专题10 二次函数-将军饮马求最小值（平移）（解析版）

第十讲二次函数--将军饮马求最值（平移）

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一平移.....................................................................................................................................................1

考点二平移+对称...........................................................................................................................................4

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必备知识点

已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m

上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)

（1）点A、B在直线m两侧：

过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时

P、Q即为所求的点。

（2）点A、B在直线m同侧：

过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平

移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

考点一平移

1．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，

抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛

物线对称轴上运动．

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（1）直接写出A，B，C三点的坐标；

（2）求CP+PQ+QB的最小值；

【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；

（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：

∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，

∴四边形CC'QP是平行四边形，

∴CP＝C'Q，

∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，

∵B，Q，C'共线，

∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，

∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，

∴C'（0，3），

∵B（4，0），

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∴BC'＝＝5，

∴BC'+PQ＝5+1＝6，

∴CP+PQ+BQ最小值为6；

2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，2）、B（﹣1，0）、C（4，0）．点M为抛物线的顶点．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图2，点Q为抛物线y＝ax2+bx+c第四象限上的一点，若△ACQ与△ABC的面积相等，

求点Q的坐标；

（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上的点，过点P作y轴的平行线，分别与x轴、直线y＝2

交于点K、N，连接MN、QK，探究MN+NK+QK是否存在最小值时，若存在，求出点P的横坐

标并直接写出这个最小值；若不存在，请你说明理由．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式是：y＝a（x+1）•（x﹣4），

∴2＝a．（0+1）•（0﹣4），

∴a＝﹣，

∴y＝﹣（x+1）•（x﹣4）＝﹣x2+x+2，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；

（2）∵A（0，2），C（4，0），

∴直线AC的解析式是：y＝﹣，

作BQ∥AC交抛物线于Q，

∴BQ的解析式是：y＝﹣﹣，

由﹣＝﹣++2得，

x1＝﹣1，x2＝5，

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当x＝5时，y＝﹣＝﹣3，

∴点Q的坐标为（5，﹣3）；

（3）如图，

MN+NK+QK存在最小值是2+，理由如下：

将点Q向上平移2个单位到点R，连接NR交y＝2于N，作NK⊥x轴，交抛物线于P，

∵M（，），R（5，﹣1），

∴直线MR的解析式是：y＝﹣+，

当y＝2时，

﹣+＝2，

∴x＝，

∴P点的横坐标是，

∴（MN+NK+QK）最小＝2+＝2+．

考点二平移+对称

3．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，

4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．

（1）求C、D两点的坐标；

（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF＝1，使四边形ACEF

的周长最小，求出E、F两点的坐标．

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【解答】解：（1）由旋转的性质可知：OC＝OA＝2，OD＝OB＝4

∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），

（2）设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，

由题意，得，

解得，b＝1，c＝4，

∴所求抛物线的解析式为；

（3）只需求AF+CE最短，

抛物线的对称轴为x＝1，

将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF＝A1E，

作A1关于对称轴x＝1的对称点A2（4，1），

连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，

可求得A2C的解析式为，

当x＝1时，，

∴点E的坐标为，点F的坐标为．

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4．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（﹣2，0），C（0，4），点B为抛物线

与x轴的另一个交点．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；

（Ⅲ）设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN＝2，点M在点N下方，求四边形AMNC

周长的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）把A（﹣2，0），C（0，4）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，

解得，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；

2

（Ⅱ）当y＝0时，﹣x+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，

∴B（6，0），

设直线BC的解析式为y＝mx+n，

把B（6，0），C（0，4）分别代入得，

解得，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，

过P点作PQ∥y轴交BC于Q，如图，

设P（t，﹣t2+t+4），则Q（t，﹣t+4），

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∴PQ＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t，

