专题13 二次函数-费马点求最小值（解析版）

第十三讲二次函数--费马点最值

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必备知识点

费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点

【结论】

如图，点M为锐角△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°

时，MA+MB+MC的值最小

【证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

∵△ABE为等边三角形，

∴AB＝BE，∠ABE＝60°．

而∠MBN＝60°，

∴∠ABM＝∠EBN．

在△AMB与△ENB中，

∵，

∴△AMB≌△ENB（SAS）．

连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．

∵∠MBN＝60°，BM＝BN，

∴△BMN为等边三角形．

∴BM＝MN．

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．

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∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．

此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；

∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；

∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．

分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点

M即为△ABC的费马点。

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点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值

解决办法：

第一步，选定固定不变线段；

第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。

xz

如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=y(APBPCP)，如图所示，B、P、P2、A2四点共线时，取

yy

得最小值。

例：点P为锐角△ABC内任意一点，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，连接AP、BP、CP，求3AP+4BP+5CP

的最小值

【分析】将△APC绕C点顺时针转90°到△A1P1C，过P2作P1A1的平行线，交CA1于点A2，且满足A2P2：

P1A1=3：4.

在Rt△PCP2中，设PC=a，由△CA2P2∽△CA1P1得CP2=3a/4，则PP2=5a/4。

35

∴3AP+4BP+5CP=4(APBPCP)

44

∴B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。接触BA2长度即可。

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方法点拨

一、题型特征：PA+PB+PC（P为动点）

①一动点，三定点

②以三角形的三边向外作等边三角形的，再分别将所作等边三角形最外的

顶点与已知三角形且与所作等边三角形相对的顶点相连，连线的交点即为

费马点。

③同时线段前可以有不为1的系数出现，即：加权费马点

二、模型本质：两点之间，线段最短。

例题演练

1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，

直线y＝kx+（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．

（1）求抛物线与直线的解析式；

（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH⊥AR于点H，过点P做PQ∥x轴

交抛物线于点Q，过点P做PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝2PQ，点

I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，

当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值．

（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN⊥x轴，交抛物

线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点

M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接

写出点D的坐标．

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【解答】解（1）∵y＝ax2+bx﹣8与y轴的交点为C，令x＝0，y＝﹣8

