2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：集合（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：集合（10题）一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•青原区校级模拟）下列选项中的两个集合相等的有（）A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n+1），n∈Z} B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N+} C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x=1+(-1)n2，nD．P＝{x|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1}（多选）2．（2024•宜春模拟）已知A⊆R，如果实数x0满足对任意的a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，则称x0为集合A的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（）A．{x|x≠0，x∈R} B．{x|x≠0，x∈Z} C．{y|y=1x，x∈（多选）3．（2024•南通模拟）设U为全集，集合A、B、C满足条件A∪B＝A∪C，那么下列各式中不一定成立的是（）A．B⊆A B．C⊆A C．A∩（∁UB）＝A∩（∁UC） D．（∁UA）∩B＝（∁UA）∩C（多选）4．（2024•凌河区校级模拟）设A，B是R中两个子集，对x∈R，定义：m=0，x∉A1，x∈A，n=0，x∉B1，x∈B，若对任意A．B＝∁RA B．B＝∁R（A∩B） C．A＝∁RB D．A＝∁R（A∩B）（多选）5．（2024•毕节市模拟）下列说法中正确的有（）A．已知a，b∈R，则“a＞b”的必要不充分条件是“a＞b+1” B．函数f(x)=x2+5C．集合A，B是实数集R的子集，若A⊆B，则A∩∁RB＝∅ D．若集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}，则满足∅⫋A⫋B的集合A有2个（多选）6．（2024•江西模拟）已知集合A＝{（x，y）|x+ay+2a＝0}，B＝{（x，y）|ax+ay﹣1＝0}，则下列结论正确的是（）A．对∀a∈R，A≠∅ B．当a＝﹣1时，A∩C．当A∩B＝∅时，a＝1 D．∃a∈R，使得A＝B（多选）7．（2024•七星区校级模拟）已知集合S＝{（a，b）|a+b＝ab，a∈R+，b∈R+}，T＝{t|a+2b＝t，（a，b）∈S}，则有（）A．112∈T B．3+22∈T C．S∩T＝∅ D．S（多选）8．（2024•历城区校级模拟）对于集合A中的任意两个元素x，y，若实数d（x，y）同时满足以下三个条件：①“d（x，y）＝0”的充要条件为“x＝y”；②d（x，y）＝d（y，x）；③∀z∈A，都有d（x，y）≤d（x，z）+d（y，z）．则称d（x，y）为集合A上的距离，记为dA．则下列说法正确的是（）A．d（x，y）＝|x﹣y|为dR B．d（x，y）＝|sinx﹣siny|为dR C．若A＝（0，+∞），则d（x，y）＝|lnx﹣lny|为dA D．若d为dR，则ed﹣1也为dR（e为自然对数的底数）（多选）9．（2024•南关区校级模拟）若集合A∩B＝B∪C，则一定有（）A．C⊆B B．B⊆C C．B⊆A D．A⊆B（多选）10．（2024•广东模拟）已知集合A＝{1，2}，B＝{0，1，2，3，4}，集合C满足A⫋C⊆B，则（）A．1∈C，2∈C B．集合C可以为{1，2} C．集合C的个数为7 D．集合C的个数为8

2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：集合（10题）参考答案与试题解析一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•青原区校级模拟）下列选项中的两个集合相等的有（）A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n+1），n∈Z} B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N+} C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x=1+(-1)n2，nD．P＝{x|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1}【考点】判断两个集合是否相同．【专题】集合思想；定义法；集合；数学抽象．