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文档简介

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)

专题29圆与相似及三角函数综合问题

【例1】(2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题)四边形内接于,直径

与弦交于点,直线与相切于点.𝐴𝐵⊙���

���𝐴⊙��

(1)如图1,若,且,求证:平分;

(2)如图2,连接∠𝐴�,=若30°��=��,求证:��∠𝐴�.

【答案】(1)见解�析�∠���=2∠𝐴�△�𝐴∽△𝐵�

(2)见解析

【分析】(1)连接,根据切线的性质可得,再由,可得

,从而�得�到为等边三角形∠,𝐴再�跟+等∠边𝐴三�角=形90的°性质可∠得𝐴B�E=平3分0°,

∠即�可��求=证6;0°△�𝐴∠𝐴�

(2)根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得,从而得到

,进而得到,∠再𝐴由�=∠𝐴�=∠�,𝐴即可求证.

∠(�1�)�=2∠�𝐴=2∠𝐴�∠�𝐴=∠�𝐵∠���=∠���

证明:连接,

直线与𝐴相切于点,

∵𝐴⊙�,�

∴∠𝐴�=90°,

∴∠𝐴�+∠𝐴,�=90°

∵∠𝐴�=30°,

∴又∠𝐴�=60,°

∵��=为�等�边三角形,

∴又△�𝐴,

∵�平�分=��,

∴��∠𝐴�

第1页共47页.

1

∴∠𝐴平�分=2∠𝐴;�=30°

∴��∠𝐴�

(2)

证明:∵直线与相切于点,

�,�⊙��

∴∠𝐴�=90°,

∴∵∠A�C�为�直+径∠�,��=90°

∴∠ABC=90°,

∴∠OBC+∠ABO=90°,

∴∠OBC=∠PBA,

∵OB=OC,

∴,

∠𝐴�=∠𝐴�=∠�𝐴,

∴∠�𝐴=2∠�𝐴=2∠𝐴�,

∵∠�𝐵=∠𝐴�,=2∠𝐴�

∴又∠�𝐴=∠�𝐵,

∵∠���=∠��.�

∴【△点�睛𝐴】∽本△题�主�要�考查了切线的性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性质等知识,熟练

掌握切线的性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性质是解题的关键.

【例2】(2022·广东深圳·中考真题)一个玻璃球体近似半圆为直径,半圆上点处有

个吊灯的中点为�,𝐴��

𝐸,𝐸//𝐴,��⊥𝐴,𝐸�,��=4.

第2页共47页.

(1)如图①,为一条拉线,在上,求的长度.

(2)如图②,一𝐶个玻璃镜与圆�相切�,�为切𝐶点,=1.为6,��上=一0.点8,,𝐵为入射光线,为反射

光线,��求�的�长�度.����

3

(3)如图∠③�,𝐶是=线∠�段��=上4的5动°,t点an,∠���为=入4射,光�线�,为反射光线交圆于

点在从�运动到�的�过程中,求�点�的运动路径长.∠�𝐶=50°,���

【答�,案�】(1�)2��

(2)

20

(3)��=7

16

4+9�

【分析】(1)由,可得出为的中位线,可得出D为

中点,即可得出��=的0长.8,度�;�=1.6,��∥𝐴��△�𝐶CO

(2)过N点作𝐵,交于点D,可得出为等腰直角三角形,根据,

3

可得出𝐵⊥��,��设△,�则𝐵,根据tan∠,��即�可=求4

𝐵3

得,tan再∠根��据�勾=股𝐵定=理4即可得𝐵出=答3案�;=��𝐵=4�𝐵+��=��

4

(3�)=依7题意得出点N路径长为:,推导得出,即可计算给出,即

可得出答案.𝐴+𝐴�∠�𝐵=80°𝐴�

(1)

∴��为=0.8,𝐶的=中1位.6,线��∥𝐴

∴�D�为△�的𝐶中点

∵CO

∴��=��=4

(�2)�=2

过N点作,交于点D,

𝐵⊥����

第3页共47页.

