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文档简介
挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)
专题28以圆为载体的几何综合问题
【例1】(2022·河北·育华中学三模)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=4,
BC=10,sinC=,以AB为直径作⊙O,把⊙O沿水平方向平移x个单位,得到⊙O′,A'B'
4
为直径AB平移后5的对应线段.
(1)当x=0,且M为⊙O上一点时,求DM的最大值;
(2)当B′与C重合时,设⊙O′与CD相交于点N,求点N到AB的距离;
(3)当⊙O′与CD相切时,直接写出x的值.
【答案】(1)
(2)42+4
154
(3)225或12.
【分析】(1)当x=0,连接DO并延长交⊙O于点M,则此时DM的值最大,过点D作DE⊥BC
于E,易证四边形ABED是矩形,可得AB=DE,AD=BE=4,解RtDEC求出DE=8,
CD=10,可得⊙O的半径为4,利用勾股定理求出OD,即可得到DM△的最大值;
(2)当与C重合时,与CD相交于点N,则⊙O向右平移了10个单位长度,连接,
′′′
则�,连接,⊙过�点N作NF⊥于点F,如图,解Rt,求出,��,
′′′′′′′′
然后��根=据1等0积法求�出�NF即可解决问题;��△�������
(3)当与CD相切,在CD的左边时,设切点为P,如图,则是矩形,、CD、
′′′′
都是⊙�的切线,根据切线长定理可得,,�求�出𝐸�,�
′′′′′′
��,⊙根�据列�方�程=求�出�x即�可�=;�当�与�C�D=相4切−,�在C�D�的=
′′′
1右0边−时�,同理�求�解=即�可�+.��=��+��⊙�
(1)
解:如图,当x=0,连接DO并延长交⊙O于点M,则此时DM的值最大,过点D作DE⊥BC
于E,
∵∠A=∠B=∠DEB=90°,
第1页共68页.
∴四边形ABED是矩形,
∴AB=DE,AD=BE=4,
∴EC=BC-BE=10-4=6,
∵在RtDEC中,sinC=,
��4
∴设DE△=4k,CD=5k(k�>�=0)5,
由勾股定理得:,即,
222222
整理得:,��+��=𝐸6+4�=5�
2
∵k>0,�=4
∴,
∴�DE==24k=8,CD=5k=10,
∴AB=DE=8,
∴OA=OB=4,
∴OD=,
22
∴DM=4+4,=42
即DM的4最2大+值4为;
42+4
(2)
当与C重合时,与CD相交于点N,则⊙O向右平移了10个单位长度,连接,则
′′′
�,连接⊙,�过点N作NF⊥于点F,如图,则,��
′′′′′′
�在�Rt=1C0DE中,��,��,∠���=90°
��3��4
∵△,sin∠𝐸�=𝐸=5cos∠𝐸�=𝐸=5
′′
∴��∥��∥��,
′′
在∠R�t��=∠中�,��,
′′′′
∵△�����=��=8,,
′′
′′��3′′��4
′′′′
∴sin∠���=��=sin∠�,��=5cos∠���=��=,cos∠𝐸�=5
′3′′324′4′′432
∵��=5��=5×8=5��=,5��=5×8=5
11
′′′′′′
�△���=2��⋅𝑁=2��⋅��
∴2432,
′′
��⋅��5×596
′′
𝑁=��=8=25
第2页共68页.
∴点N到AB的距离为;
′96154
��−𝑁=10−25=25
(3)
当与CD相切,在CD的左边时,设切点为P,如图,则是矩形,、CD、
′′′′′
都是⊙�的切线,��𝐸����
′
⊙�
∴,,
′′
∵��=𝐸��,=��
′′
∴��=��=,�,
′′
∵��=4−���=10−�,
′′
∴𝐸=𝐸+��=��,+��
解得10:=4−�;+10−�
当�与=C2D相切,在CD的右边时,设切点为Q,如图,则是矩形,、CD、
′′′′′
都是⊙�的切线,��������
′
⊙�
∴,,
′′
∵��=𝐸��,=��
′′
∴��=��=,�,
′′
∵��=�−4��=�−10,
′′
𝐸=𝐸+��=��+��
第3页共68页.
