导数的简单应用课件高三数学二轮复习

2025新高考数学

二轮复习导数的简单应用知识梳理·基础回归知识点1导数的概念和几何意义

知识梳理·基础回归知识点1导数的概念和几何意义

知识梳理·基础回归知识点2导数的运算1．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝_f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝_____f(x)＝cosxf′(x)＝_______f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝__f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝0αxα-1cos

x－sin

xaxln

aex

知识梳理·基础回归

知识点2导数的运算知识梳理·基础回归解题方法总结

知识梳理·基础回归解题方法总结

练基础1.(人A选必二5.2节习题改编)余弦曲线y=cosx在点

处的切线方程为

.

2.(人A选必二5.2节习题改编)设曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直,则a=

.

3.(人A选必二第五章习题改编)若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则c=

.

6解析

因为f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,所以f'(x)=3x2-4cx+c2=(3x-c)(x-c).当f'(x)=0,即x=,或x=c时,函数f(x)可能有极值.由题意,当x=2时,函数f(x)有极大值,所以c>0.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:4.(人A选必二5.3节习题改编)函数f(x)=48x-x3,x∈[-3,5]的最大值为

,最小值为

.

128-117解析

f'(x)=48-3x2,令f'(x)=0,得x=-4(舍去)或x=4,f(-3)=-117,f(5)=115,f(4)=128,所以f(x)最大值为128,最小值为-117.真题体验1.(2022·全国乙,文11)函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(

)D2.(2021·全国乙,文12)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则(

)A.a<b B.a>b

C.ab<a2 D.ab>a2D3.(2022·新高考Ⅱ,14)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为

,

.

练考点考点一导数的运算、几何意义C(2)(2024·北京海淀一模)已知

函数f(x)的零点个数为m,过点(0,2)与曲线y=f(x)相切的直线的条数为n,则m,n的值分别为(

)A.1,1 B.1,2 C.2,1 D.2,2B解析

令f(x)=0,即当x≤0时,x3=0,解得x=0,当x>0时,lg(x+1)=0,无解,故m=1.令g(x)=(2+lg

e)x+2-(x+1)lg(x+1)(x>0),则g'(x)=2-lg(x+1),令g'(x)=0,可得x=99,故当x∈(0,99)时,g'(x)>0,即g(x)在(0,99)上单调递增,当x∈(99,+∞)时,g'(x)<0,即g(x)在(99,+∞)上单调递减,由g(99)=(2+lg

e)×99+2-200=99lg

e>0,g(0)=2-0=2>0,故g(x)在x∈(0,99)上没有零点,又g(999)=(2+lg

e)×999+2-1

000×3=999lg

e-1

000<0,故g(x)在(99,999)上必有唯一零点,即当x0>0时,亦可有一条切线符合要求,故n=2.故选B.A(2)过坐标原点作曲线f(x)=ex(x2-2x+2)的切线,则切线共有(

)A.1条 B.2条 C.3条 D.4条A考点二利用导数研究函数的单调性考向1讨论函数单调性或求单调区间例2(2024·山东联合模拟预测)已知函数f(x)=x(1-lnkx).(1)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线y=x垂直,求实数k的值;(2)讨论f(x)的单调性.解

(1)因为f(x)=x(1-ln

kx),k≠0,所以f'(x)=-ln(kx),曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线y=x垂直,所以f'(e)=-ln(ke)=-1,解得k=1.(2)由f(x)=x(1-ln

kx),得k≠0且f'(x)=-ln(kx),当k>0时,f(x)的定义域为(0,+∞),[对点训练2](2024·江西九江二模)已知曲线y=f(x)=(2x-a)ln(x-1)+b(a,b∈R)在(2,f(2))处的切线方程为3x-y-2=0.(1)求a,b的值;(2)判断f(x)的单调性.考向2已知函数单调性求参数(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在(0,+∞)单调递增,求a的取值范围.(方法二)令g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1),x>0,则g'(x)=2ax+1-ln(x+1)-1=2ax-ln(x+1).∵x+1>1,∴ln(x+1)>0.当a≤0时,g'(x)<0,g(x)在(0,+∞)单调递减,∴f'(x)<0,f(x)单调递减,不符合题意;当a>0时,令h(x)=2ax-ln(x+1),x>0,∴g'(x)在(0,+∞)单调递增,∴g'(x)>0-ln

1=0,即g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)单调递增,∴g(x)>0+0-0=0恒成立,即f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)单调递增,符合题意.知识提炼根据函数单调性求参数取值范围的类型1已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),f(x)中含参数转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到2已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),I中含参数先求出f(x)的单调区间,再令I是其单调区间的子集,建立不等式组求解3已知函数f(x)在区间I上存在单调递增(或单调递减)区间转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在I上有解求解4已知函数f(x)在区间I上不单调(方法一)转化为f'(x)=0在I上有解求解,注意验证;(方法二)运用补集思想,先求f(x)在区间I上单调时参数的取值范围,再取其补集[对点训练3](2024·江苏徐州一模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.(1)若函数y=f(x)-2x2在(0,2]上单调递减,求a的取值范围;(2)若直线y=ex与y=f(x)的图象相切,求a的值.解

