠EGF＝30°，∴∠KGL＝60°，∴△GLK是等边三角形，∴当GP最小时，LK就最小，∴GP⊥EF，∴GE＝GF，∴P点是EF的中点，∵EF＝AE，∴PFAP【点睛】本题主要考查了三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离，垂线段最短是解此题的关键．35．动手操作：请按要求作图．（规范作图，保留作图痕迹即可，不要求尺规作图）（1）如图（1），P是∠ABC内一定点，F为射线BC边上一定点，请在射线BA上找一点E，使得PE+EF最小．（2）如图（2），P是∠ABC内一定点，点E、F分别为射线BA、BC边上两个动点，请作出使得PE+EF最小的E点和F点．（3）如图（3），P是∠ABC内一定点，点E、F分别为射线BA、BC边上两个动点，请作出使得PE+PF+EF最小的E点和F点．拓展应用：（4）如图（4），△ABC为锐角三角形，∠ABC=30°，AC=6，△ABC的面积为33，点E、F、P分别为△ABC三边AB、BC、AC上的三个动点，请在图中作出满足条件的周长最小的△EFP，并求出△EFP周长的最小值．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；（4）作图见解析，△PEF的周长有最小值为11.【详解】试题分析：（1）作点P关于直线AB的对称点P^'，连接P^'F交AB于E，则此时PE+EF最小；（2）作点P关于直线AB的对称点M，连接MP交AB于点N，过点M作MF⊥BC于F交AB于E，则此时PE+EF最小；（3）作点P关于直线AB的对称点M，关于直线BC的对称点N，连接MN交AB于E，交BC于F，则此时PE+EF+PE最小；（4）作点P关于线段AB的对称点M，关于直线BC的对称点N，连接MN交AB于E，交BC于点F，则此时△PEF的周长为MN的长度．试题解析：解：（1）如图①，作点P关于直线AB的对称点P^'，连接P^'F交AB于E，则此时PE+EF最小；（2）如图②，作点P关于直线AB的对称点M，连接MP交AB于点N，过点M作MF⊥BC于F交AB于E，则此时PE+EF最小；（3）如图③，作点P关于直线AB的对称点M，关于直线BC的对称点N，连接MN交AB于E，交BC于F，则此时PE+EF+PE最小；（4）如图④，作点P关于线段AB的对称点M，关于直线BC的对称点N，连接MN交AB于E，交BC于点F，则此时△PEF的周长为MN的长度．∵∠ABC=30°，∴∠MBN=60°且BM=BP=BN，∴△MBN为等边三角形，∴当BP⊥AC时，MN有最小值，即△PEF的周长有最小值，C△PEF点睛：本题考查轴对称-最短问题、等腰三角形的性质等知识，