专题3 选择题重点出题方向四边形中的计算专项训练（解析版）

专题3选择题重点出题方向四边形中的计算专项训练（解析版）

模块一2022中考真题训练

一．试题（共60小题）

1．（2022•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF

＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（）

A．100°B．80°C．70°D．60°

思路引领：由平行四边形的性质可得AB∥DC，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF的度数，依

据平行线的性质，即可得到∠EGC的度数．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，

∴∠AEG＝∠EGC，

∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，

∴∠GEF＝30°，

∴∠GEA＝80°，

∴∠EGC＝80°．

故选：B．

总结提升：此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．

2．（2022•绵阳）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠

EHF＝60°，∠GHF＝45°，若AH＝2，AD＝5，则四边形EFGH的周长为（）

+3

A．4（2）B．4（1）C．8（）D．4（2）

思路引领+：先6构造15°的直角2三+角形3+，求得15°的2余+弦和3正切值；作EK⊥2+FH，6+可求得EH：EF＝2：

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；作∠ARH＝∠BFT＝15°，分别交直线AB于R和T，构造“一线三等角”，先求得FT的长，进而

根6据相似三角形求得ER，进而求得AE，于是得出∠AEH＝30°，进一步求得结果．

解：如图1，

Rt△PMN中，∠P＝15°，NQ＝PQ，∠MQN＝30°，

设MN＝1，则PQ＝NQ＝2，MQ，PN，

=3=6+2

∴cos15°，tan15°＝2，

6+2

如图2，=4−3

作EK⊥FH于K，作∠AHR＝∠BFT＝15°，分别交直线AB于R和T，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠C，

在△AEH与△CGF中，

，

𝐴=𝐶

∠�=∠�

∴�△�A=E�H�≌△CGF（SAS），

∴EH＝GF，

同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，

∴四边形EFGH是平行四边形，

设HK＝a，则EH＝2a，EK，

∴EFEKa，=3�

∵∠E=AH2＝∠=EBF6＝90°，

∴∠R＝∠T＝75°，

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∴∠R＝∠T＝∠HEF＝75°，

可得：FT2，AR＝AH•tan15°＝4﹣2，△FTE∽△ERH，

𝐶3+3

=𝑐�15°=6+2=63

∴，4

����

=

∴����，

266

=

∴E�R�＝4，2

∴AE＝ER﹣AR＝2，

3

∴tan∠AEH，

23

==

∴∠AEH＝30°2，33

∴HG＝2AH＝4，

∵∠BEF＝180°﹣∠AEH﹣∠HEF＝75°，

∴∠BEF＝∠T，

∴EF＝FT＝2，

∴EH+EF＝4+262（2），

∴2（EH+EF）＝64（=2+），6

∴四边形EFGH的周长+为：64（2），

故答案为：A．+6

总结提升：本题考查了矩形性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，构造15°特殊角的图形及其

求15°的函数值，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“一线三等角”

及构造15°直角三角形求其三角函数值．

3．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC

上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠

AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（）

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A．4＜m＜3B．3＜m＜4C．2＜m＜3D．4＜m＜4

