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文档简介
挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)
专题29圆与相似及三角函数综合问题
【例1】(2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题)四边形内接于,直径
与弦交于点,直线与相切于点.𝐴𝐵⊙���
���𝐴⊙��
(1)如图1,若,且,求证:平分;
(2)如图2,连接∠𝐴�,=若30°��=��,求证:��∠𝐴�.
【答案】(1)见解�析�∠���=2∠𝐴�△�𝐴∽△𝐵�
(2)见解析
【分析】(1)连接,根据切线的性质可得,再由,可得
,从而�得�到为等边三角形∠,𝐴再�跟+等∠边𝐴三�角=形90的°性质可∠得𝐴B�E=平3分0°,
∠即�可��求=证6;0°△�𝐴∠𝐴�
(2)根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得,从而得到
,进而得到,∠再𝐴由�=∠𝐴�=∠�,𝐴即可求证.
∠(�1�)�=2∠�𝐴=2∠𝐴�∠�𝐴=∠�𝐵∠���=∠���
证明:连接,
直线与𝐴相切于点,
∵𝐴⊙�,�
∴∠𝐴�=90°,
∴∠𝐴�+∠𝐴,�=90°
∵∠𝐴�=30°,
∴又∠𝐴�=60,°
∵��=为�等�边三角形,
∴又△�𝐴,
∵�平�分=��,
∴��∠𝐴�
第1页共47页.
,
1
∴∠𝐴平�分=2∠𝐴;�=30°
∴��∠𝐴�
(2)
证明:∵直线与相切于点,
�,�⊙��
∴∠𝐴�=90°,
∴∵∠A�C�为�直+径∠�,��=90°
∴∠ABC=90°,
∴∠OBC+∠ABO=90°,
∴∠OBC=∠PBA,
∵OB=OC,
∴,
∠𝐴�=∠𝐴�=∠�𝐴,
∴∠�𝐴=2∠�𝐴=2∠𝐴�,
∵∠�𝐵=∠𝐴�,=2∠𝐴�
∴又∠�𝐴=∠�𝐵,
∵∠���=∠��.�
∴【△点�睛𝐴】∽本△题�主�要�考查了切线的性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性质等知识,熟练
掌握切线的性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性质是解题的关键.
【例2】(2022·广东深圳·中考真题)一个玻璃球体近似半圆为直径,半圆上点处有
个吊灯的中点为�,𝐴��
𝐸,𝐸//𝐴,��⊥𝐴,𝐸�,��=4.
第2页共47页.
(1)如图①,为一条拉线,在上,求的长度.
(2)如图②,一𝐶个玻璃镜与圆�相切�,�为切𝐶点,=1.为6,��上=一0.点8,,𝐵为入射光线,为反射
光线,��求�的�长�度.����
3
(3)如图∠③�,𝐶是=线∠�段��=上4的5动°,t点an,∠���为=入4射,光�线�,为反射光线交圆于
点在从�运动到�的�过程中,求�点�的运动路径长.∠�𝐶=50°,���
【答�,案�】(1�)2��
(2)
20
(3)��=7
16
4+9�
【分析】(1)由,可得出为的中位线,可得出D为
中点,即可得出��=的0长.8,度�;�=1.6,��∥𝐴��△�𝐶CO
(2)过N点作𝐵,交于点D,可得出为等腰直角三角形,根据,
3
可得出𝐵⊥��,��设△,�则𝐵,根据tan∠,��即�可=求4
𝐵3
得,tan再∠根��据�勾=股𝐵定=理4即可得𝐵出=答3案�;=��𝐵=4�𝐵+��=��
4
(3�)=依7题意得出点N路径长为:,推导得出,即可计算给出,即
可得出答案.𝐴+𝐴�∠�𝐵=80°𝐴�
(1)
∵
∴��为=0.8,𝐶的=中1位.6,线��∥𝐴
∴�D�为△�的𝐶中点
∵CO
∴��=��=4
(�2)�=2
过N点作,交于点D,
𝐵⊥����
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∵,
∴∠���=为4等5腰°直角三角形,即,
又△∵�𝐵,𝐵=��
3
∴tan∠���=,4
3
∴tan∠�𝐵=4,
𝐵3
∴tan∠�𝐵=𝐵,=4
设𝐵:𝐵=3:4,则,
∵𝐵=3�=��,𝐵=4�
∴𝐵+��=,��
解得3�+4�,=4
4
∴�=7,,
1216
𝐵=7𝐵=7
∴在中,;
2212216220
(3)𝑅△�𝐵��=𝐵+𝐵=(7)+(7)=7
如图,当点M与点O重合时,点N也与点O重合.当点M运动至点A时,点N运动至
点T,故点N路径长为:.
