河北省石家庄市第八十九中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（解析版）

2023-2024年度第一学期八年级期末考试数学试卷（冀教版）本试卷共6页，考试时间120分钟，满分120分．注意事项：1．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚．2．答案须用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔书写．一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1～6题，每小题3分；7～16小题，每小题2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解决问题得关键．【详解】解：图案A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；图案B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；图案C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；图案D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；则既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个，故选：B．2.若最简二次根式可以与合并，则的值可以是（）A.5 B.4 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】本题考查合并同类二次根式，涉及同类二次根式、最简二次根式、合并同类二次根式等知识，由题意，将化为最简二次根式，从而得到，解方程即可得到答案，熟记最简二次根式及同类二次根式的定义是解决问题的关键．【详解】解：，是最简二次根式，且可以与合并，，解得，故选：C．3.取下列各数时，使代数式有意义的是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，涉及解不等式，掌握二次根式有意义的条件是解决问题的关键．【详解】解：代数式有意义，，解得，故选：D．4.下列分式中，最简分式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义逐个判断即可，能熟记最简分式的定义是解此题的关键，分式的分子和分母除了公因式1，再没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式．【详解】解：A、，原分式不是最简分式，故A不符合题意；B、是最简分式，故B符合题意；C、，原分式不是最简分式，故C不符合题意；D、，原分式不是最简分式，故D不符合题意．故选：．5.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（）A.两个锐角都大于45° B.两个锐角都小于45C.两个锐角都不大于45° D.两个锐角都等于45°【答案】A【解析】【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．【详解】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设两个锐角都大于45°．故选A．【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．6.已知，则的平方根为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次根式的加减运算，平方根等知识．先根据题意得到，再根据一个数的平方根与算术平方根的关系即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴平方根为．故选：D7.如图，已知，．要使，添加的条件可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定、平行的性质；先利用题目已知条件推导出、，再根据选项一一判断即可．【详解】解：，，，，，可知B、C选项可由题目条件推导出，不可作为添加条件，故B、C选项不符合题意；若，则，故A选项符合题意；若，结合、得到“边边角”，不可判定三角形全等，故D选项不符合题意；故选：A．8.如图所示，，在数轴上点A所表示的数为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理求得数轴上表示的点B与点A的距离，再利用实数与数轴的关系即可求得答案．【详解】解：，，，故选：B．【点睛】本题考查实数与数轴的关系及勾股定理，利用勾股定理求得数轴上表示的点B与点A的距离是解题的关键．9.如图所示，在等边三角形中，，为上一点，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，根据等边三角形，，得到，直线是线段的垂直平分线，继而得到，结合计算即可．【详解】∵等边三角形，，∴，∴直线是线段的垂直平分线，∴，∵，∴，故选B．10.如图，△ABC在中，∠B＝45°，AC的垂直平分线交AC于点D．交BC于点E，且∠BAE与∠EAC的比为4：1，则∠C的度数为（）A.20° B.22.5° C.25° D.30°【答案】B【解析】【分析】根据线段垂直平分线得出，推出，根据三角形内角和定理得出．即可求出答案．【详解】解：是的垂直平分线，，，，，与的比为，，，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．11.已知实数、满足，且、恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是（）A.10 B.8 C.10或8 D.6【答案】A【解析】【分析】本题考查了实数的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系定理，先计算m，n的值，再根据分类思想计算即可．【详解】解：∵，∴，当三角形的三边为时，此时，三角形不存在；当三角形的三边为时，此时三角形存在，且周长为；故选：A．12.如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】过P作，根据等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半即可得到答案．【详解】解：过P作，∵，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，故选：C．．【点睛】本题考查等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题关键是作出辅助线．13.已知，，则与的关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及分母有理化、二次根式加减乘除混合运算等知识，熟练掌握分母有理化，根据选项运用二次根式加减乘除混合运算逐个验证是解决问题的关键．【详解】解：，A、，该选项错误，不符合题意；B、，该选项错误，不符合题意；C、，该选项错误，不符合题意；D、，该选项正确，符合题意；故选：D．14.对于，，有以下两个结论：①当时，；②当时，．对于这两个结论，说法正确的是（）A.①对②不对 B.①不对②对 C.①②均对 D.①②均不对【答案】B【解析】【分析】先运用作差法得到，然后再根据x的取值分类讨论即可解答．【详解】解：∵∴当时，，则，即①不正确；当，即时，，则，即②正确．故选B．【点睛】本题主要考查了分式的加减、分式的大小比较等知识点，灵活运用分式的加减运算法则是解答本题的关键．15.如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得．【详解】解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点．则符合条件的点共有5个，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题关键．16.如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线的性质，垂线段最短定理．过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，根据“垂线段最短”，即可得为的值最小，再利用面积公式求出的值，即可得出答案，解题关键是利用垂线段最短解决最值问题．