专题23二次函数推理计算与证明综合问题 （原卷版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题23二次函数推理计算与证明综合问题

【例1】（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛

物线的对称轴为直线x＝t．

（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；

（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．

【例2】（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．

（1）求b，c的值．

（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．

（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．

【例3】（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．

（1）求m的值；

（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．

第1页共10页.

2

【例4】（2022•杭州）设二次函数y1＝2x+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．

（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．

2

（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．

（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，

当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．

【例5】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，

1），（，），（﹣，﹣），……都是和谐点．

（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．

①求a，c的值；

②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．

第2页共10页.

一．解答题（共20题）

1．（2022•瑞安市校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）．

（1）求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；

（2）设点P（m，y1），Q（4，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．

2

2．（2022•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax﹣2ax+a

（a≠0）上的两点．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；

（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．

3．（2022•新野县三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2．

（1）抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴的交点坐标为；

（2）若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．

第3页共10页.

4．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．

（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．

（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最

值．

（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．

2

5．（2022•盈江县模拟）抛物线C1：y＝x+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．

（1）求b，c的值；

2

（2）抛物线C2：y＝﹣x+mx+n经过抛物线C1的顶点P．

①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；

②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF

长度的最大值．

2

6．（2022•沂水县二模）抛物线y＝ax+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q（x0，y0）是抛物线

上的点．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；

（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求m的取值范围．

第4页共10页.

7．（2022•姜堰区二模）设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x（2x+m）+n．

（1）求证：y1，y2的图象必有交点；

（2）若m＞0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，

且x3≠x2，求x3﹣x1的值；

（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．

8．（2022•西城区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2﹣1．

（1）求此抛物线的顶点的坐标；

（2）若直线y＝n与该抛物线交于点A、B，且AB＝4，求n的值；

（3）若这条抛物线经过点P（2m+1，y1），Q（2m﹣t，y2），且y1＜y2，求t的取值范围．

2

9．（2022•黄岩区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝ax+bx+3与直线y2＝x+1．

2

（1）当抛物线y1＝ax+bx+3与直线y2＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2时．

①求抛物线解析式；

②直接写出当y1＞y2，时x的取值范围；

（2）设y＝y1﹣y2，当x＝m时y＝M，x＝n时y＝N，当m+n＝1（m≠n）时，M＝N．求证：a+b＝1．

第5页共10页.

10．（2022•路桥区一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）．

（1）求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；

（2）若点A（2m+1，7）在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+t（t是常数）在第四象限内有两个交点，

请直接写出t的取值范围．

11．（2022•安徽模拟）已知：抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．

（1）若抛物线经过（﹣1，﹣2）时，求抛物线解析式；

（2）设P点的纵坐标为yp，当yp取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较

y1与y2的大小；

（3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点时，直接写出m的取

值范围．

12．（2022•富阳区一模）已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣）．

（1）若抛物线过点（2，1），求抛物线的解析式；

（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1）、N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；

当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，试判断点（2，﹣9）在不在此抛物线上；

（3）抛物线上有两点E（0，n）、F（b，m），当b≤﹣2时，m≤n恒成立，试求a的取值范围．

第6页共10页.

13．（2022•河东区二模）已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）与y轴交于点A（0，﹣2）．

（Ⅰ）求抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）的解析式及顶点坐标；

（Ⅱ）设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B，点P为x轴上一动点，点D满足∠DPA＝90°，PD＝PA．

（i）若点D在抛物线上，求点D的坐标；

（ii）点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠APD时，求出点P的坐标．

14．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）经过点（0，﹣1）和（2，

7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．

（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．

（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为﹣1﹣2m．

①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．

②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高

点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．

（3）设点D的坐标为（m，2﹣m），点E的坐标为（1﹣m，2﹣m），点F在坐标平面内，以A、D、E、F为

顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．

第7页共10页.

15．（2022•长春二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于

y轴．

（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；

（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（x1，y1），N（x2，

y2）为图形G上任意两点．

①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；

②若对于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范围；

（3）当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．

2

16．（2022•开福区校级一模）已知：抛物线C1：y＝ax+bx+c（a＞0）．

（1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）；

（2）当c＜0时，求函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值；

（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，

若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，求k的值．

17．（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A（﹣2，2），该图象与直线x＝2相交于点B．

（1）求点B的坐标；

（2）当c＞0时，求该函数的图象顶点纵坐标的最小值；

（3）点M（m，0）、N（n，0）是该函数图象与x轴的两个交点．当m＞﹣2，n＜3时，结合函数图象分析a

的取值范围．

第8页共10页.

18．（2022•江都区一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，

那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝

﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．

（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为（只填序号即可），其上确界

为；

（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；

（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．

19．（2022•亭湖区校级一模）已知抛物线y＝ax2﹣（3a﹣1）x