𝐴+𝐴�
∵.
∴∠���=∠���,∠���.=∠���,∠�𝐶=50°
∴∠���=∠���=65°.
∴∠���=65°,,∠���=50°
∴∠�𝐵=80°,
80°16
��
∴N�点=的2运�动×路4×径3长60为°=:9�,
16
故答案为:.𝐴+𝐴�=4+9�
16
4+9�
第4页共47页.
【点睛】本题考查了圆的性质,弧长公式、勾股定理、中位线,利用锐角三角函数值解三角
函数,掌握以上知识,并能灵活运用是解题的关键.
【例3】(2022·黑龙江哈尔滨·中考真题)已知是的直径,点A,点B是上的两个
点,连接,点D,点E分别是半径�的�中⊙点,�连接,且⊙�.
��,𝐴��,𝐴𝐵,��,��∠���=2∠�𝐴
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,延长∠交𝐵�于=点∠�F�,�若,求证:;
(3)如图3,在(2)�的�条件��下,点G是𝐵上⊥一�点�,连接��=��,若,,
求的长.��𝐴,��,𝐴,𝐸𝐴:��=5:3𝐴=2
【答𝐸案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
19
𝐸=3
【分析】(1)根据SAS证明即可得到结论;
(2)证明即可得△出�结𝐵论≅;△���
(3)先证明∠�=∠���,连接,证明,设,,在上取点M,
使得�,�连⊥接��,证明��为��等=边三��角形,�得�=5���=3,�根据𝐴
可求出𝐶=�,�得��,△,�过�点�H作于点�N�,求=出𝐴=2,再𝐴证=𝐶+��,
根据�=1𝐴=5可�得�结=论3.��⊥��𝐴=19𝐸=2𝐸
(1)𝐴=3𝐸=19
如图1.∵点D,点E分别是半径的中点
��,𝐴
第5页共47页.
∴,
11
∵𝐵=2��,��=2𝐴
∴��=𝐴
∵𝐵=��,
∴∠���=2∠�𝐴∠���=2∠�𝐴
∵∠���=∠���
∴��=��,
∴△�𝐵≅△���;
(∠2)𝐵�=∠���
如图2.∵,
∴𝐵⊥��
∠𝐵�=90°
由(1)得,
∴∠���=∠𝐵�=90°
��1
∴sin∠���=�,�=2
∴∠���=30°
∵∠���=90°−∠���=60°
11
∴∠�=2∠���,=2×60°=30°
∴∠�=∠���
(�3)�=��
如图3.∵,
∴��=����=��
∴𝐸⊥��
∠���=90°
第6页共47页.
连接.∵
∴��∠���=∠��,�=60°
∴∠���=∠,���=120°
∵��=��∠𝐴�=60°
设𝐴:��=,5:3
∴𝐴=5�
在��上=取3�点M,使得,连接
∵𝐴,𝐶=����
∴∠�𝐶=∠𝐴�
∴△�𝐶≌,△𝐴�
∴��=�为�等边三角形
∴△�𝐴
∵��=𝐴=2,
∴𝐴=𝐶+��
∴5�=3,�+2
∴�=1
∴𝐴=5,
过点��H=作𝐶=3于点N
��⊥��,
11
�∴�=2��=2×2=1,��=𝐴⋅sin60°=3
∴��=��+𝐶=4
22
∵𝐴=��=,��+��=,19
∴∠���=90°∠�𝐸=30°
∵∠𝐸�=6,0°
∴𝐴=��,
∴∠���=∠𝐴�=30°
∴∠�𝐴=,∠𝐴�=30°
𝐸=��
第7页共47页.
在中,,
∴𝑅△𝐸�∠�𝐸=30°
∴𝐸=2𝐸,
∴𝐴=��.+𝐸=3𝐸=19
19
【点𝐸睛=】本3题主要考查了圆周角定理,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定与性质,
等腰三角形的性质,勾股定理以及解直角三角形等知识,正确作出辅助线构造全等三角形是
解答本题的关键.
