2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：计数原理（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：计数原理（10题）一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•城区校级模拟）若x8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2A．a0＝1 B．a6＝56 C．a1+a3+a5+a7＝128 D．a2+a4+a6+a8＝127（多选）2．（2024•长沙模拟）瑞士数学家JakobBernoulli于17世纪提出如下不等式：∀x＞﹣1，有(1+x)r≥1+rx，r≥1(1+x)r≤1+rx，0≤r≤1，请运用以上知识解决如下问题：若0＜a＜1A．aa+bb＞1 B．ab+ba＞1 C．aa+bb＞ab+ba D．aa+bb＜ab+ba（多选）3．（2024•江阴市校级二模）下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（）A．C3B．设x=A9090×(2C．已知n＞m，则等式Cnmm+1=Cn+1D．等式(Cn0（多选）4．（2024•云南模拟）(x+2A．展开式共7项 B．x项系数为280 C．所有项的系数之和为2187 D．所有项的二项式系数之和为128（多选）5．（2024•来宾一模）(x-A．二项式系数最大项为第五项 B．各项系数和为0 C．含x4项的系数为4 D．所有项二项式系数和为16（多选）6．（2024•顺德区模拟）若(x-A．a0＝1 B．a3＝20 C．2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6＝0 D．|a0+a2+a4+a6|＝|a1+a3+a5|（多选）7．（2024•古田县校级模拟）在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为an，如：a1＝1+1＝2，a2＝1+2+1＝4，⋯，{an}的前n项和记为Sn，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，记为bn，{bn}的前n项和记为Tn，则下列说法正确的是（）A．S10＝1022 B．{2anSnC．b57＝66 D．T57＝4150（多选）8．（2024•江苏模拟）在二项式(xA．常数项是154B．各项的系数和是64 C．第4项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为﹣32（多选）9．（2024•越秀区校级一模）带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（）A．全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法 B．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有4种放法 C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有20种放法 D．全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，共有140种不同的放法（多选）10．（2024•武昌区校级模拟）已知(1-A．a2＝15 B．a1+a2+a3+⋯+a6＝0 C．a0+a2+a4+a6＝64 D．a1+2a2+3a3+⋯+6a6＝0

2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：计数原理（10题）参考答案与试题解析一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•城区校级模拟）若x8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2A．a0＝1 B．a6＝56 C．a1+a3+a5+a7＝128 D．a2+a4+a6+a8＝127【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑推理；数学运算．【答案】ACD【分析】根据题意，令t＝x﹣1，则原式转化为(t+1)【解答】解：由x8令t＝x﹣1，则原式转化为(t+1)对于A中，令t＝0，可得a0＝1，所以A正确；对于B中，由二项式定理的展开式，可得a6=C对于C和D中，令t＝1，可得a0令t＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣⋯+a8＝0，所以a1+a3+a5+a7=a0+a所以C、D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．（多选）2．（2024•长沙模拟）瑞士数学家JakobBernoulli于17世纪提出如下不等式：∀x＞﹣1，有(1+x)r≥1+rx，r≥1(1+x)r≤1+rx，0≤r≤1，请运用以上知识解决如下问题：若0＜a＜1A．aa+bb＞1 B．ab+ba＞1 C．aa+bb＞ab+ba D．aa+bb＜ab+ba【考点】二项式定理．【专题】转化思想；构造法；定义法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．【答案】ABC【分析】选项A中，根据题意得出aa＞12，选项B中，根据题意得出ab＞aa+b，选项C、D，不等式aa+bb＞ab+ba，可化为bb﹣ba＞ab﹣aa，构造函数h（x）＝xb﹣xa，利用导数判断函数的单调性，求解即可．【解答】解：对于A，因为alna≥-1e＞-ln2对于B，因为ab=1(1对于C，要证明aa+bb＞ab+ba，也即证明bb﹣ba＞ab﹣aa，只要证明b≤x＜1时，h（x）＝xb﹣xa在区间[b，1）上单调递减．求导数，得h'(x)=bxb-1-axa-1=axb-1(ba结合幂函数y＝xa﹣b的性质得：当x≥(ba)1a-b时，h（x）≤0，h（x）在区间((ba)1a-b，+∞)上单调递减，即x=(ba)1a-b时，函数h（x）取得最大值，从而只需证明b≥综上，若0＜b＜a＜1，不等式aa+bb＞ab+ba成立，选项C正确，D错误．