【详解】解：如图，过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，平分，，，当点与点重合时，的值最小，等于的值，，的面积为8，，，的最小值为4，故选：B．二、填空题（本大题共3个小题；共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）17.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查平方差公式的逆用，先利用平方差公式得到，再代入求值即可．【详解】解：，故答案为：．18.如图，在四边形中，，，连接，，，若为边上一个动点，则长的最小值为______，若点为边中点，则长为______.【答案】①.3②.【解析】【分析】由，，，，得∠ABD=∠DBC=30°，进而得到：BD=6，CD=2，BC=4，根据面积法和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解.【详解】∵，，，，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴BD=2AD=6，CD=BD÷=6÷=2，BC=2CD=4，当DP⊥BC时，DP的值最小，此时，DP===3，当点为边中点，DP=BC=×4=2.故答案是：3，.【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握面积法求直角三角形斜边上的高，是解题的关键.19.如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交、、于点、、，连接、．（1）若，则的度数为______；（2）若，，则线段的长为______．【答案】①.##21度②.13【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、勾股定理、三角形外角的性质等知识；掌握相关性质和定理是解题关键．（1）根据等腰三角形三线合一性质得，垂直平分，利用垂直平分线的性质即可证明得，可知，再结合三角形内角和定理得，三角形外角的性质得，即可解答；（2）根据，即有，，在（1）中已证明，，在中，有，则有，解之即可求解．【详解】解：（1）∵，点为的中点，，∴平分，，则，垂直平分，∴，∵垂直平分，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：；（2）∵，∴，∵，∴，∵在（1）中已证明，，∴，∵在中，有，∴，解得：．故答案为：13．三、解答题（本大题共7个小题；共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20.复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用字母A代替了原题目的一部分：（1）求代数式A，并将其化简；（2）当时，求x的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据被除式=商×除式，被减式=差+减式，然后根据分式的乘法和加法运算法则进行计算，即可解答；(2)利用(1)的结论可得，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．【小问1详解】．解：由题意得：【小问2详解】解：当时，，去分母，得，解这个整式方程，得经检验，是原分式方程解，故当时，．【点睛】本题考查了解分式方程，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．21.如图，在中，是的垂直平分线，，D为的中点．（1）求证：（2）若，则【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．（1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论；（2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得，的度数，进而可求解．小问1详解】证明：连接，如图所示：∵于点D，且D为线段的中点，∴垂直平分，∴，∵垂直平分，∴，∴；【小问2详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案为：．22.琪琪在解题“计算：”时，发现“▲”处的数字印刷不清楚．（1）若“▲”处的数字是，请计算结果；（2）若该题标准答案的结果是．通过计算说明原题中“▲”是几？【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及完全平方差公式、二次根式加减乘除运算、解方程等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键．（1）当“▲”处的数字是时，代入式子，利用完全平方差公式及二次根式加减乘除混合运算法则求解即可得到答案；（2）设，则列出方程，利用完全平方差公式及二次根式加减乘除混合运算法则化简得到，解方程即可得到答案．【小问1详解】解：当“▲”处的数字是时，；【小问2详解】解：设，则，∴，∴，解得．23.如图，中，，，是边上的中线，过作，垂足为，过作交的延长线于．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识，掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．（1）证两条线段相等，通常用全等，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答；（2）得到即可求解．【小问1详解】证明：∵，∴，∴，∴，在和中，∵，，，∴，∴．【小问2详解】解：∵，∴，∵是边上的中线，∴，在中，∵，且，∴，解得，∴．24.如图，在中，，，，若点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，设、分别从点、同时出发，运动的时间为．（1）线段______，______；（用含的式子表示）（2）当为何值时，是以为底边的等腰三角形？（3）当为何值时，为直角三角形？【答案】（1）；（2）（3）3或【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等腰三角形的定义，特殊直角三角形的性质，解题的关键是正确列出，关于的表示式，并根据等腰三角形的定义及含角直角三角形的性质，列出一元一次方程．（1）根据路程时间速度，即可得出，关于的表示式；（2）根据等腰三角形的定义，得当时是以为底的等腰三角形，列出方程，求解即可；（3）分情况讨论：当时，得，根据“直角三角形中，的角所对的边等于斜边的一半”，得，列出方程，求解即可；当时，，得，列出方程求解即可．【小问1详解】解：由题意得，，，故答案为：；．【小问2详解】解：∵是以为底的等腰三角形，∴，即，解得，∴当时，是以为底边的等腰三角形．【小问3详解】解：分两种情况：①当时，∵，，∴，∴，∴，解得；②当时，则，∵，∴，∴，即，解得，综上所述，为3或时，为直角三角形．25.为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标，九龙坡区计划安排甲、乙两个施工队对一条全长为4100米的河道进行清淤施工．经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的倍，甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天．（1）甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？（2）若该条河道先由甲队单独清淤2天，余下的河道由甲乙两队合作清淤．已知甲队施工一天的费用为万元，乙队施工一天的费用为万元，求完成该条河道清淤施工的总费用．【答案】（1）甲队每天清淤的河道长度是300米，乙队每天清淤的河道长度分别是200米；（2）完成该条河道清淤施工的总费用是万元．【解析】【分析】（1）设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度是米，利用工作时间=工作总量：工作效率，结合甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙队每天清淤的河道长度，再将其代入中，即可得出甲队每天清淤的河道长度；（2）设乙队施工y天，则甲队