2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：图形的旋转（10题）

第1页（共1页）2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：图形的旋转（10题）一．填空题（共10小题）1．（2024•凉州区一模）将含有30°角的直角三角板OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若AB=23，将三角板绕原点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为2．（2024•吉安三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是BC上一点，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DF、CF，若DC＝CF，则△EFC的面积为．3．（2024•珠晖区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为．4．（2024•西平县三模）如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点P在AB上，且BP=32，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，CQ．当QA＝QC时，AQ的长为5．（2024•泌阳县一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，点D在BC边上，将点A绕点D顺时针旋转90°得到点E，连接DE，CE．当△DCE是等腰三角形时，BD的长为．6．（2024•安徽三模）如图，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，且点E在AC上，连接BE，则BE的长是．7．（2024•大名县校级三模）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E在CB边上，DE的中点为G，EG绕点E顺时针旋转90°得EF，若CE＝x，则：（1）当x＝6时，EF的长为；（2）在x的变化过程中，CF的最小值是．8．（2024•利川市模拟）如图，等边△ABC中，AB＝12，点D是BC边上一动点，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，点F是AC边的中点，连接BF，EF，则BF+EF的最小值是．9．（2024•青龙县模拟）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，则∠AOB＝．10．（2024•银川一模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，3），∠AOB＝90°，∠ABO＝30°．将∠AOB绕点O顺时针旋转一定角度后得到∠A'OB'，并且点A′恰好落到线段AB上，则点A'的坐标为．

