专题4 选择题重点出题方向圆中的计算专项训练（解析版）

专题4选择题重点出题方向圆中的计算专项训练（原卷版）

模块一2022中考真题集训

1．（2022•淮安）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）

⊙

A．80°B．100°C．140°D．160°

思路引领：先根据圆周角定理求得∠D的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数即可．

解：∵∠AOC＝160°，

∴∠ADC∠AOC＝80°，

1

∵四边形=AB2CD是O的内接四边形，

∴∠ABC＝180°﹣⊙∠ADC＝180°﹣80°＝100°，

故选：B．

总结提升：此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关

键．

2．（2022•阜新）如图，A，B，C是O上的三点，若∠C＝35°，则∠ABO的度数是（）

⊙

A．35°B．55°C．60°D．70°

思路引领：由圆周角定理，即可求得∠AOB的度数，又由OA＝OB，根据等边对等角与三角形内角和定

理，即可求得∠ABO的度数．

解：连接OA，

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∵∠C＝35°，

∴∠AOB＝2∠C＝70°，

∵OA＝OB，

∴∠ABO＝∠BAO（180°﹣∠AOB）＝55°．

1

故选：B．=2

总结提升：此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意在同圆或等圆中，同弧或

等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．

3．（2022•巴中）如图，AB为O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则

OE＝（）⊙��=��3

A．B．C．1D．2

3

3

思路引2领：连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A＝∠CDB＝30°，根

据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．

解：如图，连接BC，

∵AB为O的直径，，

∴AB⊥C⊙D，��=��

∵∠BAC＝∠CDB＝30°，，

∴AE＝AC•cos∠BAC＝3，𝐵=23

∵AB为O的直径，

∴∠ACB⊙＝90°，

∴，

𝐵

��=𝑐�∠�𝐵=4

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∴OA＝2，

∴OE＝AE﹣OA＝1．

故选：C．

总结提升：本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，

特殊角锐角函数值是解题的关键．

4．（2022•镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝6，O同时与边BA的延长线、射线

AC相切，O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转（30°⊙＜≤360°），B、C的对应点分

别为B′、⊙C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与O相切α的次数为α（）

⊙

A．1B．2C．3D．4

思路引领：设O与边BA的延长线、射线AC分别相切于点T、点G，连接OA交O于点L，连接OT，

作AE⊥BC于⊙点E，OH⊥BC于点H，先求得BE＝CE＝3，∠B＝∠ACB＝30°⊙，则AE＝BE•tan30°

＝3，再证明OA∥BC，则OH＝AE＝OT＝OL＝3，可证明直3线BC与O相切，再求得OA＝2OT＝6，

则AL＝3，作AK⊥B′C′于点K，由旋转得AK＝AE＝3，∠AKB′＝∠⊙AEB＝90°，直线B′C′与O

相切存在三种情况，一是△ABC绕点A旋转到点K与点L重合，二是△ABC绕点A旋转到B′C′∥O⊙A，

三是△ABC绕点A旋转到B′C′与BC重合，即旋转角＝360°，分别加以说明即可．

解：如图1，由题意可知O同时与边BA的延长线、射线αAC相切，O的半径为3，

设O与边BA的延长线、⊙射线AC分别相切于点T、点G，连接OA交⊙O于点L，连接OT，

∴A⊙T⊥OT，OT＝3，⊙

作AE⊥BC于点E，OH⊥BC于点H，则∠AEB＝90°，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝6，

3

∴BE＝CEBC＝3，∠B＝∠ACB（∠180﹣∠BAC）＝30°，

11

=23=2

∴AE＝BE•tan30°＝33，

3

∵∠TAC＝180°﹣∠BA3C×＝630°=，

∴∠OAG＝∠OAT∠TAC＝30°，

1

=2

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∴∠OAG＝∠ACB，

∴OA∥BC，

∴OH＝AE＝OT＝OL＝3，

∴直线BC与O相切，

∵∠ATO＝90⊙°，

∴OA＝2OT＝6，

∴AL＝3，

作AK⊥B′C′于点K，由旋转得AK＝AE＝3，∠AKB′＝∠AEB＝90°，

如图2，△ABC绕点A旋转到点K与点L重合，

∵∠OLB′＝180°﹣∠ALB′＝180°﹣∠AKB′＝90°，

∴B′C′⊥OL，

∵OL为O的半径，

∴B′C′⊙与O相切；

如图3，△A⊙BC绕点A旋转到B′C′∥OA，作OR⊥B′C′交C′B′的延长线于点R，

∵OR＝AK＝3，

∴B′C′与O相切；

当△ABC绕点⊙A旋转到B′C′与BC重合，即旋转角＝360°，则B′C′与O相切，

综上所述，在旋转的过程中边B′C′所在直线与O相α切3次，⊙

故选：C．⊙

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总结提升：此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、锐角三角函数以及数形结合与分类讨论