(1)记y=f(x)-2x2=ax-ln

x-x2=g(x),因为g(x)在(0,2]上单调递减,考点三利用导数研究函数的极值、最值考向1利用导数研究函数的极值例4(1)(多选题)(2023·新高考Ⅱ,11)若函数

(a≠0)既有极大值也有极小值,则(

)A.bc>0 B.ab>0C.b2+8ac>0 D.ac<0BCD因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以g(x)=ax2-bx-2c在区间(0,+∞)上有两个不同的零点,即一元二次方程ax2-bx-2c=0有两个不同的正实数根,所以b2+8ac>0,且ab>0,ac<0,bc<0,所以A不正确,B,C,D正确.故选BCD.(2)(2024·新高考Ⅱ,16)已知函数f(x)=ex-ax-a3.①当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;②若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.解

①当a=1时,则f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,可得f(1)=e-2,f'(1)=e-1,即切点坐标为(1,e-2),切线斜率k=e-1,所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y-1=0.②(方法一)f(x)的定义域为R,且f'(x)=ex-a,若a≤0,则f'(x)>0对任意的x∈R恒成立,可知f(x)在R上单调递增,无极值,不合题意;若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln

a;令f'(x)<0,解得x<ln

a,可知f(x)在(-∞,ln

a)内单调递减,在(ln

a,+∞)上单调递增,则f(x)有极小值f(ln

a)=a-aln

a-a3,无极大值,由题意可得f(ln

a)=a-aln

a-a3<0,即a2+ln

a-1>0,令g(a)=a2+ln

a-1,a>0,则g'(a)=2a+>0,可知g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,不等式a2+ln

a-1>0等价于g(a)>g(1),解得a>1,所以a的取值范围为(1,+∞).(方法二)f(x)的定义域为R,且f'(x)=ex-a,若f(x)有极小值,则f'(x)=ex-a有零点,令f'(x)=ex-a=0,解得ex=a,可知y=ex与y=a有交点,则a>0.若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln

a;令f'(x)<0,解得x<ln

a.所以f(x)在(-∞,ln

a)内单调递减,在(ln

a,+∞)上单调递增,则f(x)有极小值f(ln

a)=a-aln

a-a3,无极大值,符合题意,由题意可得f(ln

a)=a-aln

a-a3<0,即a2+ln

a-1>0,令g(a)=a2+ln

a-1,a>0,因为y=a2,y=ln

a-1在(0,+∞)上单调递增,可知g(a)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0,不等式a2+ln

a-1>0⇔g(a)>g(1),解得a>1,所以a的取值范围为(1,+∞).[对点训练4](1)(2024·宁夏银川一模)若函数f(x)=(x2-ax-2)ex在x=-2处取得极大值,则f(x)的极小值为(

)A.-6e2

B.-4e C.-2e2

D.-eC解析

因为函数f(x)=(x2-ax-2)ex在x=-2处取得极大值,则f'(x)=[x2+(2-a)x-2-a]ex,x∈R且f'(-2)=0,即4-2(2-a)-2-a=0,所以a=2.所以f(x)=(x2-2x-2)ex,f'(x)=(x2-4)ex=(x+2)(x-2)ex,令f'(x)=0,则x=2或x=-2,当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增,在(-2,2)内单调递减.所以函数f(x)在x=-2处取得极大值,所以a=2,f(x)的极小值为f(2)=-2e2.故选C.(2)(2024·陕西咸阳二模)已知函数f(x)=cosx+x2,若x=0是函数f(x)的唯一极小值点,则实数a的取值范围为(

)A.[1,+∞) B.(-1,1)C.[-1,+∞) D.(-∞,1]A解析

f'(x)=-sin

x+ax,令g(x)=f'(x)=-sin

x+ax,则g'(x)=-cos

x+a,当a≥1时,g'(x)=-cos

x+a≥0,故g(x)单调递增,又g(0)=-sin

0+0=0,所以当x>0时,g(x)>0,当x<0时,g(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故x=0是函数f(x)的唯一极小值点,符合题意;当a<1时,g'(0)=-cos

0+a=-1+a<0,故一定存在m>0,使g(x)在(0,m)上单调递减,此时x=0不是函数f(x)的极小值点,故a<1时不符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).故选A.考向2利用导数研究函数的最值例5(1)(2024·广东三模)在半径为R的半球内放入一个正四棱柱,使得正四棱柱上底面的四个顶点位于半球面上,下底面与半球的大圆面重合,则正四棱柱体积的最大值为(

)D解析

显然正四棱柱上底面正方形为与半球底面平行的截面圆的内接正方形,(2)(2024·河南南阳一模)已知函数f(x)=3x2-2lnx+(a-1)x+3在区间(1,2)内有最小值,则整数a的一个取值可以是

.

4(答案不唯一,a∈{a∈Z|-10<a<-3}中的任意整数均可