江苏省徐州市19-20学年九年级(上)期末数学试卷 (含答案解析)

江苏省徐州市19-20学年九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1.下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A.

B胜

2.某种品牌的产品共5件,其中有2件次品，小王从中任取两件，则小王取到都是次品的概率是（）

A.0.5B,0.1C.0.4D,0.6

3,关于2、6、1、10、6的这组数据,下列说法正确的是（）

A.这组数据的众数是6B.这组数据的中位数是1

C.这组数据的平均数是6D.这组数据的方差是10

4,已知。。的半径为1,点A到圆心。的距离为m若关于尤的方程——2x+a=0不存在实数根,

则点A与O。的位置关系是（）

A.点A在。。上B.点A在。。外C.点A在。。内D.无法确定

5.如图，AABC为O。的内接三角形，ABOC=80°,贝叱4等于（）

A.80B.60C.50D.40

6.将函数y=/的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点4（1,4）的方法是（）

A.向左平移1个单位B.向右平移3个单位

C.向上平移3个单位D.向下平移1个单位

7.已知圆内接正三角形的面积为3次，则边心距是（）

A.2B.1C.V3Df

8.在中，ZC=90°,AC=BC,一直角三角板的直角顶角O

在A8边的中点上，这块三角板绕。点旋转，两条直角边始终与AC、

B

8C边分别相交于£、F,连接EF,则在运动过程中，△。5尸与443。的关系是（）

A.一定相似B.当E是AC中点时相似

C.不一定相似D.无法判断

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

9,若9——25=0,贝！lx】=,%2=.

10.为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动:

某一时刻，测得身高1.6爪的小明在阳光下的影长是1.2机，在同一时刻测得这棵大树的影长是

3.6m,则此树的高度是m.

11.若?=|,则中的值为.

12.已知圆锥的底面半径为2cm,圆锥的母线长为5cm,则圆锥的侧面积为cm2.

13.己知：关于x的方程/一3%+。=0有一个根是2,贝必=,另一个根是

14.已知线段力B=2cm,点C在线段45上，S.AC2^BC-AB,则AC的长为cm.

15.如图，在直径A8的半圆。中，弦AC,3。相交于点E,EC=2,

BE=4,贝！JcosNBEC=.

16.如图，矩形ABCD中，AB=1,E、尸分别为A。、的中点，沿BE将△力8E

折叠，若点A恰好落在8尸上，贝.

三、解答题（本大题共9小题，共84.0分）

17.(1)计算：(3鱼+1)°-(》T+2cos60。

(2)解方程：x2-4x-5=0.

18.有三张正面分别标有数字-3,1,3的不透明卡片，它们除数字外都相同，现将它们背面朝上,

洗匀后从三张卡片中随机地抽取一张，放回卡片洗匀后，再从三张卡片中随机地抽取一张.

(1)试用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率;

(2)求两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率.

19.为了调查金星小区12月份家庭用电量情况，调查员抽查了10户人家该月某一天的用电量，抽

查数据如下表：

用电量(度)67891011

户数(单位：户)122311

(1)这10户当天用电量的众数是,中位数是；

(2)求这10户当天用电量的平均数；

(3)已知该小区共有300户人家，试估计该小区该月的总用电量.

20.如图，在平面直角坐标系中，△力BC的顶点坐标分别为2(-2,2),B(-4,0),C(-4,一4).

(1)在y轴右侧，以。为位似中心，画出AAB'C',使它与△ABC的相似比为1：2；

(2)根据(1)的作图，sinNA'C'B'=

21.春晓小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示.社区居委会计划在其中开辟出两块完

全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度相等的人行通道.

(1)如果这两块绿地的面积之和为60平方米，则人行通道的宽度应是多少？

(2)若这两块绿地的面积之和不少于原矩形空地面积的看，尝试通过计算，分析说明人行通道的

宽度最大可以设计为多少米?

22.商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利50元，为了减少库存，商场决定采取适当的降

价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.