数学思想的运用等知识与方法，画出图形并且正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

5．（2022•东营）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则

圆锥的母线长为（）

A．4cmB．8cmC．12cmD．16cm

思路引领：求得半圆形铁皮的半径即可求得围成的圆锥的母线长．

解：设半圆形铁皮的半径为rcm，

根据题意得：r＝2×4，

解得：r＝8，ππ

所以围成的圆锥的母线长为8cm，

故选：B．

总结提升：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于半圆铁皮的弧长，难度不大．

6．（2022•宁夏）把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使

外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即OC＝2cm，∠

BOF＝120°）．则阴影部分的面积为（）

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A．（2）cm2B．（8）cm2

22

3−π3−π

C．（83）cm2D．（163）cm2

88

思路引领3：−3先π求出∠COF，进而求出OE＝OF＝4cm，3再−求3π出OB，进而求出BE，最后用三角形的面积

减去扇形的面积，即可求出答案．

解：在Rt△OCF中，∠COF＝180°﹣∠BOF＝60°，

∴∠OFC＝30°，

∵OC＝2cm，

∴OF＝2OC＝4cm，

连接OE，则OE＝OF＝4cm，

在Rt△BOE中，∠B＝30°，

∴∠DOE＝60°，OB＝2OE＝8cm，

根据勾股定理得，BE4cm，

22

=��−��=32

∴S阴影＝S△BOE﹣S扇形DOEBE•OE44＝（8）cm，

2

160�⋅4188

故选：C．=2−360=2×3×−3π3−3π

总结提升：此题主要考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面

积公式，求出圆的半径是解本题的关键．

7．（2022•朝阳）如图，在O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（）

⊙��

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A．24°B．26°C．48°D．66°

思路引领：直接利用圆周角求解．

解：∵点A是的中点，

∴，��

∴∠��A=OB�＝�2∠ADC＝2×24°＝48°．

故选：C．

总结提升：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半．

8．（2022•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于

点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（）=3

A．B．C．D．

�3�2�3�

思路3引领：解直角三角形求5出∠CBE＝30°，推出3∠ABE＝60°，再利用4扇形的面积公式求解．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠C＝90°，

