专题27以相似为载体的几何综合问题（原卷版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题27以相似为载体的几何综合问题

【例1】（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且

MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．

(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；

(2)若＝2，求的值；

𝐸𝐴

(3)若�M�N∥BE，��求的值．

𝐴

��

【例2】（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，

的面积为．��𝑁��𝑁△𝐶��1

△（1�）��问题解决：�如2图①，若AB//CD，求证：

�1��⋅��

（2）探索推广：如图②，若与不平行，（�12）=中��的⋅�结�论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展应用：如图③，在��上�取�一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，

交于点G，且，�若�，求值．��=��𝐸∥𝑁������

��5�1

𝐸��=2����=6�2

第1页共14页.

【例3】（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，

，是边上两点，点在点的右侧，，连接��，𝑁的延�长�线与的延长线相��交=于�点�=．5��=6

��𝑁����=���������

(1)如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．

①若�，求��的长；��𝐸𝐸���

3

②在满��足=①2的条�件�下，若，求证：；

(2)如图2，连接，是𝐴上=一�点�，连接�．�若⊥��，且，求的长．

�����𝑂∠𝑂�=∠𝐸�+∠�𝐸��=2��𝐸

【例4】（2022·江苏泰州·中考真题）已知：△ABC中，D为BC边上的一点.

(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；

(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，

1

试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.2𝑁•��

第2页共14页.

【例5】（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，和的顶点重合，，

，，．△���△����∠���=∠���=90°∠���=∠𝑁�=

30°��=3��=2

(1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关

𝑁

系是______；��������=𝑁��

(2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论

是否仍然成立？若成立，请证明；△若�不�成�立，�请说明理由；�����

(3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于

点，当时，求△���的值．��(19°<�<60°)𝑁��

���=��tan60°−�

第3页共14页.

一、解答题【共20题】

1．（2022·江苏镇江·中考真题）已知，点、、、分别在正方形的边、、、上．

������𝑁����𝑁𝑁

(1)如图1，当四边形是正方形时，求证：；

(2)如图2，已知𝐸��，，当、�的�+大�小�有=__�_�______关系时，四边形是矩形；

(3)如图3，��=，𝑂、𝐸相=交𝑂于点�，�𝐸，已知正方形的边长为𝐸16�，�长为20，当

的面积取最�大�值=时�，�判�断�四�边�形是�怎�样�的:�四�边=形4:？5证明你的结论�．�𝑁��△�𝑂

𝐸��

2．（2022·山东东营·中考真题）和均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的

速度沿、运动，运动到点△B、��C�停止△.𝑁�

����

(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段、的数量关系是____________，位置关系是

____________；𝑁𝐸

(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请

说明理由；

(3)当点D运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形

是哪种特殊四边形？请在备用图中画出��图�形�并给予证△明�.��𝑁𝐸

第4页共14页.

3．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，，点在直线上，连接，将

绕点逆时针旋转，得到线段，连△接���，�．�=��∠���=120°���𝑁��

�120°������

(1)求证：；

(2)当点在��线=段3�上�（点不与点，重合）时，求的值；

��

(3)过点�作��交于�点，若��，请直接𝑁写出的值．

𝐴

�𝐴∥��𝑁�𝑁=2𝑁��

4．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，

连结交于点，平分交于点G．

�����𝑂∠�����

(1)求证：.

(2)若∠�，𝑂=90°．

①求菱𝑁形=6�的�面=积2�.�

②求��𝑁的值.

(3)若tan∠𝑁�，当的大小发生变化时（＜＜），在上找一点，使为定值，说明理由并求

出�的�值=．��∠���0°∠���180°�����

��

第5页共14页.

5．（2022·山东枣庄·中考真题）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以

每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动

的时间2为t秒．

(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；

(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？

6．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺

时针旋转得到，旋转角等于，连接���．���=4,𝑁=3�𝑁��

𝐸∠���𝐸

(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证；

(2)当��时，求�的�长⊥；����=��

(3)连�接�=，3点2E从点�B�运动到点D的过程中，试探究的最小值．

����

第6页共14页.