思路引领：先+求得2点A，C，−B三2个点坐标，然后求−得A2B和AC的解析式，再表示+出2EF的长，进而表示

出点P的横坐标，根据不等式的性质求得结果．

解：可得C（，），A（4，0），B（4，），

∴直线AB的解2析式为2：y＝x﹣4，+22

∴x＝y+4，

直线AC的解析式为：y，

242

=�−

∴x＝4+y﹣2y，2−42−4

∴点F的横坐2标为：y+4，点E的横坐标为：4+y﹣2y，

∴EF＝（y+4）﹣（4+y﹣2y）＝2，2

∵EP＝3PF，22�

∴PFEFy，

12

==

∴点P的4横坐标2为：y+4y，

2

∵0＜y＜，−2

2

∴4＜y+4y＜3，

2

故答案为：−A2．+2

总结提升：本题考查了等腰直角三角形性质，求一次函数的解析式，不等式性质等知识，解决问题的关

键是表示出点P的横坐标．

4．（2022•益阳）如图，在ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，

交AB的延长线于点F，▱则BF的长为（）

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A．5B．4C．3D．2

思路引领：根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，则BE＝5，再判定四边形DEFC是平

行四边形，则DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF．

解：在ABCD中，AB＝8，

∴CD＝▱AB＝8，AB∥CD，

∵AE＝3，

∴BE＝AB﹣AE＝5，

∵CF∥DE，

∴四边形DEFC是平行四边形，

∴DC＝EF＝8，

∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．

故选：C．

总结提升：本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键，平

行四边形的判定；（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；（2）一组对边平行且相

等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四

边形是平行四边形（两组对边平行判定）；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

5．（2022•湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，

OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（）

3

A．4B．4C．8D．8

思路引领：在Rt△BDH中先求3得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，3再根据勾股定理求得CD长．

解：∵DH⊥AB，

∴∠BHD＝90°，

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∵四边形ABCD是菱形，

∴OB＝OD，OC＝OA，AC⊥BD，

1

=��

∴OH＝OB＝OD（2直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），

1

∴OD＝4，BD＝=8，2𝐵

由得，

1

��⋅𝐵=323

232，

1

×8⋅��=3

2∴AC＝8，

3

∴OC4，

1

��=3

∴CD=28，

22

故选C=．��+𝐵=

总结提升：本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的

长．

6．（2022•日照）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯

底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（）

A．27°B．53°C．57°D．63°

思路引领：根据题意可知AE∥BF，∠EAB＝∠ABF，∠ABF+27°＝90°，等量代换求出∠EAB，再根据

平行线的性质求出∠AED．

解：如图，

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∵AE∥BF，

∴∠EAB＝∠ABF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，∠ABC＝90°，

∴∠ABF+27°＝90°，

∴∠ABF＝63°，

∴∠EAB＝63°，

∵AB∥CD，

∴∠AED＝∠EAB＝63°．

故选：D．

总结提升：本题结合矩形考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质得出角的相等或互补关系是解题

的关键．

7．（2022•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝

60°，BD＝4，则OE＝（）

3

A．4B．2C．2D．

思路引领：根据菱形的性质可3得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝23，再利用含30°角的直角三角

形的性质可得答案．3

解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，

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∴BO＝2，

3

∴AO2，

3

∴AB＝=23AO�＝�4=，

∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，

∴OEAD＝2，

1

故选：=C2．

总结提升：本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是

解题的关键．

8．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，

1

两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若A2B＝3，则CD的长是

（）

A．6B．3C．1.5D．1

思路引领：根据题意可知：MN是线段AC的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D为AB的中

点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD的长．

解：由已知可得，

MN是线段AC的垂直平分线，

设AC与MN的交点为E，

∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，

∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，

∴ED∥CB，

∴△AED∽△ACB，

∴，

𝐴𝐵

=

����

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∴，

1𝐵

=

∴A2D��AB，

1

∴点D=为2AB的中点，

∵AB＝3，∠ACB＝90°，

∴CDAB＝1.5，

1

故选：=C2．

总结提升：本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，解

答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

9．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连

接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（）

A．5B．4C．6D．8

思路引领：利用勾股定理求得AB＝20；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；

结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BFCD．

1

解：在Rt△ABC中，=2

∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，

∴AB20．

22

∵CD=为中��线，+��=

∴CDAB＝10．

1

=2

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∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，

∴BF是△CDE的中位线，

则BFCD＝5．

1

故选：=A2．

总结提升：本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是

推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．

10．（2022•广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于

点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）

A．B．C．2D．

636−2

−3

思路引2领：连接EF，由正方2形ABCD的面积为3，CE＝1，可得DE21，tan∠EBC，

𝐴13

=3−===

即得∠EBC＝30°，又AF平分∠ABE，可得∠ABF∠ABE＝30°，故AF1，DF＝AD�﹣�AF331，

1��

====3−

23

可知EFDE（1），而M，N分别是BE，BF的中点，即得MNEF．

16−2

解：连接=EF2，如=图：2×3−=6−2=2=2

∵正方形ABCD的面积为3，

∴AB＝BC＝CD＝AD，

∵CE＝1，=3

∴DE1，tan∠EBC，

𝐴13

=3−===

∴∠EBC＝30°，��33

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∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，