∵BA＝BE＝2，BC，

=3

∴cos∠CBE，

��3

=��=2

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∴∠CBE＝30°，

∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，

∴S扇形BAE，

2

60⋅�⋅22�

故选：C．=360=3

总结提升：本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．

9．（2022•安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，

得到正六边形OAnBnnDnEn，当n＝2022时，正六边形OAnBnnDnEn的顶点Dn的坐标是（）

∁∁

A．（，﹣3）B．（﹣3，）C．（3，）D．（，3）

思路引−领3：由题意旋转8次应该循−环3，因为2022÷8＝−2523…6，所以Dn的−坐3标与D6的坐标相同．

解：由题意旋转8次应该循环，

∵2022÷8＝252…6，

∴Dn的坐标与D6的坐标相同，

如图，过点D6H⊥OE于点H，

∵∠DOD6＝90°，∠DOE＝30°，OD＝OD6＝2，

∴OH＝OD6•cos60°，HD6OH＝3，3

∴D6（，﹣3），=3=3

∴顶点−Dn的3坐标是（，﹣3），

−3

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故选：A．

总结提升：本题考查正多边形与圆，坐标与图形变化﹣性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，

属于中考常考题型．

10．（2022•安顺）如图，边长为的正方形ABCD内接于O，PA，PD分别与O相切于点A和点D，PD

的延长线与BC的延长线交于点2E，则图中阴影部分的面⊙积为（）⊙

A．5﹣B．5C．D．

�5�5�

π−−−

思路引领：连接AC，OD，根2据已知条件得到AC2是2O的直径，∠AO2D＝490°，根据切线的性质得到

∠PAO＝∠PDO＝90°，得到△CDE是等腰直角三角⊙形，根据等腰直角三角形的性质得到PE＝3，根据

梯形和圆的面积公式即可得到答案．

解：连接AC，OD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝90°，

∴AC是O的直径，∠AOD＝90°，

∵PA，P⊙D分别与O相切于点A和点D，

∴∠PAO＝∠PDO⊙＝90°，

∴四边形AODP是矩形，

∵OA＝OD，

∴矩形AODP是正方形，

∴∠P＝90°，AP＝AO，AC∥PE，

∴∠E＝∠ACB＝45°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∵AB，

∴AC=＝2A2O＝2，DECD＝2，

∴AP＝PD＝AO＝1，=2

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∴PE＝3，

∴图中阴影部分的面积（AC+PE）•APAO2•（2+3）×112•（5﹣），

111115�

故选：C．=2−2π=2−2×π=2π=2−2

总结提升：本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正

确的作出辅助线是解题的关键．

11．（2022•丹东）如图，AB是O的直径，C是O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则

的长为（）⊙⊙��

A．6B．2C．D．

3

ππππ

思路引领：先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝260°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可．

解：∵直径AB＝6，

∴半径OB＝3，

∵圆周角∠A＝30°，

∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°，

∴的长是，

60�×3

��=π

故选：D．180

总结提升：本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆

心角为n°的弧的长度是．

���

12．（2022•枣庄）将量角器按18如0图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别

为86°，30°，则∠ACB的度数是（）

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A．28°B．30°C．36°D．56°

思路引领：连接OA，OB，利用圆周角定理求解即可．

解：连接OA，OB．

由题意，∠AOB＝86°﹣30°＝56°，

∴∠ACB∠AOB＝28°，

1

故选：A．=2

总结提升：本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题．

13．（2022•鄂尔多斯）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆O1与O2的半径为3米，且O1经过