【例4】(2022·黑龙江绥化·中考真题)如图所示,在的内接中,,
,作于点P,交于另一点B,⊙C�是上的△一𝐶个�动点(∠不��与�A=,9M0°重
�合�),=射2�线�交�线�段⊥��的延长线于点⊙D�,分别连接和�,�交于点E.
������������
(1)求证:.
(2)若△𝐶,�∽△𝐴�,求的长.
(3)在点��C=运1动0过�程�中=,�当���时,求的值.
3��
【答案】(1)证明见解析tan∠���=4��
(2)
(3)310
3
2
【分析】(1)利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC,再利用两角分别相等即可证明相似;
(2)连接OC,先证明MN是直径,再求出AP和NP的长,接着证明,利
用相似三角形的性质求出OE和PE,再利用勾股定理求解即可;△���∽△���
(3)先过C点作CG⊥MN,垂足为G,连接CN,设出,,再利用三角函
数和勾股定理分别表示出PB和PG,最后利用相似三角�形�的=性3质�表�示�出=4E�G,然后表示出
ME和NE,算出比值即可.
(1)
第8页共47页.
解:∵AB⊥MN,
∴∠APM=90°,
∴∠D+∠DMP=90°,
又∵∠DMP+∠NAC=180°,∠MAN=90°,
∴∠DMP+∠CAM=90°,
∴∠CAM=∠D,
∵∠CMA=∠ABC,
∴.
(△2)𝐶�∽△𝐴�
连接OC,
∵,
∴∠M�N�是�直=径90,°
∵,
∴�OM�==ON10=OC=5,
∵,且,
222
∴𝐶=2��,𝐶+�,�=��
∵��=25𝐶=45,
11
∴�△𝐶�=,2𝐶⋅��=2��⋅��
∴��=4,
∴��=��=4,
22
∴��=��−�,�=2
∵��=5−,2=3
∴�OC�⊥=M�N�,
∴∠COE=90°,
∵AB⊥MN,
∴∠BPE=90°,
∴∠BPE=∠COE,
又∵∠BEP=∠CEO,
∴
∴△���∽△�,��
������
即��=��=��
5����
由4=��=��,
∴��+��,=��=,3
54
��=3��=3
第9页共47页.
∴,
2
22255
��=��+��=5+3=310
,
2
22244
∴��=��+��=4+3.=310
54
��=310+310=310
(3)
过C点作CG⊥MN,垂足为G,连接CN,则∠CGM=90°,
∴∠CMG+∠GCM=90°,
∵MN是直径,
∴∠MCN=90°,
∴∠CNM+∠DMP=90°,
∵∠D+∠DMP=90°,
∴∠D=∠CNM=∠GCM,
∵,
3
∴tan∠���=4,
3
∵tan∠�𝐶=tan∠�𝐶=4
��
∴设tan∠�𝐶=,𝐴,
∴��=3,�𝐴=4�
∴𝐶=5�,,
20�16�
∴��=3,𝐴=3
25�
∴𝐶=3,
25�
∵𝐶=��=,且6,
222
∴𝐶=2��,𝐶+��,=��
55105
∵��=3�𝐶=3�,
11
�△𝐶�=2𝐶⋅��=2��⋅��
第10页共47页.
∴,
10
∴��=3�,=𝐴
5
∴��=3�,
16511
∵∠𝐴C=GE3=�∠−BP3E�==903°,�∠CEG=∠BEP,
∴,
∴△𝐴�∽△�,��
𝐴����
即��=��=��
4�����
10
3�=��=��
∴,
5
∴��=2�,��=3�,
10�
∴��=5���,=3
∴��的:�值�为=.3:2
��3
��2
【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识,
涉及到了动点问题,解题关键是构造相似三角形,正确表示出各线段并找出它们的关系,本
题综合性较强,属于压轴题.
一、解答题【共20题】
1.(2022·内蒙古内蒙古·中考真题)如图,是的外接圆,与相切于点D,
分别交,的延长线于点E和F⊙,连�接△�交��于点N,𝐸的⊙平�分线交
�于�点∥�M�.𝐴��𝐵��∠𝐴���𝐵
(1)求证:平分;
(2)若𝐵∠,���,求线段的长.