∵AF平分∠ABE，

∴∠ABF∠ABE＝30°，

1

=

在Rt△ABF2中，AF1，

��

==

∴DF＝AD﹣AF13，

∴DE＝DF，△D=EF3是−等腰直角三角形，

∴EFDE（1），

∵M，=N分2别是=B2E×，BF3的−中点=，6−2

∴MN是△BEF的中位线，

∴MNEF．

16−2

故选：=D2．=2

总结提升：本题考查正方形性质及应用，涉及含30°角的直角三角形三边关系，等腰直角三角形三边关

系，解题的关键是根据已知求得∠EBC＝30°．

11．（2022•河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（）

A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠DAC＝∠BAC

思路引领：根据菱形的性质即可一一判断．

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，AC⊥BD，

故A、B、D正确，无法得出AC＝BD，

故选：C．

总结提升：本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．

12．（2022•贵港）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，动点E在AB边上（与点A，B均不

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重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AF＝BE，则下列结论错误的是

（）

A．DF＝CEB．∠BGC＝120°

C．AF2＝EG•ECD．AG的最小值为

22

思路引领：根据菱形的性质，利用SAS证明△ADF≌△BCE，可得3DF＝CE，故A正确；利用菱形的轴

对称知，△BAF≌△DAF，得∠ADF＝∠ABF，则∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣∠CBE

＝120°，故B正确，利用△BEG∽△CEB，得，且AF＝BE，可得C正确，利用定角对定边可

𝐴��

=

得点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，𝐴连接�A�O，交O于G，此时AG最小，AO是BC的垂

直平分线，利用含30°角的直角三角形的性质可得AG的最小⊙值，从而解决问题．

解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴∠BAD＝120°，BC＝AD，∠DAC∠BAD＝60°，

1

∴∠DAF＝∠CBE，=2

∵BE＝AF，

∴△ADF≌△BCE（SAS），

∴DF＝CE，∠BCE＝∠ADF，故A正确，不符合题意；

∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，

∴△BAF≌△DAF（SAS），

∴∠ADF＝∠ABF，

∴∠ABF＝∠BCE，

∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣∠CBE＝120°，故B正确，不符合题意；

∵∠EBG＝∠ECB，∠BEG＝∠CEB，

∴△BEG∽△CEB，

∴，

𝐴��

2=

∴B𝐴E＝C�E�×EG，

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∵BE＝AF，

∴AF2＝EG•EC，故C正确，不符合题意；

以BC为底边，在BC的下方作等腰△OBC，使∠OBC＝∠OCB＝30°，

∵∠BGC＝120°，BC＝1，

∴点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，

连接AO，交O于G，此时AG最小，AO是BC的垂直平分线，

∵OB＝OC，⊙∠BOC＝120°，

∴∠BCO＝30°，

∴∠ACO＝90°，

∴∠OAC＝30°，

∴OC，

3

=

∴AO＝23OC，

23

=

∴AG的最小值为3AO﹣OC，故D错误，符合题意．

3

故选：D．=3

总结提升：本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用定

边对定角确定点G的运动路径是解题的关键．

13．（2022•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的

长度为（）

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A．B．C．D．

6

62223

思路引2领：首先利用正方形的性质可以求出AC，然后利用等边三角形的性质可求出OE．

解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，

∴AC＝2，

∵O为正方2形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形，

∴∠AOE＝90°，

∴AC＝AE＝2，AO，

∴OE2．=2

故选：=B．2×3=6

总结提升：本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了等边三角形的性质，有一定的综合性．

14．（2022•呼和浩特）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一

点，且∠DEF＝45°，则AF：FC的值是（）

A．3B．1C．21D．2

5+2++3

思路引领：连接DB，交AC于点O，连接OE，根据菱形的性质可得∠DAC∠DAB＝30°，AC⊥BD，

1

=

ODBD，AC＝2AO，AB＝AD，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得D2B＝AD，再根据直角三角