O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长⊙为（⊙）⊙

⊙

A．4米B．6米C．8米D．12米

思路引π领：连接AO1，AO2，πBO1，BO2，O1O2，根π据等边三角形的判定得π出△AO1O2和△BO1O2是等边

三角形，根据等边三角形的性质得出∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，求出优弧所对

的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可．��

解：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，

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∵等圆O1与O2的半径为3米，O1经过O2的圆心O2，

∴AO1＝⊙AO2＝⊙BO1＝BO2＝O1O2＝3⊙米，⊙

∴△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，

∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，

∴优弧所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°，

��

∴花坛的周长为28（米），

240�×3

故选：C．×180=π

总结提升：本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出圆心角

的度数是解此题的关键．

14．（2022•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间

是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千

克锌？（的值取3.14）（）

π

A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000

思路引领：由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面

积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.1kg，可求出一个浮筒需用锌量，即可

求出1000个这样的锚标浮筒需用锌量．

解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3m，

圆锥的高为0.4m，

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则圆锥的母线长为：0.5m．

22

2

∴圆锥的侧面积S1＝0×.30.3+×00..45＝=0.15（m），

∵圆柱的高为1m．ππ

2

圆柱的侧面积S2＝2×0.3×1＝0.6（m），

2

∴浮筒的表面积＝2Sπ1+S2＝0.9（mπ），

∵每平方米用锌0.1kg，π

∴一个浮筒需用锌：0.9×0.1kg，

∴1000个这样的锚标浮筒π需用锌：1000×0.9×0.1＝90≈282.6（kg）．

故选：A．ππ

总结提升：本题考查了圆锥表面积的计算和圆柱表面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解

几何体的构成，难度中等．

15．（2022•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD

的面积为（）

A．36B．24C．18D．72

思路引领3：根据AB＝12，BE＝33，求出OE＝3，OC＝36，并利用勾股定理求3出EC，根据垂径定理求出

CD，即可求出四边形的面积．

解：如图，连接OC，

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∵AB＝12，BE＝3，

∴OB＝OC＝6，OE＝3，

∵AB⊥CD，

在Rt△COE中，EC，

22

∴CD＝2CE＝6，=𝐵−��=36−9=33

3

∴四边形ACBD的面积．

11

故选：A．=2��⋅��=2×12×63=363

总结提升：本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，

并且平分弦所对的两条弧．

16．（2022•济宁）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（）

A．96cm2B．48cm2C．33cm2D．24cm2

思路引π领：根据圆锥的侧面展π开图为一扇形，这个扇π形的弧长等于圆锥底π面的周长，扇形的半径等于圆

锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．

解：∵底面圆的直径为6cm，

∴底面圆的半径为3cm，

∴圆锥的侧面积8×2×3＝24cm2．

1

故选：D．=2×ππ

总结提升：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，

扇形的半径等于圆锥的母线长．

17．（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下

一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）

放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（）

A．（2﹣2，3）B．（0，1+2）C．（2，3）D．（2﹣2，2）

33−33+3

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思路引领：根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．

解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），

在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM120°＝60°，

1

=2×

∴CMBC＝2，BMBC＝2，

13

∴点C=的2横坐标为﹣（=222）＝32﹣2，纵坐标为1+2＝3，

∴点C的坐标为（2﹣23，−3），3

故选：A．3

总结提升：本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，

理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．

18．（2022•西藏）如图，AB是O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OCOD，则∠ABD的度数为

1

（）⊙=2

A．90°B．95°C．100°D．105°

思路引领：连接OB，则OCOB，由OC⊥AB，则∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案．

1

解：如图：=2

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连接OB，则OB＝OD，

∵OCOD，

1

=

∴OC2OB，

1

∵OC⊥=A2B，

∴∠OBC＝30°，

∵OD∥AB，

∴∠BOD＝∠OBC＝30°，

∴∠OBD＝∠ODB＝75°，

∠ABD＝30°+75°＝105°．

故选：D．

总结提升：本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、

利用圆的半径相等是解题的关键．

19．（2022•兰州）如图，△ABC内接于O，CD是O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（）

⊙⊙

A．70°B．60°C．50°D．40°

思路引领：由CD是O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形

两锐角互余得到∠AC⊙D与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．

解：∵CD是O的直径，

∴∠CAD＝90⊙°，

∴∠ACD+∠D＝90°，

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∵∠ACD＝40°，

∴∠ADC＝∠B＝50°．

故选：C．

总结提升：此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握

数形结合思想的应用．

20．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2

所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，

则阴影部分的面积为（）

A．4.25m2B．3.25m2C．3m2D．2.25m2

思路引领π：根据S阴＝S扇形DOAπ﹣S扇形BOC，计算即可π．π

解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC

9

120�×9120�×4

2

＝=2.23560m．−360

故选：πD．

总结提升：本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S是解题的关键．

2

�𝜋

21．（2022•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展=开3图60的圆心角是（）

A．90°B．100°C．120°D．150°

思路引领：根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长

公式即可求解．

解：圆锥侧面展开图的弧长是：2×1＝2，

设圆心角的度数是n度．ππ

则2，

��×3

=π

解得18：0n＝120．

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故选：C．

总结提升：本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解

决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

22．（2022•牡丹江）如图，BD是O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（）

⊙

A．50°B．45°C．40°D．35°

思路引领：由BD是O的直径，可求得∠BCD＝90°，又由圆周角定理可得∠D＝∠A＝50°，继而求

得答案．⊙

解：∵BD是O的直径，

∴∠BCD＝90⊙°，

∵∠D＝∠A＝50°，

∴∠DBC＝90°﹣∠D＝40°．

故选：C．

总结提升：此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应

用．

23．（2022•柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（）

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A．16B．24C．48D．96

思路引π领：先求出弧AA′的π长，再根据扇形面积的π计算公式进行计算即可π．

解：弧AA′的长，就是圆锥的底面周长，即2×4＝8，

ππ

所以扇形的面积为8×12＝48，

1

×ππ

即圆锥的侧面积为248，

故选：C．π

总结提升：本题考查圆锥的计算，掌握弧长公式以及扇形面积的计算公式是正确解答的前提．

24．（2022•河池）如图，AB是O的直径，PA与O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点