【答案】AC【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可．【解答】解：选项A：因为集合P，Q表示的都是所有偶数组成的集合，所以P＝Q；选项B：集合P中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合，集合Q是由3，5，7…，所有大于1的正奇数组成的集合，即1∉Q，所以P≠Q；选项C：集合P＝{0，1}，集合Q中：当n为奇数时，x＝0，当n为偶数时，x＝1，所以Q＝{0，1}，则P＝Q；选项D：集合P表示的是数集，集合Q表示的是点集，所以P≠Q；综上，选项AC表示的集合相等，故选：AC．【点评】本题考查了集合相等的性质，考查了学生对集合的元素的理解，属于基础题．（多选）2．（2024•宜春模拟）已知A⊆R，如果实数x0满足对任意的a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，则称x0为集合A的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（）A．{x|x≠0，x∈R} B．{x|x≠0，x∈Z} C．{y|y=1x，x∈【考点】元素与集合关系的判断．【专题】综合题；集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】AC【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果．【解答】解：对于A，对任意的a＞0，存在x=a2，使得0＜对于B，假设集合{x|x≠0，x∈Z}以0为“开点“，则对任意的a＞0，存在x∈{x|x≠0，x∈Z}，使得0＜|x﹣0|＜a，当a=12时，该式不成立，故对于C，假设集合{y|y=1x，x∈N}以0为“开点“，则对任意的a＞使得0＜|y﹣0|＜a，故C正确；对于D，集合{y|y=xx+1，x∈N}＝{y|y＝1-1x+1，x∈N}，当x∈a=14时y∈{y|y=xx+1，x∈N}，使得0＜|故选：AC．【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题．（多选）3．（2024•南通模拟）设U为全集，集合A、B、C满足条件A∪B＝A∪C，那么下列各式中不一定成立的是（）A．B⊆A B．C⊆A C．A∩（∁UB）＝A∩（∁UC） D．（∁UA）∩B＝（∁UA）∩C【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】ABC【分析】分①B＝C，②B⊆A，C⊆A，③C⊆B，（∁BC）⊆A三种情况讨论判断即可．【解答】解：①当B＝C时，满足A∪B＝A∪C，但是B⊆A不一定成立，C⊆A也不一定成立，（∁UA）∩B＝（∁UA）∩C成立，②当B⊆A，C⊆A时，此时A∪B＝A∪C＝A，但是A∩（∁UB）＝A∩（∁UC）不一定成立，（∁UA）∩B＝（∁UA）∩C＝∅成立，③若C⊆B，（∁BC）⊆A时，此时（∁UA）∩B＝（∁UA）∩C＝∅，所以不一定成立的是ABC．故选：ABC．【点评】本题主要考查了集合间的基本关系，考查了集合的基本运算，属于基础题．（多选）4．（2024•凌河区校级模拟）设A，B是R中两个子集，对x∈R，定义：m=0，x∉A1，x∈A，n=0，x∉B1，x∈B，若对任意A．B＝∁RA B．B＝∁R（A∩B） C．A＝∁RB D．A＝∁R（A∩B）【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】AC【分析】根据题意，由x∈A时，x∉B，或x∈B时，x∉A求解．【解答】解：因为m=0，x∉A1，x∈A，n=0，x∉B所以m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，x∉B，或x∈B时，x∉A，所以A，B的关系为B＝∁RA或A＝∁RB．故选：AC．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．（多选）5．（2024•毕节市模拟）下列说法中正确的有（）A．已知a，b∈R，则“a＞b”的必要不充分条件是“a＞b+1” B．函数f(x)=x2+5C．集合A，B是实数集R的子集，若A⊆B，则A∩∁RB＝∅ D．若集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}，则满足∅⫋A⫋B的集合A有2个【考点】交、并、补集的混合运算；充分条件与必要条件；基本不等式及其应用．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．【答案】CD【分析】对于A，判断充分性，即可求解；对于B，结合对勾函数的性质，即可求解；对于C，结合集合的运算，即可求解；对于D，先求出集合B，再结合空集、真子集的定义，即可求解．