2

∴S△PBC＝×6×PQ＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）+9，

当t＝3时，S△PBC的值最大，此时P点坐标为（3，5）；

（Ⅲ）取OC的中点D，连接BD交直线x＝2于点M，如图，则D（0，2），

∵MN∥CD，MN＝CD＝2，

∴四边形CDMN为平行四边形，

∴DM＝CN，

∵MA＝MB，

∴CN+AM＝DM+BM＝BD，

∴此时四边形AMNC周长最小，

∵BD＝＝2，AC＝＝2，

∴四边形AMNC周长的最小值为2+2+2．

5．如图1，抛物线y＝﹣x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．

（1）求线段AC的长；

（2）如图2，E为抛物线的顶点，F为AC上方的抛物线上一动点，M、N为直线AC上的两动点

（M在N的左侧），且MN＝4，作FP⊥AC于点P，FQ∥y轴交AC于点Q．当△FPQ的面积最

大时，连接EF、EN、FM，求四边形ENMF周长的最小值．

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【解答】解：（1）由题意：A（﹣3，0），B（，0），C（0，3），

∴OA＝3，OC＝3，

∴AC＝＝6．

（2）如图2﹣1中，延长FQ交OA于D．设F（m，﹣m2﹣m+3），

∵tan∠CAO＝＝，

∴∠CAO＝30°，∵FQ∥y轴，FP⊥AC，

∴∠ADQ＝∠FPQ＝90°，

∴∠AQD＝∠FQP＝60°，

∴当FQ最大时，△FPQ的面积最大，

∵直线AC的解析式为y＝x+3，

∴Q（m，m+3），

∴FQ＝﹣m2﹣m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣m＝﹣（m+）2+，

∵﹣＜0，

∴m＝﹣，FQ的值最大，即△PFQ的面积最大，此时F（﹣，），

如图2﹣2中，作FF′∥AC，使得FF′＝MN＝4，作点F′关于直线AC的对称点F″，连接

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EF″交直线AC于点M，连接FM，EN，EF，此时四边形ENMF的周长最短．

由题意点F向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F′（，），

∵F″与F′关于直线AC对称，

∴F″（，），

∴M（，），N（，），

∵抛物线顶点E（﹣，4），

∴FM＝＝，EN＝＝

，EF＝＝，

∴四边形ENMF的周长的最小值为4+++．

6．如图1，抛物线y＝x与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，

连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作DE∥AC交抛物线于点E，交y轴于点

P．

（1）点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的

最大值时，直线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN⊥AC，连GM，NO，求

GM+MN+NO的最小值；

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【解答】解：（1）如图1中，作FH∥y轴交DE于H．设F（m，m2+m+2）．