∴,
解得10:=�−4+;�−10
综上,当�=⊙1O2′与CD相切时,x的值为2或12,
故答案为:2或12.
【点睛】本题主要考查了矩形的判定,解直角三角形,勾股定理,点与圆的位置关系,平移
的性质,圆周角定理,切线的性质以及切线长定理等知识,熟练掌握直径所对的圆周角是直
角,从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等是解题的关键.
【例2】(2022·黑龙江哈尔滨·中考真题)已知是的直径,点A,点B是上的两个
点,连接,点D,点E分别是半径�的�中⊙点,�连接,且⊙�.
��,����,��𝐸,��,𝐶∠���=2∠𝐶�
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,延长∠交𝐸�于=点∠�F�,�若,求证:;
(3)如图3,在(2)�的�条件𝐶下,点G是𝐸上⊥一�点�,连接��=��,若,,
求的长.𝐶𝐴,𝐴,��,𝑁𝐴:𝐴=5:3��=2
【答𝑁案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
19
𝑁=3
【分析】(1)根据SAS证明即可得到结论;
(2)证明即可得△出�结𝐸论≅;△���
(3)先证明∠�=∠���,连接,证明,设,,在上取点M,
使得�,�连⊥接𝐶,证明𝐶为𝐶等=边三𝐶角形,�得�=5�𝐴=3,�根据𝐴
可求出𝐴=�,�得��,△,�过�点�H作于点�N�,求=出��=2,再𝐴证=𝐴+��,
根据�=1𝐴=5可�得�结=论3.��⊥����=19��=2𝑁
(1)��=3𝑁=19
如图1.∵点D,点E分别是半径的中点
��,��
第4页共68页.
∴,
11
∵𝐸=2��,��=2��
∴��=��
∵𝐸=��,
∴∠���=2∠𝐶�∠���=2∠𝐶�
∵∠���=∠���
∴��=��,
∴△�𝐸≅△���;
(∠2)𝐸�=∠���
如图2.∵,
∴𝐸⊥��
∠𝐸�=90°
由(1)得,
∴∠���=∠𝐸�=90°
��1
∴sin∠���=�,�=2
∴∠���=30°
∵∠���=90°−∠���=60°
11
∴∠�=2∠���,=2×60°=30°
∴∠�=∠���
(�3)�=��
第5页共68页.
如图3.∵,
∴��=𝐶��=��
∴𝑁⊥𝐶
∠�𝐶=90°
连接.∵
∴𝐶∠���=∠��,�=60°
∴∠�𝐶=∠,�𝐶=120°
∵𝐶=𝐶∠𝐴�=60°
设𝐴:𝐴=,5:3
∴𝐴=5�
在𝐴上=取3�点M,使得,连接
∵𝐴,𝐴=𝐴��
∴∠�𝐴=∠�𝐴
∴△�𝐴≌,△�𝐴
∴��=�为�等边三角形
∴△���
∵��=��=2,
∴𝐴=𝐴+��
∴5�=3,�+2
∴�=1
∴𝐴=5,
过点𝐴H=作𝐴=3于点N
��⊥��,
11
�∴�=2��=2×2=1,��=��⋅sin60°=3
∴��=��+𝐴=4
22
∵��=��=,��+��=,19
∴∠�𝐶=90°∠𝐶�=30°
∵∠𝑁�=6,0°
��=𝐶
第6页共68页.
∴,
∴∠𝐶�=∠�𝐶=30°
∴∠���=,∠�𝑁=30°
在𝑁=𝑁中,,
∴𝑅△𝑁�∠𝐶�=30°
∴��=2𝑁,
∴��=𝑁.+��=3𝑁=19
19
【点𝑁睛=】本3题主要考查了圆周角定理,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定与性质,
等腰三角形的性质,勾股定理以及解直角三角形等知识,正确作出辅助线构造全等三角形是
解答本题的关键.
【例3】(2022·黑龙江绥化·中考真题)如图所示,在的内接中,,
,作于点P,交于另一点B,⊙C�是上的△一𝐴个�动点(∠不��与�A=,9M0°重
�合�),=射2�线�交�线�段⊥��的延长线于点⊙D�,分别连接和�,�交于点E.
