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文档简介

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)

专题28以圆为载体的几何综合问题

【例1】(2022·河北·育华中学三模)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=4,

BC=10,sinC=,以AB为直径作⊙O,把⊙O沿水平方向平移x个单位,得到⊙O′,A'B'

4

为直径AB平移后5的对应线段.

(1)当x=0,且M为⊙O上一点时,求DM的最大值;

(2)当B′与C重合时,设⊙O′与CD相交于点N,求点N到AB的距离;

(3)当⊙O′与CD相切时,直接写出x的值.

【答案】(1)

(2)42+4

154

(3)225或12.

【分析】(1)当x=0,连接DO并延长交⊙O于点M,则此时DM的值最大,过点D作DE⊥BC

于E,易证四边形ABED是矩形,可得AB=DE,AD=BE=4,解RtDEC求出DE=8,

CD=10,可得⊙O的半径为4,利用勾股定理求出OD,即可得到DM△的最大值;

(2)当与C重合时,与CD相交于点N,则⊙O向右平移了10个单位长度,连接,

′′′

则�,连接,⊙过�点N作NF⊥于点F,如图,解Rt,求出,��,

′′′′′′′′

然后��根=据1等0积法求�出�NF即可解决问题;��△�������

(3)当与CD相切,在CD的左边时,设切点为P,如图,则是矩形,、CD、

′′′′

都是⊙�的切线,根据切线长定理可得,,�求�出𝐸�,�

′′′′′′

��,⊙根�据列�方�程=求�出�x即�可�=;�当�与�C�D=相4切−,�在C�D�的=

′′′

1右0边−时�,同理�求�解=即�可�+.��=��+��⊙�

(1)

解:如图,当x=0,连接DO并延长交⊙O于点M,则此时DM的值最大,过点D作DE⊥BC

于E,

∵∠A=∠B=∠DEB=90°,

第1页共68页.

∴四边形ABED是矩形,

∴AB=DE,AD=BE=4,

∴EC=BC-BE=10-4=6,

∵在RtDEC中,sinC=,

��4

∴设DE△=4k,CD=5k(k�>�=0)5,

由勾股定理得:,即,

222222

整理得:,��+��=𝐸6+4�=5�

2

∵k>0,�=4

∴,

∴�DE==24k=8,CD=5k=10,

∴AB=DE=8,

∴OA=OB=4,

∴OD=,

22

∴DM=4+4,=42

即DM的4最2大+值4为;

42+4

(2)

当与C重合时,与CD相交于点N,则⊙O向右平移了10个单位长度,连接,则

′′′

�,连接⊙,�过点N作NF⊥于点F,如图,则,��

′′′′′′

�在�Rt=1C0DE中,��,��,∠���=90°

��3��4

∵△,sin∠𝐸�=𝐸=5cos∠𝐸�=𝐸=5

′′

∴��∥��∥��,

′′

在∠R�t��=∠中�,��,

′′′′

∵△�����=��=8,,

′′

′′��3′′��4

′′′′

∴sin∠���=��=sin∠�,��=5cos∠���=��=,cos∠𝐸�=5

′3′′324′4′′432

∵��=5��=5×8=5��=,5��=5×8=5

11

′′′′′′

�△���=2��⋅𝑁=2��⋅��

∴2432,

′′

��⋅��5×596

′′

𝑁=��=8=25

第2页共68页.

∴点N到AB的距离为;

′96154

��−𝑁=10−25=25

(3)

当与CD相切,在CD的左边时,设切点为P,如图,则是矩形,、CD、

′′′′′

都是⊙�的切线,��𝐸����

⊙�

∴,,

′′

∵��=𝐸��,=��

′′

∴��=��=,�,

′′

∵��=4−���=10−�,

′′

∴𝐸=𝐸+��=��,+��

解得10:=4−�;+10−�

当�与=C2D相切,在CD的右边时,设切点为Q,如图,则是矩形,、CD、

′′′′′

都是⊙�的切线,��������

⊙�

∴,,

′′

∵��=𝐸��,=��

′′

∴��=��=,�,

′′

∵��=�−4��=�−10,

′′

𝐸=𝐸+��=��+��

第3页共68页.