𝐴:��=5:2𝐵=14��
第11页共47页.
【答案】(1)见解析
(2)
��=2
【分析】(1)连接OD,根据切线的性质得⊥EF,由得OD⊥BC,由垂径定理得
,进而即可得出结论;𝐵𝐸∥��
(��2)=由𝐵平行线分线段定理得,再证明,可得BD=2,最后证明
214
,进而即可求解��.=7△���∽△𝐵�
∠(�1�)�=∠���
证明:连接交于点H.
∵与�相�切于��点D
𝐸⊙�
∴,
∴𝐵⊥𝐸,
∵∠𝐵�=,90°
∴��∥𝐸,
∴∠���=,∠𝐵�=90°
∴𝐵⊥��,
∴��=𝐵即平分;
(∠2)�𝐵=∠�𝐵𝐵∠���
解:∵,
∴��,∥𝐸
��𝐵
∵��=𝐵,,
∴𝐴:��=5,:2𝐵=14
214
∵��=7,,
∴∠�𝐵=∠�𝐵,∠�𝐵=∠𝐴�
∵∠��平�分=∠𝐴�,
∴��∠𝐴�,
∴∠𝐴�=∠𝐴�,
∠�𝐵+∠𝐴�=∠𝐴�+∠𝐴�
第12页共47页.
∴,
∴∠���=∠,���
∵��=��,,
∴∠𝐴�=∠�𝐵,∠���=∠𝐵�
∴△���∽△𝐵�
𝐵��
∴��=𝐵,
2214
∴��=�(�负⋅值𝐵舍=去)7,×14=4
∴��=2
【点��睛=】�本�题=主2要考查圆的基本性质,切线的性质、相似三角形的判定和性质,平行线分线
段成比例定理,等腰三角形的判定和性质;找出相似三角形,列相似比求解是解决本题的关
键.
2.(2022·湖北黄石·中考真题)如图是直径,A是上异于C,D的一点,点B是
延长线上一点,连接、、�,�且⊙�.⊙�
��𝐴��𝐵∠���=∠𝐵�
(1)求证:直线是的切线;
(2)若�,�求⊙�的值;
(3)在(��2)=的2条��件下,作tan∠𝐵�的平分线交于P,交于E,连接、,若,
求的值.∠�𝐵��⊙�𝐵��𝐵𝐴=26
【答��案⋅�】�(1)见解析
(2)
2
(3)2
42
【分析】(1)如图所示,连接OA,根据直径所对的圆周角是直角得到,
再证明即可证明结论;∠���+∠�𝐵=90°
(2)先∠证��明�=∠���,得到,令半径,则,,
����
利用勾股定理△求�出��∽△�𝐵,解直�角�=三�角�形即可答�案�;=��=���=2�𝐴=3�
(3)先求出𝐴,=在22�中,,,解得,,
��2222
证明𝐵=23,得到Rt△�𝐵,则𝐵=2��+𝐵=𝐵.��=2𝐵=22
����
(1)△���∽△�𝐵��=𝐵��⋅��=��⋅𝐵=42
第13页共47页.
解:如图所示,连接OA,
∵是直径,
∴𝐵⊙�,
∠�𝐵=90°
∴,
又∠∵���+∠�,𝐵=90°
∴��=𝐵,
∵∠�𝐵=∠𝐵�,
∴∠���=∠𝐵�,
∴∠�𝐵=∠���,即,
∴∠���+∠,���=90°∠���=90°
又�∵�⊥为��半径,
∴直线��是的切线;
(2)𝐴⊙�
解:∵,,
∴∠���=∠�,��∠�=∠�
∴△���,∽△�𝐵
����
由𝐵=��知,令半径,则,,
在��=2��中,��=��=���,=2�𝐴=3�
22
在𝑅△���中,𝐴=𝐴−��=22�,
����2�2
即Rt△�𝐵t;an∠𝐵�=𝐵=��=22�=2
2
tan∠𝐵�=2
(3)
解:在(2)的条件下,,
∴,𝐴=22�=26
∴�=3,
𝐵=23
第14页共47页.