������������
(1)求证:.
(2)若△𝐴,�∽△�𝐸,求的长.
(3)在点��C=运1动0过�程�中=,�当���时,求的值.
3��
【答案】(1)证明见解析tan∠���=4��
(2)
(3)310
3
2
【分析】(1)利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC,再利用两角分别相等即可证明相似;
(2)连接OC,先证明MN是直径,再求出AP和NP的长,接着证明,利
用相似三角形的性质求出OE和PE,再利用勾股定理求解即可;△���∽△���
(3)先过C点作CG⊥MN,垂足为G,连接CN,设出,,再利用三角函
��=3�𝐴=4�
第7页共68页.
数和勾股定理分别表示出PB和PG,最后利用相似三角形的性质表示出EG,然后表示出
ME和NE,算出比值即可.
(1)
解:∵AB⊥MN,
∴∠APM=90°,
∴∠D+∠DMP=90°,
又∵∠DMP+∠NAC=180°,∠MAN=90°,
∴∠DMP+∠CAM=90°,
∴∠CAM=∠D,
∵∠CMA=∠ABC,
∴.
(△2)𝐴�∽△�𝐸
连接OC,
∵,
∴∠M�N�是�直=径90,°
∵,
∴�OM�==ON10=OC=5,
∵,且,
222
∴𝐴=2��,𝐴+�,�=��
∵��=25𝐴=45,
11
∴�△𝐴�=,2𝐴⋅��=2��⋅��
∴��=4,
∴��=��=4,
22
∴��=��−�,�=2
∵��=5−,2=3
∴�OC�⊥=M�N�,
∴∠COE=90°,
∵AB⊥MN,
∴∠BPE=90°,
∴∠BPE=∠COE,
又∵∠BEP=∠CEO,
∴
∴△���∽△�,��
������
��=��=��
第8页共68页.
即
5����
由4=��=��,
∴��+��,=��=,3
54
��=3��=3
∴,
2
22255
��=��+��=5+3=310
,
2
22244
∴��=��+��=4+3.=310
54
��=310+310=310
(3)
过C点作CG⊥MN,垂足为G,连接CN,则∠CGM=90°,
∴∠CMG+∠GCM=90°,
∵MN是直径,
∴∠MCN=90°,
∴∠CNM+∠DMP=90°,
∵∠D+∠DMP=90°,
∴∠D=∠CNM=∠GCM,
∵,
3
∴tan∠���=4,
3
∵tan∠�𝐴=tan∠�𝐴=4
��
∴t设an∠�𝐴=,𝐴,
∴��=3,�𝐴=4�
∴𝐴=5�,,
20�16�
∴��=3,𝐴=3
25�
∴𝐴=3,
25�
𝐴=��=6
第9页共68页.
∵,且,
222
∴𝐴=2��,𝐴+��,=��
55105
∵��=3�𝐴=3�,
11
∴�△𝐴�=2𝐴⋅,��=2��⋅��
10
∴��=3�,=��
5
∴��=3�,
16511
∵∠𝐴C=GE3=�∠−BP3E�==903°,�∠CEG=∠BEP,
∴,
∴△𝐴�∽△�,��
𝐴����
即��=��=��
4�����
10
3�=��=��
∴,
5
∴��=2�,��=3�,
10�
∴��=5���,=3
∴��的:�值�为=.3:2
��3
��2
【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识,
涉及到了动点问题,解题关键是构造相似三角形,正确表示出各线段并找出它们的关系,本
题综合性较强,属于压轴题.
【例4】(2022·湖北荆州·中考真题)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点O是边
AB上一个动点(不与点A重合),连接OD,将△OAD沿OD折叠,得到△OED;再以O
为圆心,OA的长为半径作半圆,交射线AB于G,连接AE并延长交射线BC于F,连接EG,
设OA=x.
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(1)求证:DE是半圆O的切线;
(2)当点E落在BD上时,求x的值;
(3)当点E落在BD下方时,设△AGE与△AFB面积的比值为y,确定y与x之间的函数关系
式;
(4)直.接.写.出.:当半圆O与△BCD的边有两个交点时,x的取值范围.