P，则∠P的度数是（）⊙⊙

A．25°B．35°C．40°D．50°

思路引领：由圆周角定理可求得∠AOP的度数，由切线的性质可知∠PAO＝90°，则可求得∠P．

解：∵∠ABC＝25°，

∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，

∵PA是O的切线，

∴PA⊥A⊙B，

∴∠PAO＝90°，

∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，

故选：C．

总结提升：本题主要考查切线的性质及圆周角定理，根据圆周角定理和切线的性质分别求得∠AOP和∠

PAO的度数是解题的关键．

25．（2022•长春）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（）

⊙

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A．138°B．121°C．118°D．112°

思路引领：根据圆的内接四边形对角互补得到∠A＝180°﹣121°＝59°，根据圆周角定理即可得到∠

BOD＝2∠A的度数．

解：∵四边形ABCD是O的内接四边形，

∴∠A+∠BCD＝180°，⊙

∴∠A＝180°﹣121°＝59°，

∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，

故选：C．

总结提升：本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．

26．（2022•贵港）如图，O是△ABC的外接圆，AC是O的直径，点P在O上，若∠ACB＝40°，则

∠BPC的度数是（⊙）⊙⊙

A．40°B．45°C．50°D．55°

思路引领：根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABC＝90°，进而求出∠CAB，根据圆周角定理解答即

可．

解：∵AC是O的直径，

∴∠ABC＝90⊙°，

∴∠ACB+∠CAB＝90°，

∵∠ACB＝40°，

∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°，

由圆周角定理得：∠BPC＝∠CAB＝50°，

故选：C．

总结提升：本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．

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27．（2022•贵阳）如图，已知∠ABC＝60°，点D为BA边上一点，BD＝10，点O为线段BD的中点，以

点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BE的长是（）

A．5B．5C．5D．5

思路引领：解法一：根据题意2和等边三角形的判定，3可以得到BE的长．5

解法二：先根据直径所对的圆周角是90°，然后根据直角三角形的性质和直角三角形中30°角所对的直

角边是斜边的一半，可以求得BE的长．

解：解法一：连接OE，

由已知可得，OE＝OBBD＝5，

1

∵∠ABC＝60°，=2

∴△BOE是等边三角形，

∴BE＝OB＝5，

故选：A．

解法二：由题意可得，

BD为O的直径，

∴∠B⊙ED＝90°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠EDB＝30°，

∵BD＝10，

∴BE＝5，

故选：A．

总结提升：本题考查等边三角形的判定与性质、与圆相关的知识，解答本题的关键是明确题意，求出△

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OBE的形状．

28．（2022•聊城）如图，AB，CD是O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，

则的度数是（）⊙

��

A．30°B．25°C．20°D．10°

思路引领：根据圆周角定理和三角形外角的性质解答即可．

解：连接BC，

∵∠AOC＝80°，

∴∠ABC＝40°，

∵∠P＝30°，

∴∠BCD＝10°，

∴的度数是20°．

故选��：C．

总结提升：本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．

29．（2022•营口）如图，点A，B，C，D在O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（）

⊙

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A．4B．8C．4D．4

思路引3领：连接AB，可得△ABC是直角三角形，利2用圆周角定理可得∠ABC＝∠ADC＝30°，在Rt△

ABC中，AC＝4，利用三角函数可求出BC的长．

解：连接AB，如图所示，

∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°．

∵∠ADC＝30°，

∴∠ABC＝∠ADC＝30°．

∴在Rt△ABC中，

tan∠ABC，

𝐵

=

∴BC𝐵．

𝐵

∵AC＝=4𝑡，�∠�𝐵

∴BC4．

4

故选：=A�．��30°=3

总结提升：本题考查了圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角相等”是解题的关键．

30．（2022•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于O，点M在上，则∠CME的度数为（）

⊙��

A．30°B．36°C．45°D．60°

思路引领：由正六边形的性质得出∠COE＝120°，由圆周角定理求出∠CME＝60°．

解：连接OC，OD，OE，

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∵多边形ABCDEF是正六边形，

∴∠COD＝∠DOE＝60°，

∴∠COE＝2∠COD＝120°，

∴∠CME∠COE＝60°，

1

故选：D．=2

总结提升：本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠

COM＝120°是解决问题的关键．

31．（2022•铜仁市）如图，OA，OB是O的两条半径，点C在O上，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为