在中,,,
��2222
解得Rt△�𝐵,𝐵=2,��+𝐵=𝐵
∵�平�分=2𝐵,=22
∴��∠�𝐵,
又∠∵���=∠�𝐵,
∴∠���=∠𝐵�,
∴△���,∽△�𝐵
����
∴��=𝐵.
【点��睛⋅�】�本=题�主�要⋅�考�查=了2圆×切2线2的=判4定2,直径所对的圆周角是直角,相似三角形的性质与判
定,解直角三角形,勾股定理,等腰三角形的性质等等,熟知相关知识是解题的关键.
3.(2022·湖北襄阳·中考真题)如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆O上,点D为
的中点,连接AC,BC,AD,AD与BC相交于点G,过点D作直线DEBC,交AC的延�长�
线于点E.∥
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若,CG=2,求阴影部分的面积.
【答案��】=(1�)见�解析3
(2)
153
2
【分析】(1)连接OD,根据已知条件,由OD⊥BC,DEBC,证明OD⊥DE即可;
(2)根据相等,再由(1)中可得,∥,从而得到
∠CAD=∠�B �AD==�∠ �ABC=30°,在Rt△AC� G�中=,� �利用锐角� 三�角=函� �数=求� 出�AC、AG的长,从而
求出△CAG的面积,在Rt△ABD中利用锐角三角函数求出AD的长,根据DEBC可得
△ACG∽△AED,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出∥,进而即可
273
阴影部分的面积.�△�𝐵=2
(1)
证明:连接OD,如图所示,
第15页共47页.
∵点D为的中点,
∴OD⊥BC��
∵DEBC,
∴OD∥⊥DE.
∴DE是⊙O的切线.
(2)
连接BD,如图所示,
∴
BD=AC∵��=��
∵点D为的中点,
∴��,
∴𝐵=��,
∴∠��C=AD�=�∠=B�A�D=30°.
∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°,
在Rt△ACG中,,
𝐴𝐴
∴tan∠��,�=��,sin∠�𝐵=𝐴
𝐴𝐴
∵��=tan30,°,𝐴=sin30°
∴𝐴=23,,
∴�B�D==C2A=63,×3=6𝐴=43
,
1
△�𝐴
在∴�Rt△A=BD2�中�,⋅��=63
��
∴tan∠�𝐵=𝐵,
��6
3
𝐵=tan30°=3=63.
第16页共47页.
∵DE∥BC,
∴△CAG∽△EAD,
∴,
�△�𝐴𝐴2
△�𝐵
即�=(,𝐵)
634
Δ�𝐵
∴�=9
273
�△�𝐵=2.
∴阴影部分.
153
【点�睛】本=题�主△�要𝐵考−查�△了�切𝐴线=的2判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质,
解直角三角形,掌握以上知识是解题的关键.
4.(2022·辽宁鞍山·中考真题)如图,是的外接圆,为的直径,点为
上一点,交的延长线于点,⊙�与△�交�于�点,连接𝐴,⊙若��.⊙�
1
𝐸∥��𝐴���𝐴���∠���=2∠𝐴�
(1)求证:是的切线.
(2)若𝐸,⊙�,求的半径.
3
【答案��】=(12)过程sin见∠解��析�=5⊙�
(2)3
【分析】(1)连接OE,先根据圆周角定理及已知条件得出∠ABC=∠BOE,进而得出,
再由,根据平行线的性质得出∠FEO=∠ACB,然后根据直径所对的是直角�,�即∥可��得
出答案𝐸;∥��
(2)先说明,再设的半径为r,并表示,,,然后根据对应边
成比例得出△���,∼根△据��比�例式求出⊙半�径即可.��𝐴��
����
(1)��=𝐴
证明:连接OE.
第17页共47页.
∵,,
11
∴∠�A�B�C=∠2∠B�O�E�,∠���=2∠���
∴,
∴∠��O∥ED��=∠BCD.
∵,
∴∠𝐸F∥EC��=∠ACE,
∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE,
即∠FEO=∠ACB.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠FEO=90°,
∴.
∵�E�O⊥是��的半径,
∴EF是⊙�的切线.
(2)⊙�
∵,
∴𝐸∥��.
∵B△F�=�2�,∼△�𝐴.
3
设的半si径n∠为��r,�=5
∴⊙�,,.