【答案】(1)见详解
(2)
3
2
(3)2
9�3
2
(4)�=4�+36或(0<�<2)
325
2<�≤38<�≤4
【分析】(1)根据切线的判定定理求解即可;
(2)如图,在,根据勾股定理列方程求解即可;
(3)先证𝑅Δ���,求出AE,然后证明,根据相似三角形面积比等于
相似比的平Δ方��即�可∽求Δ�解�;�Δ�𝐴∽Δ�𝑁
(4)结合图形,分情况讨论即可求出x的取值范围.
(1)
证明:在矩形ABCD中,,
△OED是△OAD沿OD∠折�叠��得=到9的0,°
∵,即,
∴D∠�E�是�半=圆∠�O�的�切=线90;°��⊥��
∴(2)
解:△OED是△OAD沿OD折叠得到的,
∵,
∴��=𝐸=3,��=��,=�
∴在��=��中−,��=4−�,
2222
𝑅Δ�����=𝐸+,��=3+4=5
∴��=��−��=5−3=2
第11页共68页.
在中,,
222
𝑅Δ�����+,�解�得=��,
2223
答∴�:x+的2值=为4.−��=2
3
2
(3)
解:在中,,
22222
△OE�D�Δ是�△��OAD沿��O=D折�叠�得+到�的�,=3+�=9+�
∵,
∴��是⊥𝐸的直径,
∵𝐴⊙�,即,
∴∠�𝐴=,90°��⊥𝐴
∴𝐸∥𝐴∠���,=∠�𝐴=90°
∴∠�𝐸=∠𝐴�,
∴Δ���∽,Δ�𝐴
����
∴𝐴=��,
22
9+�36�
22
∴2�=��,��=9+�,
∵∠�𝐴=∠���,=90°,∠�𝐴=∠�𝑁
∴Δ�𝐴∽Δ�𝑁
,即6�2,
2
�Δ𝐴���232+�29�
2
∴�Δ𝑁�=���=4=49+�
()
2
9�3
2
∴�=4�+360<�<2
第12页共68页.
(4)
解:由(2)知,当E在DB上时,,
3
如图,当点E在DC上时,,�=2
�=3
∴当时,半圆O与△BCD的边有两个交点;
3
当半圆2<O�经≤过3点C时,半圆O与△BCD的边有两个交点,
连接OC,在中,,
𝑅Δ��,���=4−�,��=�,��=3
222
∵��+��=��,解得,
22225
∴当4−�+3时=,�半圆O与�△=B8CD的边有两个交点;
25
8≤�≤4
综上所述,当半圆O与△BCD的边有两个交点时,x的取值范围为:或.
325
【点睛】本题考查了矩形的性质,轴对称,勾股定理,切线的判定定2理<,�相≤似3三角8形<的�≤判4定
和性质,直径所对的圆周角是直角,相似三角形的判定和性质是解本题的关键.
【例5】(2022·浙江温州·中考真题)如图1,为半圆O的直径,C为延长线上一点,
切半圆于点D,,交延长线于点�E�,交半圆于点F,已知��.点�P�,
Q分别在线段��⊥上�(�不与�端�点重合),且满足.设��=5.,��=3
��5
��,����=4��=�,��=�
(1)求半圆O的半径.
(2)求y关于x的函数表达式.
(3)如图2,过点P作于点R,连结.
①当为直角三角��形⊥时�,�求x的值.��,��
△���
第13页共68页.
②作点关于的对称点,当点落在上时,求的值.
F′
′′𝑁
′
【答案】(1)������𝑁
15
(2)8
55
(3)�①=或4�+;4②
92119
7119
【分析】(1)连接OD,设半径为r,利用,得,代入计算即可;
𝐸��
(2)根据CP=AP十AC,用含x的代数式△表�示𝐸A∽P△的�长�,�再由�(�1=)�计�算求AC的长即可;
(3)①显然,所以分两种情形,当时,则四边形RPQE是矩形,
当∠PQR=9∠0°�时�,�<过9点0°P作PH⊥BE于点H,则∠�四�边�形=9P0H°ER是矩形,分别根据图形可
得答案;
②连接,由对称可知,利用三角函数表示出和
′′′′
BF的长度𝑁,,�从�而解决问题.𝑁=𝑁,∠���=∠���=45°𝑁
(1)
解:如图1,连结.设半圆O的半径为r.