∵,

∴∠���=为4等5腰°直角三角形,即,

又△∵�𝐵,𝐵=��

3

∴tan∠���=,4

3

∴tan∠�𝐵=4,

𝐵3

∴tan∠�𝐵=𝐵,=4

设𝐵:𝐵=3:4,则,

∵𝐵=3�=��,𝐵=4�

∴𝐵+��=,��

解得3�+4�,=4

4

∴�=7,,

1216

𝐵=7𝐵=7

∴在中,;

2212216220

(3)𝑅△�𝐵��=𝐵+𝐵=(7)+(7)=7

如图,当点M与点O重合时,点N也与点O重合.当点M运动至点A时,点N运动至

点T,故点N路径长为:.

𝐴+𝐴�

∵.

∴∠���=∠���,∠���.=∠���,∠�𝐶=50°

∴∠���=∠���=65°.

∴∠���=65°,,∠���=50°

∴∠�𝐵=80°,

80°16

��

∴N�点=的2运�动×路4×径3长60为°=:9�,

16

故答案为:.𝐴+𝐴�=4+9�

16

4+9�

第4页共47页.

【点睛】本题考查了圆的性质,弧长公式、勾股定理、中位线,利用锐角三角函数值解三角

函数,掌握以上知识,并能灵活运用是解题的关键.

【例3】(2022·黑龙江哈尔滨·中考真题)已知是的直径,点A,点B是上的两个

点,连接,点D,点E分别是半径�的�中⊙点,�连接,且⊙�.

��,𝐴��,𝐴𝐵,��,��∠���=2∠�𝐴

(1)如图1,求证:;

(2)如图2,延长∠交𝐵�于=点∠�F�,�若,求证:;

(3)如图3,在(2)�的�条件��下,点G是𝐵上⊥一�点�,连接��=��,若,,

求的长.��𝐴,��,𝐴,𝐸𝐴:��=5:3𝐴=2

【答𝐸案】(1)见解析

(2)见解析

(3)

19

𝐸=3

【分析】(1)根据SAS证明即可得到结论;

(2)证明即可得△出�结𝐵论≅;△���

(3)先证明∠�=∠���,连接,证明,设,,在上取点M,

使得�,�连⊥接��,证明��为��等=边三��角形,�得�=5���=3,�根据𝐴

可求出𝐶=�,�得��,△,�过�点�H作于点�N�,求=出𝐴=2,再𝐴证=𝐶+��,

根据�=1𝐴=5可�得�结=论3.��⊥��𝐴=19𝐸=2𝐸

(1)𝐴=3𝐸=19

如图1.∵点D,点E分别是半径的中点

��,𝐴

第5页共47页.

∴,

11

∵𝐵=2��,��=2𝐴

∴��=𝐴

∵𝐵=��,

∴∠���=2∠�𝐴∠���=2∠�𝐴

∵∠���=∠���

∴��=��,

∴△�𝐵≅△���;

(∠2)𝐵�=∠���

如图2.∵,

∴𝐵⊥��

∠𝐵�=90°

由(1)得,

∴∠���=∠𝐵�=90°

��1

∴sin∠���=�,�=2

∴∠���=30°

∵∠���=90°−∠���=60°

11

∴∠�=2∠���,=2×60°=30°

∴∠�=∠���

(�3)�=��

如图3.∵,

∴��=����=��

∴𝐸⊥��

∠���=90°

第6页共47页.

连接.∵

∴��∠���=∠��,�=60°

∴∠���=∠,���=120°

∵��=��∠𝐴�=60°

设𝐴:��=,5:3

∴𝐴=5�

在��上=取3�点M,使得,连接

∵𝐴,𝐶=����

∴∠�𝐶=∠𝐴�

∴△�𝐶≌,△𝐴�

∴��=�为�等边三角形

∴△�𝐴

∵��=𝐴=2,

∴𝐴=𝐶+��

∴5�=3,�+2

∴�=1

∴𝐴=5,

过点��H=作𝐶=3于点N

��⊥��,

11

�∴�=2��=2×2=1,��=𝐴⋅sin60°=3

∴��=��+𝐶=4

22

∵𝐴=��=,��+��=,19

∴∠���=90°∠�𝐸=30°

∵∠𝐸�=6,0°

∴𝐴=��,

∴∠���=∠𝐴�=30°

∴∠�𝐴=,∠𝐴�=30°

𝐸=��

第7页共47页.

在中,,

∴𝑅△𝐸�∠�𝐸=30°

∴𝐸=2𝐸,

∴𝐴=��.+𝐸=3𝐸=19

19

【点𝐸睛=】本3题主要考查了圆周角定理,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定与性质,

等腰三角形的性质,勾股定理以及解直角三角形等知识,正确作出辅助线构造全等三角形是

解答本题的关键.

