解答题规范练

解答题规范练

(-)70分解答题规范练

解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)在△A8C中，已知①b,。分别是角

兀

A,B,C的对边，Z?cosC+ccosB=4,

请在下列三个条件①(〃+/;+c)(sin4+sinB—sinC)=3asinB,

②b=4也③V§csin3=bcosC中任意选择一个，添加到题目的条

件中，求△ABC的面积。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

次+加一^2

解因为Z?cosC+ccosB=4,所以由余弦定理，得b-----yv----

〃+/一加

十02以=幺所以。=4。

若选择条件①，即(〃+/?+c)(sirL4+sinB—sinC)=3asin8。

在aABC中，由正弦定理，得3+〃+c)(a+Z?-c)=3ab,所

以3+6)2—整理，得序+加一/=〃〃，

所以由余弦定理，得cosC=^,

又C£(0,7i),故C=?

rc兀“、》,兀兀5兀

又B=a，所以4=兀12-4=J20

sn

uabptzsinB^^4zr-

由-~~T=­•"ny寸b=~•~~T-=7-=4(<\/3-1),

sinAsinB,sinA.5兀)'

sm12

故△45C的面积S=5〃加inC=5X4X4(，5—l)Xsin彳=4(3—

木)。

若选择条件②，即b=4回

因为B弋，所以由急=益，

p.asinB碗”

仔4"=丁=/2°

TT5兀

因为A£(0,7i),所以4=5或4=不。

5IT

由于从＞〃，所以比＞A,因此4=不不符合题意，舍去，故A

兀r1-兀兀7兀

=不则C=L1厂法

故△ABC的面积S=yz/?sinC=5X4X4加Xsin点=4（审+

若选择条件③，即小csin8=/?cosC。

在△A3C中，由正弦定理可得M§sinCsinB=sin3cosC,易知

小

sinB^O,所以tanC=0

7T

因为C£（0,71）,所以。=不

r八兀//,,兀兀7兀

又B=Z，所以A=兀一不一^=五，

Labp,asinB•04,r-

由-~T=~~彳寸/?=~~T-=彳-=（—］）,

sinAsinBsinA.7兀4A/3）

sm12

故△ABC的面积S=/加inC=^X4X4（小一l）Xsi吟=4（小

-1）。

18.（本小题满分12分）已知数列｛a〃｝的前n项和为S”©=；,

SnSn-[+Sn—Sn-\=0（/?22）o

1

（1）求证：数歹是等差数列；

⑵若焉（〃为奇数'〃GN*），

设数列｛金｝的前〃项和

12广1（〃为偶数，〃6N"）,

为Tn，求T2no

解（1）证明：因为0=3，

=

SnSn-\+Sn~Sn-\0（〃三2）,

所以方=一5，所以SlSiWO,

所以三—7；=

所以是以1=2为首项，以1为公差的等差数列。

Ji

（2）由（1）可得!=2+5-1）=〃+1,所以S〃=-7，

Yl\1

]

/4-1V为奇数,〃仁N*),

所以金=J(〃+DS+3)

2c(〃为偶数，〃£N*),

111

1-

所+

以

八--

=2--4+-4-6+2+⑵+23+…+

2n

2-

2/J

山

★2力2

+-

3

5_1

124〃+4°

19.（本小题满分12分）如图，四边形A5C。为矩形，四边形

ABEF为梯形，且BE//AF,ZBEF=90%ZBAF=30°9平面ABCD

和平面ABE/垂直，BF=2,AF=4O

(1)求证：3凡LAC；

(2)若直线AC与平面ABEF所成的角为30°,求钝二面角

O-C/-E的余弦值。

BF

解⑴证明：在△然「中，由正弦定理，得引而

AF

sinZABF9

AFsinNBAF4sin30°

所以

sinZABF=BF2

所以N4?/=90。，BFA-AB.