𝐸
∵切半圆O于点D,
∴𝐸.
∵𝐸⊥𝐸,
∴��⊥𝐸,
∴𝐸∥��,
∴△�𝐸,∽△���
𝐸��
即��=��,
�5−�
∴3=5,即半圆O的半径是.
1515
(2�)=88
由(1)得:.
155
∵��=,��−��=5−2×8=4
��5
∴��=4,�.�=�
5
��=4�
第14页共68页.
∵,
∴��=��+.��
55
(3�)=4�+4
①显然,所以分两种情况.
ⅰ)当∠���<90时°,如图2.
∠���=90°
∵,
∴��⊥��.
∵∠���=9,0°
∴∠四�边=形90°为矩形,
∴��.��
∵��=��,
333
∴��=��⋅sin�,=5�=4�+4
33
∴4�+.4=3−�
9
ⅱ)�当=7时,过点P作于点H,如图3,
∠���=90°𝐶⊥��
则四边形是矩形,
∴𝐶��.
∵𝐶=��,𝐶=,��
∴��=5,��=3.
22
∵��=5−3=4,
4
∴��=��⋅cos�=5�=,�+1
∴𝐶=��=3−�=�,�
∴∠���=∠���=45°,
∠�𝐶=45°=∠�𝐶
第15页共68页.
∴,
由��=��得=:3−�,
33
∴𝐶=.��(3−�)+(3−�)=4�+4
21
综上�=所1述1,x的值是或.
921
②如图4,连结7,11
′
𝑁,𝑁
由对称可知,
′′
∵BE⊥CE,�P�R=⊥�C�E,∠���=∠���
∴PR∥BE,
∴∠EQR=∠PRQ,
∵,,
55
∴E�Q�==3-�x,��=4�+4
∵PR∥BE,
∴,
∴△���,∽△���
����
��=��
即:55,
4�+45
解得:��CR==x4+1,
∴ER=EC-CR=3-x,
即:EQ=ER
∴∠EQR=∠ERQ=45°,
∴
′
∴∠���=∠��,�=45°
′
∴∠�𝑁=90°.
′4
∵𝑁是=半𝑁圆=O�的�直⋅t径an,�=3�
∴��,
∴∠𝑁�=90°,
9
∴𝑁=��⋅,cos�=4
49
3�+�=4
第16页共68页.
∴,
27
∴�=28.
′′
𝑁��−𝑁��319
′′′
【点𝑁睛=】本𝑁题是=圆𝑁的−综1合=题�,−主1=要考9查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,圆周角定
理,三角函数等知识,利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键.
一、解答题【共20题】
1.(2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测)如图,在中,AD、BC是弦,
+.⊙�
∠�𝐸∠���−∠���=180°
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,如果𝐸∥�,�求证:AC是直径;
(3)如图3,在(�2)�=的�条�件下,点F在⊙AC�上,点E在AB上,,,连接
CE、BF交于点G,作于点G,交BC于点H,�,�=求𝐸OF的��长=.𝑁=4
【答案】(1)见解析��⊥���△�𝐴=5
(2)见解析
(3)1
【分析】(1)延长AO交BC于点E,证明,即可证明;
(2)连接AB,CD,先证四边形ABCD是平∠�行�四�+边∠形��,�推=1出80°,再根�据�∥圆�内�接四边形
对角和为180度,可得,即可证明AC是直径;∠�=∠�
(3)连接EH,延长BF交∠�C=D90于°点T,连接ET,证明⊙四�边形BETC是矩形,进而推出,
利用三角形面积公式求出,推出,设,利用勾股定理求�出�=,��即
可求解.��=��=5𝐶=3��=𝑁=��
【详解】(1)证明:如图,延长AO交BC于点E,
第17页共68页.