∴点C（0，﹣8）

∴OC＝8

∵OC＝2OA，OB＝3OA

∴OA＝4，OB＝12

∴A（﹣4，0）B（12，0）

将点A代入直线解析式可得0＝﹣4k+

解得k＝

∴y＝x+

将点A和点B代入抛物线中

解得a＝，b＝﹣

∴y＝x2﹣x﹣8

（2）设点P的坐标为（p，p2﹣p﹣8）

﹣＝4

∴抛物线的对称轴为直线x＝4

∴点Q（8﹣p，）

∴PQ＝2p﹣8

∵PK＝2PQ

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∴PK＝4p﹣16

如图1所示，延长PK交直线AR于点M，则M（p，）

∴PM＝﹣（）＝

∵∠PHM＝∠MH′A，∠HMP＝∠AMH′

∴∠HPM＝∠MAH′

∵直线解析式为y＝，令x＝0，y＝．

∴OE＝

∵OA＝4

根据勾股定理得∴AE＝

∴cos∠EAO＝＝

∴cos∠HPM＝＝＝

∴PH＝

∵I＝PH﹣PQ

∴I＝（）﹣（2p﹣8）＝﹣（p﹣5）2+85

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∴当p＝5时，I取最大值此时点P（5，）

∴PQ＝2，PK＝

如图2所示，连接QK，以PQ为边向下做等边三角形PQD，连接KD，在KD取I，

使∠PID＝60°，以PI为边做等边三角形IPF，连接IQ

∵IP＝PF，PQ＝PD，∠IPQ＝∠FPD

∴△IPQ≌△FPD

∴DF＝IQ

∴IP+IQ+IK＝IF+FD+IK＝DK，此时m最小

过点D作DN垂直于KP

∵∠KPD＝∠KPQ+∠QPD＝150°

∴∠PDN＝30°

∵DP＝PQ＝2

∴DN＝1，根据勾股定理得PN＝

在△KDN中，KN＝5，DN＝1，根据勾股定理得KD＝2

∴m的最小值为2

（3）设NM与x轴交于点J

∵AM＝13，cos∠MAJ＝

∴AJ＝12，根据勾股定理得MJ＝5

∵OA＝4，∴OJ＝8

∴M（8，5）

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当x＝8时，代入抛物线中，可得y＝﹣8

∴N（8，﹣8），MN＝13

在△AJN中，根据勾股定理得AN＝4

∵点D为x轴上的动点，根据翻折，MN′＝13，所以点N′在以M为圆心，13个单位长度为半

径的圆上运动，如图3所示

①当N′落在AN的垂直平分线上时

tan∠MNA＝＝

∴tan∠MGJ＝，∵MJ＝5

∴JG＝，根据勾股定理得MG＝

∵MD1为∠GMJ的角平分线

∴

∴D1J＝∴D1（，0）

∵MD4也为角平分线

∴∠D1MD4＝90°

2

根据射影定理得MJ＝JD1•JD4

∴JD4＝

∴D4（，0）

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②当AN＝AN′时

D2与点A重合

∴D2（﹣4，0）

∵MD3为角平分线

∴

∴JD3＝

∴D3（，0）

综上所述D1（，0），D2（﹣4，0），D3（，0），D4（，0）．

2．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4的对称轴为x＝1，与y交于点A，与x轴负半轴交于点C，作平行

四边形ABOC并将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′O′C′．

（1）求抛物线的解析式和点A、C的坐标；

（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′O′C′重叠部分△OC′D的周长；

（3）若点P为△AOC内一点，直接写出PA+PC+PO的最小值（结果可以不化简）以及直线CP

的解析式．

【解答】解：（1）由已知得，x＝﹣＝1，则b＝1，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4，

∴A（0，4），令y＝0，得﹣x2+x+4＝0，

∴x1＝﹣2，x2＝4．

（2）在ABCD中，∠OAB＝∠AOC＝90°，则AB∥CO，

∴OB＝▱＝2，OC′＝OC＝2，

∴∠OC′D＝∠OCA＝∠B，∠C′OD＝∠BOA，

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∴△C′OD∽△BOA，

∴＝＝＝，

∵△AOB的周长为6+2，

∴△C′OD的周长为（6+2）×＝2+；

（3）此点位费马点，设三角形AOB的三边为a，b，c，

∵OC＝2，OA＝4，AC＝＝2，

PA+PO+PC＝

＝2．

直线CP解析式为y＝（﹣1）x+2﹣2．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠ODB＝30°，

OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点（A在F

的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；

（3）点P为△ABO内的一个动点，设m＝PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最

小值时，线段AP的

长．

【解答】解：（1）过E作EG⊥OD于G（1分）

∵∠BOD＝∠EGD＝90°，∠D＝∠D，

∴△BOD∽△EGD，

∵点B（0，2），∠ODB＝30°，

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可得OB＝2，；

∵E为BD中点，

∴

∴EG＝1，

∴

∴点E的坐标为（2分）

∵抛物线经过B（0，2）、两点，

∴，

可得；

∴抛物线的解析式为；（3分）

（2）∵抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧，

∴A点的坐标为

∴，

∴在△AGE中，∠AGE＝90°，（4分）

过点O作OK⊥AE于K，

可得△AOK∽△AEG

∴

∴

∴

∴

∵△OMN是等边三角形，

∴∠NMO＝60°

∴；

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∴，或；（6分）

（写出一个给1分）

（3）如图；

以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′；

易证OE＝OB＝2，∠OBE＝60°，则△OBE是等边三角形；

连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；

∵OA＝OB′，∠B′OB＝∠AOE＝150°，OB＝OE，

∴△AOE≌△B′OB；

∴∠B′BO＝∠AEO；

∵∠BOP＝∠EOP′，而∠BOE＝60°，

∴∠POP'＝60°，

∴△POP′为等边三角形，

∴OP＝PP′，

∴PA+PB+PO＝AP+OP′+P′E＝AE；

即m最小＝AE＝；

如图；作正△OBE的外接圆Q，

根据费马点的性质知∠BPO＝⊙120°，则∠PBO+∠BOP＝60°，而∠EBO＝∠EOB＝60°；

∴∠PBE+∠POE＝180°，∠BPO+∠BEO＝180°；

即B、P、O、E四点共圆；

易求得Q（，1），则H（，0）；

∴AH＝；

由割线定理得：AP•AE＝OA•AH，

即：AP＝OA•AH÷AE＝×÷＝．

故：m可以取到的最小值为

当m取得最小值时，线段AP的长为．

（如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分）

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4．如图，抛物线y＝ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数