由题意可知A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，2），

∵抛物线的对称轴x＝﹣4，C，D关于直线x＝﹣4对称，

∴D（﹣8，2），

∴直线AC的解析式为y＝x+2，

∵DE∥AC，

∴直线DE的解析式为y＝x+，

由，解得或，

∴E（2，），H（m，m+），

∵S△DEF＝S△DEG+S△EFG，△DEG的面积为定值，

∴△DEF的面积最大时，△EFG的面积最大，

∵FH的值最大时，△DEF的面积最大，

∴FH的值最大时，△EFG的面积最大，

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∵FH＝﹣m2﹣m+，

∵a＜0．开口向下，

∴x＝﹣3时，FH的值最大，此时F（﹣3，﹣）．

如图2中，作点G关于DE的对称点T，TG交DE于R，连接OR交AC于N，作NM⊥DE于M，

连接TM，GM，此时GM+MN+ON的值最小．

∵直线DF的解析式为：y＝﹣x﹣2，

由，

解得，

∴G（﹣，），

∵TG⊥AC，

∴直线GR的解析式为y＝﹣x﹣，

由，解得，

∴R（﹣，），

∴RG＝4，OR＝，

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∵GM＝TM＝RN，

∴GM+MN+ON＝RN+ON+RG＝RG+ON＝4+．

∴GM+MN+NO的最小值为4+．

7．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点（点A在点B左

侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，且3OC＝4OB，对称轴为直线x＝，点

，连接CE交对称轴于点F，连接AF交抛物线于点G．

（1）求抛物线的解析式和直线CE的解析式；

（2）如图②，过E作EP⊥x轴交抛物线于点P，点Q是线段BC上一动点，当QG+QB最小

时，线段MN在线段CE上移动，点M在点N上方，且MN＝，请求出四边形PQMN周长

最小时点N的横坐标；

【解答】解：（1）由题意C（0，4），

∴OC＝，

∵3OC＝4OB，

∴OB＝3，

∴B（3，0），

∵抛物线的对称轴x＝，

∴A（﹣，0），

设抛物线的解析式为y＝a（x+）（x﹣3），把C（0，4）代入得到a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝﹣（x2﹣2x﹣9），即y＝﹣+x+4．

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设直线CE的解析式为y＝kx+b，则有，解得，

∴直线CE的解析式为y＝﹣2x+4．

（2）如图1中，作QH⊥AB于H．

由（1）可知F（，2），

∴直线AF的解析式为y＝x+，

由，解得或，

∴G（，），

∵QH∥CO，BC＝＝5，

∴＝，

∴QH＝BQ，

∴GQ+BQ＝GQ+QH，

∴当G、Q、H三点共线时，GQ+BQ的值最小，最小值为，此时Q（，）．

如图2中，将点Q沿CE方向平移个单位得到Q′，作点Q′关于直线CE的对称点Q″，

连接PQ″交直线CE于M，此时四边形PQNM的周长最小．

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易知Q′（，2），Q″（，），

∵P（2，4），

∴直线PQ″的解析式为y＝x+，

由，解得，

∴M（，），

∵MN＝，可得N（，），

∴点N的横坐标为．

8．如图，抛物线y＝x2+x﹣交x轴于点A、B．交y轴于点C．

（1）求直线AC的解析式，

（2）若P为直线AC下方抛物线上一动点，连接AP、CP，以PC为对角线作平行四边形ACDP，

当平行四边形ACDP面积最大时，作点C关于x轴的对称点Q，此时线段MN在直线AQ上滑动

（M在N的左侧），MN＝，连接BN，PM，求BN+NM+MP的最小值及平行四边形ACDP的

最大面积；

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【解答】解：（1）当y＝0时，x2+x﹣＝0，

解得：x1＝1，x2＝﹣3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

当x＝0时，y＝﹣

∴C（0，﹣），

设直线AC解析式为y＝kx+b，

∴解得：

∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣；

（2）设与AC平行的直线解析式为y＝﹣x+h，

联立y＝x2+x﹣与y＝﹣x+h，

当Δ＝0时，点P到直线AC的距离最大，

∴7+h＝0，

∴h＝﹣，

∴y＝﹣x﹣，

∴点P的坐标为（﹣，﹣），

此时平行四边形ACDP面积最大；

S四边形ACDP＝2S△ACP＝2（S梯形AEFC﹣S△AEP﹣S△FCP）＝2××（+）﹣2×

﹣2×＝﹣；

点C关于x轴的对称点Q，C（0，﹣），

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∴Q（0，），

则AQ的直线解析式为y＝x+，

设点B关于直线AQ的对称点为B'（a，b），

∴，

∴，

∴B'（﹣1，2），

过点B'作MN的平行线，过M作B'N的平行线，两线相交于点B''，

过点B''作x轴平行线，过点B'作y轴平行线，相交于点G，

∴MN＝B''B'，

∵直线AQ与x轴的夹角为30°，

∴∠B''GB'＝30°，

∴B''G＝，B'G＝，

∴B''（﹣，），

当B''，M，P三点共线时，BN+NM+MP的值最小，

∴BN+NM+MP＝B''P+NM，

∵B''P＝，

∴BN+NM+MP的最小值为+；

9．如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，

C（4，﹣5）两点，且与直线DC交于另一点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AD

的最小值；

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【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，C（4，﹣5），