【例4】(2022·黑龙江绥化·中考真题)如图所示,在的内接中,,

,作于点P,交于另一点B,⊙C�是上的△一𝐶个�动点(∠不��与�A=,9M0°重

�合�),=射2�线�交�线�段⊥��的延长线于点⊙D�,分别连接和�,�交于点E.

������������

(1)求证:.

(2)若△𝐶,�∽△𝐴�,求的长.

(3)在点��C=运1动0过�程�中=,�当���时,求的值.

3��

【答案】(1)证明见解析tan∠���=4��

(2)

(3)310

3

2

【分析】(1)利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC,再利用两角分别相等即可证明相似;

(2)连接OC,先证明MN是直径,再求出AP和NP的长,接着证明,利

用相似三角形的性质求出OE和PE,再利用勾股定理求解即可;△���∽△���

(3)先过C点作CG⊥MN,垂足为G,连接CN,设出,,再利用三角函

数和勾股定理分别表示出PB和PG,最后利用相似三角�形�的=性3质�表�示�出=4E�G,然后表示出

ME和NE,算出比值即可.

(1)

第8页共47页.

解:∵AB⊥MN,

∴∠APM=90°,

∴∠D+∠DMP=90°,

又∵∠DMP+∠NAC=180°,∠MAN=90°,

∴∠DMP+∠CAM=90°,

∴∠CAM=∠D,

∵∠CMA=∠ABC,

∴.

(△2)𝐶�∽△𝐴�

连接OC,

∵,

∴∠M�N�是�直=径90,°

∵,

∴�OM�==ON10=OC=5,

∵,且,

222

∴𝐶=2��,𝐶+�,�=��

∵��=25𝐶=45,

11

∴�△𝐶�=,2𝐶⋅��=2��⋅��

∴��=4,

∴��=��=4,

22

∴��=��−�,�=2

∵��=5−,2=3

∴�OC�⊥=M�N�,

∴∠COE=90°,

∵AB⊥MN,

∴∠BPE=90°,

∴∠BPE=∠COE,

又∵∠BEP=∠CEO,

∴△���∽△�,��

������

即��=��=��

5����

由4=��=��,

∴��+��,=��=,3

54

��=3��=3

第9页共47页.

∴,

2

22255

��=��+��=5+3=310

2

22244

∴��=��+��=4+3.=310

54

��=310+310=310

(3)

过C点作CG⊥MN,垂足为G,连接CN,则∠CGM=90°,

∴∠CMG+∠GCM=90°,

∵MN是直径,

∴∠MCN=90°,

∴∠CNM+∠DMP=90°,

∵∠D+∠DMP=90°,

∴∠D=∠CNM=∠GCM,

∵,

3

∴tan∠���=4,

3

∵tan∠�𝐶=tan∠�𝐶=4

��

∴设tan∠�𝐶=,𝐴,

∴��=3,�𝐴=4�

∴𝐶=5�,,

20�16�

∴��=3,𝐴=3

25�

∴𝐶=3,

25�

∵𝐶=��=,且6,

222

∴𝐶=2��,𝐶+��,=��

55105

∵��=3�𝐶=3�,

11

�△𝐶�=2𝐶⋅��=2��⋅��

第10页共47页.

∴,

10

∴��=3�,=𝐴

5

∴��=3�,

16511

∵∠𝐴C=GE3=�∠−BP3E�==903°,�∠CEG=∠BEP,

∴,

∴△𝐴�∽△�,��

𝐴����

即��=��=��

4�����

10

3�=��=��

∴,

5

∴��=2�,��=3�,

10�

∴��=5���,=3

∴��的:�值�为=.3:2

��3

��2

【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识,

涉及到了动点问题,解题关键是构造相似三角形,正确表示出各线段并找出它们的关系,本

题综合性较强,属于压轴题.

一、解答题【共20题】

1.(2022·内蒙古内蒙古·中考真题)如图,是的外接圆,与相切于点D,

分别交,的延长线于点E和F⊙,连�接△�交��于点N,𝐸的⊙平�分线交

�于�点∥�M�.𝐴��𝐵��∠𝐴���𝐵

(1)求证:平分;

(2)若𝐵∠,���,求线段的长.