2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：图形的旋转（10题）参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2024•凉州区一模）将含有30°角的直角三角板OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若AB=23，将三角板绕原点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为（3，﹣33）【考点】坐标与图形变化﹣旋转；含30度角的直角三角形；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（3，﹣33）．【分析】如图，过点A′作A′H⊥OB于点H．解直角三角形求出OH，A′H可得结论．【解答】解：如图，过点A′作A′H⊥OB于点H．在Rt△OAB中，∠AOB＝30°，AB＝23，∴OB＝43，OA＝6，∵将三角板绕原点O顺时针旋转90°，∴OA′＝OA＝6，∠A′OB′＝30°，在Rt△OA′H中，∠OHA′＝90°，∠A′OH＝60°，∴OH＝OA′•cos60°＝3，A′H＝33，∴A′（3，﹣33），故答案为：（3，﹣33）．【点评】本题考查旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2．（2024•吉安三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是BC上一点，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DF、CF，若DC＝CF，则△EFC的面积为2-1【考点】旋转的性质；三角形的面积；正方形的性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】2-1【分析】由旋转的性质可得AE＝EF，∠AEF＝90°，由“AAS”可证△ABE≌△EHF，可得AB＝EH，BE＝FH，即可求解．【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于H，∵将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEH＝90°＝∠AEB+∠BAE，∴∠BAE＝∠FEH，在△ABE和△EHF中，∠BAE=∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB＝EH，BE＝FH，∵AB＝BC，∴EH＝BC，∴BE＝CH，∴FH＝CH，∵AB＝CD＝CF＝2，∴FH＝CH=2∴EC＝2-2∴△EFC的面积=12×EC×FH=12×（故答案为：2-1【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．3．（2024•珠晖区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为1．【考点】旋转的性质；矩形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】1．【分析】由旋转的性质可得AB＝AB'＝5，AB＝CD＝5，由勾股定理可求B'D的长，即可求解．【解答】解：∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，∴AB＝AB'＝5，AB＝CD＝5，∵∠D＝90°，∴B'D=B'A2∴B'C＝CD﹣B'D＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．4．（2024•西平县三模）如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点P在AB上，且BP=32，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，CQ．当QA＝QC时，AQ的长为72或【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】72或31【分析】由等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝2，AH＝CH＝1，BH=3AH=3，分两种情况讨论，先求出【解答】解：如图，延长BQ交AC于H，如图：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，∴B在AC的垂直平分线上，∵AQ＝CQ，∴Q在AC的垂直平分线上，∴BQ垂直平分AC，∴AH＝CH＝1，∠ABH＝30°，∴BH=3AH=∵将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，∴BP＝BQ=3当点Q在线段BH上时，如图：QH=3∴AQ=A当点Q在线段HB的延长线上时，QH=3∴AQ=A故答案为：72或31【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．5．（2024•泌阳县一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，点D在BC边上，将点A绕点D顺时针旋转90°得到点E，连接DE，CE．当△DCE是等腰三角形时，BD的长为53或43【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】53或4【分析】分当CD＝DE和CD＝CE时两种情况讨论，分别利用勾股定理列式计算即可求解．【解答】解：设BD＝x，则CD＝6﹣x，当CD＝DE时，由题意得AD＝CD＝DE＝6﹣x，在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，即42+x2＝（6﹣x）2，解得x=53，即当CD＝CE时，作EF⊥BC于点F，如图，由旋转的性质知AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝∠EDF，∴△BAD≌△FDE（AAS），∴AB＝DF＝4，BD＝EF＝x，∴CF＝DF﹣CD＝4﹣（6﹣x）＝x﹣2，在Rt△CEF中，CD＝CE＝6﹣x，CF2+EF2＝CE2，即（x﹣2）2+x2＝（6﹣x）2，整理得x2+8x﹣32＝0，解得x=±43综上，BD的长为53或4【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是分类讨论．6．（2024•安徽三模）如图，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，且点E在AC上，连接BE，则BE的长是655【考点】旋转的性质；相似三角形的性质．【专题】计算题；运算能力．【答案】65【分析】由∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，得AE＝AB＝3，EF＝BC＝4，AC＝AF＝5，得ABAE=ACAF，∠BAC＝∠EAF，CF=EC2+EF2=(5-3【解答】解：由∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，得AE＝AB＝3，EF＝BC＝4，AC＝AF＝5，得ABAE=ACAF，∠BAC＝∠EAF，CF得△ABE∽△ACF，得BECF=AB得BE=6故答案为：65【点评】本题主要考查了图形旋转的性质，解题关键是正确应用相似三角形的性质．7．（2024•大名县校级三模）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E在CB边上，DE的中点为G，EG绕点E顺时针旋转90°得EF，若CE＝x，则：（1）当x＝6时，EF的长为5；（2）在x的变化过程中，CF的最小值是455【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．【答案】（1）5；（2）45【分析】（1）首先关键旋转的性质和已知条件可以得到EF=12DE，然后利用勾股定理可以求出（2）过点G作GM⊥CD于点M，过点F作FN⊥EC，交EC的延长线于点N．证得△DMG≌△ENF（AAS），得到GM＝FN=12EC，DM＝EN＝4，设FN＝GM＝m，则CN＝4﹣2m，利用勾股定理CF2＝CN2+FN2，求得CF2＝5（m-85【解答】解：（1）当CE＝6时，∵DE的中点为G，EG绕点E顺时针旋转90°得EF，∴EF=12∵正方形ABCD的边长为8，∴在Rt△DCE中，DE=CD∴EF＝5，故答案为：5；（3）如图，过点G作GM⊥CD于点M，过点F作FN⊥EC，交EC的延长线于点N．∵DG＝EG＝EF，∠MDG＝∠NEF，∠DMG＝∠ENF＝90°，∴△DMG≌△ENF（AAS），∴GM＝FN=12EC，DM＝EN＝设FN＝GM＝m，则EC＝2m，∴CN＝4﹣2m，∴CF2＝CN2+FN2，即（4﹣2m）2+m2＝5m2﹣16m+16＝5（m-85）2∵5＞0，∴CF2有最小值，最小值=16∴CF=4故答案为：45【点评】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形解决问题．8．（2024•利川市模拟）如图，等边△ABC中，AB＝12，点D是BC边上一动点，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，点F是AC边的中点，连接BF，EF，则BF+EF的最小值是93【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】93【分析】根据旋转得出△ABD与△ACE全等，得出∠ACE＝60°，进而得出点E的运动轨迹，再过点F作CE的垂线可解决问题．【解答】解：由旋转可知，△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠ACE＝60°，则点E在以C为顶点，且与AC夹角为60°的直线上运动．过点F作CE的垂线，垂足为M，当点E在点M处时，EF取得最小值，即为FM的长．∵点F是AC边的中点，∴AF＝CF=1在Rt△ABF中，BF=1在Rt△CFM中，sin∠FCM=FM∴FM=3∴BF+FM=93则BF+EF的最小值为93故答案为：93【点评】本题考查旋转的性质及轴对称﹣最短路线问题，熟知图形旋转的性质及通过全等三角形的性质得出点E的运动轨迹是解题的关键．9．（2024•青龙县模拟）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，则∠AOB＝150°．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理．【答案】见试题解答内容【分析】连接OO′，如图，根据旋转的性质得BO′＝BO＝4，∠O′BO＝60°，可判断△BOO′为等边三角形，由△ABC为等边三角形得到BA＝BC，∠ABC＝60°，则∠O′BA＝∠OBC，然后根据“SAS”可证明△O′BA≌△OBC，则O′A＝OC＝5在△AOO′中，由于OA′＝5，OO′＝4，OA＝3，则OA2+OO′2＝O′A2，于是可根据勾股定理的逆定理可得∠AOO′＝90°，加上△BOO′为等边三角形得∠BOO′＝60°，所以∠AOB＝60°+90°＝150°．【解答】解：连接OO′，如图，∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO′＝BO＝4，∠O′BO＝60°，∴△BOO′为等边三角形，∴∠BOO′＝60°，∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∴∠O′BO﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，即∠O′BA＝∠OBC，在△O′BA和△OBC中O'∴△O′BA≌△OBC（SAS），∴O′A＝OC＝5，在△AOO′中，∵OA′＝5，OO′＝4，OA＝3，∴OA2+OO′2＝O′A2，∴∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝60°+90°＝150°，故答案为：150°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．10．（2024•银川一模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，3），∠AOB＝90°，∠ABO＝30°．将∠AOB绕点O顺时针旋转一定角度后得到∠A'OB'，并且点A′恰好落到线段AB上，则点A'的坐标为（-32【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（-3【分析】过点A′作x轴的垂线，根据旋转的性质得出△AOA′是等边三角形即可解决问题．【解答】解：过点A′作x轴的垂线，垂足为M，∵点B坐标为（0，3），∴OB＝3．在Rt△ABO中，tan∠ABO=AO∴AO=3由旋转可知，OA′＝OA=3又∵∠BAO＝90°﹣30°＝60°，∴△OAA′是等边三角形，∴∠A′OM＝60°．在Rt△A′MO中，sin∠A′OM=A'M∴A′M=3同理可得，MO=3∴点A′的坐标为（-3故答案为：（-3【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键．

考点卡片1．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．2．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．3．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．4．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．5．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．7．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；