6
∵��=2,+�𝐴=2���=5�
����
∴��=𝐴,
�2+�
6
解得5�=2�,
∴�=的3半径是3.
【点⊙睛�】本题主要考查了切线的性质和判定,解直角三角形,熟练掌握相关定理是解题的关
键.
5.(2022·辽宁朝阳·中考真题)如图,AC是⊙O的直径,弦BD交AC于点E,点F为BD
延长线上一点,∠DAF=∠B.
第18页共47页.
(1)求证:AF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,AD是AEF的中线,且AD=6,求AE的长.
【答案】(1)见解析△
(2)
36
5
【分析】(1)由圆周角定理得∠ADC=90°,则∠ACD+∠DAC=90°,从而说明,即
可证明结论;��⊥𝐸
(2)作于点H,利用△ADH~△ACD,,求出AH的长,再利用直角三角
𝐵��
形斜边上�中�线⊥的��性质得出AD=DE,利用等腰三角�形�的=性𝐵质可得答案.
(1)
证明:∵AC是直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠ACD+∠DAC=90°,
∵∠ACD=∠B,∠B=∠DAF,
∴∠DAF=∠ACD,
∴∠DAF+∠DAC=90°,
∴,
∵�AC�是⊥直𝐸径,
∴AF是⊙O的切线;
(2)
解:作于点H,
��⊥��
∵⊙O的半径为5,
∴AC=10,
∵∠AHD=∠ADC=90°,∠DAH=∠CAD,
∴△ADH~△ACD,
∴,
𝐵��
∴��=𝐵,
2
∵�AD�==6,��⋅��
∴,
3618
��=10=5
第19页共47页.
∵AD是△AEF的中线,∠EAF=90°,
∴AD=ED,
.
36
�【�点=睛2】��本=题主5要考查了圆周角定理,切线的判定定理,相似三角形的判定与性质,等腰三
角形的性质等知识,根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键.
6.(2022·山东菏泽·中考真题)如图,在中,以AB为直径作交AC、BC于点D、
E,且D是AC的中点,过点D作△�于�点�G,交BA的延长线⊙于点�H.
��⊥��
(1)求证:直线HG是的切线;
(2)若⊙,�求CG的长.
2
【答案��】=(13)见,c解os析�=5
(2)
6
5
【分析】(1)连接OD,利用三角形中位线的定义和性质可得,再利用平行线的性质
即可证明;𝐵∥��
(2)先通过平行线的性质得出,设,再通过解直角三角
形求出半径长度,再利用三角形∠中𝐴位�线=定∠理��和�相似三𝐵角=形�的�判=定�和�性=质�分别求出BC,BG
的长度,即可求解.
(1)
连接OD,
第20页共47页.
,
∵��⊥��,
∴∵∠D�是��A=C的90中°点,AB为直径,
,
∴𝐵∥��,
∴直∠�线��HG=是∠𝐵�的=切9线0°;
∴(2)⊙�
由(1)得,
∴𝐵∥��,
∠𝐴�=∠��,�
2
∵cos∠𝐴�=5,
2
∴设cos∠�𝐵=5,
𝐵=�,�=𝐴=�
∵��=3,
∴在��=3+�中,,
𝑅△�𝐵∠𝐵�=9,0°
𝐵�2
∴解c得os∠�𝐵,=��=3+�=5
∴�=2,
∵�D�是=A�C�的=中�点�,=A2B,�为�直=径5,,��=7
,
∴��=2𝐵=4,
∵∠���=∠𝐵�,=90°
∴△𝐵�∼,△即���,
��𝐵52
∴��=��,7=��
14
∴��=5.
146
∴【�点�睛=】�本�−题�考�查=了4切−线5的=判5定,三角形中位线的性质,平行线的判定和性质,相似三角形
的判定和性质及解直角三角形,熟练掌握知识点是解题的关键.
7.(2022·贵州黔西·中考真题)如图,在中,,以AB为直径作⊙,分别交
BC于点D,交AC于点E,,垂△足�为��H,连�接�=DE��并延长交BA的延长线�于点F.
��⊥��
第21页共47页.
(1)求证:DH是⊙的切线;
(2)若E为AH的中�点,求的值.