𝐴:��=5:2𝐵=14��

第11页共47页.

【答案】(1)见解析

(2)

��=2

【分析】(1)连接OD,根据切线的性质得⊥EF,由得OD⊥BC,由垂径定理得

,进而即可得出结论;𝐵𝐸∥��

(��2)=由𝐵平行线分线段定理得,再证明,可得BD=2,最后证明

214

,进而即可求解��.=7△���∽△𝐵�

∠(�1�)�=∠���

证明:连接交于点H.

∵与�相�切于��点D

𝐸⊙�

∴,

∴𝐵⊥𝐸,

∵∠𝐵�=,90°

∴��∥𝐸,

∴∠���=,∠𝐵�=90°

∴𝐵⊥��,

∴��=𝐵即平分;

(∠2)�𝐵=∠�𝐵𝐵∠���

解:∵,

∴��,∥𝐸

��𝐵

∵��=𝐵,,

∴𝐴:��=5,:2𝐵=14

214

∵��=7,,

∴∠�𝐵=∠�𝐵,∠�𝐵=∠𝐴�

∵∠��平�分=∠𝐴�,

∴��∠𝐴�,

∴∠𝐴�=∠𝐴�,

∠�𝐵+∠𝐴�=∠𝐴�+∠𝐴�

第12页共47页.

∴,

∴∠���=∠,���

∵��=��,,

∴∠𝐴�=∠�𝐵,∠���=∠𝐵�

∴△���∽△𝐵�

𝐵��

∴��=𝐵,

2214

∴��=�(�负⋅值𝐵舍=去)7,×14=4

∴��=2

【点��睛=】�本�题=主2要考查圆的基本性质,切线的性质、相似三角形的判定和性质,平行线分线

段成比例定理,等腰三角形的判定和性质;找出相似三角形,列相似比求解是解决本题的关

键.

2.(2022·湖北黄石·中考真题)如图是直径,A是上异于C,D的一点,点B是

延长线上一点,连接、、�,�且⊙�.⊙�

��𝐴��𝐵∠���=∠𝐵�

(1)求证:直线是的切线;

(2)若�,�求⊙�的值;

(3)在(��2)=的2条��件下,作tan∠𝐵�的平分线交于P,交于E,连接、,若,

求的值.∠�𝐵��⊙�𝐵��𝐵𝐴=26

【答��案⋅�】�(1)见解析

(2)

2

(3)2

42

【分析】(1)如图所示,连接OA,根据直径所对的圆周角是直角得到,

再证明即可证明结论;∠���+∠�𝐵=90°

(2)先∠证��明�=∠���,得到,令半径,则,,

����

利用勾股定理△求�出��∽△�𝐵,解直�角�=三�角�形即可答�案�;=��=���=2�𝐴=3�

(3)先求出𝐴,=在22�中,,,解得,,

��2222

证明𝐵=23,得到Rt△�𝐵,则𝐵=2��+𝐵=𝐵.��=2𝐵=22

����

(1)△���∽△�𝐵��=𝐵��⋅��=��⋅𝐵=42

第13页共47页.

解:如图所示,连接OA,

∵是直径,

∴𝐵⊙�,

∠�𝐵=90°

∴,

又∠∵���+∠�,𝐵=90°

∴��=𝐵,

∵∠�𝐵=∠𝐵�,

∴∠���=∠𝐵�,

∴∠�𝐵=∠���,即,

∴∠���+∠,���=90°∠���=90°

又�∵�⊥为��半径,

∴直线��是的切线;

(2)𝐴⊙�

解:∵,,

∴∠���=∠�,��∠�=∠�

∴△���,∽△�𝐵

����

由𝐵=��知,令半径,则,,

在��=2��中,��=��=���,=2�𝐴=3�

22

在𝑅△���中,𝐴=𝐴−��=22�,

����2�2

即Rt△�𝐵t;an∠𝐵�=𝐵=��=22�=2

2

tan∠𝐵�=2

(3)

解:在(2)的条件下,,

∴,𝐴=22�=26

∴�=3,

𝐵=23

第14页共47页.