1

=

形斜边2上的中线可得OE＝AE＝DEAD，然后设OE＝AE＝DE＝a，则AD＝BD＝2a，在Rt△AOD中，

1

利用勾股定理求出AO的长，从而求=出2AC的长，最后利用等腰三角形的性质，以及三角形的外角求出∠

OEF＝∠EFO＝15°，从而可得OE＝OF＝a，即可求出AF，CF的长，进行计算即可解答．

解：连接DB，交AC于点O，连接OE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠DAC∠DAB＝30°，AC⊥BD，ODBD，AC＝2AO，AB＝AD，

11

=2=2

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∵∠DAB＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴DB＝AD，

∵∠AOD＝90°，点E是DA中点，

∴OE＝AE＝DEAD，

1

∴设OE＝AE＝D=E2＝a，

∴AD＝BD＝2a，

∴ODBD＝a，

1

=

在Rt△A2OD中，AOa，

2222

∴AC＝2AO＝2a，=𝐵−��=(2�)−�=3

∵EA＝EO，3

∴∠EAO＝∠EOA＝30°，

∴∠DEO＝∠EAO+∠EOA＝60°，

∵∠DEF＝45°，

∴∠OEF＝∠DEO﹣∠DEF＝15°，

∴∠EFO＝∠EOA﹣∠OEF＝15°，

∴∠OEF＝∠EFO＝15°，

∴OE＝OF＝a，

∴AF＝AO+OFa+a，

∴CF＝AC﹣AF=3a﹣a，

=3

∴2，

𝐶3�+�3+1

===+3

故选𝐶：D．3�−�3−1

总结提升：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适

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当的辅助线是解题的关键．

15．（2022•包头）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE＝AB，

AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（）

A．2OCEFB．OC＝2EFC．2OCEFD．OC＝EF

思路引领=：过5点O作OH⊥B5C于点H，得出四边形A=BFE3是正方形，再根据线段等量关系得出CF＝EF

＝2OH，根据勾股定理得出OCOH，即可得出结论．

解：过点O作OH⊥BC于点H，=5

∵在矩形ABCD中，EF∥AB，AE＝AB，

∴四边形ABFE是正方形，

∴OHEFBF＝BH＝HF，

11

∵BF＝=22CF，=2

∴CH＝EF＝2OH，

∴OCOH，

2222

即2O=C𝐴EF+，𝐴=𝐴+(2𝐴)=5

故选：A=．5

总结提升：本题主要考查矩形和正方形的判定和性质，熟练掌握矩形和正方形的判定和性质及勾股定理

等知识是解题的关键．

16．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设

DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）

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A．B．2C．2D．4

思路引2领：连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的2和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC

四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．

解：如图，连接AE，

∵四边形DEFG是正方形，

∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠ADC＝90°，

∴∠ADE＝∠CDG，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴AE＝CG，

∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，

∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，

连接AC，

∴d1+d2+d3最小值为AC，

在Rt△ABC中，ACAB＝2，

∴d1+d2+d3最小＝AC=＝2，2

故选：C．2

总结提升：此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．

17．（2022•无锡）如图，在ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则

��

▱

的值是（）𝐵

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A．B．C．D．

2132

思路3引领：由等腰三角形的2性质可求∠ADB＝30°2，∠DAB＝75°，由直2角三角形的性质和勾股定理可

求CD，DE的长，即可求解．

解：如图，过点B作BH⊥AD于H，

设∠ADB＝x，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，

∴∠CBD＝∠ADB＝x，

∵AD＝BD，

∴∠DBA＝∠DAB，

180°−�

=

∴x105°，2

180°−�

∴x＝+30°2，=

∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，

∵BH⊥AD，

∴BD＝2BH，DHBH，

∵∠EBA＝60°，=∠D3AB＝75°，

∴∠AEB＝45°，

∴∠AEB＝∠EBH＝45°，

∴EH＝BH，

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∴DEBH﹣BH＝（1）BH，

=33−

∵AB（）BH＝CD，

2222

=𝐴+𝐴=𝐴+(2𝐴−3𝐴)=6−2

∴，

��2

=

故选𝐵：D．2

总结提升：本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠ADB＝30°是解题的

关键．

18．（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，

垂足为F，则DF的长为（）

A．22B．5C．3D．1

3

思路引3领+：方法一：如图，−延长3DA、BC交于点G−，利3用正方形性质和等3边+三角形性质可得：∠BAG＝

90°，AB＝2，∠ABC＝60°，运用解直角三角形可得AG＝2，DG＝2+2，再求得∠G＝30°，根

据直角三角形性质得出答案．33

方法二：过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，利用解直角三角形可得EH＝1，BH，再

证明△BEH≌△DEG，可得DG＝BH，即可求得答案．=3

解：方法一：如图，延长DA、BC交=于点3G，

∵四边形ABED是正方形，

∴∠BAD＝90°，AD＝AB，

∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，

∵△ABC是边长为2的等边三角形，

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∴AB＝2，∠ABC＝60°，

∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，

∴DG＝AD+AG＝2+2，3

∵∠G＝90°﹣60°＝330°，DF⊥BC，

∴DFDG（2+2）＝1，

11

故选D=．2=2×3+3

方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，

则∠BHE＝∠DGE＝90°，

∵△ABC是边长为2的等边三角形，

∴AB＝2，∠ABC＝60°，

∵四边形ABED是正方形，

∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，

∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，

∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝21，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°，

1

∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，×2==3

∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，

∴四边形EGFH是矩形，

∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，

∵∠DEG+∠BEG＝90°，

∴∠BEH＝∠DEG，

在△BEH和△DEG中，

，

∠𝐴�=∠���

∠𝐴�=∠���

∴�△�=BE�H�≌△DEG（AAS），

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∴DG＝BH，

∴DF＝DG+=FG31，

故选：D．=3+

总结提升：本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形，

题目的综合性很好，难度不大．

19．（2022•安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝，则∠2＝（）

α

A．﹣90°B．﹣45°C．180°﹣D．270°﹣

思路α引领：根据矩形的性质α和三角形外角的性质，可以用α含的式子表示出∠2．α

解：由图可得，α

∠1＝90°+∠3，

∵∠1＝，

∴∠3＝α﹣90°，

∵∠3+∠α2＝90°，

∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（﹣90°）＝90°﹣+90°＝180°﹣，

故选：C．ααα

总结提升：本题考查矩形的性质、三角形外角的性质，解答本题的关键是明确题意，用含的代数式表示

出∠2．α

20．（2022•舟山）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8．点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF

∥AB，则四边形AEFG的周长是（）

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A．32B．24C．16D．8

思路引领：根据EF∥AC，GF∥AB，可以得到四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，

再根据AB＝AC＝8和等量代换，即可求得四边形AEFG的周长．

解：∵EF∥AC，GF∥AB，

∴四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，

∴EB＝EF，FG＝GC，

∵四边形AEFG的周长是AE+EF+FG+AG，

∴四边形AEFG的周长是AE+EB+GC+AG＝AB+AC，

∵AB＝AC＝8，

∴四边形AEFG的周长是AB+AC＝8+8＝16，

故选：C．

总结提升：本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，将平

行四边形的周长转化为AB和AC的关系．

21．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，

若BE＝AF，则∠CDF的度数为（）

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A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°