∵,,
∴∠���=∠���+∠���∠�𝐸+∠��,�−∠���=180°
∴∠�𝐸+∠���+∠���,−∠���=180°
∴∠�𝐸+;∠���=180°
(�2)�∥证��明:如图2,连接AB,CD,
∵,,
∴四�边�∥形��ABC�D�=是�平�行四边形,
∴,
∵∠�=∠�,
∴∠�+∠�,=180°
∴∠AC�=是90°直径;
(3)解:⊙如�图3,连接EH,延长BF交CD于点T,连接ET,
∵四边形ABCD是平行四边形,,
∠�=90°
第18页共68页.
∴四边形ABCD是矩形,
∴,,
∴��∥𝐸��=,𝐸
∵∠�𝑁=∠,𝐶�,
∴𝑁=𝐸,��=𝐸
∴��=𝑁,
∵∠�𝑁=∠𝑁�,
∴∠𝑁�=∠𝑁�,
∴∠𝑁�=,∠𝐶�
∵𝑁=𝐶,
∴𝑁=��,
∵��=𝐶,
∴四�边�∥形𝐶BETC是平行四边形,
∵,
∴四∠�边�形�=B9E0T°C是矩形,
∴,
∵𝐴=𝐴,
∴��⊥��,
∴��=��,
1
∵�Δ�𝐶=,2�Δ�𝐴=10=2𝐶⋅��
∴��=4,
∴��=��=5,
2222
∴𝐶=𝐶−��,=5−4=3
设��=𝐶+�,�=则8,
∵��=𝑁=��,�=�+4
222
∴��+��=��,
222
解得�+8=,(�+4)
∴�=6,,
∴��=6��,=10
∴��=��=5.
【点𝑁睛=】��本−题𝑁属=于5−圆4=的1综合题,主要考查了圆内接四边形的性质,矩形的判定与性质,圆周
角定理,平行线的判定与性质,勾股定理,三角形的面积等知识点,解题的关键是正确添加
辅助线,构造特殊四边形解决问题,难度较大,多见于压轴题.
2.(2022·安徽·合肥市五十中学新校二模)如图,为的内接三角形,且为
△���⊙���⊙�
第19页共68页.
的直径,与相切于点,交的延长线于点,连接交于点,连接、,
��.⊙�����𝐸���𝐸𝐸
∠�=∠𝐸�
(1)求证:平分;
(2)若𝐸,∠���,求的半径.
【答案𝑁】=(12)见��解析��=6⊙��
(2)5
【分析】(1)根据圆周角定理得到,进而证明,得到,
根据切线的性质得到,根据∠�垂�径�=定∠理�得��到,∠根��据�圆=周∠角𝐸定�理证明结��论∥�;�
(2)根据三角形中位�线�定⊥理��求出,根据勾股定理𝐸列=出�方�程,解方程得到答案.
【详解】(1)由圆周角定理得:𝑁,
,∠���=∠𝐸�
∵∠�=∠𝐸�,
∴∠���=,∠𝐸�
∴��∥与��相切于点,
∵��⊙�,�
∴𝐸⊥��,
∴𝐸⊥��,
∴𝐸=𝐸,
∴∠��平�分=∠�𝐸;
∴(�2�)∠���,
∵𝐸,⊥��
∴𝑁=��,
∵��=��,
1
∴𝑁=2��=,3
∴��=�−3,
∴在𝑁=𝑁=中2,��=2�−3,即,
222222
解得𝑅:△�𝑁,��=舍�去�+,𝑁�=3+(2�−6)
答:�1的=半5径�2为=3.()
【点睛⊙】�本题考查�的5是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用,掌握圆的切线垂直于经过
第20页共68页.
切点的半径是解题的关键.