(1)若某天该商品每件降价。元，当天可卖多少件？

(2)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2400元？

(3)每件商品降价多少元时，商场日盈利最大？

23.如图，在△ABC中，N4=30。，Z.B=45°,BC=4,求△ABC的面积.

AB

24.如图，42是。。的直径，AE交。。于点R且与。。的切线C。

互相垂直，垂足为。.

(1)求证：AEAC=NC4B；

(2)若CD=4,AD=8,求AB的长和tan/BAE的值.

25.如图①，四边形0A8C是矩形，点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,6),点尸从点O出发，

沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向点A移动，同时点。从点A出发，沿线段A8以每秒2

个单位长度的速度向点8移动，当点尸与点A重合时移动停止.设点尸移动的时间为f秒.

(1)当ACBQ与APAQ相似时，求f的值；

(2)当t=l时，抛物线y=/久+©经过尸，。两点，与y轴交于点M,抛物线的顶点为K,

如图②所示，该抛物线上是否存在点。，使NMQD=]NMKQ?若存在，请求出所有满足条件

的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

答案与解析

1.答案：D

解析：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；

B,是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；

。、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意.

故选：D.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

2.答案：B

解析：

本题主要考查了树状图法或列表法求概率，根据概率的求法，首先列出表格，表示出全部情况的总

数，然后找出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率.

解：3件正品用A,B,C表水，2件次品用a,6表不，

列表如下：

ABcab

A(AB)(4C)(4a)(4b)

B(B,A)(B,C)(B,a)(B,b)

C(CM)(CM)(C,a)Cb)

a(a,A)(a,6)(a,C)(a,b)

b(b,A)(b,B)(b,C)(b,a)

由表格知，共有20种等可能的情况，其中小王取到都是次品的情况只有2种,

所以小王取到都是次品的概率是高=0.1.

故选2.

3.答案：A

解析：［分析］

根据平均数，中位数，众数，方差的定义解答即可.

［详解］

解：数据由小到大排列为1,2,6,6,10,

它的平均数为|(1+2+6+6+10)=5,

数据的中位数为6,众数为6,

数据的方差=|［(1-5)2+(2-5产+(6-5>+(6-5>+(10-5)2］=10.4.故选A.

［点睛］

本题考查了方差；算术平均数；中位数；众数的计算公式，熟记公式是解题的关键.

4.答案:B

解析：

本题考查了对点与圆的位置关系的判断.设点到圆心的距离为d,则当d=r时，点在圆上；当d〉r

时，点在圆外；当时，点在圆内.

根据点到圆心的距离与圆的半径之间的关系：“点到圆心的距离为d,则当d=r•时，点在圆上；当

d>r时，点在圆外；当d<r时，点在圆内”来求解.

解：由题意，得

A=b2—4ac=4—4a<0,

解得a>1,

a>r时，点在圆外，

故选：B.

5.答案:D

解析：解:由圆周角定理得，乙4=|NBOC=40。，

故选：D.

根据圆周角定理计算即可.

本题考查的是三角形的外接圆与外心的概念和性质，掌握圆周角定理是解题的关键.

6.答案：D

解析：

主要考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.根据平移规律,

可得答案.

解：4平移后，得y=0+1）2,图象经过A点，故A不符合题意；

氏平移后，得y=（久-3"，图象经过A点，故8不符合题意；

C.平移后，得丫=K2+3,图象经过A点，故C不符合题意；

。平移后，得y=X2-1图象不经过A点，故。符合题意；

故选D

7.答案：B

解析：

本题考查正多边形和圆，属于中档题.

设边心距为羽根据圆内接正三角形的面积为3次进而求解即可.

解：设边心距为x,则圆的半径为2x,正三角形的边长为2旧x,

因为圆内接正三角形的面积为3百，

所以之X2V3x（x+2久）=3V3,

解得：x=1

所以该圆的内接正三角形的边心距为1,

故选：B.

8.答案：A

解析：解：连结0C,

•••ZC=90°,AC=BC,

：.NB=45°,

•••点。为AB的中点，

OC=0B,/.ACO=乙BCO=45°,

•・•(EOC+乙COF=乙COF+乙BOF=90°,

•••Z-EOC=Z-BOF,

在^COE和△BOF中，

2OCE=乙B

OC=OB

ZEOC=乙FOB

：^COE=^BOF(ASA),

・•.OE=OF,

・•.△OEF是等腰直角三角形，

•••Z-OEF=Z-OFE—Z-A—乙B—45°,

OEF~ACAB.

故选：A.

首先连接OC,由等腰直角三角形的性质，易证得则可得AOEF是等腰直角三角形，

继而可得^。”与△ZBC的关系是相似.

此题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质.此题难度适中，

注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

9.答案：|；-|

解析：

本题考查了直接开平方法解方程.

解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成/=a(a>

0)的形式，利用数的开方直接求解.

(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a(a>0)；ax2=b(a,b同号且a丰0)；(x+

a)2=b(b20)；a(x+6)2=c(a,c同号且a片0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数

化为1,再开平方取正负，分开求得方程解”..

(2)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.原方程变形后用开平方法解答.

解：9%2-25=0,

9x2=25,

故答案为I;—

10.答案：4.8

解析：解：设此树的高度是碗，则栏=白，解得％=4.8（爪）.

1.23.6

故答案为：4.8.

设此树的高度是hm,再根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论.

本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键.

11.答案：;

解析：解:由合比性质，得

x+y_3+4_7

x44,

故答案为：：.

根据合比性质，可得答案.

本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键，合比性质：？=$=胃=等.

bdbd

12.答案：IOTT

解析：

本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，

理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.先求得圆锥的底面周长，再根

据圆锥的侧面积等于"r,/表示圆锥的底面周长，r表示圆锥的母线长或侧面展开扇形的半径.

解：圆锥的底面周长=cm,

圆锥的侧面积=|Zr=1x47rx5=107rcm2,

故答案为107r.

13.答案：21

解析：解：设方程——3%+a=0的另外一个根为次,

则％+2=3,2x=a,

解得：%=1,a=2,

故答案为：2,1.

设方程/—3%+。=0的另外一个根为x,根据根与系数的关系，即可解答.

本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，属于基础题，关键掌握均，&是方程/+p%+

q=0的两根时，％i+%2=-P，%i%2=0

14.答案：V5—1

解析：

本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为但二是解题的关键.

2

方法一：根据黄金分割的定义得到点c是线段A8的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案.

方法二：设4C=x,列关于尤的一元二次方程，解方程即可得解.

解：方法一：■■■AC2=BC-AB,

.••点C是线段A8的黄金分割点，AC>BC,

：.AC=—7IB=—x2=V5-1,

22

故答案为：V5—I.

方法二：设AC=x,则=2—%,

贝IJ由得％2=2(2-%),

化简得久2+2%—4=0,

%表示线段AC的长度，%>0,

•••x=V5—1,

故答案为遮-1.

15.答案：I

解析:

本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是90。是解题的关键.

根据直径所对的圆周角是90。，进而利用锐角三角函数解答即可.

解：连接C8,

•・•直径AB,

・•・乙ACB=90°,

•・,EC=2,BE=4,

・EC21

••cosZ-BEC=—BE=-4=-2

故答案为：|

16.答案：V2

解析：解：连接所，

•・•点石、点厂是A。、的中点，

・•.AE=ED,CF=DF=-CD=-AB=

222

由折叠的性质可得4E=A'E,

A'E=DE,

在RtAEA'F^WRt△EDF中，

..(EA'=ED

'lEF=EF'

RtAEA'F=RtAEDF(HL),

A'F=DF=2,

2

BF=BA'+A'F=AB+DF=l+-=

22

在RtABCF中,BC=<BF2-FC2=V2.

AD=BC=V2.

故答案为：V2.

连接EE则可证明4区4'尸三八石。尸，从而根据BF=BA+4F,得出2P的长，在RtaBCF中，利

用勾股定理可求出8C,即得的长度.

本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接EF,证明RtAEA'F=Rt△EDF,得出BF的长，

注意掌握勾股定理的表达式.

17.答案：解：(1)原式=l-2+2x^

=1-2+1

=0；

(2)­••%2—4x—5=0,

(x-5)(x+1)=0,

则％-5=0或x+l=0,

解得：x-5或x=-1.

解析：(1)根据零指数塞和非负指数暴、特殊锐角三角函数值代入计算可得；

(2)因式分解法求解可得.

本题主要考查零指数哥和非负指数累、特殊锐角三角函数值及解一元二次方程的能力，熟练掌握解

一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选

择合适、简便的方法是解题的关键.

18.答案：解：(1)画开树於状图如下：

木木木

-313-313-313

由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中数字之积为负数的有4种结果.

•••两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率为:

(2)在(1)中所列9种等可能的结果中，数字之和为非负数的有6种，

•••两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率为：=|.

解析：此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，

适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验

还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

(1)画出树状图列出所有等可能结果，再找到数字之积为负数的结果数，根据概率公式可得;

(2)根据(1)中树状图列出数字之和为非负数的结果数，再根据概率公式求解可得.

19.答案：(1)9,8.5；

(2)•••(6x1+7x2+8x2+9x3+10x1+11x1)+10=8.4,

.•.这10户平均每天的用电量为8.4度.

(3)•••300X30X8.4=75600(度),

.•・估计该小区该月的总用电量为75600度.

解析：解：(1)9出现3次最多，故众数是9,

••・10个数据，第5和6个的平均数是(8+9)+2=8.5,故中位数是8.5.

故答案为:9；8.5；

(2)v(6x1+7x2+8x2+9x3+10x1+11x1)4-10=8.4,

.•.这10户平均每天的用电量为8.4度.

(3)•••300X30x8.4=75600(度),

.•・估计该小区该月的总用电量为75600度

(1)分别利用众数、中位数的定义求解即可；

(2)用加权平均数的计算方法计算平均用电量即可；

(3)用人家数乘以日平均用电量乘以天数即可求得总用电量.

此题考查了加权平均数、众数、中位数，掌握中位数、众数、加权平均数的定义和计算公式是本题

的关键.

解析：

本题主要考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质，并据此得出变换后的对

应点及正弦函数的定义.

(1)连接A。，并延长使。4=2。4,同理作出点B和点C的对应点，再顺次连接即可得；

(2)利用正弦函数的定义求解可得.

解：(1)见答案

(2)vA'C="2+32=V10.

•••smZ.A'C'B'=

V1010

故答案为：邈.

10

21.答案：解：(1)设人行通道的宽度应是x米，则两块绿地合在一起的长为(21-3久)米、宽为(8-2%)

米，

根据题意得：(21—3x)(8—2©=60,即％2-ii%+18”0,

解得：%i=2,久2=9(不合题意，舍去).

答：人行通道的宽度应是2米.

(2)设人行通道的宽度可以设计为y米，则两块绿地合在一起的长为(21-3y)米、宽为(8-2y)米,

根据题意得：(21-3y)(8-2y)221x8x3，

14

化简得y2-Uy+io>0,

不妨令y2_Uy+10=o,

解得Vi=1,y2=10-

经验证：y若取大于1小于10的值，y2-lly+10<。.而0<y<4

所以：0<yW1

答：人行通道的宽度最大可以设计为1米.

解析：本题考查了一元二次方程的应用以及一元二次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关

系，正确列出一元二次方程；(2)根据各数量间的关系，正确列出一元二次不等式.