∴,

解得10:=�−4+;�−10

综上,当�=⊙1O2′与CD相切时,x的值为2或12,

故答案为:2或12.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定,解直角三角形,勾股定理,点与圆的位置关系,平移

的性质,圆周角定理,切线的性质以及切线长定理等知识,熟练掌握直径所对的圆周角是直

角,从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等是解题的关键.

【例2】(2022·黑龙江哈尔滨·中考真题)已知是的直径,点A,点B是上的两个

点,连接,点D,点E分别是半径�的�中⊙点,�连接,且⊙�.

��,����,��𝐸,��,𝐶∠���=2∠𝐶�

(1)如图1,求证:;

(2)如图2,延长∠交𝐸�于=点∠�F�,�若,求证:;

(3)如图3,在(2)�的�条件𝐶下,点G是𝐸上⊥一�点�,连接��=��,若,,

求的长.𝐶𝐴,𝐴,��,𝑁𝐴:𝐴=5:3��=2

【答𝑁案】(1)见解析

(2)见解析

(3)

19

𝑁=3

【分析】(1)根据SAS证明即可得到结论;

(2)证明即可得△出�结𝐸论≅;△���

(3)先证明∠�=∠���,连接,证明,设,,在上取点M,

使得�,�连⊥接𝐶,证明𝐶为𝐶等=边三𝐶角形,�得�=5�𝐴=3,�根据𝐴

可求出𝐴=�,�得��,△,�过�点�H作于点�N�,求=出��=2,再𝐴证=𝐴+��,

根据�=1𝐴=5可�得�结=论3.��⊥����=19��=2𝑁

(1)��=3𝑁=19

如图1.∵点D,点E分别是半径的中点

��,��

第4页共68页.

∴,

11

∵𝐸=2��,��=2��

∴��=��

∵𝐸=��,

∴∠���=2∠𝐶�∠���=2∠𝐶�

∵∠���=∠���

∴��=��,

∴△�𝐸≅△���;

(∠2)𝐸�=∠���

如图2.∵,

∴𝐸⊥��

∠𝐸�=90°

由(1)得,

∴∠���=∠𝐸�=90°

��1

∴sin∠���=�,�=2

∴∠���=30°

∵∠���=90°−∠���=60°

11

∴∠�=2∠���,=2×60°=30°

∴∠�=∠���

(�3)�=��

第5页共68页.

如图3.∵,

∴��=𝐶��=��

∴𝑁⊥𝐶

∠�𝐶=90°

连接.∵

∴𝐶∠���=∠��,�=60°

∴∠�𝐶=∠,�𝐶=120°

∵𝐶=𝐶∠𝐴�=60°

设𝐴:𝐴=,5:3

∴𝐴=5�

在𝐴上=取3�点M,使得,连接

∵𝐴,𝐴=𝐴��

∴∠�𝐴=∠�𝐴

∴△�𝐴≌,△�𝐴

∴��=�为�等边三角形

∴△���

∵��=��=2,

∴𝐴=𝐴+��

∴5�=3,�+2

∴�=1

∴𝐴=5,

过点𝐴H=作𝐴=3于点N

��⊥��,

11

�∴�=2��=2×2=1,��=��⋅sin60°=3

∴��=��+𝐴=4

22

∵��=��=,��+��=,19

∴∠�𝐶=90°∠𝐶�=30°

∵∠𝑁�=6,0°

��=𝐶

第6页共68页.

∴,

∴∠𝐶�=∠�𝐶=30°

∴∠���=,∠�𝑁=30°

在𝑁=𝑁中,,

∴𝑅△𝑁�∠𝐶�=30°

∴��=2𝑁,

∴��=𝑁.+��=3𝑁=19

19

【点𝑁睛=】本3题主要考查了圆周角定理,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定与性质,

等腰三角形的性质,勾股定理以及解直角三角形等知识,正确作出辅助线构造全等三角形是

解答本题的关键.

【例3】(2022·黑龙江绥化·中考真题)如图所示,在的内接中,,

,作于点P,交于另一点B,⊙C�是上的△一𝐴个�动点(∠不��与�A=,9M0°重

�合�),=射2�线�交�线�段⊥��的延长线于点⊙D�,分别连接和�,�交于点E.