又平面ABC。J•平面ABE匕平面ABCDn平面

BFU平面ABEF,所以B尸，平面ABC。。

又ACU平面ABCD,所以8尸，AC。

(2)由于四边形45CD是矩形，所以C5_L4?。

又平面ABC。，平面ABE/7,平面A5COA平面

CBU平面ABCD,

所以CB_L平面

故直线AC与平面ABEF所成的角为NCAB,

即NC43=30。。

由(1),知aAB尸为直角三角形，BF上AB,

所以48=川4尸一5尸=2小,

所以C3=A5tan300=2。

易知△ABFSAFEB,所以BE=I,EF=®

易知直线C8,BA,两两垂直，故以8为原点，BA,BF,

3C所在直线分别为x轴，y轴，Z轴建立如图所示的空间直角坐

标系。

小1

则0(2小，0,2),C(0,0,2),/(0,2,0),,0

2,2/

所以DC=(—2小,0,0),DF=(一25,2,一2),CE=

S11f

一方~,5，-2，CF=(0,2,-2)o

乙乙)

设平面DC/的法向量为小=(即，yi,Z。,

n\,DC=0,一2小汨=0,

则＜即<

—►—25为+2y—2zi=0,

7UDF=0,

解得即=0,令y=l,得zi=l,

所以平面。。尸的一个法向量为m=(0,l,l)o

设平面CEE*的法向量为〃2=(九2,为，Z2),

'A/31

〃2，CE=0,—々-X2+分—22Z2=0,

则＜即S

-A

=

“CR=0,、2"一2Z20,

令>2=1,得》2=一小，Z2=l,

所以平面CPE的一个法向量为〃2=(一小，l,l)o

的〜/\小•小2回

所以cos<m,〃2〉5，

故钝二面角D-CF-E的余弦值为一千。

20.(本小题满分12分)已知8，分为椭圆泌>0)

的左、右焦点，点尸(2,3)为其上一点,且|PB|+|P尸¥=8。

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线/：>="一4交椭圆。于A,B两点、,且原点。在

以线段AB为直径的圆的外部，试求实数攵的取值范围。

<2=4,

解(1)由题意可知解得

b=25

99

所以椭圆C的标准方程为了+力=1。

1UJL4

(2)设A(xi,yi),3a2,竺)，

任+j

由‘612'得(4A2+3)%2—32日+16=0,

[y=kx—4,

由/>0,得(一32©2—4(就2+3)义16>0,

得出或k<~2°

32k—16

则=

X\+X24d+3'X1X2-4F+3,

又原点O在以线段AB为直径的圆的外部,

所以04040,

则OAOB=(S+1)xiX2—4%(即+%2)+16=(/?+1)41+3

32k16(4—3?