在中,,,

��2222

解得Rt△�𝐵,𝐵=2,��+𝐵=𝐵

∵�平�分=2𝐵,=22

∴��∠�𝐵,

又∠∵���=∠�𝐵,

∴∠���=∠𝐵�,

∴△���,∽△�𝐵

����

∴��=𝐵.

【点��睛⋅�】�本=题�主�要⋅�考�查=了2圆×切2线2的=判4定2,直径所对的圆周角是直角,相似三角形的性质与判

定,解直角三角形,勾股定理,等腰三角形的性质等等,熟知相关知识是解题的关键.

3.(2022·湖北襄阳·中考真题)如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆O上,点D为

的中点,连接AC,BC,AD,AD与BC相交于点G,过点D作直线DEBC,交AC的延�长�

线于点E.∥

(1)求证:DE是⊙O的切线;

(2)若,CG=2,求阴影部分的面积.

【答案��】=(1�)见�解析3

(2)

153

2

【分析】(1)连接OD,根据已知条件,由OD⊥BC,DEBC,证明OD⊥DE即可;

(2)根据相等,再由(1)中可得,∥,从而得到

∠CAD=∠�B�AD==�∠�ABC=30°,在Rt△AC�G�中=,��利用锐角�三�角=函��数=求�出�AC、AG的长,从而

求出△CAG的面积,在Rt△ABD中利用锐角三角函数求出AD的长,根据DEBC可得

△ACG∽△AED,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出∥,进而即可

273

阴影部分的面积.�△�𝐵=2

(1)

证明:连接OD,如图所示,

第15页共47页.

∵点D为的中点,

∴OD⊥BC��

∵DEBC,

∴OD∥⊥DE.

∴DE是⊙O的切线.

(2)

连接BD,如图所示,

BD=AC∵��=��

∵点D为的中点,

∴��,

∴𝐵=��,

∴∠��C=AD�=�∠=B�A�D=30°.

∵AB是半圆O的直径,

∴∠ACB=∠ADB=90°,

在Rt△ACG中,,

𝐴𝐴

∴tan∠��,�=��,sin∠�𝐵=𝐴

𝐴𝐴

∵��=tan30,°,𝐴=sin30°

∴𝐴=23,,

∴�B�D==C2A=63,×3=6𝐴=43

1

△�𝐴

在∴�Rt△A=BD2�中�,⋅��=63

��

∴tan∠�𝐵=𝐵,

��6

3

𝐵=tan30°=3=63.

第16页共47页.

∵DE∥BC,

∴△CAG∽△EAD,

∴,

�△�𝐴𝐴2

△�𝐵

即�=(,𝐵)

634

Δ�𝐵

∴�=9

273

�△�𝐵=2.

∴阴影部分.

153

【点�睛】本=题�主△�要𝐵考−查�△了�切𝐴线=的2判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质,

解直角三角形,掌握以上知识是解题的关键.

4.(2022·辽宁鞍山·中考真题)如图,是的外接圆,为的直径,点为

上一点,交的延长线于点,⊙�与△�交�于�点,连接𝐴,⊙若��.⊙�

1

𝐸∥��𝐴���𝐴���∠���=2∠𝐴�

(1)求证:是的切线.

(2)若𝐸,⊙�,求的半径.

3

【答案��】=(12)过程sin见∠解��析�=5⊙�

(2)3

【分析】(1)连接OE,先根据圆周角定理及已知条件得出∠ABC=∠BOE,进而得出,

再由,根据平行线的性质得出∠FEO=∠ACB,然后根据直径所对的是直角�,�即∥可��得

出答案𝐸;∥��

(2)先说明,再设的半径为r,并表示,,,然后根据对应边

成比例得出△���,∼根△据��比�例式求出⊙半�径即可.��𝐴��

����

(1)��=𝐴

证明:连接OE.

第17页共47页.

∵,,

11

∴∠�A�B�C=∠2∠B�O�E�,∠���=2∠���

∴,

∴∠��O∥ED��=∠BCD.

∵,

∴∠𝐸F∥EC��=∠ACE,

∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE,

即∠FEO=∠ACB.

∵AB是直径,

∴∠ACB=90°,

∴∠FEO=90°,

∴.

∵�E�O⊥是��的半径,

∴EF是⊙�的切线.

(2)⊙�

∵,

∴𝐸∥��.

∵B△F�=�2�,∼△�𝐴.

3

设的半si径n∠为��r,�=5

∴⊙�,,.