（）⊙⊙

A．30°B．40°C．50°D．60°

思路引领：根据圆周角定理即可求解．

解：∵OA，OB是O的两条半径，点C在O上，∠AOB＝80°，

⊙⊙

∴∠C40°．

1

故选：=B．2∠���=

总结提升：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等

于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．

32．（2022•铜仁市）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（）

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A．9B．6C．3D．12

思路引领：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE＝CE，得到弓形BE的面

积＝弓形CE的面积，则阴影．

△���△�𝐵△𝐵�11

解：设AC与半圆交于点�E，半=圆�的圆心=为�O，连−�接BE，=O2E×，6×6−2×6×3=9

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠OCE＝45°，

∵OE＝OC，

∴∠OEC＝∠OCE＝45°，

∴∠EOC＝90°，

∴OE垂直平分BC，

∴BE＝CE，

∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，

∴阴影，

△���△�𝐵△𝐵�11

故选�：A=．�=�−�=2×6×6−2×6×3=9

总结提升：本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，

熟知相关知识是解题的关键．

33．（2022•深圳）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，DE为圆的直径，BC为圆O切线，C为

切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（）

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A．1：3B．1：2C．：2D．（1）：1

思路引领：根据圆周角定理，切线的性质以及等腰2三角形的判定和性质，可2−以先证明△ABC和△COD，

再由∴S△COD＝S△COES△DCE，进而得出S△ABCS△DCE，即△ABC和△CDE面积之比为1：2．

11

解：解法一：如图，连=接2OC，=2

∵BC是O的切线，OC为半径，

∴OC⊥B⊙C，

即∠OCB＝90°，

∴∠COD+∠OBC＝90°，

又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠OBC＝90°，

∴∠ABC＝∠COD，

∵DE是O的直径，

∴∠DCE⊙＝90°，即∠OCE+∠OCD＝90°，

又∠A+∠E＝90°，而∠E＝∠OCE，

∴∠A＝∠OCD，

在△ABC和△COD中，

，

∠�=∠𝐵�

∠�𝐵=∠�𝐵

∴�△�=AB�C�≌△COD（AAS），

又∵EO＝DO，

∴S△COD＝S△COES△DCE，

1

=2

∴S△ABCS△DCE，

1

即△ABC=和2△CDE面积之比为1：2；

解法二：如图，连接OC，过点B作BF⊥AC，

∵BC是O的切线，OC为半径，

∴OC⊥B⊙C，

即∠OCB＝90°，

∴∠COD+∠BCD＝90°，

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又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠BCD＝90°，

∴∠ACB＝∠COD，

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

又∵∠A+∠E＝90°＝∠ODC+∠E，

∴∠A＝∠ACB，

∴AB＝BC，

∴AFACCD，

11

∵△A=BF2∽△=D2EC，

∴，

𝐵𝐵1

==

∴△𝐵ABC�和�△C2DE面积之比（AC•BF）：（CD•EC）

11

＝BF：EC22

＝1：2．

故选：B．

总结提升：本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及

全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．

34．（2022•广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE

＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（）

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A．圆柱的底面积为4m2

B．圆柱的侧面积为10πm2

C．圆锥的母线AB长为π2.25m

D．圆锥的侧面积为5m2

思路引领：利用圆的面π积公式对A选项进行判断；利用圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高可对B选项进

行判断；根据勾股定理可对C选项进行判断；由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆

锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式可对D选项进行判断．

解：∵底面圆半径DE＝2m，

∴圆柱的底面积为4m2，所以A选项不符合题意；

∵圆柱的高CD＝2.5πm，

∴圆柱的侧面积＝2×2×2.5＝10（m2），所以B选项不符合题意；

∵底面圆半径DE＝π2m，即BC＝2mπ，圆锥的高AC＝1.5m，

∴圆锥的母线长AB．2.5（m），所以C选项符合题意；

22

=15+2=

∴圆锥的侧面积2×2×2.5＝5（m2），所以D选项不符合题意．

1

故选：C．=2×ππ

总结提升：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，

扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆柱的计算．

35．（2022•遵义）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E（E不与

A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB＝1，则图中

阴影部分的面积为（）

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A．B．C．D．

�1�1�1�1

−−−−

思路8引领8：图中阴影部分的8面积4等于扇形DOC的2面积8减去△DOC的面2积．4

解：以OD为半径作弧DN，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OB＝OD＝OC，∠DOC＝90°，