������������

(1)求证:.

(2)若△𝐴,�∽△�𝐸,求的长.

(3)在点��C=运1动0过�程�中=,�当���时,求的值.

3��

【答案】(1)证明见解析tan∠���=4��

(2)

(3)310

3

2

【分析】(1)利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC,再利用两角分别相等即可证明相似;

(2)连接OC,先证明MN是直径,再求出AP和NP的长,接着证明,利

用相似三角形的性质求出OE和PE,再利用勾股定理求解即可;△���∽△���

(3)先过C点作CG⊥MN,垂足为G,连接CN,设出,,再利用三角函

��=3�𝐴=4�

第7页共68页.

数和勾股定理分别表示出PB和PG,最后利用相似三角形的性质表示出EG,然后表示出

ME和NE,算出比值即可.

(1)

解:∵AB⊥MN,

∴∠APM=90°,

∴∠D+∠DMP=90°,

又∵∠DMP+∠NAC=180°,∠MAN=90°,

∴∠DMP+∠CAM=90°,

∴∠CAM=∠D,

∵∠CMA=∠ABC,

∴.

(△2)𝐴�∽△�𝐸

连接OC,

∵,

∴∠M�N�是�直=径90,°

∵,

∴�OM�==ON10=OC=5,

∵,且,

222

∴𝐴=2��,𝐴+�,�=��

∵��=25𝐴=45,

11

∴�△𝐴�=,2𝐴⋅��=2��⋅��

∴��=4,

∴��=��=4,

22

∴��=��−�,�=2

∵��=5−,2=3

∴�OC�⊥=M�N�,

∴∠COE=90°,

∵AB⊥MN,

∴∠BPE=90°,

∴∠BPE=∠COE,

又∵∠BEP=∠CEO,

∴△���∽△�,��

������

��=��=��

第8页共68页.

5����

由4=��=��,

∴��+��,=��=,3

54

��=3��=3

∴,

2

22255

��=��+��=5+3=310

2

22244

∴��=��+��=4+3.=310

54

��=310+310=310

(3)

过C点作CG⊥MN,垂足为G,连接CN,则∠CGM=90°,

∴∠CMG+∠GCM=90°,

∵MN是直径,

∴∠MCN=90°,

∴∠CNM+∠DMP=90°,

∵∠D+∠DMP=90°,

∴∠D=∠CNM=∠GCM,

∵,

3

∴tan∠���=4,

3

∵tan∠�𝐴=tan∠�𝐴=4

��

∴t设an∠�𝐴=,𝐴,

∴��=3,�𝐴=4�

∴𝐴=5�,,

20�16�

∴��=3,𝐴=3

25�

∴𝐴=3,

25�

𝐴=��=6

第9页共68页.

∵,且,

222

∴𝐴=2��,𝐴+��,=��

55105

∵��=3�𝐴=3�,

11

∴�△𝐴�=2𝐴⋅,��=2��⋅��

10

∴��=3�,=��

5

∴��=3�,

16511

∵∠𝐴C=GE3=�∠−BP3E�==903°,�∠CEG=∠BEP,

∴,

∴△𝐴�∽△�,��

𝐴����

即��=��=��

4�����

10

3�=��=��

∴,

5

∴��=2�,��=3�,

10�

∴��=5���,=3

∴��的:�值�为=.3:2

��3

��2

【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识,

涉及到了动点问题,解题关键是构造相似三角形,正确表示出各线段并找出它们的关系,本

题综合性较强,属于压轴题.

【例4】(2022·湖北荆州·中考真题)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点O是边

AB上一个动点(不与点A重合),连接OD,将△OAD沿OD折叠,得到△OED;再以O

为圆心,OA的长为半径作半圆,交射线AB于G,连接AE并延长交射线BC于F,连接EG,

设OA=x.

第10页共68页.

(1)求证:DE是半圆O的切线;

(2)当点E落在BD上时,求x的值;

(3)当点E落在BD下方时,设△AGE与△AFB面积的比值为y,确定y与x之间的函数关系

式;

(4)直.接.写.出.:当半圆O与△BCD的边有两个交点时,x的取值范围.

