工程控制原理（现代部分）课件：现代控制理论进阶

《工程控制原理》（现代部分）

现代控制理论进阶

《现代控制理论》李亚普洛夫稳定性理论随机过程与滤波估计鲁棒控制原理系统可控能力分析本章重点6.1李亚普洛夫稳定性理论一般系统的稳定性李亚普洛夫稳定判据李亚普洛夫分析法一般系统的稳定性零平衡态所有平衡态稳定，系统才稳定；但只需给出零平衡态的稳定性判据即可非零平衡态转为零平衡态是任意给定的正数，可以，也可以若很小都不行，是可怕的，即不稳定一般系统的稳定性例6-1-1规范型平衡态临界稳定是李亚普洛夫稳定后段轨迹初始状态渐进稳定李亚普洛夫稳定与特征值李亚普洛夫函数困难0？“虚拟能量”函数00正定函数半正定函数负定函数半负定函数李亚普洛夫判据非线性、定常无需求解系统稳定系统不稳定充分条件某些时间小于0，某些时间大于0，不能判定李亚普洛夫稳定判据是针对零平衡态的李亚普洛夫判据李亚普洛夫函数不是唯一的它的选取很重要例6-1-2（局部）稳定渐进稳定李亚普洛夫判据李亚普洛夫分析法定理6-1-3线性定常系统渐近稳定，即为稳定阵，其充要条件是，对任意给定的对称正定阵，下式存在对称正定阵的解。李亚普洛夫方程下面只需讨论必要性，若为稳定阵，

