2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：三角形（10题）

第1页（共1页）2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：三角形（10题）一．解答题（共10小题）1．（2024•汇川区三模）如图，点D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，AB＝AC，BE，CD相交于点O．求证：∠B＝∠C．小刚同学的证明过程如下：证明：在△ABE和△ACD中，AB=ACBD=CE…第一步∴△ABE≌△ACD…第二步∴∠B＝∠C…第三步（1）小刚同学的证明过程中，第步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．2．（2024•长沙模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．3．（2024•锡山区校级一模）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．4．（2024•松原二模）已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，EA＝AB，D为AB上一点，连接ED、AC相交于F，ED＝AC，求证：Rt△EAD≌Rt△ABC．5．（2024•绥江县模拟）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE．6．（2024春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．7．（2024•吉安三模）在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边BC上任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E．（1）如图1，若∠BAD＝15°，且CE＝1，求线段BD的长；（2）如图2，过点C作CF⊥CE，且CF＝CE，连接FE并延长交AB于点M，连接BF，求证：AM＝BM．8．（2024•娄星区二模）如图，等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE，A、C、D三点共线，∠ACB＝∠DCE＝90°，延长DE交AB于点F．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若CD＝1，AC＝2，求AF的长度．9．（2024•汕尾一模）如图，点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：BC＝EF．10．（2024•济宁一模）已知正方形ABCD的边长为8，点E是对角线AC上的一点．（1）如图①，若点E到AD的距离为6，则点E到AB的距离为；（2）连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F．①如图②，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．求证：矩形DEFG是正方形；②如图③，在①的条件下，连接AG，求AG+AE的值．

