2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：锐角三角函数（10题）

第1页（共1页）2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：锐角三角函数（10题）一．填空题（共10小题）1．（2024•南通）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝6m，则旗杆AC的高度为m．2．（2024•茌平区一模）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为．3．（2024•秦都区校级一模）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度为1：3，坝高BC＝3m，则AB的长度为4．（2024•高新区校级模拟）如图，已知传送带AB与地面AC所成斜面坡度为i=1：2，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体所经过的路程为5．（2024•雁塔区校级一模）在△ABC中，若|sinA-12|+（22-cosB）2＝0，则∠C的度数是6．（2024•广西三模）如图，某小区物业想对小区内的三角形广场ABC进行改造，已知AC与BC的夹角为120°，AC＝10m，BC＝14m，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是m2（结果保留根号）．7．（2024•吉林二模）构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长线段CB到点D，使BD＝AB，连接AD，可得∠D＝15°，所以∠CAD＝75°．利用此图形可以得出tan75°=2+3．通过类比这种方法，可以得出tan67.5°＝8．（2024•湖北模拟）学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为．9．（2024•当阳市模拟）为了给山顶供水，决定在山脚A处开始沿山坡AB铺设水管．现测得斜坡与水平面所成角为18°，为使出水口高度为35m，那么需要准备长的水管．（结果保留整数）（sin18°≈0.31，cos18°≈0.95°，tan18°≈0.32）10．（2024•八步区三模）如图，某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，原阶梯式自动扶梯AB的长为a米，坡角∠ABD＝45°，已知改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝15°，改造后的斜坡式自动扶梯的水平距离增加了BC的长度且BC的长度为20米，则a的值为．（结果精确到0.1米，参考数据：sin15°≈0.26，cos25°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.414

2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：锐角三角函数（10题）参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2024•南通）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝6m，则旗杆AC的高度为63m．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【答案】63．【分析】依据题意，直接利用锐角三角函数关系即可计算得解．【解答】解：由题意可得：BC＝6m，又tan60°=AC∴AC＝63m．故答案为：63．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．2．（2024•茌平区一模）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为12【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】12【分析】作BD⊥AC于点D，根据等积法求出BD的长，结合勾股定理及正切定义直接求解即可得到答案．【解答】解：作BD⊥AC于点D，由图形可得，BC=32+12=10∴12解得：BD=2，CD=∴tan∠故答案为：12【点评】本题考查解直角三角形，掌握三角函数，勾股定理是关键．3．（2024•秦都区校级一模）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度为1：3，坝高BC＝3m，则AB的长度为6m【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】6m．【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：∴BCAC=1解得，AC=33由勾股定理得，AB=B故答案为：6m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．4．（2024•高新区校级模拟）如图，已知传送带AB与地面AC所成斜面坡度为i=1：2，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体所经过的路程为33【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】33．【分析】先根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵BC＝3米，斜坡AB的坡度是1：2，∴AC＝32米，∴AB=AC2则物体所经过的路程为33米，故答案为：33．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．5．（2024•雁塔区校级一模）在△ABC中，若|sinA-12|+（22-cosB）2＝0，则∠C的度数是【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】先利用非负数的性质得到sinA-12=0，22-cosB＝0，即sinA=12，cosB=【解答】解：∵|sinA-12|+（22-cosB）∴sinA-12=0，22-即sinA=12，cosB∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质．6．（2024•广西三模）如图，某小区物业想对小区内的三角形广场ABC进行改造，已知AC与BC的夹角为120°，AC＝10m，BC＝14m，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是353m2（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，先利用平角定义可得∠ACD＝60°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．【解答】解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝60°，在Rt△ACD中，AC＝10m，∴AD＝AC•sin60°＝10×32=53∵BC＝14m，∴△ABC的面积=12BC•AD=12×14×53=∴需要改造的广场面积是353m2，故答案为：353【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2024•吉林二模）构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长线段CB到点D，使BD＝AB，连接AD，可得∠D＝15°，所以∠CAD＝75°．利用此图形可以得出tan75°=2+3．通过类比这种方法，可以得出tan67.5°＝2【考点】解直角三角形；含30度角的直角三角形；勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】2+1【分析】在Rt△ACB中，使得∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD，先利用三角形的外角性质可得∠ABC＝∠D+∠BAD＝45°，从而利用等腰三角形的性质可得∠D＝∠BAD＝22.5°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CAD＝67.5°，最后设AC＝BC＝1，则AB＝BD=2AC=2，从而可得CD=2+1，在【解答】解：如图：在Rt△ACB中，使得∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD，∵∠ABC是△ABD的一个外角，∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝45°，∵BA＝BD，∴∠D＝∠BAD＝22.5°，∴∠CAD＝90°﹣∠D＝67.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD=2AC=∴CD＝BC+BD=2+在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan67.5°=CDAC故答案为：2+1【点评】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．8．（2024•湖北模拟）学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为(150+1503)【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】(150+1503【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据BC＝BD+CD，再分别利用正弦余弦三角函数求出BD和AD的值即可得到本题答案．【解答】解：点A作AD⊥BC于点D，由题意可得：∠ABD＝30°，∠CAB＝105°，∴∠DAB＝60°，∠CAD＝45°，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∴CD＝AD；在△ABD中，AB＝300米，∴BD=ABsin60°AD=CD=ABcos60°∴CD＝AD＝150米，∵BC＝BD+CD，∴BC=BD+CD=(1503故答案为：(150+1503【点评】本题考查解直角三角形方向角的应用，关键是锐角三角函数的应用．9．（2024•当阳市模拟）为了给山顶供水，决定在山脚A处开始沿山坡AB铺设水管．现测得斜坡与水平面所成角为18°，为使出水口高度为35m，那么需要准备113长的水管．（结果保留整数）（sin18°≈0.31，cos18°≈0.95°，tan18°≈0.32）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】113．【分析】由题意得：∠ACB＝90°，∠A＝18°，BC＝35，根据正弦定义即可求解AB．【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，∠A＝18°，BC＝35，∴AB=BC故答案为：113．【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，解直角三角形ABC进行求解即可．10．（2024•八步区三模）如图，某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，原阶梯式自动扶梯AB的长为a米，坡角∠ABD＝45°，已知改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝15°，改造后的斜坡式自动扶梯的水平距离增加了BC的长度且BC的长度为20米，则a的值为10.5米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin15°≈0.26，cos25°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.414【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】10.5米．【分析】根据等腰直角三角形的性质用a表示出AD、BD，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：在Rt△ABD中，AB＝a米，∠ABD＝45°，则AD＝BD=22AB=∵BC＝20米，∴CD＝（20+22在Rt△ACD中，∠ACD＝15°，∵tan∠ACD=AD∴22a解得：a≈10.5，经检验：a≈10.5是原方程的解，故答案为：10.5米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

考点卡片1．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．2．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．3．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．5．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．6．特殊角的三角函数值（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°=12；cos30°=32；sin45°=22；cos45°=22；sin60°=32；cos60°=12；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．7．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA