第3章几何组成分析本章介绍平面杆件体系的几何组成分析内容包括几何组成

第3章几何组成分析【内容提要】本章介绍平面杆件体系的几何组成分析，内容包括几何组成分析的目的，几何不变体系的组成规则，判别体系是否几何不变，正确区分静定结构和超静定结构。本章是以后进行结构内力计算的基础。1、了解几何不变体系和几何可变体系的概念。2、理解几何不变体系的基本组成规则。3、能对一般的平面杆件体系进行几何组成分析。4、了解静定结构和超静定结构的概念。5、了解平面杆件结构的分类。【学习目标】杆件结构是由若干杆件按一定规律互相连接在一起而组成，用来承受荷载作用的体系。有些杆件体系是不能作为结构的。例如，建筑工地上常见的扣件式钢管脚手架都不会搭成如图3.1（a）所示的形式，因为这样的架子是很容易倒塌的，必须再加上一些斜杆，搭成如图3.1（b）所示的形式才能稳当可靠。

3.1概述3.1.1

几何不变体系和几何可变体系在荷载作用下，材料会产生应变，因而结构会变形，这种变形与结构的尺寸相比是很微小的，在几何组成分析中，我们不考虑这种变形的影响。在上述前提下，体系可分为两类：

1)

在任意荷载作用下，其原有的几何形状和位置保持不变的，称为几何不变体系。2)

在任意荷载作用下，其几何形状和位置发生变化的，称为几何可变体系。●工程结构必须是几何不变体系，决不能采用几何可变体系。3.1.2几何组成分析的目的分析体系的几何组成，以确定它们属于哪一类体系，称为体系的几何组成分析。作这种分析的目的在于：

（1）判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否作为结构；

（2）研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计的结构是几何不变的；

(3)正确区分静定结构和超静定结构，为结构的内力计算打下必要的基础。3.1.3刚片、自由度和约束的概念由于不考虑材料的应变，故可将每一根杆件视为刚体，在平面体系中又把刚体称为刚片。体系中已被肯定为几何不变的某个部分，也可看成是一个刚片。支承体系的基础也可看成是一个刚片。1.刚片一个体系的自由度，是指该体系在运动时，确定其位置所需的独立坐标的数目。确定平面内一个点的位置需用两个坐标x和y。平面内一个点有2个自由度。2.自由度xyoxy平面内一个刚片的位置可由它上面的任一个点A的坐标x、y和过点A的任一直线AB的倾角

来确定。平面内一个刚片有3个自由度。xyoxy

约束是刚片和刚片之间的某种联结装置，是限制体系运动的一种条件。显然，体系由于加入约束而使自由度减少。以后我们把能减少一个自由度的装置称为一个约束。

(1)一根链杆相当于一个约束

3.约束对自由度的影响如果用一根链杆将刚片与基础相联结，则刚片在链杆方向的运动将被限制。但此时刚片仍可进行两种独立的运动，即链杆AC绕C点的转动以及刚片绕A点的转动。加入链杆后，刚片的自由度减少为两个。可见一根链杆可减少一个自由度，故一根链杆相当于一个约束。xyoCAI如果在点A处再加一根水平链杆，即点A处成为一个固定铰支座，则刚片只能绕点A转动，其自由度减少为一个。可见一个固定铰支座可减少两个自由度，故一个固定铰支座相当于两个约束。(2)一个固定铰支座相当于两个约束xyoAI(3)一个固定端支座相当于三个约束如果在点A处再加一个阻止刚片转动的约束，则点A处成为一个固定端支座，刚片的自由度等于零。可见一个固定端支座相当于三个约束。xyoAI(4)一个单铰相当于两个约束

如果用一个铰A将刚片Ⅰ与刚片Ⅱ相联结，设刚片Ⅰ的位置可以由点A的坐标x、y和倾角

1确定，由于点A是两刚片的共同点，则刚片Ⅱ的位置只需用倾角

2就可以确定。因此，两刚片原有的6个自由度就减少为4个。联结两个刚片的铰称为单铰。可见一个单铰相当于两个约束。(5)联结n个刚片的复铰，其作用相当于（n

1）个单铰

当用一个铰同时联结两个以上刚片时，这种铰称为复铰。图示三个刚片用复铰联结后，其自由度由原来的9个减少为5个。即点A处的复铰减少了4个自由度，相当于两个单铰的作用。一般来说，联结n个刚片的复铰，其作用相当于（n

1）个单铰。

(6)虚铰的作用与单铰一样，仍相当于两个约束

图（a）刚片用两根不平行的链杆与基础相联结，刚片只能绕两链杆的延长线之交点O转动。在转动一微小角度后，点O到了点O′。这种由杆的延长线的交点而形成的铰称为虚铰。当体系运动时，虚铰的位置也随之改变，所以通常又称它为瞬铰。

（a）图（b）中，刚片Ⅰ与刚片Ⅱ由两根不平行的链杆相联结，链杆的延长线交点为O，两刚片可绕虚铰O发生相对转动。虚铰的作用与单铰一样，仍相当于两个约束。

(7)多余约束对体系的自由度没有影响

平面内一个点A有两个自由度，如果用两根不共线的链杆将点A与基础相联结［图(a)］，则点A减少两个自由度，即被固定。(a)A如果用三根不共线的链杆将点A与基础相联结［图(b)］，实际上仍只减少两个自由度。(b)A如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少，则此约束称为多余约束。图(b)三根链杆中有一根是多余约束。多余约束对体系的自由度没有影响。本节在平面杆件体系范围内，讨论无多余约束的几何不变体系的基本组成规则。所谓无多余约束是指体系内的约束数目恰好使该体系成为几何不变，只要去掉任意一个约束就会变成几何可变体系。

3.2几何不变体系的基本组成规则3.2.1基本组成规则

1二刚片连接规则两刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相互联结，或用一个铰及一根不通过铰心的链杆相联结，组成无多余约束的几何不变体系。说明:

三根链杆不能全交于一点三根链杆不能全平行链杆不能通过铰心

在两刚片之间加一个铰，刚片Ⅰ、Ⅱ之间的相对移动就被限制住了，但它们仍可围绕铰作相对转动。ⅠⅡⅠⅡ再在它们之间加一根不过铰心的链杆，则两刚片之间就不可能有相对运动了，于是刚片Ⅰ和刚片Ⅱ就组成了一个无多余约束的几何不变体系。由于一个单铰相当于二根链杆的作用，故两刚片之间用三根链杆联结，同样也组成一个无多余约束的几何不变体系。

ⅠⅡⅠⅡ当两刚片之间用三根链杆联结时，若三根链杆同时汇交于一点A，则刚片Ⅰ、Ⅱ可以绕点A转动，体系是几何可变的。

若三根链杆的延长线同时汇交于点O，则刚片Ⅰ、Ⅱ可以绕点O发生瞬时相对转动，并在转动一微小角度后三根链杆不再汇交于同一点，这种发生微小位移后不再运动的体系称为瞬变体系。瞬变体系是几何可变体系的一种特殊情况。

若三根链杆互相平行且等长，则刚片Ⅰ、Ⅱ可以沿着链杆垂直的方向发生相对平动，体系是几何可变的。若三根链杆相互平行但不等长，则刚片Ⅰ、Ⅱ在发生一微小的相对位移后，三根链杆不再全平行，因而不再发生相对运动，故体系是瞬变体系。

2三刚片连接规则

三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联，组成无多余约束的几何不变体系。说明：

三个铰不能在同一直线上

将刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ用不在同一直线上的A、B、C三个铰两两相连，把刚片Ⅰ看作一根链杆，应用二刚片联结规则，图(a)所示体系是几何不变的，且无多余约束。将图(a)中任一个铰用两根链杆代替，只要这些由两根链杆所组成的实铰或虚铰不在同一直线上，这样组成的体系也是无多余约束的几何不变体系［图(b)］。

若三个刚片用位于同一直线上的三个铰两两相联，设刚片Ⅰ不动，则铰C可沿以AC和BC为半径的圆弧的公切线作微小的移动。但在发生微小移动后，三个铰就不在同一直线上，体系不会继续发生相对运动，故此体系是瞬变体系。

3加减二元体规则

利用三刚片联结规则，图示体系是几何不变的。这个体系可看成是在刚片上通过两根不共线的链杆联结一个结点A组成的。这种用两根不共线的链杆联结一个结点的装置称为二元体。

由于一个结点的自由度等于2，而两根不共线的链杆相当于二个约束，因此增加一个二元体对体系的实际自由度没有影响。同理，在一个体系上撤去一个二元体，也不会改变体系的几何组成性质。于是得到加减二元体规则：在一个体系上增加或减少二元体，不改变体系的几何可变或不变性。3.2.2对瞬变体系的进一步分析

虽然瞬变体系在发生一微小相对运动后成为几何不变体系，但它不能作为工程结构使用。这是由于瞬变体系受力时会产生很大的内力而导致结构破坏。

图(a)所示体系在荷载F作用下，铰C向下发生一微小位移而到达C＇位置。由图(b)列出平衡方程

ΣX=0FBCcos

FACcos

=0得FBC=FAC=FN

ΣY=02FNsin

F=0得当θ→0时，不论F有多小，FN→∞，这将造成杆件破坏。

●应用基本组成规则进行分析的关键是恰当地选取基础、体系中的杆件或可判别为几何不变的部分作为刚片，应用规则扩大其范围，如能扩大至整个体系，则体系为几何不变的；如不能的话，则应把体系简化成二至三个刚片，再应用规则进行分析。

3.3几何组成分析举例●体系中如有二元体，则先将其逐一撤除，以使分析简化。●若体系与基础是按两刚片规则联结时，则可先撤去这些支座链杆，只分析体系内部杆件的几何组成性质。

【例3.1】试对图示体系进行几何组成分析。

【解】体系与基础用不全交于一点也不全平行的三根链杆相联，符合两刚片联结规则，先撤去这些支座链杆，只分析体系内部的几何组成。ACDFGEB任选铰结三角形，例如ABC作为刚片，依次增加二元体B-D-C、B-E-D、D-F-E和E-G-F，根据加减二元体规则，可见体系是几何不变的，且无多余约束。ACDFGEBACDFGEB当然，也可用依次拆除二元体的方式进行，最后剩下刚片ABC，同样得出该体系是无多余约束的几何不变体系。ACDFGEB【例3.2】试对图示体系进行几何组成分析。ACDEB

【解】本题有六根支座链杆，应与基础一起作为一个整体来考虑。先选取基础为刚片Ⅰ，杆AB作为另一刚片Ⅱ，该两刚片由三根链杆相联，符合两刚片联结规则。ACDEBIIIⅠ和Ⅱ组成一个大的刚片，称为刚片Ⅲ，再取杆CD为刚片Ⅳ，它与刚片Ⅲ之间用杆BC（链杆）和两根支座链杆相联，符合两刚片联结规则，组成一个更大的刚片。ACDEⅣⅢB最后将杆DE和E处的支座链杆作为二元体加于这个更大的刚片上，组成整个体系。因此，整个体系是无多余约束的几何不变体系。ACDEBⅤACDEBIIIACDEBⅣⅢACDEBⅤ本例小结【例3.3】试对图示体系进行几何组成分析。ABCDE

【解】本题有四根支座链杆，应与基础一起作为一个整体来考虑。可将ABD部分作为刚片Ⅰ，BCE部分作为刚片Ⅱ。另外，取基础作为刚片Ⅲ。ABCDEIIIIII刚片Ⅰ与刚片Ⅱ由铰B相联，刚片Ⅰ与刚片Ⅲ由两根链杆相联，其延长线交于虚铰O1，刚片Ⅱ与刚片Ⅲ由两根链杆相联，其延长线交于虚铰O2。因三个铰B、O1、O2恰在同一直线上，故体系为瞬变体系。ABCDEIIIIIIO1O2ABCDEIIIIIIO1O2ABCDE本例小结【例3.4】试对图示体系进行几何组成分析。ACDFGEBHH