6

∵��=2,+�𝐴=2���=5�

����

∴��=𝐴,

�2+�

6

解得5�=2�,

∴�=的3半径是3.

【点⊙睛�】本题主要考查了切线的性质和判定,解直角三角形,熟练掌握相关定理是解题的关

键.

5.(2022·辽宁朝阳·中考真题)如图,AC是⊙O的直径,弦BD交AC于点E,点F为BD

延长线上一点,∠DAF=∠B.

第18页共47页.

(1)求证:AF是⊙O的切线;

(2)若⊙O的半径为5,AD是AEF的中线,且AD=6,求AE的长.

【答案】(1)见解析△

(2)

36

5

【分析】(1)由圆周角定理得∠ADC=90°,则∠ACD+∠DAC=90°,从而说明,即

可证明结论;��⊥𝐸

(2)作于点H,利用△ADH~△ACD,,求出AH的长,再利用直角三角

𝐵��

形斜边上�中�线⊥的��性质得出AD=DE,利用等腰三角�形�的=性𝐵质可得答案.

(1)

证明:∵AC是直径,

∴∠ADC=90°,

∴∠ACD+∠DAC=90°,

∵∠ACD=∠B,∠B=∠DAF,

∴∠DAF=∠ACD,

∴∠DAF+∠DAC=90°,

∴,

∵�AC�是⊥直𝐸径,

∴AF是⊙O的切线;

(2)

解:作于点H,

��⊥��

∵⊙O的半径为5,

∴AC=10,

∵∠AHD=∠ADC=90°,∠DAH=∠CAD,

∴△ADH~△ACD,

∴,

𝐵��

∴��=𝐵,

2

∵�AD�==6,��⋅��

∴,

3618

��=10=5

第19页共47页.

∵AD是△AEF的中线,∠EAF=90°,

∴AD=ED,

36

�【�点=睛2】��本=题主5要考查了圆周角定理,切线的判定定理,相似三角形的判定与性质,等腰三

角形的性质等知识,根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键.

6.(2022·山东菏泽·中考真题)如图,在中,以AB为直径作交AC、BC于点D、

E,且D是AC的中点,过点D作△�于�点�G,交BA的延长线⊙于点�H.

��⊥��

(1)求证:直线HG是的切线;

(2)若⊙,�求CG的长.

2

【答案��】=(13)见,c解os析�=5

(2)

6

5

【分析】(1)连接OD,利用三角形中位线的定义和性质可得,再利用平行线的性质

即可证明;𝐵∥��

(2)先通过平行线的性质得出,设,再通过解直角三角

形求出半径长度,再利用三角形∠中𝐴位�线=定∠理��和�相似三𝐵角=形�的�判=定�和�性=质�分别求出BC,BG

的长度,即可求解.

(1)

连接OD,

第20页共47页.

∵��⊥��,

∴∵∠D�是��A=C的90中°点,AB为直径,

∴𝐵∥��,

∴直∠�线��HG=是∠𝐵�的=切9线0°;

∴(2)⊙�

由(1)得,

∴𝐵∥��,

∠𝐴�=∠��,�

2

∵cos∠𝐴�=5,

2

∴设cos∠�𝐵=5,

𝐵=�,�=𝐴=�

∵��=3,

∴在��=3+�中,,

𝑅△�𝐵∠𝐵�=9,0°

𝐵�2

∴解c得os∠�𝐵,=��=3+�=5

∴�=2,

∵�D�是=A�C�的=中�点�,=A2B,�为�直=径5,,��=7

∴��=2𝐵=4,

∵∠���=∠𝐵�,=90°

∴△𝐵�∼,△即���,

��𝐵52

∴��=��,7=��

14

∴��=5.

146

∴【�点�睛=】�本�−题�考�查=了4切−线5的=判5定,三角形中位线的性质,平行线的判定和性质,相似三角形

的判定和性质及解直角三角形,熟练掌握知识点是解题的关键.

7.(2022·贵州黔西·中考真题)如图,在中,,以AB为直径作⊙,分别交

BC于点D,交AC于点E,,垂△足�为��H,连�接�=DE��并延长交BA的延长线�于点F.

��⊥��

第21页共47页.

(1)求证:DH是⊙的切线;

(2)若E为AH的中�点,求的值.