7．（2022·山东菏泽·中考真题）如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，

连接BE、CE．△���∠���=45°,𝑁⊥����=��

(1)直接写出CE与AB的位置关系；

(2)如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接、，在旋转

′′′′′

的过程中与△��的�位置关系与（1）中△的�C�E�与AB�的位�置′关系是否一致?请说明理由；����△�𝑁

′

(3)如图3，��当′��绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求

′

的长．△�𝑁��′��𝑂=��,��=3

′

��

8．（2022·辽宁丹东·中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，

以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．

(1)如图1，当＝＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；

𝑁𝑂

(2)如图2，当��＝��＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；

𝑁𝑂

(3)如图3，在（��2）��的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB

＝，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．

5

第7页共14页.

9．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕

点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．

(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；

(2)延长ED交直线BC于点F．

①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；

②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．

10．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），

作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．

(1)直接写出图中与AFB相似的一个三角形；

(2)若四边形AFCC′△是平行四边形，求CE的长；

(3)当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？

第8页共14页.

11．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A

点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的2路线3匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．

(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交

2

于点P，求线段EP与CP长度的比值；3

(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，

求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大3，最大值为多少？

(3)如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、

1

F在什么位置能使EM＝HM．并说明3理由．

12．（2022·山东济宁·中考真题）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为

（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，

作DM⊥3AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．

(1)填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为；

(2)当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．

①求m值最大时点D的坐标；

②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．

第9页共14页.

13．（2022·山东烟台·中考真题）

(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接

写出的值．

𝑁

(3)【�拓�展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．

��𝑁3

①求的值；����4

𝑁

②延长��CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

14．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点M为边的中点，动点P

从点A出发，沿折线以每秒个▱单�位��长�度的速��度=向4终点𝑁B=运�动�，=连结13．作点A关��于直线的对称

点，连结、�．�设−点��P的运动时13间为t秒．����

�′�′��′�

(1)点D到边的距离为__________；

(2)用含t的代�数�式表示线段的长；

(3)连结，当线段最短�时�，求的面积；

(4)当M�、′�、C三点�共′�线时，直接写△出��t�的′值．

�′

第10页共14页.

15．（2022·内蒙古通辽·中考真题）已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点

．���𝑁��𝐸𝑂��𝑁

�

(1)如图1，当点在上，在上，求的值为多少；

2��

(2)将正方形�绕𝑁点逆时�针方��向旋转2��，如图2，求：的值为多少；

��

(3)�，�𝑂�，将正方形�(0绕°<逆�<时针90方°)向旋转��，当，，三点共线时，请直

2

接写��出=8的2长度𝑂．=2𝑁𝐸𝑂��(0°<�<360°)���

��

16．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，，．点E是线段AD上的动点（点E

不与点A，D重合），连接CE，过点E作，交AB于�点�=F．4��=6

𝐸⊥��

(1)求证：；

(2)如图2，△连��接�C∽F△，�过�点�B作，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．

①求的最小值；𝑂⊥𝐸

②当𝑂+��取最小值时，求线段DE的长．

𝑂+��

第11页共14页.

17．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在

的右侧，，与相交于点O．��𝑁𝑁��

𝑁=2��𝑁��

(1)如图1，若连接，则的形状为______，的值为______；

𝐶

(2)若将沿直线l�平�移，△并�以𝑁为一边在直线l的�上�方作等边．

①如图�2，�当与重合时，连𝑁接，若，求的长；△𝑁�

3

②如图3，当����时，连接��并延长��交=直2线l于�点�F，连接．求证：．

∠���=60°������⊥��

18．（2022·山东青岛·中考真题）如图，在中，，将绕点A按

逆时针方向旋转得到，连接．Rt点△P�从��点B出∠�发�，�沿=90°方,�向�匀=速5c运m动,�，�速=度3c为m△�；�同�时，点Q

从点A出发，沿90方°向匀△速�运��动，速度�为�．交于点F，�连�接．设运动时间为1cm/s．解

答下列问题：𝑁1cm/s𝑃����,𝑃�(s)(0<�<5)

(1)当时，求t的值；

(2)设�四�边⊥形𝑁的面积为，求S与t之间的函数关系式；

2

(3)是否存在某��一��时刻t，使�(cm)？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

𝑃∥𝑁

第12页共14页.

19．（2022·辽宁营口·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，