3.(2022·黑龙江·哈尔滨市第八十四中学校一模)如图,内接于⊙为⊙O的直径,
AD交BC于点E,且.△����,𝐸
��=��
(1)如图1,求证:AD平分;
(2)如图2,点P为弧CD上∠一��点�,连接AP交BC于点F,过点P作⊙O的切线,交BC的
延长线于点G,点H是PF的中点,求证:;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接DF,且��⊥𝑁,点R在CG上,连接,
交CH于点N,,∠�求�D�E=的3∠长�.𝐸����
【答案】(1)见解�析�=𝐴,��=2,��=10
(2)见解析
(3)
225
5
【分析】(1)根据垂径定理得出,则垂直平分,进而得到,根据等
腰三角形的性质求解即可;��⊥������𝐸=𝐸
(2)连接,是圆O的切线得出,根据垂径定理得出,
根据直角三�角�形�的�性质、对顶角相等得∠出���+∠�𝑁=90°,根据等腰三角形�的�性⊥质��得出
,进而得出∠,�根��据+等∠腰�三𝑁角=形9的0°判定与性质即可得解;
∠(�3�)�连=接∠���,延长交∠�于𝑁点=M∠,���交于点T,根据题意推出点M是的中点,根
据三角形中�位�线性质�推�出��,�根�据勾��股定理得到,根据�平�行线的性质
推出𝐸,=2��,根据等腰𝐶三=角�形�的=性4质及相似三角形的性
质、勾∠�股��定=理∠求�解𝐶即=可∠.���△�𝐶∽△𝐸�
【详解】(1)证明:如图1,连接,,
𝐸𝐸
第21页共68页.
∵为⊙的直径,交于点E,且,
∴𝐸�,𝐸����=��
∴��垂⊥直��平分,
∴��,��
∵𝐸=𝐸,
∴��平⊥分��;
(�2)�证明∠:�连��接,
��
∵是圆O的切线,
∴𝐴,
∴��⊥𝐴,
即∠�𝐴=90°,
∵∠�为��⊙+∠的�直𝑁径=,90°交于点E,且,
∴𝐸�,𝐸����=��
∴��⊥��,
∴∠�𝑁=90°,
∵∠�𝑁+∠𝑁�,=90°
∴∠𝑁�=∠���,
∵∠���+∠,�𝑁=90°
∴��=��,
∴∠�𝑁=∠���,
∴∠�𝑁=,∠���
∵�点�H=是��的中点,
∴�;�
(�3)�解⊥:𝑁连接,延长交于点M,交于点T,
𝐸��������
第22页共68页.
∵,为⊙的直径,
∴��⊥𝑁𝐸�,
∴∠�𝐸=,∠���=90°
∵�点�H∥�是�的中点,
∴点M是𝑁的中点,
∴��,
1
∴��=��=,2��=5
∵𝐸=2�,�
∴��=𝐴,
∴∠𝐴�=∠�𝐴,
∵∠���=∠𝐴�+∠�,𝐴=2∠𝐴�,
∴�𝑁=∠���=,90°∠���=∠𝑁�
∴∠���=∠���,
∵∠���=2∠���,
∴∠���=∠���+,∠𝐸�=3∠���
∵∠𝐸�=∠���,
∴∠�𝐴=∠�𝐴,
∴∠�𝐴=∠𝐸�,=∠���
∵𝐴=��,=5
∴��=2,
∴��=3,
∴𝐸=2��=6,
22
∵𝐶=�,�=��−��=4
∴��∥𝐴,,
∴∠𝐸�=∠�𝐶=∠���,△�𝐶∽△𝐸�
����𝐶−𝐶4−𝐶1
∴𝐸=𝐶=,𝐶=𝐶=3
𝐶=3
第23页共68页.
∴,
𝐶��1𝑁
∴tan∠���,=tan∠𝐸�=,��=��=2=��
∵��=12��=2𝑁,
∵𝑁=��−𝐶−�,�=4
222
∴��+𝑁=,𝑁
2
∴5𝑁=1,6
216
∵𝑁=5,
222
∴��+𝑁=��,
216
∴��+5=.100
225
【点��睛=】本5题考查了圆的综合题,等角的余角相等,解直角三角形,切线的性质,正确的作
出辅助线是解题的关键.
4.(2022·北京市第十九中学三模)如图,中,平分交于,以
为直径的交于点,交于点.△�����=��𝐸∠������𝐸
⊙�������
(1)求证:是切线;
(2)连接�交�⊙与�、连接交于,连接,若的半径为,,求和
的长.𝑁𝐸���𝑁���⊙�5𝐴=3����
【答案】(1)见解析
(2)4,
217
【分析】(1)由等腰三角形的性质可得,再由是直径即可证得结论;
(2)连接、、,过作�于�⊥,�则�易证𝐸≌,则可得,
从而有��∽����,由�相似𝐶三⊥角�形�的性�质可求得Rt△的�长�,�则R可t△得𝐸�是等腰�直�∥角�三�
角形;易△得��四�边△形�𝐸是矩形,则可得�,�且可得△是�等�腰�直角三角形,
则可得𝐶及��的长,在𝐶=中�,�由=勾2股定理即△可�求𝐶得的长.