图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称

轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4

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的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．

（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内

部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理

由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），

∴0＝a+b+

0＝25a+5b+

∴a＝，b＝﹣3

∴解析式y＝x2﹣3x+

（2）当y＝0，则0＝x2﹣3x+

∴x1＝5，x2＝1

∴A（1，0），B（5，0）

∴对称轴直线x＝3，顶点坐标（3，﹣2），AB＝4

∵抛物线与y轴相交于点C．

∴C（0，）

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如图1

①如AB为菱形的边，则EF∥AB，EF＝AB＝4，且E的横坐标为3

∴F的横坐标为7或﹣1

∵AE＝AB＝4，AM＝2，EM⊥AB

∴EM＝2

∴F（7，2），或（﹣1，2）

∴当x＝7，y＝×49﹣7×3+＝6

∴点F到二次函数图象的垂直距离6﹣2

②如AB为对角线，如图2

∵AEBF是菱形，AF＝BF＝4

∴AB⊥EF，EM＝MF＝2

∴F（3，﹣2）

∴点F到二次函数图象的垂直距离﹣2+2

（3）当F（3，﹣2）时，点F到二次函数图象的垂直距离最小

如图3，以BQ为边作等边三角形BQD，将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置，连接AN，

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作PN⊥AB于P

∵等边三角形BQD

∴QD＝QB＝BD，

∵将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置

∴NB＝BF＝4，∠FBN＝60°，DN＝FQ

∵AQ+BQ+FQ＝AQ+QD+DN

∴当AQ，QD，DN共线时AQ+BQ+FQ的和最短，即最短值为AN的长．

∵AF＝BF＝4＝AB，

∴∠ABF＝60°

∴∠NBP＝60°且BN＝4，

∴BP＝2，PN＝2

∴AP＝6

在Rt△ANP中，AN＝＝4

∴AQ+BQ+FQ的和最短值为4．

5．如图，已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴

交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．

（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为．

（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求

点P的坐标．

（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，

沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位运动到点D停止，

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问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？

（4）连接BC，点M为△ABC内一点，若∠ABC＝60°，求MA+MB+MC的最小值为

．

【解答】解：（1）已知y＝a（x+3）（x﹣1），

令y＝0，得a（x+3）（x﹣1）＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴A（﹣3，0）、B（1，0），

∵直线y＝﹣x+b经过点A（﹣3，0），

∴3+b＝0，

解得：b＝﹣3，

∴y＝﹣x﹣3，

当x＝2时，y＝﹣5，

∴点D的坐标为（2，﹣5），

∵点D在抛物线上，

∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，

解得：a＝﹣，

∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如图1，作PH⊥x轴于H，

设点P的坐标为（m，n），

当△BPA∽△ABC时，∠BAC＝∠PBA，

∴tan∠BAC＝tan∠PBA，即＝，

∴＝，即n＝﹣a（m﹣1），

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∴，

解得，m1＝﹣4，m2＝1（不合题意，舍去），

当m＝﹣4时，n＝5a，

∵△BPA∽△ABC，

∴＝，即AB2＝AC•PB，

∴42＝•，

解得，a1＝（不合题意，舍去），a2＝﹣，

则n＝5a＝﹣，

∴点P坐标为（﹣4，﹣）；

当△PBA∽△ABC时，∠CBA＝∠PBA，

∴tan∠CBA＝tan∠PBA，即＝，

∴＝，即n＝﹣3a（m﹣1），

∴，

解得，m1＝﹣6，m2＝1（不合题意，舍去），

当m＝﹣6时，n＝21a，

∵△PBA∽△ABC，

∴＝，即AB2＝BC•PB，

∴42＝•，

解得，a1＝