𝐸
【答案】(1)见解析��
(2)
2
3
【分析】(1)连接OD,证明,由,可得,即可证明结论;
(2)连接AD和BE,由圆周角�定�理∥�可�以得出��⊥����⊥�,�可以得出,
,进而根据平行线分线段成比例推出BD=∠C�D�,�C=H∠=�H�E�,=根9据0°E为AH的中��点∥,�可�得�出�∥
A�E�=EH=CH,,根据且,可以得出,根据相似三
11
角形的性质得�到�=3��,将AE�,�/O/D��代入�即�=可2求��出答案.△���∽△�𝐵
����
(1)��=𝐵
连接OD,则.
∴𝐵=.𝐴
∵∠𝐵�=,∠𝐴�
∴𝐴=��.
∴∠𝐴�=∠�.
∴∠𝐵�=.∠�
∴𝐵∥��.
∵∠���=,∠𝐵�
∴��⊥��.
∴∠���=∠.𝐵�=90°
∴�D�H是⊥𝐵的切线.
⊙�
第22页共47页.
(2)
连接AD和BE.
∵AB是的直径,
∴⊙�,.
∵��=𝐴∠𝐵�=∠�𝐴=90°
∴𝐵∥��
𝐴��
∴��=𝐵=.1
∴𝐵=��且.
1
∵𝐵//��,𝐵=2��
∴𝐵∥��.
∵∠�𝐸=∠,𝐵�
∴∠�=∠�.
∴△���.∽△�𝐵
����
∵��=𝐵
∴∠���=∠���=90°
∴��∥��
��𝐵
∴��=��=.1
∵�E�为=A�H�的中点,
∴.
∴��=��=��
1
��=3��
∴1.
����3��2
1
【点��睛=】𝐵本=题2�考�查=了3切线的判定和性质,圆周角定律,平行线分线段成比例,三角形相似的
判定与性质等知识,熟练掌握以上判定和性质是本题解题的关键.
8.(2022·贵州安顺·中考真题)如图,是的直径,点是劣弧上一点,,
且,平分,与𝐴交于⊙点�.���∠�𝐵=∠�𝐵
��=2��∠�𝐵�����
第23页共47页.
(1)求证:是的切线;
(2)若��⊙�,求的长;
2
(3)延长tan∠�,��=交于2点,𝐸若,求的半径.
【答案】��(1)见𝐴解析�𝐴=��⊙�
(2)1
(3)2
【分析】(1)根据是的直径,可得,即,根据同弧
所对的圆周角相等�,�以及⊙已�知条件可得∠𝐵�=90°,等量∠�代�换�后+即∠�可�得�=90,进
而得证;∠�𝐵=∠𝐴�∠�𝐴=90°
(2)连接,根据角平分线的定义,以及等边对等角可得,根据同弧所对的圆
周角相等可�得�,𝐴,由垂径定理可得,�进�∥而��可得,
2
即可求解.∠���=∠�����=𝐴=2tan∠𝐴�=2
(3)过点作,根据平行线分线段成比例,求得,设的半径为,则
�,证�明�∥𝐵,可得,在��=22中,⊙��,��勾=
113222
股2�定�理=建2�立方程,△解𝐴方�程∽即△可𝐵求�解.𝐵=2�Rt△𝐵�𝐵+��=𝐴
(1)
证明:∵是的直径,
𝐴⊙,�
∴∠𝐵�=90°,
∴∠�𝐴+∠,���=90°
∵𝐵=𝐵,
∴∠�𝐵=∠𝐴�,
∵∠�𝐵=∠�𝐵,
∴∠�𝐵=∠𝐴�,
∴即∠�𝐵+∠��,�=∠�𝐵+∠𝐴�=90°
∠�是𝐴=9的0°切线,
∴��⊙�
第24页共47页.
(2)
如图,连接,
��,𝐴
平分,
∵��∠�𝐵,
∴∠D�E�=�BE==∠2���
∴OE⊥BD
,
∵��=��,
∴∠���=∠���,
∴∠���=,∠���
∴𝐵是∥��的直径,
∵𝐴⊙�,,
∴即�∠�A⊥DF�=�∠B�E�F⊥=9�0�°,
⏜⏜
,
∵��=��
∴∠���=∠���,
2
∴tan∠𝐴,�=tan∠���=2
𝐸2
∴𝐴=2;
2
∴(�3�)=2𝐴=1
如图,过点作,
���∥𝐵
第25页共47页.