2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：三角形（10题）参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2024•汇川区三模）如图，点D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，AB＝AC，BE，CD相交于点O．求证：∠B＝∠C．小刚同学的证明过程如下：证明：在△ABE和△ACD中，AB=ACBD=CE…第一步∴△ABE≌△ACD…第二步∴∠B＝∠C…第三步（1）小刚同学的证明过程中，第一步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】（1）一；（2）见解析．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得出答案；（2）先证明AD＝AE，再由SAS证明△ABE≌△ACD，即可得证．【解答】（1）解：由题意得：小刚同学的证明过程中，第一步出现错误；（2）证明：∵BD＝CE，AB＝AC，∴AB﹣BD＝AC﹣CE，∴AD＝AE在△ABE和△ACD中，AB=AC∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．2．（2024•长沙模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】计算题；证明题；图形的全等；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）证明△ABE≌△ACD（ASA），可得出结论；（2）由三角形内角和可求出答案．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC即：∠BAE＝∠CAD在△ABE和△ACD中∠ABD=∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD；（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，∴∠BDC＝∠BAC＝50°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键．3．（2024•锡山区校级一模）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】计算题；证明题；图形的全等；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAE＝∠FCD，根据SAS可得出△ABE≌△CDF；（2）求出∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝100°，可得出∠CFD＝∠AEB＝100°．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD，∵AF＝CE，∴AE＝CF，又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，∵△ABE≌△CDF，∴∠CFD＝∠AEB＝100°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．4．（2024•松原二模）已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，EA＝AB，D为AB上一点，连接ED、AC相交于F，ED＝AC，求证：Rt△EAD≌Rt△ABC．【考点】直角三角形全等的判定；等腰直角三角形．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】见解析．【分析】根据HL证明三角形全等．【解答】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAB＝∠ABC＝90°，在Rt△EAD和Rt△ABC中，ED=ACEA=AB∴Rt△EAD≌Rt△ABC（HL）．【点评】本题考查的是全等三角形的判定，掌握利用HL判定两个三角形全等是解决此题的关键．5．（2024•绥江县模拟）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE．【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】证明见解析．【分析】根据SAS证明△ABC≌△ADE即可．【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，AB=AD∠BAC=∠DAE∴△ABC≌△ADE（SAS）．【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据SAS证明△ABC≌△ADE解答．6．（2024春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【答案】见试题解答内容【分析】首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．BD=DCBE=CF∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴∠DAE＝∠DAF，∴AD是△ABC的角平分线．【点评】此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判定．由三角形全等得到DE＝DF是正确解答本题的关键．7．（2024•吉安三模）在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边BC上任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E．（1）如图1，若∠BAD＝15°，且CE＝1，求线段BD的长；（2）如图2，过点C作CF⊥CE，且CF＝CE，连接FE并延长交AB于点M，连接BF，求证：AM＝BM．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先求得：∠CAE＝45°﹣15°＝30°，根据直角三角形30°角的性质可得AC＝2CE＝2，再得∠ECD＝90°﹣60°＝30°，设ED＝x，则CD＝2x，利用勾股定理得：3x＝1，求得x的值，可得BD的长；（2）如图2，连接CM，先证明△ACE≌△BCF，则∠BFC＝∠AEC＝90°，证明C、M、B、F四点共圆，则∠BCM＝∠MFB＝45°，由等腰三角形三线合一的性质可得AM＝BM．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∵∠BAD＝15°，∴∠CAE＝45°﹣15°＝30°，Rt△ACE中，CE＝1，∴AC＝2CE＝2，Rt△CED中，∠ECD＝90°﹣60°＝30°，∴CD＝2ED，设ED＝x，则CD＝2x，∴CE=3x∴3x＝1，x=3∴CD＝2x=2∴BD＝BC﹣CD＝AC﹣CD＝2-2（2）如图2，连接CM，∵∠ACB＝∠ECF＝90°，∴∠ACE＝∠BCF，∵AC＝BC，CE＝CF，∴△ACE≌△BCF，∴∠BFC＝∠AEC＝90°，∵∠CFE＝45°，∴∠MFB＝45°，∵∠CFM＝∠CBA＝45°，∴C、M、B、F四点共圆，∴∠BCM＝∠MFB＝45°，∴∠ACM＝∠BCM＝45°，∵AC＝BC，∴AM＝BM．【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质、直角三角形30°角的性质和勾股定理，第二问有难度，构建辅助线，证明△ACE≌△BCF是关键．8．（2024•娄星区二模）如图，等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE，A、C、D三点共线，∠ACB＝∠DCE＝90°，延长DE交AB于点F．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若CD＝1，AC＝2，求AF的长度．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）32【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝90°，CD＝CE，∠DCE＝90°，利用SAS即可判定△ACE≌△BCD；（2）结合等腰直角三角形的性质求出DF＝AF，∠DFA＝90°，根据勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD＝CE，∠DCE＝90°，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACB=∠DCE=90°∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）解：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE中，∠EDC＝45°，∠BAC＝45°，∴DF＝AF，∠DFA＝90°，∴AF2+DF2＝2AF2＝AD2，∵CD＝1，AC＝2，∴AD＝CD+AC＝3，∴AF=3【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键．9．（2024•汕尾一模）如图，点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：BC＝EF．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】证明见解析．【分析】首先根据平行线的性质可得∠A＝∠FDE，再利用ASA证明△ABC≌△DEF，进而证明即可．【解答】证明：∵AB∥DF，∴∠A＝∠FDE，在△ABC与△DEF中，∠B=∴△ABC≌△DEF（ASA），∴BC＝EF．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用ASA证明△ABC≌△DEF解答．10．（2024•济宁一模）已知正方形ABCD的边长为8，点E是对角线AC上的一点．（1）如图①，若点E到AD的距离为6，则点E到AB的距离为6；（2）连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F．①如图②，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．求证：矩形DEFG是正方形；②如图③，在①的条件下，连接AG，求AG+AE的值．【考点】勾股定理；正方形的性质；正方形的判定与性质；轴对称的性质；角平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）6．（2）①见解答．②82．【分析】（1）如图①中，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，利用角平分线的性质定理解决问题即可．（2）①如图②中，连接EB．证明DE＝EB，EF＝EB，可得结论．②证明△GDA≌△EDC（SAS），推出AG＝EC，可得结论．【解答】（1）解：如图①中，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAM＝∠EAN＝45°，∵EM⊥AM，EN⊥AN，∴EM＝EN＝6，∴点E到AB的距离为6，故答案为：6．（2）①证明：如图②中，连接EB．∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE＝45°，在△DCE和△BCE中，CD=CB∠DCE=∠BCE∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝EB，∠CDE＝∠CBE，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠EBF＝∠ADE，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝∠DAF＝90°，∴∠ADE+∠AFE＝180°，∵∠AFE+∠EFB＝180°，∴∠ADE＝∠EFB，∴∠EFB＝∠EBF，∴EF＝EB，∴DE＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．②解：如图③中，∵四边形DEFG，四边形ABCD都是正方形，∴∠ADC＝∠GDE＝90°，DA＝DC，DG＝DE，∴∠GDA＝∠EDC，在△GDA和△EDC中，DG=DE∠GDA=∠EDC∴△GDA≌△EDC（SAS），∴AG＝EC，∴AG+AE＝EC+AE＝AC=2AD＝82【点评】本题考查正方形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．

考点卡片1．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．2．直角三角形全等的判定1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．4．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质