为任意给定的对称正定阵，取充分性线性定常系统的稳定性分析李亚普洛夫分析法定理6-1-3线性定常系统渐近稳定，即为稳定阵，其充要条件是，对任意给定的对称正定阵，下式存在对称正定阵的解。李亚普洛夫方程代数黎卡提方程李亚普洛夫分析法非线性定常系统的稳定性分析若是临界稳定，则非线性系统的稳定性不确定线性化具有工程意义李亚普洛夫分析法线性时变系统的稳定性分析定理6-1-6线性时变系统渐近稳定的充要条件是，对任意给定的对称正定阵，存在对称正定阵满足下式。时变李亚普洛夫方程李亚普洛夫分析法基于李亚普洛夫稳定性分析的控制器设计（1）构造李亚普洛夫函数或者令（2）求解下面的不等式可得到保证闭环稳定的控制器集合可用于非线性、时变等一般系统例6-1-3闭环稳定李亚普洛夫分析法基于李亚普洛夫稳定性分析的控制器设计（1）构造李亚普洛夫函数或者令（2）求解下面的不等式可得到保证闭环稳定的控制器集合可用于非线性、时变等一般系统例6-1-3李亚普洛夫分析法基于李亚普洛夫稳定性分析的控制器设计（1）构造李亚普洛夫函数或者令（2）求解下面的不等式可得到保证闭环稳定的控制器集合可用于非线性、时变等一般系统例6-1-4非线性状态反馈闭环系统还可通过参数，改善其他性能状态反馈线性化闭环稳定李亚普洛夫分析法基于李亚普洛夫稳定性的参数优化控制确保稳定确保最优状态反馈既稳定又最优李亚普洛夫分析法基于李亚普洛夫稳定性分析的控制器设计（1）构造李亚普洛夫函数或者令（2）求解下面的不等式可得到保证闭环稳定的控制器集合可用于非线性、时变等一般系统在自适应控制、智能控制等广泛应用确保闭环稳定，还有参数改善其他性能6.2随机过程与滤波估计随机过程与数字特征状态估计与卡尔曼滤波参数估计与最小二乘法随机过程概论若是随机取值的，就不是确定性变量随机变量随机过程基本问题：如何刻画分析随机变量？（1）离散分布律值域离散分布律确定值随机变量与分布律、分布函数、概率密度函数随机确定已知以及，试求？已知以及，试求？确定随机如何将”随机“转化为”确定“？已知以及，试求？相同，相同随机过程概论若是随机取值的，就不是确定性变量随机变量随机过程基本问题：如何刻画分析随机变量？随机变量与分布律、分布函数、概率密度函数（2）连续分布函数连续值域分布函数随机确定已知以及，试求？已知以及，试求？随机随机过程概论若是随机取值的，就不是确定性变量随机变量随机过程基本问题：如何刻画分析随机变量？随机变量与分布律、分布函数、概率密度函数已知以及，试求？（3）概率密度函数随机确定区间面积就是取值概率已知以及，试求？随机随机过程概论若是随机取值的，就不是确定性变量随机变量随机过程基本问题：如何刻画分析随机变量？随机变量与分布律、分布函数、概率密度函数（4）典型概率密度函数均匀分布等区间=等面积=等概率指数分布正态分布非均匀分布已知以及，试求？已知以及，试求？已知以及，试求？已知以及，试求？随机随机过程概论一维随机变量函数已知以及，试求？已知以及，试求？已知以及，试求？系数是确定的，意味着与的关系是确定的例6-2-1求（1）的值域（2）的分布律随机过程概论一维随机变量函数已知以及，试求？已知以及，试求？已知以及，试求？系数是确定的，意味着与的关系是确定的例6-2-2求（1）的值域（2）的分布函数（3）的概率密度函数定义按关系转换变量定义通常的数学运算随机过程概论二维随机变量函数已知以及，试求？已知以及，试求？已知以及，试求？（1）二维离散联合分布律例6-2-1求（1）的值域（2）的分布律随机过程概论二维随机变量函数已知以及，试求？已知以及，试求？已知以及，试求？（2）二维联合分布函数与二维联合概率密度函数（3）边缘分布（4）条件分布随机过程概论二维随机变量函数已知以及，试求？已知以及，试求？已知以及，试求？（4）条件分布“条件”=“联合”“边缘”（5）独立性相关条件分布于条件无关随机过程概论多维随机变量函数已知以及，试求？已知以及，试求？已知以及，试求？若随机变量独立，则相等给出分布信息是困难的，可否简化？随机过程概论随机变量的数字特征在实际工程系统中，随机变量尽管取值随机，但一般大概率落在均值上，若再得到其它取值离开均值的距离，基本上就反映了这个随机变量的分布情况，这个均值与距离就是随机变量的数字特征。（1）数学期望或均值随机过程概论随机变量的数字特征在实际工程系统中，随机变量尽管取值随机，但一般大概率落在均值上，若再得到其它取值离开均值的距离，基本上就反映了这个随机变量的分布情况，这个均值与距离就是随机变量的数字特征。（2）方差方差：是一种期望运算随机过程概论随机变量的数字特征在实际工程系统中，随机变量尽管取值随机，但一般大概率落在均值上，若再得到其它取值离开均值的距离，基本上就反映了这个随机变量的分布情况，这个均值与距离就是随机变量的数字特征。（3）协方差与相关系数协方差：也是一种期望运算随机过程概论随机变量的数字特征在实际工程系统中，随机变量尽管取值随机，但一般大概率落在均值上，若再得到其它取值离开均值的距离，基本上就反映了这个随机变量的分布情况，这个均值与距离就是随机变量的数字特征。（4）多维随机变量的数字特征的主对角元是各分量的方差，非对角元是分量之间的协方差。随机过程概论随机变量的数字特征前面给出了随机变量常用数字特征的定义。遗憾的是，所有定义还是依赖于分布律、分布函数、概率密度函数等分布信息，仍然未摆脱前面提及的困惑。确定随机变量的分布函数相对困难，但得到它的样本数据集相对容易。可否用样本数据集替代分布函数来求解数字特征？

（1）将各种数字特征归为期望（均值）运算随机过程概论随机变量的数字特征

（1）将各种数字特征归为期望（均值）运算

（2）用样本数据集求解期望（均值）大数定律随机过程概论随机过程及其数字特征对随机过程，若将时间固定，则退化为随机变量。所以，描述随机变量的（联合）分布信息都可推广过来。同一个随机过程（变量），在不同时刻的分布函数可能不一样

