专题04 二次函数系数之间的关系（解析版）

第四讲二次函数系数之间的关系

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一二次函数各系数之间的关系.............................................................................................................1

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必备知识点

知识点1二次函数图像和系数的关系

1.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口

就越小．

2.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简

称：左同右异）

3.常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．

4.抛物线与x轴交点个数．

（1）△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点

（2）△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点

（3）△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点

考点一二次函数各系数之间的关系

1．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：

①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．

其中正确的有（）

第1页共26页.

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：∵图象开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴为直线x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a＞0，

∵图象与y轴的交点在x轴的上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，

∴①说法错误，

∵﹣＝1，

∴2a＝﹣b，

∴2a+b＝0，

∴②说法错误，

由图象可知点（﹣1，0）的对称点为（3，0），

∵当x＝﹣1时，y＜0，

∴当x＝3时，y＜0，

∴9a+3b+c＜0，

∴③说法错误，

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

∴b2＞4ac，

∴④说法正确；

当x＝﹣1时，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，

第2页共26页.

∴a+c＜b，

∴⑤说法正确，

∴正确的为④⑤，

故选：B．

2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②3a+c＝0；③4a

﹣2b+c＜0；④a+b＞m（am+b）其中m是不等于1的实数．则其中结论正确的个数是多少个

（）

A．1B．2C．3D．4

【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，

∵对称轴为x＝1，

∴＞0，

∴b＞0，

∴abc＜0，故①不符合题意．

②由＝1可知：b＝﹣2a，

∵抛物线过（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，

∴3a+c＝0，故②符合题意．

③由图象可知：x＝﹣2时，y＜0，

即4a﹣2b+c＜0，故③符合题意．

④由图象可知：x＝1时，y的最大值为a+b+c，

∴当x＝m时（m≠1），

∴am2+bm+c＜a+b+c，

第3页共26页.

∴a+b＞m（am+b），故④符合题意．

故选：C．

3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③a+2b

＞m（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中，正确结论

的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【解答】解：①、由图象可知：＝1＞0，a＜0，c＞0，

∴a＜0，b＞0，c＞0，

∴abc＜0，故①不符合题意．

②、由①知：b＝﹣2a，

由图象可知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，

∴a+2a+c＜0，

∴3a+c＜0，

∴2c﹣3b＝2c+6a＝2（3a+c）＜0，

即2c＜3b，故②符合题意．

③由图象可知：当x＝1时，y的最大值为a+b+c，

∴当x＝m（≠1）时，

am2+bm+c＜a+b+c，

∴m（am+b）＜a+b，

∵a+b﹣a﹣2b＝﹣b＜0，

∴a+b＜a+2b，

∴a+2b＞m（am+b），故③符合题意．

2

④若方程|ax+bx+c|＝1有四个根，分别设为x1，x2，x3，x4，

22

其中x1，x2是方程ax+bx+c＝1的两个根，x3，x4是方程ax+bx+c＝﹣1的两个根，

则x1+x2＝2，x3+x4＝2，

即这四个根的和为4，故④不符合题意．

第4页共26页.

故选：B．

4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，已知其对称轴为x＝1，则下列结论正确的是（）

A．abc＜0B．2a﹣b＝0C．5a+3b+2c＜0D．4ac﹣b2＞0

【解答】解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线对称轴在x轴正半轴，

∴﹣＞0，

∴a、b异号，

∴b＜0，

∵抛物线与y轴交于负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，故选项A错误；

∵抛物线对称轴为直线x＝1，

∴﹣＝1，即b＝﹣2a．

∴2a+b＝0，故选项B错误；

由题图可得，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴当x＝2时，与x＝0时抛物线上的两个点关于对称轴对称．即（2，4a+2b+c）与（0，c）关于

对称轴对称．

∴4a+2b+c＝c．

∵c＜0，

∴4a+2b+c＜0．

∴（a+b+c）+（4a+2b+c）＜0，即5a+3b+2c＜0．故选项C正确；

∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，

第5页共26页.

∴b2﹣4ac＞0．

∴4ac﹣b2＜0故选项D错误．

故选：C．

5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴相交于点C，小红同

学得出了以下结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③当y＞0时，﹣2＜x＜6；④a+b+c＜0．其

中正确的个数为（）

A．4B．3C．2D．1

【解答】解：由图象可得，

该抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①正确；

∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），

∴该抛物线的对称轴是直线x＝＝2，

∴﹣＝2，

∴b+4a＝0，故②正确；

由图象可得，当y＞0时，x＜﹣2或x＞6，故③错误；

当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；

故选：B．

6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其顶点为（，1），有下列结论：①ac＜

0；②函数最大值为1；③b2﹣4ac＜0；④2a+b＝0．其中，正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

第6页共26页.