∴AD＝AB＝5，B（4，0），

∴OA＝1，

∴A（﹣1，0），

将点A，C代入y＝﹣x2+bx+c，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）连接OC，交对称轴x＝1于点Q，

∵PQ⊥y轴，

∴AO∥PQ，

∵AO＝PQ＝1，

∴四边形AOQP是平行四边形，

∴AP＝OQ，

∴EQ+PQ+AP＝EQ+1+OQ

若使EQ+PQ+AP值为最小，则EQ+OQ的值为最小，

∵E，C关于对称轴x＝1对称，

∴EQ＝CQ，

∴EQ+OQ＝CQ+OQ，

此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长，

∵C（4，﹣5），

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∴，

∴EQ+PQ+AP的最小值为，

即EQ+PQ+AP的最小值为；

10．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，

点D为顶点，点E在抛物线上，且横坐标为4，AE与y轴交F．

（1）求抛物线的顶点D和F的坐标；

（2）点M、N是抛物线对称轴上两点，且M（2，a），N（2，a+），是否存在a使F，

C，M，N四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个周长最小值，并求出a的值；

【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣6＝（x﹣2）2﹣8，

∴顶点D坐标（2，﹣8），

由题意E（4，﹣8），A（﹣2，0），B（6，0），

设直线AE解析式为y＝kx+b，则有，解得，

∴直线AE解析式为y＝﹣x﹣2，

∴点F坐标（0，﹣2）．

（2）如图1中，作点F关于对称轴的对称点F′，连接FF′交对称轴于G，在CF上取一点C′，

使得CC′＝，连接C′F′与对称轴交于点N，此时四边形CMNF周长最小．

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∵四边形CMNF的周长＝CF+NM+CM+FN＝5+CM+NF，CM+NF＝C′N+NF＝C′N+NF′＝

C′F′（两点之间线段最短），

∴此时四边形CMNF的周长最小．

∵C′F＝3

∴GN＝C′F＝，

∴﹣（a+）＝2+，

∴a＝﹣，

∵C′F′＝＝5，

∴四边形CMNF的周长最小值＝5+5＝10．

11．如图，过点A（5，）的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是直线x＝2，点B是抛物线与x轴的一

个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点．

（1）求a、b的值；

（2）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积；

（3）设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，点M、N在抛物线的对称轴上（点M在

点N的上方），且MN＝2，过点P作y轴的平行线交直线OA于点Q，当PQ最大时，请直接写

出四边形BQMN的周长最小时点Q、M、N的坐标．

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【解答】解：（1）∵过点的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是直线x＝2，

∴

解之，得；

（2）设点C的坐标是（0，m）．由（1）可得抛物线，

∴抛物线的顶点D的坐标是（2，﹣3），点B的坐标是（4，0）．

当∠CBD＝90°时，有BC2+BD2＝CD2．

∴，

解之，得，

∴；

当∠CDB＝90°时，有CD2+BD2＝BC2．

∴，

解之，得，

∴；

当∠BCD＝90°时，有CD2+BC2＝BD2．

∴，此方程无解．

综上所述，当△BDC为直角三角形时，△OBC的面积是或；

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（3）设直线y＝kx过点，可得直线．

由（1）可得抛物线，

∴，

∴当时，PQ最大，此时Q点坐标是．

∴PQ最大时，线段BQ为定长．

∵MN＝2，

∴要使四边形BQMN的周长最小，只需QM+BN最小．

将点Q向下平移2个单位长度，得点，作点关于抛物线的对称轴的

对称点，直线BQ2与对称轴的交点就是符合条件的点N，此时四边形BQMN的周

长最小．

设直线y＝cx+d过点和点B（4，0），

则

解之，得

∴直线过点Q2和点B．

解方程组得

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∴点N的坐标为，∴点M的坐标为