（1）一维随机过程的数字特征不同时刻自相关函数自协方差函数随机过程概论随机过程及其数字特征

（1）一维随机过程的数字特征不同时刻自相关函数自协方差函数

（2）二维随机过程的数字特征除了各自的均值函数、方差函数、自相关函数、自协方差函数外互相关函数互协方差函数互不相关随机过程概论平稳随机过程

（1）平稳随机过程的数字特征一般来讲，不同时刻的随机过程统计特性都是不一样的有相同的分布函数任意时刻的均值、方差是一致的只与时间差有关独立、零均值、同方差这类过程为白噪声过程随机过程概论平稳随机过程

（2）各态历经性一般来讲，不同时刻的随机过程统计特性都是不一样的有相同的分布函数同时刻、不同实验不同时刻、同实验平稳随机过程是可能的，非平稳随机过程是不行的需做N次实验状态估计与卡尔曼滤波

（1）全阶状态观测器

（2）卡尔曼滤波器当前测量信息未利用预报修正怎样设计？状态估计与卡尔曼滤波怎样设计？随机确定使得方差最小状态估计与卡尔曼滤波随机确定相互独立状态估计与卡尔曼滤波随机确定相互独立状态估计与卡尔曼滤波随机确定上式含有，为了迭代运算，需要给出状态估计与卡尔曼滤波随机确定上式含有，为了迭代运算，需要给出状态估计与卡尔曼滤波随机确定卡尔曼滤波器的迭代公式①②数字特征（期望、方差）来搭桥每次迭代都补充新的采样数据（样本数量越来越多）状态估计与卡尔曼滤波卡尔曼滤波器的迭代公式全阶状态观测器①②参数估计与最小二乘法状态估计：已知以及估计参数估计：已知估计

（1）自回归滑动平均（ARMA）模型回归滑动平均

（2）最小二乘参数估计已知量最小二乘白噪声参数估计与最小二乘法

（1）自回归滑动平均（ARMA）模型回归滑动平均

（2）最小二乘参数估计已知量最小二乘最小二乘参数估计与最小二乘法

（3）最小二乘估计的无偏性

（2）最小二乘参数估计最小二乘最小二乘白噪声参数估计与最小二乘法

（4）递推最小二乘估计

（2）最小二乘参数估计最小二乘最小二乘新息参数估计与最小二乘法

（5）带遗忘因子的最小二乘估计最小二乘加权最小二乘遗忘因子

（4）递推最小二乘估计新息参数估计与最小二乘法

（6）增广最小二乘估计白噪声未知量参数估计与最小二乘法

（6）增广最小二乘估计白噪声

（7）参数估计存在的条件可逆闭环控制持续激励X相关开环控制每一行只差一拍6.3鲁棒控制原理不确定性描述鲁棒稳定与镇定设计不确定性的描述边界确定的有理函数“边界”不确定性的描述例6-3-1对于如下的单变量系统，采用乘性输入不确定描述，试度量它的不确定性。（2）标称参数标称传函确定的有理函数不确定性的描述例6-3-1对于如下的单变量系统，采用乘性输入不确定描述，试度量它的不确定性。（4）标称参数标称传函（6-3-6）忽略纯延迟不确定性的描述例6-3-1对于如下的单变量系统，采用乘性输入不确定描述，试度量它的不确定性。（4）确定的有理函数（6-3-7）标称参数标称传函忽略纯延迟鲁棒稳定与镇定设计（1）广义（被控对象）模型（2）广义传递函数矩阵确定（含有）不确定（）广义输入广义输出鲁棒稳定与镇定设计（3）鲁棒稳定性判据确定（含有）不确定（）广义输入广义输出，稳定，就是鲁棒稳定，稳定，就是标称稳定定理6-3-1（小增益定理）如果开环系统是稳定的，且，那么，闭环系统