(1)𝐶=𝐶=2𝐸Rt△𝐶���
证明:,平分交于,
∵AB,=AC𝐸∠������
∴𝐸⊥��
第24页共68页.
是的直径,
∵𝐸是⊙�切线;
∴(�2)�⊙�
解:连接、、,过作于,如下图,
�������𝐶⊥𝐸�
是的直径,
∵𝐸⊙�,
∴∠��平�分=∠𝑁�,=90°
∵𝐸∠���,
∴∠�𝐸=∠,�𝐸
∴��=��,
∵𝐸=𝐸≌,
∴Rt△𝐸�,Rt△𝐸�HL
∴��=𝑁,
∴𝐸⊥的�半�径为,,
∵⊙�5𝐴,=3
22
∴𝐴=5,−3=4
∵∴𝐸⊥�,�
𝑁∥��∽,
∴△�𝐴,△即�𝐸,
𝐴𝐴45+3
∴𝐸=𝐸,𝐸=10
∴𝐸=5,
∴��=2𝐸=10,
∵四∠�边�形�=∠��是�矩=形∠,���=90°
∴𝐴��,,
∴𝐶=��=5−,3=2𝐶∥��
∴∠�𝐶=∠��,�
∵𝐸=𝐸=5,
∴∠�𝐸=∠�𝐸=45°
第25页共68页.
,
∴∠�𝐶=∠��,�=45°
∴𝐶=𝐶=2,
∴在𝐶=��−中�,�由=勾8股定理得.
22
【点Rt睛△】�本��题主要考查了圆的切�线�的=性�质�与+判�定�,=等2腰三17角形的性质与判定,矩形的判定与
性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的性质与判定,勾股定理的应用,关键是构造
直角三角形.
5.(2022·上海·华东师范大学松江实验中学三模)如图,在梯形中,
°
动点在边上,过点作1,��与�边�交∠�于�点�=,90过,点𝐸∥
�作�,��=4,,�与�边=5,�交�于=点2.,设�线段��,��.�∥𝐸����
��∥��𝐸���=�𝑁=�
(1)求关于的函数解析式,并写出定义域;
(2)当��是以为腰的等腰三角形时,求的值;
(3)如图△𝑁,�作��的外接圆,当点在�运�动过程中,外接圆的圆心落在
的内部不2包括△边上��时�,求出⊙的�取值范围�.⊙��△�𝑁
【答案】(1),��
5
(2)或�=3�0≤�≤5
5
(3)53
45
34<��≤5
【分析】(1)由题中条件、可知四边形是平行四边形,故CE
,;过点��/作/�垂�线𝑁//𝐸交于点�,��交�于点,可得相似的=𝑁=
�和𝑁=,��用=含5−、�的表达�式表示它�们�的⊥边��长,𝑁再根据�相似三��角形的�对应边成比例即△可��求�
得△关�于��的解析式�;�下一步即为求得和的各自边长,过点作垂线
交�延长�线于点,由且△�𝐴可△得�四��边形为矩形,�则��⊥𝐸
,𝐸,�𝐸//��∠���=90;°在�中�,�由�勾股定理可�算�得=��的=长度;
5在��=��中=,4��=,��=�,�则−可𝐸由=勾3股定理𝑅求△得���的长度,��
�,�△�𝑁��=�𝑁=�,至此已求�得�所有所需�边�长=,�根�据−相��似=三�角�形−
�边�长比𝐴例关=系𝑁:−��=�,�代−入�各�边=长��表−达�式�即可得关于的解析式,再根据题中要求写出
����
��=����
第26页共68页.
定义域即可;
(2)因为是以为腰的等腰三角形,,由勾股定理知,
22
过点作△𝑁�交�于�点,则四边形�是�矩=形𝑁,=�,
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