【答案】(1)见详解

(2)

3

2

(3)2

9�3

2

(4)�=4�+36或(0<�<2)

325

2<�≤38<�≤4

【分析】(1)根据切线的判定定理求解即可;

(2)如图,在,根据勾股定理列方程求解即可;

(3)先证𝑅Δ���,求出AE,然后证明,根据相似三角形面积比等于

相似比的平Δ方��即�可∽求Δ�解�;�Δ�𝐴∽Δ�𝑁

(4)结合图形,分情况讨论即可求出x的取值范围.

(1)

证明:在矩形ABCD中,,

△OED是△OAD沿OD∠折�叠��得=到9的0,°

∵,即,

∴D∠�E�是�半=圆∠�O�的�切=线90;°��⊥��

∴(2)

解:△OED是△OAD沿OD折叠得到的,

∵,

∴��=𝐸=3,��=��,=�

∴在��=��中−,��=4−�,

2222

𝑅Δ�����=𝐸+,��=3+4=5

∴��=��−��=5−3=2

第11页共68页.

在中,,

222

𝑅Δ�����+,�解�得=��,

2223

答∴�:x+的2值=为4.−��=2

3

2

(3)

解:在中,,

22222

△OE�D�Δ是�△��OAD沿��O=D折�叠�得+到�的�,=3+�=9+�

∵,

∴��是⊥𝐸的直径,

∵𝐴⊙�,即,

∴∠�𝐴=,90°��⊥𝐴

∴𝐸∥𝐴∠���,=∠�𝐴=90°

∴∠�𝐸=∠𝐴�,

∴Δ���∽,Δ�𝐴

����

∴𝐴=��,

22

9+�36�

22

∴2�=��,��=9+�,

∵∠�𝐴=∠���,=90°,∠�𝐴=∠�𝑁

∴Δ�𝐴∽Δ�𝑁

,即6�2,

2

�Δ𝐴���232+�29�

2

∴�Δ𝑁�=���=4=49+�

()

2

9�3

2

∴�=4�+360<�<2

第12页共68页.

(4)

解:由(2)知,当E在DB上时,,

3

如图,当点E在DC上时,,�=2

�=3

∴当时,半圆O与△BCD的边有两个交点;

3

当半圆2<O�经≤过3点C时,半圆O与△BCD的边有两个交点,

连接OC,在中,,

𝑅Δ��,���=4−�,��=�,��=3

222

∵��+��=��,解得,

22225

∴当4−�+3时=,�半圆O与�△=B8CD的边有两个交点;

25

8≤�≤4

综上所述,当半圆O与△BCD的边有两个交点时,x的取值范围为:或.

325

【点睛】本题考查了矩形的性质,轴对称,勾股定理,切线的判定定2理<,�相≤似3三角8形<的�≤判4定

和性质,直径所对的圆周角是直角,相似三角形的判定和性质是解本题的关键.

【例5】(2022·浙江温州·中考真题)如图1,为半圆O的直径,C为延长线上一点,

切半圆于点D,,交延长线于点�E�,交半圆于点F,已知��.点�P�,

Q分别在线段��⊥上�(�不与�端�点重合),且满足.设��=5.,��=3

��5

��,����=4��=�,��=�

(1)求半圆O的半径.

(2)求y关于x的函数表达式.

(3)如图2,过点P作于点R,连结.

①当为直角三角��形⊥时�,�求x的值.��,��

△���

第13页共68页.

②作点关于的对称点,当点落在上时,求的值.

F′

′′𝑁

【答案】(1)������𝑁

15

(2)8

55

(3)�①=或4�+;4②

92119

7119

【分析】(1)连接OD,设半径为r,利用,得,代入计算即可;

𝐸��

(2)根据CP=AP十AC,用含x的代数式△表�示𝐸A∽P△的�长�,�再由�(�1=)�计�算求AC的长即可;

(3)①显然,所以分两种情形,当时,则四边形RPQE是矩形,

当∠PQR=9∠0°�时�,�<过9点0°P作PH⊥BE于点H,则∠�四�边�形=9P0H°ER是矩形,分别根据图形可

得答案;

②连接,由对称可知,利用三角函数表示出和

′′′′

BF的长度𝑁,,�从�而解决问题.𝑁=𝑁,∠���=∠���=45°𝑁

(1)

解:如图1,连结.设半圆O的半径为r.

𝐸

∵切半圆O于点D,

∴𝐸.

∵𝐸⊥𝐸,

∴��⊥𝐸,

∴𝐸∥��,

∴△�𝐸,∽△���

𝐸��

即��=��,

�5−�

∴3=5,即半圆O的半径是.

1515

(2�)=88

由(1)得:.

155

∵��=,��−��=5−2×8=4

��5

∴��=4,�.�=�

5

��=4�

第14页共68页.

∵,

∴��=��+.��

55

(3�)=4�+4

①显然,所以分两种情况.

ⅰ)当∠���<90时°,如图2.

∠���=90°

∵,

∴��⊥��.

∵∠���=9,0°

∴∠四�边=形90°为矩形,

∴��.��

∵��=��,

333

∴��=��⋅sin�,=5�=4�+4

33

∴4�+.4=3−�

9

ⅱ)�当=7时,过点P作于点H,如图3,

∠���=90°𝐶⊥��

则四边形是矩形,

∴𝐶��.

∵𝐶=��,𝐶=,��

∴��=5,��=3.

22

∵��=5−3=4,

4

∴��=��⋅cos�=5�=,�+1

∴𝐶=��=3−�=�,�

∴∠���=∠���=45°,

∠�𝐶=45°=∠�𝐶

第15页共68页.

∴,

由��=��得=:3−�,

33

∴𝐶=.��(3−�)+(3−�)=4�+4

21

综上�=所1述1,x的值是或.

921

②如图4,连结7,11

𝑁,𝑁

由对称可知,

′′

∵BE⊥CE,�P�R=⊥�C�E,∠���=∠���

∴PR∥BE,

∴∠EQR=∠PRQ,

∵,,

55

∴E�Q�==3-�x,��=4�+4

∵PR∥BE,

∴,

∴△���,∽△���

����

��=��

即:55,

4�+45

解得:��CR==x4+1,

∴ER=EC-CR=3-x,

即:EQ=ER

∴∠EQR=∠ERQ=45°,

∴∠���=∠��,�=45°

∴∠�𝑁=90°.

′4

∵𝑁是=半𝑁圆=O�的�直⋅t径an,�=3�

∴��,

∴∠𝑁�=90°,

9

∴𝑁=��⋅,cos�=4

49

3�+�=4

第16页共68页.

∴,

27

∴�=28.

′′

𝑁��−𝑁��319

′′′

【点𝑁睛=】本𝑁题是=圆𝑁的−综1合=题�,−主1=要考9查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,圆周角定

理,三角函数等知识,利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键.

一、解答题【共20题】

1.(2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测)如图,在中,AD、BC是弦,

+.⊙�

∠�𝐸∠���−∠���=180°

(1)如图1,求证:;

(2)如图2,如果𝐸∥�,�求证:AC是直径;

(3)如图3,在(�2)�=的�条�件下,点F在⊙AC�上,点E在AB上,,,连接

CE、BF交于点G,作于点G,交BC于点H,�,�=求𝐸OF的��长=.𝑁=4

【答案】(1)见解析��⊥���△�𝐴=5

(2)见解析

(3)1

【分析】(1)延长AO交BC于点E,证明,即可证明;

(2)连接AB,CD,先证四边形ABCD是平∠�行�四�+边∠形��,�推=1出80°,再根�据�∥圆�内�接四边形

对角和为180度,可得,即可证明AC是直径;∠�=∠�

(3)连接EH,延长BF交∠�C=D90于°点T,连接ET,证明⊙四�边形BETC是矩形,进而推出,

利用三角形面积公式求出,推出,设,利用勾股定理求�出�=,��即

可求解.��=��=5𝐶=3��=𝑁=��

【详解】(1)证明:如图,延长AO交BC于点E,

第17页共68页.