必义江有+16=>0,

4^+3

得卓卓

综上所述，实数人的取值范围为（一坐一加仔，¥）。

21.（本小题满分12分）2019年女排世界杯是由国际排联

（FIVB）举办的第13届世界杯赛事，比赛于2019年9月14日至9

月29日在日本举行，共有12支参赛队伍。最终，中国女排以11

战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕本届世界杯冠军。中国女排的

影响力早已超越体育本身的意义，不仅是时代的集体记忆，更是

激励国人继续奋斗、自强不息的精神符号。如表是本次世界杯最

终比赛结果的相关数据（只列出了前6名）。

场次

排名球队积分

己赛胜场负场

1中国1111032

2美国1110128

3俄罗斯118323

4巴西117421

5日本116519

6韩国116518

（1）记每个队的胜场数为变量x,积分为变量），，若y与x之间

具有线性相关关系，试根据表中数据求出y关于x的线性回归方

程（系数精确到0.01）,并由此估计本次比赛中胜场数是4的塞尔

维亚队的积分（结果保留整数）；

（2）中国已经获得2020年东京奥运会女排比赛的参赛资格。

东京奥运会女排比赛一共有12支队伍，比赛分为2个小组，每个

小组进行单循环比赛。积分规则是以3：0或者3：1取胜的球队

积3分、负队积。分，以3：2取胜的球队积2分、负队积1分。

根据以往比赛的战绩情况分析，中国队与同组的某2支强队比赛

的比分以及相应概率如表所示：

比分3：03：13：22：31：30:3

概率0.10.20.30.20.10.1

试求小组赛中，中国队与这2支球队比赛总积分的期望。

n——

Exiyi-71xy

AAAi=1A

参考公式：线性回归方程＞=法+。中，。=-----------，a

n-

2,Vy2cf-nx2

i=l

-A——|n-1n

y~bx,其中工=11＞，＞=晶2»。

i=\i=\

解（1）由题表中数据可得:

排名123456

胜场数111108766

积分y322823211918

_11+10+8+7+6+6

所以x=--------------------------=8,

-32+28+23+21+19+18_

y=g=23.5,

6

^^•=352+280+184+147+114+108=1185,

i=i

6

121+100+64+49+36+36=406,

i=\

6_____

入必—6工y

A/=|1185-6X8X23.5

所以力二-----------406-6X82^2591

6_

%—6/

AA

所以。=7—bi弋23.5-2.591X8弋2.77,

A

故线性回归方程为)，=2.59x+2.77。

A

当x=4时，y=2.59X4+2.77=13.13^13,

故塞尔维亚队的积分大约是13分。

(2)由题意得，中国队与这2支球队中的每支球队比赛时，积

3分的概率为0.1+0.2=0.3,积2分的概率为0.3,积1分的概率

为0.2,积0分的概率为0.1+0.1=0.2。

设中国队与这2支球队比赛的总积分为焉则。的可能取值

为6,543,2,1,0。

则P(<f=6)=CiX0.32=0.09,

P(4=5)=GX0.3X0.3=0.18,

P(^=4)=ClX0.3X0.2+ClX0.32=0.21,

P(C=3)=ClX0.3X0.2+ClX0.3X0.2=0.24,

P(C=2)=ClX0.3X0.2+C2X0.22=0.16,

P^=1)=G义0.2X0.2=0.08,

P(《=0)=◎X0.2X0.2=0.04o

因此小的分布列如下表所示：

6543210

P0.090.180.210.240.160.080.04

则风？=6X0.09+5X0.18+4X0.21+3X0.24+2X0.16+

1X0.08+0X0.04=3.4。

22.(本小题满分12分)函数«x)=lna+f)+*其中，，。为

实数。

(I)若/=0,讨论函数7U)的单调性；

(2)若£=0时;不等式在x£(0,l］上恒成立，求实数。

的取值范围;

(3)若当/W2时，证明：g(x)>fix)o

解(1)由题意知［=0,於)的定义域为(0,+°°),/(x)=-

a\x-a

/+，

当aW0时，因为x>0,所以x—Q>0,所以/(x)>0,所以y(x)

在(0,+8)上单调递增。

当〃>0时，若心>〃，则/(x)>0,/)单调递增;

若0<x〈a,则/(x)<0,«x)单调递减。

综上可知，当aWO时，兀。在(0,+8)上单调递增；当。>0

时，“X)在(〃，+8)上单调递增，在(0,a)上单调递减。

(2»=0时，y(x)210@+lnx21002—ln%+l=>a2—;dnx+

XX

x,故a^—xlnx+x对任意工£(0,1］恒成立，

等价于。2(—xlax+x)max,^^(0,1］,

令〃(x)=—xlar+x,x£(0』］,

则力'(x)=—lnx—x-~+1=-Irix^O,%E(O,1］,

X

所以力㈤在(0,1］上单调递增，

所以/l(X)max=/Kl)=1,所以

故实数。的取值范围为口，+°°)o

(3)证明：当/<2时，要证明g(x)Mx),

即证明g(x)—y(x)>0,只需证ev-ln(x+。>0,

即证ev—\n(x+1)ev—ln(x+2)>0,

所以只要证明e'-ln(x+2)>0。

令F(x)=ex—ln(x+2),

则F(x)=e'一±在(一2,+8)上单调递增。

XIL

又尸(-1)<0,F'(0)>0,

所以方程/(幻=0在(-2,+8)上有唯一实根，设为孙

则的£(—1,0)。

当工£(—2,xo)时，F'(x)<0,尸(无)单调递减，

当工£(沏，+8)时，F'(x)>0,尸(幻单调递增，

从而当x=xo时，尸㈤取得最小值。

由F(%o)=O,得‘的=检+2,即xo=­ln(x()+2),

]