【解】本题有四根支座链杆，应与基础一起作为一个整体来考虑。先选取基础为刚片。杆AB为另一刚片，该二刚片由三根链杆相联，符合二刚片联结规则，组成一个大的刚片。ACDFGEBHIIIEH依次增加由杆AD和D处支座链杆组成的二元体，以及由杆CD和杆CB组成的二元体。这样形成一个更大的刚片，称为刚片Ⅰ。ACDFGEBHIIIEH再选取铰结三角形EFG为刚片，增加二元体E-H-G，形成刚片Ⅱ。ACDFGEBHIIIEHO刚片Ⅰ与刚片Ⅱ之间由四根链杆相联，但不管选择其中哪三根链杆，它们都相交于一点O，因此体系为瞬变体系。ACDFGEBHIIIEHOACDFGEBHIIIEHO本例小结【例3.5】试对图示体系进行几何组成分析。ADBC

【解】本题有六根支座链杆，应与基础一起作为一个整体来考虑。先选取基础为一刚片Ⅰ，杆AD和杆BD为另两个刚片Ⅱ、Ⅲ，此三个刚片由铰A、B、D相联，符合三刚片联结规则，组成一个大刚片，称为刚片Ⅳ。ADBCIIIIIIⅣ再选取杆CD为刚片Ⅴ，刚片Ⅳ和刚片Ⅴ之间由铰D和C处二根支座链杆相联，根据二刚片联结规则，尚多余一根链杆，故体系为有一个多余约束的几何不变体系。ADBCⅣⅤADBCIIIIIIⅣⅤ本例小结前已说明，只有几何不变的体系才能作为结构。几何不变体系又分为无多余约束和有多余约束两类。3.4体系的几何组成与静定性的关系（1）对于无多余约束的结构，如图示组合梁，它的全部约束反力和内力都可由静力平衡方程求得，这类结构称为静定结构。组合梁的独立的平衡方程总数为6，未知力总数为6，是静定的结构。（2）对于有多余约束的结构，如图示连续梁，其约束反力有四个，而静力平衡方程只有三个，无法求得全部约束反力，当然也无法求得它的全部内力，这类结构称为超静定结构。未知力总数与静力平衡方程总数的差值，即多余约束的数目，称为超静定次数。

连续梁的独立的平衡方程总数为3，未知力总数为4，是一次超静定结构。●静定结构与超静定结构有很大区别。对静定结构进行内力分析时，只需考虑静力平衡条件；而对超静定结构进行内力分析时，除了考虑静力平衡条件外，还需考虑变形条件。对体系进行几何组成分析，有助于正确区分静定结构和超静定结构，以便选择适当的结构内力计算方法。平面杆件结构按其受力特征可分为以下几种类型：（1）梁梁是一种以弯曲变形为主的构件，其轴线通常为直线。梁可以是单跨的或多跨的。3.5平面杆件结构的分类（a）单跨静定梁（b）多跨静定梁（c）单跨超静定梁（d）多跨超静定梁（2）刚架刚架是由直杆组成，其结点全部或部分为刚结点的结构。刚架各杆主要承受弯矩，也承受剪力和轴力。（a）静定刚架（b）超静定刚架（3）桁架桁架是由直杆组成，其所有结点都为铰结点的结构。在平面荷载作用下各杆主要产生轴力。（a）三角形桁架（b）平行弦桁架（4）组合结构组合结构是由桁架和梁或刚架组合在一起而形成的结构。其特点是一部分杆件只承受轴力，而另一部分杆件则同时承受弯矩、剪力和轴力。（5）拱拱的轴线多为曲线，其特点是在竖向荷载作用下能产生水平支座反力。这种水平支座反力可减少拱横截面上的弯矩。（a）三铰拱（b）无铰拱

1.几个基本概念

(1)

几何不变体系指在任意荷载作用下能保持其原有的几何形状和位置的体系。

(2)

几何可变体系指在任意荷载作用下其原有的几何形状和位置发生变化的体系。

本章小结和学习要求(3)

瞬变体系如果一个几何可变体系在发生微小的位移后，即成为几何不变体系，称为瞬变体系。

(4)

刚片在几何组成分析中，由于不考虑材料的应变，故可以把每一杆件或体系中已被肯定为几何不变的某个部分看作刚体，刚体在平面体系中称为刚片。(5)

自由度一个