2024-2025学年湖南省长沙市高一上学期12月期中考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年湖南省长沙市高一上学期12月期中考试数学检测试题一、单选题1．已知实数x，y，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】A【难度】0.94【知识点】判断命题的必要不充分条件【分析】由充分必要条件的概念判断，【详解】由可得且，当时，，故“”是“”的必要不充分条件，故选：A2．若是的充分不必要条件，则下列判断正确的是（）A．是的必要不充分条件B．是的必要不充分条件C．是的必要不充分条件D．是的必要不充分条件【正确答案】C【难度】0.85【详解】试题分析：由是的充分不必要条件可知.由互为逆否命题的等价性，可知.所以是的必要不充分条件.故选：C.考点：充分条件、必要条件.3．已知枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和大于元，而枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和小于元，那么枝玫瑰和枝康乃馨的价格的比较结果是．A．枝玫瑰的价格高 B．枝康乃馨的价格高C．价格相同 D．不确定【正确答案】A【难度】0.65【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小【详解】试题分析：设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为元，则，因此，因此2枝玫瑰的价格高，选A.考点：不等式比较大小4．已知集合，，则（

）A．（－1，0） B． C． D．（0，1）【正确答案】B【难度】0.94【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式【分析】根据解一元二次不等式的方法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】依题意，，故.故选：B本题考查集合的运算、一元二次不等式的解法，考查的核心素养是数学运算和逻辑推理.5．下列命题中，真命题的个数有（）①②；③函数是单调递增函数．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【正确答案】B【难度】0.65【知识点】判断命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假【详解】分别判断出①②③的真假，即可得到结论.对于①②：用配方法证明；对应③：由在定义域R上单调递减直接判断.【分析】对都成立，命题①正确；对都成立，命题②不正确；在定义域R上单调递减，命题③不正确．所以真命题有1个.故选：B6．已知集合，，则A． B． C． D．【正确答案】B【难度】0.94【知识点】交集的概念及运算、由对数函数的单调性解不等式，然后即可得到答案.【详解】因为，所以故选：B本题考查的是集合的运算，较简单.7．函数的最大值是：（

）A． B． C． D．【正确答案】A【难度】0.85【知识点】求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域【分析】函数式的分母是二次函数，求出分母的取值范围后利用不等式的性质可得结论．【详解】∵，∴，最大值为．故选：A.本题考查求函数的最值，利用二次函数的性质和不等式的性质易得．8．下列集合中，结果是空集的是(

)A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}【正确答案】D【难度】0.94【知识点】空集的概念以及判断、判断元素与集合的关系【分析】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.【详解】A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集；C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x|x>6且x<1}=.故选：D二、多选题9．已知，，且，则下列结论正确的是（

）A． B．的最小值为16C．的最小值为9 D．的最小值为2【正确答案】ABD【难度】0.85【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值根据选项逐个判断，A选项中由已知条件化为可求，B选项利用基本不等式可求最小值，C选项可求的最小值，再求的最小值，D选项把两个变量化为一个变量求解即可.【详解】A选项，由已知得，因为，所以.解得或，又，所以，故A正确.B选项，由已知得.故(当且仅当，时等号成立).所以，得，故B正确.C选项，，当且仅当，时等号成立，故C不正确.D选项，由已知得，因为，所以，即，又，所以.又，所以，所以(当且仅当时等号成立)，故D正确.10．已知条件p：；条件q.若p是q的必要条件，则实数a的值可以是（

）A． B． C． D．【正确答案】BC【难度】0.94【知识点】根据必要不充分条件求参数【分析】根据p是q的必要条件得出的取值，结合选项可得答案.【详解】由，得或，由，得.因为是的必要不充分条件，可知或，解得或.故选：BC.11．已知函数的定义域为R，满足，且，则（

）A．B．为奇函数C．D．【正确答案】ACD【难度】0.4【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、函数奇偶性的定义与判断【分析】采用赋值法为突破口，分析函数的有关性质.【详解】对A：令x=1，，则，因为，所以，故A正确；对B：令x=0得：，结合可得，所以fx对C：令可得：，因为，所以，进一步可得：，又，，故，故，依次有,所以，故C正确；对D：令可得：;用代替，得：，结合C的结果，可得：，故D正确.故选：ACD关键点睛：如何赋值是解决问题的关键.AB相对简单，对C，令得到后进一步可得到数列相邻项之间的关系，可求结果，对D，用和用代替，是解决问题的关键.12．已知函数是偶函数，在区间上单调，若，则有（

