江苏省南京市秦淮区第十八中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（解析版）

20232024学年度第一学期第二阶段学业质量监测试卷八年级数学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效．3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1.下列手机应用的图标是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故选项不符合题意；C、是轴对称图形，故选项符合题意；D、不是轴对称图形，故选项不符合题意；故选：C．2.下列长度的三条线段首尾相连能组成直角三角形的是（）A.4，5，6 B.1，2，3 C.2，3，4 D.5，12，13【答案】D【解析】【分析】本题考查构成三角形的条件及勾股定理逆定理，根据构成三角形的条件及勾股定理逆定理逐项验证即可得到答案，熟记构成三角形的条件及勾股定理逆定理是解决问题的关键．【详解】解：A、4，5，6满足构成三角形的条件，但是，三条线段首尾相连不能组成直角三角形，不符合题意；B、由可知，这三条线段不能构成三角形，不符合题意；C、2，3，4满足构成三角形的条件，但是，三条线段首尾相连不能组成直角三角形，不符合题意；D、5，12，13满足构成三角形的条件，且，三条线段首尾相连能组成直角三角形，符合题意；故选：D．3.点关于轴对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了坐标关于坐标轴的对称规律，根据坐标的对称特征：关于x轴对称时横坐标不变，纵坐标互为相反数，计算求值即可；【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，故选：A．4.如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（）A.2 B.2.5 C.3 D.5.5【答案】A【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意，利用直角三角形全等的判定定理得到，求出相关线段长度，由图中线段关系表示出，代值求解即可得到答案，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．【详解】解：，，，，在和中，，，，，故选：A．5.如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于，的方程组的解是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，据此即可求解．【详解】解：关于，方程组可化为：故一次函数的图像与的图像的交点坐标即为方程组的解，将代入得：，∴故关于，的方程组的解是故选：B6.如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（）A.5 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可．【详解】将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图，连接，则最短路径，故选A【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上）7.化简：_________．【答案】5【解析】【分析】根据算术平平方根性质计算即可．【详解】解：．故答案为：5．【点睛】本题考查了算术平方根的性质，牢记性质是解题关键．8.在实数，，，3.1415，中，无理数有______个．【答案】2【解析】【分析】本题考查了实数的分类；根据无限不循环小数叫做无理数进行判断即可．【详解】解：，无理数有，，共2个，故答案为：2．9.比较大小：_______．（填“＞”“＜”或“＝”）【答案】【解析】【分析】本题考查了无理数的大小比较，涉及了完全平方公式，比较的大小即可求解．详解】解：∵，，且更靠近∴∴即：∵∴∵∴∴故答案为：10.如图，已知，要使，可以添加的条件为______（写出一个即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查添加条件判定三角形全等，涉及三角形全等的判定定理，选择，利用三角形全等的判定定理即可得到答案，熟记三角形全等判定定理是解决问题的关键．详解】解：，，添加，利用即可判定，故答案为：（答案不唯一）．11.已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝﹣2x+1图象上的两点，当x1＞x2时，y1_____y2（填“＞”“＝”或“＜”）【答案】＜．【解析】【分析】由k=-2＜0根据一次函数的性质可得出结论．【详解】∵一次函数y=-2x+1中k=-2＜0，∴该一次函数y随x的增大而减小，∵x1＞x2，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点睛】本题考查了一次函数的性质，属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次项系数的正负得出该函数的增减性是关键．12.在等腰三角形中，．若为底角，则______．【答案】72【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理；根据题意可知为底角，则，然后利用三角形内角和定理求出，进而可得的度数．【详解】解：∵为底角，，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案为：72．13.已知一次函数（为常数）的图象与轴的交点在轴的上方，则的取值范围为_______．【答案】【解析】【分析】本题考查一次函数图象与性质，求出一次函数（为常数）的图象与轴的交点的坐标为，由题意确定求解即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：一次函数（为常数）的图象与轴的交点的坐标为，当一次函数（为常数）的图象与轴的交点在轴的上方时，，解得，故答案为：．14.如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为______．【答案】14【解析】【分析】由题意易得，进而问题可求解．【详解】解：∵，平分，∴，，∵，∴，∵点为的中点，∴，∴的周长为；故答案为14．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．15.在课本上“数学活动折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片（如图）．若正方形纸片的边长为，则的长为_______．【答案】##【解析】【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，先由折叠的性质得出的长度，再利用勾股定理求出的长度，最后根据求解即可,熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】由折叠的性质得，，∴，∴，故答案为：．16.如图，一次函数的图像与轴交于点．将该函数图像绕点．逆时针旋转，则得到的新图像的函数表达式为____．【答案】【解析】【分析】根据题意得和，设旋转后的直线为l，过点B作垂足为点D，过点D作轴，轴，则为等腰直角三角形，有，可证明，得和，可求得点，采取待定系数法即可求得答案．【详解】解：一次函数的图像与轴交于点，则，设一次函数的图象与y轴交于点B，则，设旋转后的直线为l，过点B作垂足为点D，过点D作轴，轴，如图，则为等腰直角三角形，∴，∵，∴，在和中∴，∴，则，解得，∴，设直线l的解析式为，代入点，得∶，解得，则设直线l的解析式为∶．故答案为∶．【点睛】本题主要考查一次函数的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性以及待定系数法求解析式，解题的关键是由旋转得到相应的几何关系，并求得点D．