一定是稳定的。定理6-3-2（鲁棒稳定）若标称系统稳定；不确定性稳定且，若

那么，闭环系统是鲁棒稳定的。最坏情况是稳定的其他情况也会稳定鲁棒稳定与镇定设计（4）鲁棒镇定控制器确定（含有）不确定（）广义输入广义输出最坏情况是稳定的其他情况也会稳定直接求解困难通用镇定控制器求解容易标准控制与模型匹配标准控制：设计控制器，使得（1）闭环系统标称稳定；（2）最小化，即

若不追求最优解，上式可化为模型匹配：设计自由参数矩阵，使得（1）（2）最小化，即

若不追求最优解，上式可化为标准控制与模型匹配总之，标准控制或鲁棒控制的核心就是用确定性的广义模型去分析和设计不确定性系统的控制。能做到这一点，是因为将所有不确定性都剥离到了广义模型之外。而“最大”不确定性，通过有理分式权函数嵌入到了广义模型之中。因此，标准控制或鲁棒控制是在“最坏”情况下的最（次）优化，俗称最大最小控制。6.4系统可控能力分析系统性能的基本限制可控能力的几个重要结论系统性能的基本限制（1）状态能控性的局限系统状态能控只是表明存在能量有限的输入在有限时间可将系统状态控制到期望状态上，之后能否保持该状态是不一定的虽给出了状态能控，但未能反映能控的程度，使其指导意义也打了折扣。例6-4-1四级串联水箱，初始状态为0不能维持控制量波动大系统性能的基本限制（1）状态能控性的局限例6-4-2卫星主轴旋转模型为闭环不稳定例6-4-1和例6-4-2表明，确实存在一些系统即使在完全能控的条件下，系统的可控性能在实际应用中会大打折扣。系统性能的基本限制（2）完美控制与增益约束灵敏度函数完美控制实际需要很大的控制量（3）被控对象零极点与传递函数限制与控制器无关，恒等式被控对象的零点、极点可控能力的几个重要结论满意控制权函数权函数闭环期望特性，可否任意设置可控能力的几个重要结论（1）水床效应（以灵敏度函数讨论）定理6-4-1若被控对象稳定，为使闭环系统稳定，一定有“负面积”与“正面积”一样大；好像一张水床，按下一点就会鼓起一点定理6-4-2若被控对象有个不稳定极点，的相对阶（分母次数减分子次数）大于等于2，为使闭环系统稳定，一定有与控制器无关可控能力的几个重要结论（1）水床效应（以灵敏度函数讨论）可控能力的几个重要结论（2）频域峰值限制频域峰值的下界可控能力的几个重要结论（3）带宽的限制如果被控对象存在1个不稳定零点闭环稳态误差为带宽为、峰值为可控能力的几个重要结论（4）时域可控能力分析广义利普希茨（Lipschitz）范数可控能力的几个重要结论（4）时域可控能力分析

如果被控对象没有任何可用的信息，只是通过测量输出实施反馈控制，则只有在这个集合中的被控对象（），才能够找到使闭环系统稳定的控制律。这种情况下的稳定，完全是反馈机制在起作用，反映了纯粹的反馈机制的可控能力。定理6-4-6给出的是充要条件，这从理论上严格证实了反馈调节机制是存在局限性的。反馈调节机制是自动控制的根本，反馈调节可以忍受建模误差、抑制扰动影响、自动追踪期望目标等，但反馈调节不是万能的，是受制于被控对象的，当其不确定性超出一定的范围时，反馈调节也无能为力。

（1）无论何种控制理论其核心都是稳定性。李亚普洛夫稳定性理论给出了最一般控制系统（线性定常、时变、非线性）的稳定性的分析方法，该方法也开拓了一条控制器设计的新途径，即从求控制律，既保证闭环稳定又得到控制器集合，其思想已在自适应控制、神经网络控制等先进控制中得到广泛应用。

（2）随机性是控制系统不可避免的因素，处理它的基本路径是将其转化为确定性描述来研究。现代控制方法离不开状态反馈，但状态变量常常不能全部测量，需要利用输入与输出信息估计状态；另外