思路引领：根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF

的度数．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，

在△DAF和△ABE中，

，

𝐵=��

∠�𝐶=∠�𝐴

△�D�A=F�≌�△ABE（SAS），

∠ADF＝∠BAE，

∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，

∴∠BAE∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，

1

∴∠ADF=＝22.5°，

∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，

故选：C．

总结提升：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出∠ADF的度数．

22．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，

且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）

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A．50°B．55°C．65°D．70°

思路引领：利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和

全等三角形的判定与性质解答即可．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．

∵OE＝OF，

∴△OEF为等腰直角三角形，

∴∠OEF＝∠OFE＝45°，

∵∠AFE＝25°，

∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，

∴∠FAO＝20°．

在△AOF和△BOE中，

，

��=��

∠�𝐶=∠�𝐴=90°

∴�△�=AO�F�≌△BOE（SAS）．

∴∠FAO＝∠EBO＝20°，

∵OB＝OC，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．

故选：C．

总结提升：本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，

三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．

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模块二2023中考押题预测

23．（2022•泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE

的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为

（）

A．B．C．D．1

256

思路3引领：根据正方形的性6质、相似三角形的判定7和性质，可以求得CN和BN的长，然后根据BC＝3，

即可求得MN的长．

解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，

∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，

∴四边形BHFK是正方形，

∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，

∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，

∴∠DEA＝∠EFH，

∵∠A＝∠EHF＝90°，

∴△DAE∽△EHF，

∴，

𝐵𝐴

=

∵�正�方形�A�BCD的边长为3，BE＝2AE，

∴AE＝1，BE＝2，

设FH＝a，则BH＝a，

∴，

31

=

解得2+�a＝1；�

∵FK⊥CB，DC⊥CB，

∴△DCN∽△FKN，

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∴，

��𝐶

=

∵�B�C＝3�，�BK＝1，

∴CK＝2，

设CN＝b，则NK＝2﹣b，

∴，

3�

=

解得1b2−�，

3

=

即CN2，

3

∵∠A=＝2∠EBM，∠AED＝∠BME，

∴△ADE∽△BEM，

∴，

𝐵𝐴

=

∴𝐴𝐵，

31

=

解得2BM𝐵，

2

=

∴MN＝BC3﹣CN﹣BM＝3，

325

故选：B．−2−3=6

总结提升：本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形

结合的思想解答．

24．（2023•雁塔区一模）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、

BE，若CD＝4，AE＝5，则DE的长为（）

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A．2B．3C．4D．5

思路引领：先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AD＝4，再利用勾股定理求出DE的长即可．

解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，CD＝4，

∴，

1

∵D𝐵E⊥=A�B�，=AE�＝�5=，2��=4

∴，

22

故选��：=B．𝐴−𝐵=3

总结提升：本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，正确求出AD＝4是解题的关键．

25．（2022•槐荫区二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是边长为2的正方形，点A在y轴上

运动，点B在x轴上运动，点E为对角线的交点，在运动过程中点E到y轴的最大距离是（）

A．B．1C．D．2

2

2

思路引2领：过E作EF⊥y轴于F，根据四边形ABCD是边长为2的正方形，可得AE，由垂线段最

短可得EF＜，即得A与F重合时，E到y轴距离最大，最大为．=2

解：过E作EF2⊥y轴于F，如图：2

∵四边形ABCD是边长为2的正方形，

∴AC＝2，AE，

若A、E、2F构成=三角2形，则直角边EF小于AE，即EF＜，

2

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∴当A与F重合，即EA⊥y轴时，EF＝AE，如图：

=2

此时E到y轴距离最大，最大为；

故选：C．2

总结提升：本题考查正方形性质及应用，解题的关键是垂线段最短．

26．（2022•市南区校级二模）如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE

⊥AP于点E．连接EC，若CE＝CD，则△CDE的面积是（）

A．18B．C．14.4D．

思路引领：根据正方形的性4质1和3全等三角形的判定可以得到△ADE和△6DC3F全等，然后即可得到CF和

DE的关系，根据等腰三角形的性质可以得到DF和DE的关系，再根据勾股定理可以得到DF2的值，然

后即可计算出△CDE的面积．

解：作CF⊥ED于点F，如右图所示，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，∠CDA＝90°，

∴∠ADE+∠FDC＝90°，

∵