故选：ABC．【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题．（多选）3．（2024•江阴市校级二模）下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（）A．C3B．设x=A9090×(2C．已知n＞m，则等式Cnmm+1=Cn+1D．等式(Cn0【考点】组合数的化简计算及证明．【专题】对应思想；定义法；排列组合；数学运算．【答案】ACD【分析】对A：根据Cn对B：n-1Ann对C：根据组合数分析运算；对D：构建（1+x）n（1+x）n＝（1+x）2n，利用xn的系数结合二项展开式的通项公式分析运算．【解答】解：对A：C33+对B：∵n-1A则2A故x=A∵A90902故x=A90902-1对C：若n＞m，则Cnmm+1对D：∵（1+x）n的展开式为Tr+1∴(1+x故（1+x）n（1+x）n展开式的xn的系数为Cn又∵Cnm=同理可得：（1+x）2n的展开式为Tr+1即（1+x）2n展开式的xn的系数为C2n由于（1+x）n（1+x）n＝（1+x）2n，故(Cn0故选：ACD．【点评】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了逻辑推理与证明的应用问题，是基础题目．（多选）4．（2024•云南模拟）(x+2A．展开式共7项 B．x项系数为280 C．所有项的系数之和为2187 D．所有项的二项式系数之和为128【考点】二项式定理．【专题】对应思想；综合法；二项式定理；数学运算．【答案】BCD【分析】选项A：根据二项式定理的性质即可判断，选项B：根据二项式展开式的通项特征即可判断，选项C：令x＝1即可判断，选项D：根据二项式系数和公式即可判断．【解答】解：选项A：因为n＝7，所以展开式共有8项，故A错误，选项B：展开式的一次项为C73x选项C：令x＝1，则所有项的系数和为（1+2）7＝2187，故C正确，选项D：所有项的二项式系数和为27＝128，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．（多选）5．（2024•来宾一模）(x-A．二项式系数最大项为第五项 B．各项系数和为0 C．含x4项的系数为4 D．所有项二项式系数和为16【考点】二项式定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑推理；数学运算．【答案】BD【分析】直接利用二项式的展开式，赋值法，组合数的应用求出结果．【解答】解：根据(x-1x)4的展开式Tr+1=C4r⋅(-1)r①故二项式系数的最大项为第三项C42=6②令x＝1时，系数的和为0，故B正确；③(x-1x)4=x4④所有项的二项式的系数和为24＝16，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，赋值法，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．（多选）6．（2024•顺德区模拟）若(x-A．a0＝1 B．a3＝20 C．2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6＝0 D．|a0+a2+a4+a6|＝|a1+a3+a5|【考点】二项式定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑推理；数学运算．【答案】ACD【分析】直接利用二项式的展开式和赋值法的应用求出结果．【解答】解：根据(x-当x＝0时，a0=(-1)根据二项展开式Tr+1=C6r⋅x6-r⋅(-1)r，（r＝0，1当r＝3时，a3=-C对于C：当x＝2时，（2﹣1）6＝a0+2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6＝1，解得2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6＝0，故C正确；对于D：当x＝1时，a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝0，故a0+a2+a4+a6＝﹣a1﹣a3﹣a5，所以|a0+a2+a4+a6|＝|a1+a3+a5|，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查：二项式的展开式，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．（多选）7．（2024•古田县校级模拟）在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为an，如：a1＝1+1＝2，a2＝1+2+1＝4，⋯，{an}的前n项和记为Sn，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，记为bn，{bn}的前n项和记为Tn，则下列说法正确的是（）A．S10＝1022 B．{2anSnC．b57＝66 D．T57＝4150【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；对应思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】BCD【分析】由题意分析出数列an为等比数列，再求其前n项和，再对各项逐一分析即可．【解答】解：从第一行开始，每一行的数依次对应（a+b）n的二项式系数，∴an=(1+1)n所以S10=22anSn⋅Sn+1=2去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3…，构成一个等差数列，项数之和为n(n+1)2⩽57，杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，在bn中去掉，b57取的就是第12行中的第三项，b57=CS11=212-2，这11∴T故D正确，故选：BCD．