【解答】解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

∴ac＜0，①正确．

∵抛物线开口向下，顶点为（，1），

∴函数最大值为y＝1，②正确．

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，③错误．

∵﹣＝，

∴b＝﹣a，

∴a+b＝0，④错误．

故选：B．

7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，根据图象判断，下

列结论中正确的是（）

A．abc＜0B．b2﹣4a＞4acC．a+b+c＞0D．2a+b＜0

【解答】解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线对称轴在y轴右侧，

∴﹣＞0，即b＜0，

∵抛物线与y轴交点在x轴下方，

第7页共26页.

∴c＜0，

∴abc＞0，选项A错误．

∵抛物线顶点纵坐标小于﹣1，

∴＜﹣1，

∴b2﹣4ac＞4a，

∴b2﹣4a＞4ac，选项B正确．

由图象可得x＝1时，y＝a+b+c＜0，

∴选项C错误．

∵0＜﹣＜1，a＞0，

∴﹣b＜2a，

∴2a+b＞0，选项D错误．

故选：B．

8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，给出下列列结论：

①a﹣b+c＜0②2a+b＞0③b＞a＞c④3|a|+|c|＜2|b|．

其中，正确结论的结论是（）

A．①②③B．①③C．②④D．①②④

【解答】解：由图象可得x＝﹣1时，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，①正确．

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

由抛物线对称轴的位置可得﹣＞1，

∴b＞﹣2a＞0，即2a+b＞0，②正确．

2

设抛物线y＝ax+bx+c与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），则x1x2＝，

由图象不能判断x1x2与1的大小关系，

∴a与c的大小关系不能确定，③错误．

第8页共26页.

∵x＝1时，y＝a+b+c＞0，2a+b＞0，

∴3a+2b+c＞0，

∴3a+c＞﹣2b，﹣3a﹣c＜2b，

∵a＜0，b＞0，c＜0，

∴3|a|+|c|＝﹣3a﹣c＜2b，④正确．

故选：D．

9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，现有下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③a

＜﹣；④a+b＞n（an+b）（n≠1）；⑤2c＜3b．其中正确的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【解答】解：由图可知，开口向下，对称轴为直线x＝1，图象与y轴的交点在y轴正半轴上，

∴a＜0，b＞0，1＜c＜2，且﹣＝1，

∴abc＜0，故①错误，不符合题意；

由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故②错误，不符合题意；

∵b＝﹣2a，﹣2＜﹣c＜﹣1，

由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，

∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a＜﹣c＜﹣1，

∴a＜﹣，故③正确，符合题意；

由图象可知，当x＝1时，函数有最大值，

∴a+b+c＞an2+bn+c（n≠1），

∴a+b＞n（an+b）（n≠1），故④正确，符合题意；

∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，

∴﹣2a+2b﹣2c＞0，

∵b＝﹣2a，

第9页共26页.

∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＞0，

∴2c＜3b，故⑤正确，符合题意；

∴正确的结论有3个，

故选：B．

10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）

A．abc＜0B．a+b＞m（am+b）（m≠1）

C．4a﹣2b+c＜0D．3a+c＝1

【解答】解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a＞0，

∵抛物线与y轴交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，

选项A正确；

当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，

当x＝1时，y有最大值为a+b+c，

∴am2+bm+c＜a+b+c，

∴am2+bm＜a+b，

∴a+b＞m（am+b）（m≠1），

故选项B正确；

由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，

即4a﹣2b+c＜0，

故选项C正确；

由图象知，抛物线与x轴的交点横坐标大于﹣1小于0，对称轴为x＝1，

第10页共26页.

∴抛物线与x轴另一交点的等坐标大于2小于3，

∴当x＝3时，y＜0，

∴9a+3b+c＜0，

∵b＝﹣2a，

∴3a+c＜0，

故选项D错误．

故选：D．

11．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝﹣1，有下列结论：①abc＞0；②a+b

＜﹣c；③4a﹣2b+c＞0；④3b+2c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）（其中m为任意实数），其中正确结

论的个数有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【解答】解：∵开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线和y轴的正半轴相交，

∴c＞0，

∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，

∴b＝2a＜0，

∴abc＞0，故①正确；

当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，

∴a+b＜﹣c，故②正确；

由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，

∴4a﹣2b+c＞0，故③正确；

∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，

∴a＝b，

第11页共26页.