∵,,

∴∠���=∠���+∠���∠�𝐸+∠��,�−∠���=180°

∴∠�𝐸+∠���+∠���,−∠���=180°

∴∠�𝐸+;∠���=180°

(�2)�∥证��明:如图2,连接AB,CD,

∵,,

∴四�边�∥形��ABC�D�=是�平�行四边形,

∴,

∵∠�=∠�,

∴∠�+∠�,=180°

∴∠AC�=是90°直径;

(3)解:⊙如�图3,连接EH,延长BF交CD于点T,连接ET,

∵四边形ABCD是平行四边形,,

∠�=90°

第18页共68页.

∴四边形ABCD是矩形,

∴,,

∴��∥𝐸��=,𝐸

∵∠�𝑁=∠,𝐶�,

∴𝑁=𝐸,��=𝐸

∴��=𝑁,

∵∠�𝑁=∠𝑁�,

∴∠𝑁�=∠𝑁�,

∴∠𝑁�=,∠𝐶�

∵𝑁=𝐶,

∴𝑁=��,

∵��=𝐶,

∴四�边�∥形𝐶BETC是平行四边形,

∵,

∴四∠�边�形�=B9E0T°C是矩形,

∴,

∵𝐴=𝐴,

∴��⊥��,

∴��=��,

1

∵�Δ�𝐶=,2�Δ�𝐴=10=2𝐶⋅��

∴��=4,

∴��=��=5,

2222

∴𝐶=𝐶−��,=5−4=3

设��=𝐶+�,�=则8,

∵��=𝑁=��,�=�+4

222

∴��+��=��,

222

解得�+8=,(�+4)

∴�=6,,

∴��=6��,=10

∴��=��=5.

【点𝑁睛=】��本−题𝑁属=于5−圆4=的1综合题,主要考查了圆内接四边形的性质,矩形的判定与性质,圆周

角定理,平行线的判定与性质,勾股定理,三角形的面积等知识点,解题的关键是正确添加

辅助线,构造特殊四边形解决问题,难度较大,多见于压轴题.

2.(2022·安徽·合肥市五十中学新校二模)如图,为的内接三角形,且为

△���⊙���⊙�

第19页共68页.

的直径,与相切于点,交的延长线于点,连接交于点,连接、,

��.⊙�����𝐸���𝐸𝐸

∠�=∠𝐸�

(1)求证:平分;

(2)若𝐸,∠���,求的半径.

【答案𝑁】=(12)见��解析��=6⊙��

(2)5

【分析】(1)根据圆周角定理得到,进而证明,得到,

根据切线的性质得到,根据∠�垂�径�=定∠理�得��到,∠根��据�圆=周∠角𝐸定�理证明结��论∥�;�

(2)根据三角形中位�线�定⊥理��求出,根据勾股定理𝐸列=出�方�程,解方程得到答案.

【详解】(1)由圆周角定理得:𝑁,

,∠���=∠𝐸�

∵∠�=∠𝐸�,

∴∠���=,∠𝐸�

∴��∥与��相切于点,

∵��⊙�,�

∴𝐸⊥��,

∴𝐸⊥��,

∴𝐸=𝐸,

∴∠��平�分=∠�𝐸;

∴(�2�)∠���,

∵𝐸,⊥��

∴𝑁=��,

∵��=��,

1

∴𝑁=2��=,3

∴��=�−3,

∴在𝑁=𝑁=中2,��=2�−3,即,

222222

解得𝑅:△�𝑁,��=舍�去�+,𝑁�=3+(2�−6)

答:�1的=半5径�2为=3.()

【点睛⊙】�本题考查�的5是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用,掌握圆的切线垂直于经过

第20页共68页.

切点的半径是解题的关键.

3.(2022·黑龙江·哈尔滨市第八十四中学校一模)如图,内接于⊙为⊙O的直径,

AD交BC于点E,且.△����,𝐸

��=��

(1)如图1,求证:AD平分;

(2)如图2,点P为弧CD上∠一��点�,连接AP交BC于点F,过点P作⊙O的切线,交BC的

延长线于点G,点H是PF的中点,求证:;

(3)如图3,在(2)的条件下,连接DF,且��⊥𝑁,点R在CG上,连接,

交CH于点N,,∠�求�D�E=的3∠长�.𝐸����

【答案】(1)见解�析�=𝐴,��=2,��=10

(2)见解析

(3)