）A． B． C． D．【正确答案】AD【难度】0.94【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性判断函数值的大小即可.【详解】函数是偶函数，在区间上单调，，，函数在区间上单调递增，区间上单调递减，，，，.故选：AD三、填空题13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则.【正确答案】44【难度】0.85【知识点】函数奇偶性的应用【分析】根据奇函数的定义运算求解.【详解】由题意可得.故44.14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数．①；②当时，；③；【正确答案】（答案不唯一）；【难度】0.85【知识点】求幂函数的解析式、由奇偶性求函数解析式【分析】根据给定函数的性质，结合偶数次幂函数即可写出符合要求的解析式.【详解】由所给性质：在上恒正的偶函数，且，结合偶数次幂函数的性质，如：满足条件.故（答案不唯一）15．已知集合，，则.【正确答案】【难度】0.94【知识点】交集的概念及运算【分析】利用集合的交运算求即可.【详解】由题设，.故四、解答题16．设是定义在上的函数，用分点，将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和（）恒成立，则称为上的有界变差函数．(1)函数在上是否为有界变差函数？请说明理由；(2)设函数是上的单调递减函数，证明：为上的有界变差函数；(3)若定义在上的函数满足：存在常数，使得对于任意的时，．证明：为上的有界变差函数．【正确答案】(1)是有界变差函数，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【难度】0.4【知识点】函数新定义【分析】（1）利用函数在是增函数，去掉绝对值，将连和符号用函数值的和表示出来，求出值，取M大于等于此值，满足有界变差函数的定义；（2）利用函数为减函数，将连和符号中的绝对值符号去掉，将连和用函数值的差表示出，求出连和的值，将M取此值，满足有界变差函数的定义；（3）利用已知不等式，将函数值差的连和表示成自变量差的连和，去掉绝对值，将连和写成自变量差的和形式，求出连和的值，找到M，满足有界变差函数的定义．【详解】（1）在上是增函数，故对任意划分，，取常数，则和式恒成立．故函数在是有界变差函数．（2）函数是上的单调递减函数，任意的划分，一定存在一个常数，使，故为上有界变差函数．（3），故对任意的划分，，取常数，由有界变差函数定义知为有界变差函数．17．已知，，.(1)当时，解关于的不等式；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.【正确答案】(1)；(2).【难度】0.85【知识点】一元二次方程根的分布问题、解不含参数的一元二次不等式【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法进行求解即可；（2）根据二次函数的性质分类讨论进行求解即可.【详解】（1），当时，由，所以不等式的解集为（2），该函数的对称轴为，当时，，不存在实数，使得成立；当时，函数在上单调递增，显然在上也单调递增，而，所以当时，，故不存在，使得成立；当时，因为函数在上单调递增，所以在时也单调递增，而，所以此时不成立；当时，即时，要想在有解，只需，或，而，因此，当时，即时，要想在有解，只需，即，综上所述：实数的取值范围为.18．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.【正确答案】(1)；(2).【难度】0.85【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、分类讨论解绝对值不等式（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.【详解】（1）当时，等价于，解得；当时，等价于，恒成立，解得；当时，等价于，解得；综上所述，不等式的解集为.（2）不等式的解集包含，等价于在区间上恒成立，也等价于在区间恒成立.则只需满足：且即可.即，解得.本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.19．设函数.（1）当时，解不等式；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性求参数值、解不含参数的一元二次不等式（1）直接利用换元法的应用求出不等式的解集．（2）利用函数的单调性的证明过程，设任取．所以在上恒成立，则恒成立，参变分离即可求解.【详解】（1）当时，由得，令，则，即，即，则所求的不等式的解为.（2）任取，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，则恒成立，即，，又，则，即对恒成立，又，即，则所求的实数的取值范围为.本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，换元法的应用，函数的性质单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．20．对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【难度】0.4【知识点】利用不等式求值或取值范围、绝对值的三角不等式应用、函数综合【分析】（1）取特殊值使得不成立，即可证明；（2）根据“同比不减函数”的定义，恒成立，分离参数，构造函数，转化为与函数的最值关系，即可求出结果；（3）去绝对值化简函数解析式，根据“同比不减函数”的定义，取，因为成立，求出的范围，然后证明对任意的，恒成立，即可求出结论.【详解】证明：（1）任取正常数，存在，所以，因为，即不恒成立，所以不是“同比不减函数”.（2）因为函数是“同比不减函数”，所以恒成立，即恒成立，对一切成立.所以.（3）设函数是“同比不减函数”，，当时，因为成立，所以，所以，而另一方面，若，（Ⅰ）当时，因为，所以，所以有成立.（Ⅱ）当x∈−1,+∞因为，所以，即成立.综上，恒有有成立，所以的取值范围是.本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.21．已知，，.（1）若恒成立，求实数x的取值范围；（2）证明.【正确答案】（1）.（2）证明见解析.【难度】0.85【知识点】基本不等式求和的最小值、分类讨论解绝对值不等式、利用基本不等式证明不