∴b+b+c＜0，

∴3b+2c＜0，故④正确；

∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，

所以当m为任意实数时，有a﹣b+c≥am2+bm+c，

所以a﹣b≥m（am+b），故⑤错误．

故选：C．

12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③m

222

为任意实数，则a+b＞am+bm；④3a+c＜0；⑤若ax1+bx1＝ax2+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其

中正确结论的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，

﹣＞0，b＞0，∴abc＞0，错误；

②∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在（3，0）左边

∴二次函数与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，

∴a﹣b+c＜0，∴②错误；

③∵对称轴是直线x＝1，图象开口向下，

∴x＝1时，函数最大值是a+b+c；

∴m为任意实数，则a+b+c≥am2+bm+c，∴③错误；

④∵﹣＝1，

∴b＝﹣2a

由②得a﹣b+c＜0，

∴3a+c＜0，∴④正确；

22

⑤∵ax1+bx1＝ax2+bx2，

22

∴ax1+bx1﹣ax2﹣bx2＝0，

第12页共26页.

∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，

∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，

∵x1≠x2，

∴a（x1+x2）+b＝0，

∵x1+x2＝﹣，b＝﹣2a，

∴x1+x2＝2，∴⑤正确；

故选：B．

13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b

＜0；③a﹣b+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中正确的是（）

A．①③④B．①②③C．①③D．②③

【解答】解：由抛物线的开口向上，得到a＞0，

∵﹣＞0，

∴b＜0，

由抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，

∴abc＞0，选项①正确；

∵对称轴为直线x＝1，

∴﹣＝1，即b＝﹣2a，

∴2a+b＝0，选项②错误；

根据图象知，当x＝﹣1时，y＞0，

即a﹣b+c＞0．选项③正确；

∵抛物线对称轴为直线x＝1，

∴x＝3与x＝﹣1时函数值相等，

又∵x＝﹣1时，y＞0，

第13页共26页.

∴x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，选项④错误．

则其中正确的选项有①③．

故选：C．

14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：

①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④a+c＜1；正确的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：①∵开口向上，对称轴在y轴左侧，函数图象与y轴的交点在y轴负半轴上，

∴a＞0，b＞0，c＜0，

∴abc＜0，故①错误，不符合题意；

②由图可知，函数图象与x轴由2个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

∴b2＞4ac，故②正确，符合题意；

③由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，故③正确，符合题意；

④由图象可知，当x＝1时，y＝2，

∴a+b+c＝2，

∴b＝2﹣a﹣c，

∵a﹣b+c＜0，

∴a﹣（2﹣a﹣c）+c＜0，

∴a+c＜1，故④正确，符合题意，

∴正确的个数有3个，

故选：C．

15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，现有下列结论：

①abc＞0；

第14页共26页.

②a＜﹣；

③4a+2b+c＜0；

④a+b＞n（an+b）（n≠1）；

⑤2c＜3b．

正确的个数是（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【解答】解：由图可知，开口向下，对称轴为直线x＝1，图象与y轴的交点在y轴正半轴上，

∴a＜0，b＞0，1＜c＜2，且﹣＝1，

∴abc＜0，故①错误，不符合题意；

b＝﹣2a，﹣2＜﹣c＜﹣1，

由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，

∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a＜﹣c＜﹣2，

∴a＜﹣，故②错误，不符合题意；

由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③错误，不符合题意；

由图象可知，当x＝1时，函数有最大值，

∴a+b+c＞an2+bn+c（n≠1），

∴a+b＞n（an+b）（n≠1），故④正确，符合题意；

∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，

∴﹣2a+2b﹣2c＞0，

∵b＝﹣2a，

∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＞0，

∴3b＞2c，故⑤正确，符合题意；

∴正确的结论有2个，

故选：A．

第15页共26页.

16．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c给出下列结论：①abc＜0，②4a+2b+c＜0，③a+c＞b，④

a+b≤t（at+b）（t是任意一个实数），⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减少．其中结论正确的个

数是（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【解答】解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a＜0，

∵抛物线与y轴交点在x轴下方，

∴c＜0，

∴abc＞0，①错误．

∵x＝0时y＜0，抛物线对称轴为直线x＝1，

∴x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，②正确．

∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，

∴a+c＞b，③正确．

∵x＝1时y取最小值，

∴a+b+c≤at2+bt+c，即a+b≤t（at+b），

∴④正确．

由图象可得x＜1时y随x增大而减小，

∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减少，⑤正确．

故选：C．

17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，

有下列结论：

①c＞0；

②9a+3b+c＞0；

第16页共26页.

2

③若方程ax+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；

④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ＝，则a＝﹣1；

其中，正确结论的个数是（）个．

A．4B．3C．2D．1

【解答】解：∵a＜0，

∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向下．

∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，

∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，0）．

综上抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如下：

由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴（0，c），

∴c＞0．

∴①的结论正确；

由图象可知：当﹣2＜x＜4时，函数值y＞0，

∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0．

∴②的结论正确．

作直线y＝﹣1，交抛物线于两点，它们的横坐标分别为x1，x2，如图，

第17页共26页.