(1)设人行通道的宽度应是X米，则两块绿地合在一起的长为(21-3乃米、宽为(8-2切米，根据矩

形的面积公式结合这两块绿地的面积之和为60平方米，即可得出关于尤的一元二次方程，解之取其

较小值即可得出结论；

(2)设人行通道的宽度可以设计为y米，则两块绿地合在一起的长为(21-3y)米、宽为(8-2y)米,

根据矩形的面积公式结合这两块绿地的面积之和不少于原矩形空地面积的

9

14

,即可得出关于y的一元二次不等式，解之取其小于4的部分，再取其中的最大值即可得出结论.

22.答案:解:(1)(40+2a)件;

(2)设每件商品降价x元.

由题意，得，

(50-x)(40+2x)=2400,

即%2―30%+200=0,

解这个方程，得久1=10,久2=20,

答:每件商品降价10元或20元时，商场日盈利可达到2400元；

(3)(50-x)(40+2x)=-2x2+60x+2000

=-2(/-30%+225-225)+2000

=-2(-15)2+2450

所以，当比=15时，(50—%)(40+2%)的值最大.

答：每件商品降价15元时，商场日盈利最大.

解析：本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量

关系.

(1)根据每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，即可求解；

(2)根据商场日盈利=单件利润x销售量列一元二次方程即可求解；

(3)利用配方法求出函数的最大值即可.

23.答案：解：过点C作CD1AB于。点.

ADB

•・•NA=30°,/.BCD=AB=45°.

BD=CD=BC-sinB=2A/2,

3旦2x/2r-

tanZ46

vAB=AD+BD=2V2+2倔

△ABC的面积为3CD-AB=ix2V2x(2V2+2V6)=4+4b.

N2

解析：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角

形.充分利用特殊角的三角函数值解决问题.过C作CD12B于。，构造直角三角形后求得CD和

A8的长，然后利用三角形的面积公式求解即可.

24.答案:解:(1)证明：连接。C.

•••CD是。。的切线，

・•・CD1OC,

又・・•CDLAE,

OC//AE,

zl=z.3,

•••OC=OAf

•••z2=z.3,

•••zl=z2,

=^CAB；

E

D.

(2)连接BC.

・・,ZB是。。的直径，CD1ZE于点。,

・•・乙ACB=乙ADC=90°,

zl=z2,

・•・△/CD〜△ABC,

AD_AC

••AC-AB"

AC2=AD2+CD2=42+82=80,

ar2

・•・AB=—=10.

AD

连接CF与BF,

•・•四边形A5Cr是。。的内接四边形，

・•・/.ABC+/-AFC=180°,

•••乙DFC+^LAFC=180°,

••・Z-DFC=乙ABC,

•・•Z2+乙ABC=90°,乙DFC+乙DCF=90°,

z.2=乙DCF,

•••z.1=z2,

z.1=Z.DCF,

•••乙CDF=乙CDF,

DCF~ADAC,

CD_DF

AD-CD

CD2

DF=—=2,

AD

AF=AD-DF=8-2=

••,4B是。。的直径,

ABFA=90°,

BF=7AB2—AF?=8,

BF84

•••tan^BAE=-=-=-

AF63

解析：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及勾

股定理等知识.此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

(1)首先连接。C,由。是。。的切线，CD1OC,又由CD14E,即可判定。C〃4E,根据平行线

的性质与等腰三角形的性质，即可证得乙瓦4。=/C4B；

(2)连接BC,易证得△力根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的长；连接CE

与BF.由四边形ABC尸是。。的内接四边形，易证得△DCFsAZMC,然后根据相似三角形的对应边

成比例，求得AP的长，又由AB是。。的直径，即可得NBFA是直角，利用勾股定理求得8尸的长，

即可求得tan/BAE的值.

25.答案：解：(1)如图①，・.・当点P与点A重合时运动停止，且APAQ可以构成三角形，

0<t<3.

图①

•.•四边形OA8C是矩形，

•••乙B=APAQ=90°.

.•.当ACBQ与AP/IQ相似时，存在两种情况:

①当△QBCsAPNQ时，

BCBQ36-2t

：•----=------,:.—=--------

AQAP2t3-t

4t2-15t+