𝐸

【答案】(1)见解析��

(2)

2

3

【分析】(1)连接OD,证明,由,可得,即可证明结论;

(2)连接AD和BE,由圆周角�定�理∥�可�以得出��⊥����⊥�,�可以得出,

,进而根据平行线分线段成比例推出BD=∠C�D�,�C=H∠=�H�E�,=根9据0°E为AH的中��点∥,�可�得�出�∥

A�E�=EH=CH,,根据且,可以得出,根据相似三

11

角形的性质得�到�=3��,将AE�,�/O/D��代入�即�=可2求��出答案.△���∽△�𝐵

����

(1)��=𝐵

连接OD,则.

∴𝐵=.𝐴

∵∠𝐵�=,∠𝐴�

∴𝐴=��.

∴∠𝐴�=∠�.

∴∠𝐵�=.∠�

∴𝐵∥��.

∵∠���=,∠𝐵�

∴��⊥��.

∴∠���=∠.𝐵�=90°

∴�D�H是⊥𝐵的切线.

⊙�

第22页共47页.

(2)

连接AD和BE.

∵AB是的直径,

∴⊙�,.

∵��=𝐴∠𝐵�=∠�𝐴=90°

∴𝐵∥��

𝐴��

∴��=𝐵=.1

∴𝐵=��且.

1

∵𝐵//��,𝐵=2��

∴𝐵∥��.

∵∠�𝐸=∠,𝐵�

∴∠�=∠�.

∴△���.∽△�𝐵

����

∵��=𝐵

∴∠���=∠���=90°

∴��∥��

��𝐵

∴��=��=.1

∵�E�为=A�H�的中点,

∴.

∴��=��=��

1

��=3��

∴1.

����3��2

1

【点��睛=】𝐵本=题2�考�查=了3切线的判定和性质,圆周角定律,平行线分线段成比例,三角形相似的

判定与性质等知识,熟练掌握以上判定和性质是本题解题的关键.

8.(2022·贵州安顺·中考真题)如图,是的直径,点是劣弧上一点,,

且,平分,与𝐴交于⊙点�.���∠�𝐵=∠�𝐵

��=2��∠�𝐵�����

第23页共47页.

(1)求证:是的切线;

(2)若��⊙�,求的长;

2

(3)延长tan∠�,��=交于2点,𝐸若,求的半径.

【答案】��(1)见𝐴解析�𝐴=��⊙�

(2)1

(3)2

【分析】(1)根据是的直径,可得,即,根据同弧

所对的圆周角相等�,�以及⊙已�知条件可得∠𝐵�=90°,等量∠�代�换�后+即∠�可�得�=90,进

而得证;∠�𝐵=∠𝐴�∠�𝐴=90°

(2)连接,根据角平分线的定义,以及等边对等角可得,根据同弧所对的圆

周角相等可�得�,𝐴,由垂径定理可得,�进�∥而��可得,

2

即可求解.∠���=∠�����=𝐴=2tan∠𝐴�=2

(3)过点作,根据平行线分线段成比例,求得,设的半径为,则

�,证�明�∥𝐵,可得,在��=22中,⊙��,��勾=

113222

股2�定�理=建2�立方程,△解𝐴方�程∽即△可𝐵求�解.𝐵=2�Rt△𝐵�𝐵+��=𝐴

(1)

证明:∵是的直径,

𝐴⊙,�

∴∠𝐵�=90°,

∴∠�𝐴+∠,���=90°

∵𝐵=𝐵,

∴∠�𝐵=∠𝐴�,

∵∠�𝐵=∠�𝐵,

∴∠�𝐵=∠𝐴�,

∴即∠�𝐵+∠��,�=∠�𝐵+∠𝐴�=90°

∠�是𝐴=9的0°切线,

∴��⊙�

第24页共47页.

(2)

如图,连接,

��,𝐴

平分,

∵��∠�𝐵,

∴∠D�E�=�BE==∠2���

∴OE⊥BD

∵��=��,

∴∠���=∠���,

∴∠���=,∠���

∴𝐵是∥��的直径,

∵𝐴⊙�,,

∴即�∠�A⊥DF�=�∠B�E�F⊥=9�0�°,

⏜⏜

∵��=��

∴∠���=∠���,

2

∴tan∠𝐴,�=tan∠���=2

𝐸2

∴𝐴=2;

2

∴(�3�)=2𝐴=1

如图,过点作,

���∥𝐵

第25页共47页.