【解答】解：对于A，a＞b+1，则a＞b，充分性成立，故A错误；对于B，f(x)=x2+5x2+4=对于C，A⊆B，则A∩∁RB＝∅，故C正确；对于D，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}＝{3，﹣1}，满足∅⫋A⫋B的集合A为{3}，{﹣1}，总个数为2个，故D正确．故选：CD．【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．（多选）6．（2024•江西模拟）已知集合A＝{（x，y）|x+ay+2a＝0}，B＝{（x，y）|ax+ay﹣1＝0}，则下列结论正确的是（）A．对∀a∈R，A≠∅ B．当a＝﹣1时，A∩C．当A∩B＝∅时，a＝1 D．∃a∈R，使得A＝B【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．【答案】AB【分析】对∀a∈R，A≠∅，判断A；当a＝﹣1时，联立x+y+2=0x+y-1=0，得x=12y=-32，求出A∩B，判断B；当A∩B＝∅时，求出a＝0；若B≠∅，则直线x+ay+2a＝0与直线ax+ay﹣1＝0平行，求出a＝1，判断C；若A＝【解答】解：集合A＝{（x，y）|x+ay+2a＝0}，B＝{（x，y）|ax+ay﹣1＝0}，对∀a∈R，A≠∅，A正确；当a＝﹣1时，联立x+y+2=0x+y-1=0，得x=所以A∩B={(1当A∩B＝∅时，若B＝∅，则a＝0；若B≠∅，则直线x+ay+2a＝0与直线ax+ay﹣1＝0平行，所以1a=aa≠2a-1若A＝B，则1a=a故选：AB．【点评】本题考查交集定义、集合相等、一无二次方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（多选）7．（2024•七星区校级模拟）已知集合S＝{（a，b）|a+b＝ab，a∈R+，b∈R+}，T＝{t|a+2b＝t，（a，b）∈S}，则有（）A．112∈T B．3+22∈T C．S∩T＝∅ D．S【考点】元素与集合关系的判断；并集及其运算；交集及其运算．【专题】整体思想；综合法；集合；不等式；数学运算．【答案】BC【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式先求出t的范围，然后结合元素与集合关系及集合的基本运算检验各选项即可判断．【解答】解：由a+b＝ab可得1a+所以t＝a+2b＝（a+2b）（1a+1b）＝3+2ba+ab≥3+22，当且仅当a=2因为112＜3+2因为S中的元素与T中元素分别为点集合数集，不同类，故S∩T＝∅，S∪T≠S，C正确，D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判断，还考查了集合的交集及并集运算，属于基础题．（多选）8．（2024•历城区校级模拟）对于集合A中的任意两个元素x，y，若实数d（x，y）同时满足以下三个条件：①“d（x，y）＝0”的充要条件为“x＝y”；②d（x，y）＝d（y，x）；③∀z∈A，都有d（x，y）≤d（x，z）+d（y，z）．则称d（x，y）为集合A上的距离，记为dA．则下列说法正确的是（）A．d（x，y）＝|x﹣y|为dR B．d（x，y）＝|sinx﹣siny|为dR C．若A＝（0，+∞），则d（x，y）＝|lnx﹣lny|为dA D．若d为dR，则ed﹣1也为dR（e为自然对数的底数）【考点】元素与集合关系的判断；命题的真假判断与应用．【专题】综合题；函数思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理．【答案】AC【分析】由dA的定义对选项一一判断即可得出答案．【解答】解：对于A，d（x，y）＝|x﹣y|，即x＝y，①，d（x，y）＝0，即d（x，y）＝|x﹣y|＝0，即x＝y，若x＝y，则d（x，y）＝|x﹣y|＝|x﹣x|＝0，所以“d（x，y）＝0”的充要条件为“x＝y”．②，d（x，y）＝|x﹣y|＝|y﹣x|＝d（y，x），成立，③，∀x，y，z∈R，|x﹣y|＝|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|z﹣y|，故A正确；对于B，d（x，y）＝|sinx﹣siny|，①，d（x，y）＝0，即d（x，y）＝|sinx﹣siny|＝0，即sinx＝siny，此时若x＝0，y＝π，则x≠y，故B错误；对于C，d（x，y）＝|lnx﹣lny|，①，d（x，y）＝0即|lnx-lny|=ln|xy|=0，即x若x＝y，则d（x，y）＝|lnx﹣lny|＝|lnx﹣lnx|＝0，所以“d（x，y）＝0”的充要条件为“x＝y”．