由(2)可知,
,𝐵∥��
∴��∥��,
∵��=𝐴=��,
∴设��=的�半�径=为��,则,
11
⊙�,���=2��=2�
∵𝐵∥��,
∴△𝐴�∽,△𝐵�
𝐴��
∴𝐵=𝐵,
3
∴𝐵=3��,=2�
∵��⊥��,
∴��⊥��,
∵��=2,
在∴��=2��中=,22,
2
2221
在Rt△���中,��=��−��,=8−2�
222
即Rt△𝐵�𝐵+��=,𝐴
32122
解得2:�+8(−负2值�舍=去)2,�
的�半=径2为2.
∴【⊙点�睛】本题考查了切线的判定,圆周角定理的推论,平行线分线段成比例,相似三角形的
性质与判定,解直角三角形,综合运用以上知识是解题的关键.
9.(2022·山东枣庄·中考真题)如图,在半径为10cm的⊙O中,AB是⊙O的直径,CD是
过⊙O上一点C的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD,点E是BC的中点,OE=6cm.
第26页共47页.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求AD的长.
【答案】(1)见解析
(2)
36
𝐵=5
【分析】(1)连接OC,由AC平分∠BAD,OA=OC,可得∠DAC=∠OCA,ADOC,根
据AD⊥DC,即可证明CD是⊙O的切线;∥
(2)由OE是ABC的中位线,得AC=12,再证明DAC∽△CAB,,即,
𝐵��𝐵12
从而得到AD△.△��=𝐴12=20
36
=5
(1)证明:连接OC,如图:∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=
∠CAO,∵OA=OC,∴∠CAO=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴ADOC,∵AD⊥DC,
∴CO⊥DC,∵OC是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线;∥
(2)解:∵E是BC的中点,且OA=OB,∴OE是△ABC的中位线,AC=2OE,∵OE=6,
∴AC=12,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°=∠ADC,又∠DAC=∠CAB,
∴△DAC∽△CAB,∴,即,∴AD.
𝐵��𝐵1236
【点睛】本题考查圆的切��线=的𝐴判定定12理=,20相似三角=形5的判定及性质等知识,解题的关键是熟
练应用圆的相关性质,转化圆中的角和线段.
10.(2022·山东济宁·中考真题)如图,在矩形ABCD中,以AB的中点O为圆心,以OA
为半径作半圆,连接OD交半圆于点E,在上取点F,使,连接BF,DF.
����=𝐸
第27页共47页.
(1)求证:DF与半圆相切;
(2)如果AB=10,BF=6,求矩形ABCD的面积.
【答案】(1)见解析
(2)
200
3
【分析】(1)连接OF,证明,可得,根据矩形的性质
可得,进而即可得△证��;�≅△���(SAS)∠���=∠���
∘
(2)∠连��接�=,90根据题意证明,根据相似三角形的性质求得,进而勾股
定理,根𝐸据矩形的面积公式△即�可𝐵求∽解△.�����
(1)𝐵
证明:连接OF.
,
∵��=𝐸
,∴∠���=∠�𝐵.
∵��=��,��=��
∴△���≅△���(SAS)
四边形是矩形,
∴∠���=∠���.
∵𝐴𝐵
∘
∴∠���=90
∴与半圆相切∘
DF.∴∠���=90.
(2)
解:连接,
𝐸,,
∵��=��,∠���=∠�𝐸
∴��⊥𝐸
第28页共47页.
为半圆的直径,
∵𝐴,
∘
∴∠𝐸�=,90
∴��⊥𝐸
,∴��∥��.∴∠�𝐵=∠𝐴�.
∘
∵∠�𝐵=∠𝐸�=90
,∴△�𝐵∽△���
����
∴��=𝐴,
56��
∴=10,
25
∴��=3
在中,
2
222520
矩�形���𝐵的面�积�为=��−��=3−52=3.
20200
∴【点睛�】��本�题考查了切3线×的10性=质,3相.似三角形的性质与判定,勾股定理,矩形的性质,掌握
以上知识是解题的关键.
11.(2022·青海西宁·中考真题)如图,在中,,点D在AB上,以BD
为直径的与AC相切于点E,交BC于�点�△F,𝐴连
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