2

则x1，x2是方程ax+bx+c＝﹣1的两根，

2

即方程ax+bx+c+1＝0的解为x1、x2，

由图象可知：满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4，

∴③的结论正确；

如图，分别过点P，Q作坐标轴的平行线，它们交于点H，

则△PHQ为等腰直角三角形，

∴PH＝HQ，PQ＝HQ．

∴．

∴ax2+（b﹣1）x+c＝0．

设点P，Q的横坐标分别为m，n，

∴m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的两根，

∴m+n＝，mn＝．

∴HQ＝|m﹣n|＝＝．

∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，

∴．

∴．

∴HQ＝．

∵PQ＝，

∴•＝．

第18页共26页.

解得：a＝﹣1或．

∴④的结论不正确；

综上所述，正确结论有：①②③，

故选：B．

18．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：

①abc＜0；

2

②方程ax+bx+c＝0的根为x1＝﹣1、x2＝3；

2

③若直线y＝2与y＝ax+bx+c的图象相交于A（x3，y1），B（x4，y2），（x3＜x4）两点则x1、x2、

x3、x4的大小关系是x1＜x2＜x3＜x4；

④当y＞0时，﹣1＜x＜3；

⑤a﹣b+c＞0，

其中正确的说法有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：①由题意函数的图象开口向下，与y轴的交点大于0，

∴a＜0，c＞0，

函数的对称轴为x＝1，

∴﹣＝1＞0，

∴b＞0，

∴abc＜0，正确；

②∵函数图象知函数与x轴交于点为（﹣1，0）、（3，0），

2

∴方程ax+bx+c＝0的根为x1＝﹣1、x2＝3，正确；

2

③若直线y＝2与y＝ax+bx+c的图象相交于A（x3，y1），B（x4，y2），（x3＜x4）两点则x1、x2、

x3、x4的大小关系是x1＜x3＜x4＜x2，错误；

④由函数图象知，当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确；

第19页共26页.

⑤∵﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∵函数图象知函数与x轴交于点为（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，

∴c＝﹣3a，

∴a﹣b+c＝+a﹣3a＝﹣a＞0，正确；

综上①②④⑤正确，

故选：D．

19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（﹣，0），对称轴为直线x＝1．有

以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则

y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣＜＜x2；

⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，

则a的范围为a≥﹣4．其中结论正确的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，函数图象与x轴负半轴交于（﹣，0），

∴x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

由图象可知a＞0，c＜0，

∴b＝﹣2a＜0，

∴abc＞0，故①正确；

由图可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，

∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正确；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大；

第20页共26页.

又|﹣3﹣1|＝4，|3﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，

∴y1＞y2＞y3；故③错误；

由抛物线对称性可知，抛物线与x轴另一个交点为（，0），

∴抛物线解析式为：y＝a（x+）（x﹣），

令a（x+）（x﹣）＝，

则a（2x+1）（2x﹣5）＝1，

如图，作y＝，

由图形可知，x1＜﹣＜＜x2；故④正确；

由题意可知：M，N到对称轴的距离为，

当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，

在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，

即≤﹣，

∵y＝a（x+）（x﹣）＝ax2﹣2ax﹣a，

∴c＝﹣a，b＝﹣2a，

∴≤﹣，

解得：a≥，故⑤错误；

故选：B．

2

20．二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是

该抛物线上一点，若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：

第21页共26页.

①4a﹣2b+c＞0；

②若y2＞y1，则x2＞4；

③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；

④若方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．

其中正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），

∴x＝，且﹣4a＝a+b+c，

∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，

∴4a﹣2b+c＝4a+4a﹣3a＝5a＞0（∵抛物线开口向上，则a＞0），

于是①的结论正确；

②∵点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，y1），

∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2，

于是②错误；

③当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a，

∴当0≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，

于是③错误；

④∵方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，

∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与直线y＝﹣1交点的坐标（x1，﹣1）和（x2，﹣1），

∵抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）＝0时，x＝﹣1或3，

即抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）＝0与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），

∴﹣1＜x1＜x2＜3，

于是④正确．

第22页共26页.

故选：B．

21．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，

它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：

22

①abc＜0；②4ac﹣b＜0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n﹣2时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是

2

方程ax+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1

且n＞x2；其中，正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【解答】解：①∵开口向上，对称轴在y轴左侧，函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴a＞0，b＞0，c＞0，

∴abc＞0，故①错误，不符合题意；

②∵函数图象与x轴有2个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

∴4ac﹣b2＜0，故②正确，符合题意；

③∵对称轴为x＝﹣1，

∴＝﹣1，

∴b＝2a，

∵当x＝﹣1时，y＝