②，d（x，y）＝|lnx﹣lny|＝|lny﹣lnx|＝d（y，x），成立；③，d（x，y）＝|lnx﹣lny|＝|（lnx﹣lnz）+（lnz﹣lny）|，≤|lnx﹣lnz|+|lnz﹣lny|＝d（x，z）+d（y，z），故成立，故C正确；对于D，设∀x，y∈R，d（x，y）＝|x﹣y|，则ed（x，y）﹣1＝e|x﹣y|﹣1，①，若d（x，y）＝0，则|x﹣y|＝0，即x＝y，ed﹣1＝e|x﹣y|﹣1＝e﹣1≠0，故D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查命题的真假判断，属于中档题．（多选）9．（2024•南关区校级模拟）若集合A∩B＝B∪C，则一定有（）A．C⊆B B．B⊆C C．B⊆A D．A⊆B【考点】判断两个集合的包含关系．【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．【答案】AC【分析】根据A∩B⊆A以及A∩B⊆B，可得B∪C⊆A、B∪C⊆B、可得C⊆B⊆A，结合选项即可求解．【解答】解：因为A∩B⊆A，A∩B＝B∪C，所以B∪C⊆A，B⊆A，C⊆A，因为A∩B⊆B，A∩B＝B∪C，所以B∪C⊆B，C⊆B，C⊆B⊆A，故选项A、C正确，B、D错误．故选：AC．【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题．（多选）10．（2024•广东模拟）已知集合A＝{1，2}，B＝{0，1，2，3，4}，集合C满足A⫋C⊆B，则（）A．1∈C，2∈C B．集合C可以为{1，2} C．集合C的个数为7 D．集合C的个数为8【考点】集合的包含关系的应用．【专题】整体思想；综合法；集合；数学抽象．【答案】AC【分析】由已知结合元素与集合，集合与集合关系检验各选项即可判断．【解答】解：因为集合A＝{1，2}，B＝{0，1，2，3，4}，集合C满足A⫋C⊆B，所以1∈C，2∈C，A正确；因为A⫋C，B错误；集合C的个数相当于求{0，3，4}的真子集个数，共有23﹣1＝7个，C正确，D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了集合与集合，元素与集合关系的应用，属于基础题．

考点卡片1．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或a=-32由a=-32，得A={故a=-32点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．2．判断两个集合是否相同【知识点的认识】（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作A＝B．【解题方法点拨】集合A与集合B相等，是指A的每一个元素都在B中，而且B中的每一个元素都在A中．元素一一对应：两个集合相同，需确保每个元素都在两个集合中出现，且没有遗漏．直接对比：对于简单集合，可以直接对比元素列举是否完全一致．【命题方向】下列集合中相等的集合是（）①{x|y=x+②{y|y=x+③{（x，y）|y=x+④{s|s＝t2+1}．解：①{x|y=x+1}＝{x|x≥②{y|y=x+1}＝{y|y≥③{（x，y）|y=x+1}＝{（x，y）|x④{s|s＝t2+1}＝{s|s≥1}．∴相等的集合是②④．3．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．4．判断两个集合的包含关系【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，则（）A．A＞BB．B∈AC．A⊆BD．B⊆A解：由题意可得，B⊆A．故选：D．5．集合的包含关系的应用【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】设m为实数，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，满足B⊆A，则m的取值范围是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B⊆A，∴当m＞2m﹣1时，即m＜1时，B＝∅，符合题意；当m≥1时，可得-3≤m综上所述，m≤32，即m故答案为：(-∞，6．并集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．图形语言：．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算性质：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．7．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．8．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．9．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．10．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容