【点评】本题考查数列求和，属于难题．（多选）8．（2024•江苏模拟）在二项式(xA．常数项是154B．各项的系数和是64 C．第4项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为﹣32【考点】二项式定理．【专题】转化思想；转化法；二项式定理；数学运算．【答案】AC【分析】利用二项式展开式通项可判断A选项；利用各项系数和可判断B选项；利用二项式系数的性质可判断C选项；求出奇数项的二项式系数和可判断D选项．【解答】解：二项式(x-1令3-32k=0，可得k＝2，故常数项是各项的系数和是(1-12二项式展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；奇数项二项式系数和为25＝32，D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．（多选）9．（2024•越秀区校级一模）带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（）A．全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法 B．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有4种放法 C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有20种放法 D．全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，共有140种不同的放法【考点】排列组合的综合应用．【专题】对应思想；定义法；排列组合；数学运算．【答案】AC【分析】利用分步计数原理直接判断选项A，利用组合、排列的结合判断选项BCD．【解答】解：对于A：由分步计数原理，五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法，故A正确；对于B：由排列数公式，五个不同的球放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有C52A对于C：将其中的4个球投入一个盒子里共有C54C对于D：全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，共有：C53A故选：AC．【点评】本题考查分步计数原理以及组合、排列相关知识，属于中档题．（多选）10．（2024•武昌区校级模拟）已知(1-A．a2＝15 B．a1+a2+a3+⋯+a6＝0 C．a0+a2+a4+a6＝64 D．a1+2a2+3a3+⋯+6a6＝0【考点】二项式定理．【专题】转化思想；转化法；二项式定理；数学运算．【答案】AD【分析】根据已知条件，结合赋值法，以及二项式定理，即可求解．【解答】解：(1-对于A，a2=C对于B，令＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0+a1+a2+•••+a6＝0①，所以a1+a2+a3+⋯+a6＝﹣1，故B错误；令x＝﹣1，则26＝a0﹣a1+a2﹣a3+•••+a6②，①+②2可得，a0+a2+a4+a6＝32，故C(1-x)6对上式两边同时x＝1，则a1+2a2+3a3+⋯+6a6＝0，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．

考点卡片1．组合数的化简计算及证明【知识点的认识】﹣组合数表示从n个不同元素中选出r个元素的总数，其公式为Cn﹣组合数的化简和证明通常涉及组合数公式的推导、递推关系的应用以及组合恒等式的证明．【解题方法点拨】﹣熟练掌握组合数公式，并理解其对称性和递推关系．组合数的性质如对称性Cn﹣证明组合恒等式时，常用的方法包括代数方法、递推公式以及归纳法．﹣在涉及复杂组合问题时，可以使用组合数的递推关系来进行逐步化简．【命题方向】﹣常见命题包括要求考生化简复杂组合数表达式、证明组合数恒等式，以及应用组合数公式解决实际问题．﹣可能涉及组合数的递推公式推导、组合数的对称性证明，以及复杂组合问题的综合应用．2．排列组合的综合应用【知识点的认识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反、等价转化．对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2、排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；（10）指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．3．二项式定理【知识点的认识】二项式定理又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n=i=0nCnian例1：用二项式定理估算1.0110＝1.105．（精确到0.001）解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.01故答案为：1.105．这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．例2：把(3i-x)解：由题意T8=C107×(3i)3×(-1)故答案为：3603i．通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．性质1、二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．注意：（1）二项展开式有n+1项；（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；（4）二项式定理通常有如下变形：①；②；（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．2、二项展开式的通项公式二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．注意：（1）通项公式表