225

5

【分析】(1)根据垂径定理得出,则垂直平分,进而得到,根据等

腰三角形的性质求解即可;��⊥������𝐸=𝐸

(2)连接,是圆O的切线得出,根据垂径定理得出,

根据直角三�角�形�的�性质、对顶角相等得∠出���+∠�𝑁=90°,根据等腰三角形�的�性⊥质��得出

,进而得出∠,�根��据+等∠腰�三𝑁角=形9的0°判定与性质即可得解;

∠(�3�)�连=接∠���,延长交∠�于𝑁点=M∠,���交于点T,根据题意推出点M是的中点,根

据三角形中�位�线性质�推�出��,�根�据勾��股定理得到,根据�平�行线的性质

推出𝐸,=2��,根据等腰𝐶三=角�形�的=性4质及相似三角形的性

质、勾∠�股��定=理∠求�解𝐶即=可∠.���△�𝐶∽△𝐸�

【详解】(1)证明:如图1,连接,,

𝐸𝐸

第21页共68页.

∵为⊙的直径,交于点E,且,

∴𝐸�,𝐸����=��

∴��垂⊥直��平分,

∴��,��

∵𝐸=𝐸,

∴��平⊥分��;

(�2)�证明∠:�连��接,

��

∵是圆O的切线,

∴𝐴,

∴��⊥𝐴,

即∠�𝐴=90°,

∵∠�为��⊙+∠的�直𝑁径=,90°交于点E,且,

∴𝐸�,𝐸����=��

∴��⊥��,

∴∠�𝑁=90°,

∵∠�𝑁+∠𝑁�,=90°

∴∠𝑁�=∠���,

∵∠���+∠,�𝑁=90°

∴��=��,

∴∠�𝑁=∠���,

∴∠�𝑁=,∠���

∵�点�H=是��的中点,

∴�;�

(�3)�解⊥:𝑁连接,延长交于点M,交于点T,

𝐸��������

第22页共68页.

∵,为⊙的直径,

∴��⊥𝑁𝐸�,

∴∠�𝐸=,∠���=90°

∵�点�H∥�是�的中点,

∴点M是𝑁的中点,

∴��,

1

∴��=��=,2��=5

∵𝐸=2�,�

∴��=𝐴,

∴∠𝐴�=∠�𝐴,

∵∠���=∠𝐴�+∠�,𝐴=2∠𝐴�,

∴�𝑁=∠���=,90°∠���=∠𝑁�

∴∠���=∠���,

∵∠���=2∠���,

∴∠���=∠���+,∠𝐸�=3∠���

∵∠𝐸�=∠���,

∴∠�𝐴=∠�𝐴,

∴∠�𝐴=∠𝐸�,=∠���

∵𝐴=��,=5

∴��=2,

∴��=3,

∴𝐸=2��=6,

22

∵𝐶=�,�=��−��=4

∴��∥𝐴,,

∴∠𝐸�=∠�𝐶=∠���,△�𝐶∽△𝐸�

����𝐶−𝐶4−𝐶1

∴𝐸=𝐶=,𝐶=𝐶=3

𝐶=3

第23页共68页.

∴,

𝐶��1𝑁

∴tan∠���,=tan∠𝐸�=,��=��=2=��

∵��=12��=2𝑁,

∵𝑁=��−𝐶−�,�=4

222

∴��+𝑁=,𝑁

2

∴5𝑁=1,6

216

∵𝑁=5,

222

∴��+𝑁=��,

216

∴��+5=.100

225

【点��睛=】本5题考查了圆的综合题,等角的余角相等,解直角三角形,切线的性质,正确的作

出辅助线是解题的关键.

4.(2022·北京市第十九中学三模)如图,中,平分交于,以

为直径的交于点,交于点.△�����=��𝐸∠������𝐸

⊙�������

(1)求证:是切线;

(2)连接�交�⊙与�、连接交于,连接,若的半径为,,求和

的长.𝑁𝐸���𝑁���⊙�5𝐴=3����

【答案】(1)见解析

(2)4,

217

【分析】(1)由等腰三角形的性质可得,再由是直径即可证得结论;

(2)连接、、,过作�于�⊥,�则�易证𝐸≌,则可得,

从而有��∽����,由�相似𝐶三⊥角�形�的性�质可求得Rt△的�长�,�则R可t△得𝐸�是等腰�直�∥角�三�

角形;易△得��四�边△形�𝐸是矩形,则可得�,�且可得△是�等�腰�直角三角形,

则可得𝐶及��的长,在𝐶=中�,�由=勾2股定理即△可�求𝐶得的长.