由(2)可知,

,𝐵∥��

∴��∥��,

∵��=𝐴=��,

∴设��=的�半�径=为��,则,

11

⊙�,���=2��=2�

∵𝐵∥��,

∴△𝐴�∽,△𝐵�

𝐴��

∴𝐵=𝐵,

3

∴𝐵=3��,=2�

∵��⊥��,

∴��⊥��,

∵��=2,

在∴��=2��中=,22,

2

2221

在Rt△���中,��=��−��,=8−2�

222

即Rt△𝐵�𝐵+��=,𝐴

32122

解得2:�+8(−负2值�舍=去)2,�

的�半=径2为2.

∴【⊙点�睛】本题考查了切线的判定,圆周角定理的推论,平行线分线段成比例,相似三角形的

性质与判定,解直角三角形,综合运用以上知识是解题的关键.

9.(2022·山东枣庄·中考真题)如图,在半径为10cm的⊙O中,AB是⊙O的直径,CD是

过⊙O上一点C的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD,点E是BC的中点,OE=6cm.

第26页共47页.

(1)求证:CD是⊙O的切线;

(2)求AD的长.

【答案】(1)见解析

(2)

36

𝐵=5

【分析】(1)连接OC,由AC平分∠BAD,OA=OC,可得∠DAC=∠OCA,ADOC,根

据AD⊥DC,即可证明CD是⊙O的切线;∥

(2)由OE是ABC的中位线,得AC=12,再证明DAC∽△CAB,,即,

𝐵��𝐵12

从而得到AD△.△��=𝐴12=20

36

=5

(1)证明:连接OC,如图:∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=

∠CAO,∵OA=OC,∴∠CAO=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴ADOC,∵AD⊥DC,

∴CO⊥DC,∵OC是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线;∥

(2)解:∵E是BC的中点,且OA=OB,∴OE是△ABC的中位线,AC=2OE,∵OE=6,

∴AC=12,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°=∠ADC,又∠DAC=∠CAB,

∴△DAC∽△CAB,∴,即,∴AD.

𝐵��𝐵1236

【点睛】本题考查圆的切��线=的𝐴判定定12理=,20相似三角=形5的判定及性质等知识,解题的关键是熟

练应用圆的相关性质,转化圆中的角和线段.

10.(2022·山东济宁·中考真题)如图,在矩形ABCD中,以AB的中点O为圆心,以OA

为半径作半圆,连接OD交半圆于点E,在上取点F,使,连接BF,DF.

����=𝐸

第27页共47页.

(1)求证:DF与半圆相切;

(2)如果AB=10,BF=6,求矩形ABCD的面积.

【答案】(1)见解析

(2)

200

3

【分析】(1)连接OF,证明,可得,根据矩形的性质

可得,进而即可得△证��;�≅△���(SAS)∠���=∠���

(2)∠连��接�=,90根据题意证明,根据相似三角形的性质求得,进而勾股

定理,根𝐸据矩形的面积公式△即�可𝐵求∽解△.�����

(1)𝐵

证明:连接OF.

∵��=𝐸

,∴∠���=∠�𝐵.

∵��=��,��=��

∴△���≅△���(SAS)

四边形是矩形,

∴∠���=∠���.

∵𝐴𝐵

∴∠���=90

∴与半圆相切∘

DF.∴∠���=90.

(2)

解:连接,

𝐸,,

∵��=��,∠���=∠�𝐸

∴��⊥𝐸

第28页共47页.

为半圆的直径,

∵𝐴,

∴∠𝐸�=,90

∴��⊥𝐸

,∴��∥��.∴∠�𝐵=∠𝐴�.

∵∠�𝐵=∠𝐸�=90

,∴△�𝐵∽△���

����

∴��=𝐴,

56��

∴=10,

25

∴��=3

在中,

2

222520

矩�形���𝐵的面�积�为=��−��=3−52=3.

20200

∴【点睛�】��本�题考查了切3线×的10性=质,3相.似三角形的性质与判定,勾股定理,矩形的性质,掌握

以上知识是解题的关键.

11.(2022·青海西宁·中考真题)如图,在中,,点D在AB上,以BD

为直径的与AC相切于点E,交BC于�点�△F,𝐴连

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