三、解答题（本大题共10小题，共68分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了立方根、二次根式的性质、二次根式的加减；（1）先根据立方根，二次根式的性质化简，再计算即可；（2）先化简绝对值，再进行计算即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式．18.求下列各式中的：（1）；（2）．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本题考查解方程，涉及平方根、立方根的定义及运算，熟练掌握平方根及立方根的运算法则是解决问题的关键．（1）先化简得到，再利用平方根运算直接开方即可得到答案；（2）根据立方根运算直接开方即可得到答案．【小问1详解】解：，，，；【小问2详解】解：，，．19.已知：如图，，，，且．求证：（1）；（2）．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解答本题的关键．（1）根据“角边角”即可证明；（2）根据全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质，即得答案．【小问1详解】，，，，，，；【小问2详解】，，．20.一次函数（，为常数）的图像经过点，．（1）求该函数的表达式；（2）画出该函数的图像；（3）不等式的解集为______．【答案】（1）（2）作图见解析（3）【解析】【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及待定系数法确定函数、作一次函数图像、由图像解不等式等，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键．（1）由题意，利用待定系数法，列二元一次方程组求解即可得到答案；（2）根据两点确定一条直线，利用描点、连线的方法作一次函数图像即可得到答案；（3）由一次函数图像与不等式的关系，数形结合即可得到答案．【小问1详解】解：一次函数（，为常数）的图像经过点，，，解得，该函数的表达式；【小问2详解】解：当时，，解得，一次函数过点和，描点、连线，如图所示：【小问3详解】解：由（2）中图像可知，不等式的解集是指一次函数在轴下方图像所对应的的取值范围，一次函数图像与轴的交点为，不等式的解集为．21.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接．（1）若，求的度数；（2）若，求的长．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）先由直角三角形两锐角互余得出，再根据垂直平分线的性质得出，由等边对等角得出，最后根据求解即可；（2）设，则，直接根据勾股定理列方程求解即可．【小问1详解】∵，∴，∵的垂直平分线交于点，∴，∴，∴；【小问2详解】由（1）得，设，∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得，即．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，垂直平分线的性质，等边对等角，角的和差，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．22.已知一次函数（为常数，）．（1）若该函数的图像经过原点，求的值；（2）当时，该函数图像经过第______象限．【答案】（1）（2）一、三、四【解析】【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及函数图像过点求参数、函数图像所在象限等，熟记一次函数图像与性质，数形结合求解是解决问题的关键．（1）将原点代入，解方程求解即可得到答案；（2）根据一次函数图像与性质判定即可得到答案．【小问1详解】解：一次函数的图像经过原点，，解得；【小问2详解】解：，函数值随着的增大而增大，，即该函数图像经过第一、三、四象限，故答案为：一、三、四．23.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将点，分别向下平移3个单位长度得到点，．（1）点，的坐标分别为______，_______；（2）求证：点，，在一条直线上．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】本题考查了平移与图形变化，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）直接根据平移的性质求解即可；（2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出其解析式，再将点B的坐标代入，即可证明．【小问1详解】∵，．将点，分别向下平移3个单位长度得到点，，∴，即，故答案为：；【小问2详解】设直线的解析式为，将代入，得，解得，∴直线的解析式为，∵，当时，，∴点，，在一条直线上．24.如图，已知线段，，．求作，使，，且分别满足下列条件：（1）上的中线为．（2）上的高为．（说明：①尺规作图，保留作图痕迹；②可以有必要的作图说明；③每小题满足条件的一个三角形即可．）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了尺规作图，掌握相关结论是解题关键．（1）作线段，分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点；作射线，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，即可完成作图；（2）作线段，作出以为直径的，以点为圆心，为半径画弧，交于点，作射线，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，即可完成作图；【小问1详解】解：如图：即为所求：【小问2详解】解：如图：即为所求：25.甲、乙两家快递公司都要将货物从地派送至地．甲公司运输车要先在地的集货中心拣货，然后直接发往地．乙公司运输车从地出发后，先到达位于、两地之间的地休息，再以原速驶往地．两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达地．（1）地与地之间的距离为______．（2）求线段对应的函数表达式．（3）已知地距离地，当为何值时，甲、乙两公司运输车相距？【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图像与性质、行程问题等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键．（1）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图即可得到答案；（2）根据题中两车离地距离与乙公司运输车所用时间的关系图，利用待定系数法将、代入解二元一次方程组即可得到答案；（3）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图，数形结合，分四类讨论，列方程求解即可得到答案．【小问1详解】解：由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知地与地之间的距离为，故答案为：；【小问2详解】解：由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，线段过、，设线段对应的函数表达式为，则，解得，线段对应的函数表达式为；【小问3详解】解：地距离地，由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，乙车的速度为，当时，甲乙两公司运输车相距；由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，乙车从地到地的时间是，则乙车在地休息的时间是，在线段过程中，当离地的距离为时，两车相遇，此时，在相遇前，当乙车在点休息阶段，即时，由（2）中线段对应的函数表达式为，当，解得，即当时，甲乙两公司运输车相距；在相遇后，当乙车在点休息阶段，即时，由（2）中线段对应的函数表达式为，，解得，