(1)𝐶=𝐶=2𝐸Rt△𝐶���

证明:,平分交于,

∵AB,=AC𝐸∠������

∴𝐸⊥��

第24页共68页.

是的直径,

∵𝐸是⊙�切线;

∴(�2)�⊙�

解:连接、、,过作于,如下图,

�������𝐶⊥𝐸�

是的直径,

∵𝐸⊙�,

∴∠��平�分=∠𝑁�,=90°

∵𝐸∠���,

∴∠�𝐸=∠,�𝐸

∴��=��,

∵𝐸=𝐸≌,

∴Rt△𝐸�,Rt△𝐸�HL

∴��=𝑁,

∴𝐸⊥的�半�径为,,

∵⊙�5𝐴,=3

22

∴𝐴=5,−3=4

∵∴𝐸⊥�,�

𝑁∥��∽,

∴△�𝐴,△即�𝐸,

𝐴𝐴45+3

∴𝐸=𝐸,𝐸=10

∴𝐸=5,

∴��=2𝐸=10,

∵四∠�边�形�=∠��是�矩=形∠,���=90°

∴𝐴��,,

∴𝐶=��=5−,3=2𝐶∥��

∴∠�𝐶=∠��,�

∵𝐸=𝐸=5,

∴∠�𝐸=∠�𝐸=45°

第25页共68页.

∴∠�𝐶=∠��,�=45°

∴𝐶=𝐶=2,

∴在𝐶=��−中�,�由=勾8股定理得.

22

【点Rt睛△】�本��题主要考查了圆的切�线�的=性�质�与+判�定�,=等2腰三17角形的性质与判定,矩形的判定与

性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的性质与判定,勾股定理的应用,关键是构造

直角三角形.

5.(2022·上海·华东师范大学松江实验中学三模)如图,在梯形中,

°

动点在边上,过点作1,��与�边�交∠�于�点�=,90过,点𝐸∥

�作�,��=4,,�与�边=5,�交�于=点2.,设�线段��,��.�∥𝐸����

��∥��𝐸���=�𝑁=�

(1)求关于的函数解析式,并写出定义域;

(2)当��是以为腰的等腰三角形时,求的值;

(3)如图△𝑁,�作��的外接圆,当点在�运�动过程中,外接圆的圆心落在

的内部不2包括△边上��时�,求出⊙的�取值范围�.⊙��△�𝑁

【答案】(1),��

5

(2)或�=3�0≤�≤5

5

(3)53

45

34<��≤5

【分析】(1)由题中条件、可知四边形是平行四边形,故CE

,;过点��/作/�垂�线𝑁//𝐸交于点�,��交�于点,可得相似的=𝑁=

�和𝑁=,��用=含5−、�的表达�式表示它�们�的⊥边��长,𝑁再根据�相似三��角形的�对应边成比例即△可��求�

得△关�于��的解析式�;�下一步即为求得和的各自边长,过点作垂线

交�延长�线于点,由且△�𝐴可△得�四��边形为矩形,�则��⊥𝐸

,𝐸,�𝐸//��∠���=90;°在�中�,�由�勾股定理可�算�得=��的=长度;

5在��=��中=,4��=,��=�,�则−可𝐸由=勾3股定理𝑅求△得���的长度,��

�,�△�𝑁��=�𝑁=�,至此已求�得�所有所需�边�长=,�根�据−相��似=三�角�形−

�边�长比𝐴例关=系𝑁:−��=�,�代−入�各�边=长��表−达�式�即可得关于的解析式,再根据题中要求写出

����

��=����

第26页共68页.

定义域即可;

(2)因为是以为腰的等腰三角形,,由勾股定理知,

22

过点作△𝑁�交�于�点,则四边形�是�矩=形𝑁,=�,

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