所以F(x)=eA—ln(x+2)Nexo—ln(xo+2)=+的=

xo+2

故当W2时,g(x)次0。

(-)70分解答题规范练

解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，

27r

扇形OAB的半径为2,圆心角为g■，点〃是弧A3上异于A,B

的点。

(1)若点且求点M的横坐标；

(2)求△M48面积的最大值。

解⑴连接OM(图略)，依题意可得，在△OCM中，。。=1,

CM=也,OM=2,

22+l2-(V2)2_3

所以cosNCOM=2X2X1=49

33

所以点M的横坐标为2X^=5。

(2)设NAOM=。，y],则N30M=争一仇

।(2兀

S^MAB=S^OAM~^~S^OBM-SZ\OA8=]X2X2sine+sin[3—0

X2X2X坐=2由sin(6+"一小,

因为因£0,y,所以8+,7,,

所以当。=即寸，的面积取得最大值，最大值为小。

18.（本小题满分12分）已知数列｛跖｝的前5项分别为1,1+2,1

+2+3/+2+3+4/+2+3+4+5,数列｛瓦｝满足瓦=!。

(1)求｛6｝的前几项和a。

2+2产1

(2)求数列的前n项和Tn.

2-on-l

解(1)由。1=1,他=1+2,的=1+2+3,。4=1+2+3+

〃(〃+1)

4,•••,得。〃=

所以儿=5=舄不=2《一言。

上。IJJ匕112

所以*=2[1_E+]_G+…+1_干）=2_市。

2+2〃+i2+2〃+i

Q)记c〃=^^=^T~=〃+〃・2"。

n

则7；=CI+C2+…+c〃=(l+2+…+〃)+[2+2々2+3・23+…

+(〃-1)・2〃-1+几・2〃]="〃，"+[2+2・22+3・23+…+(〃-l)-2nl

,J

+n-2]o

设M〃=2+2・22+3・23+…+(〃-1)・2〃一】+〃・2〃，①

则2M〃=22+223+3・24+…+(〃-1)・2"+〃・2'田。②

令①一②，得一M尸2+22+23+…+2〃一几2?+1

所以陆=(九一1)・2门+2。

“n(n+1).,

所以T〃=丁，+(〃-1)・2巾+2。

19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱48C-45G中，A,B

=AA]=A]C=AC=2,AB=BC,且。为AC的中点°

(1)证明：AQ_L平面ABC；

(2)求直线A3与平面G08所成角的正弦值。

解(1)证明：因为A4|=4C=2,。为AC的中点,

所以AiOLAC。又AC=AiB=2,

所以40=小，OB=lf

所以402+032=432,所以AiO_LO3,

又ACn03=0,ACU平面ABC,05U平面A5C,

所以40,平面A8C。

(2)以0为坐标原点，分别以08,0C,04的方向为x轴，y

轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则0(0,0,0),

A(0,-1,0),B(1,0,0),C,(0,2,小),

所以A8=(l,l,0),<?Ci=(0,2,小),OB=(1QO),

设平面GOB的法向量为〃=(尤，y,z),

=

ti,OC\0,2y+y/3z=0f

由<得

-Ax=0,

"B=0,

令y=小,则z=-2,所以〃=（0,小,—2）,

设直线AB与平面GOB所成的角为（p,

一A/42

则sin^=|cos〈AB,n）|=77,

所以直线AB与平面GOB所成角的正弦值为曙。

20.（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：

了+金=1（。＞。＞0）右焦点的直线x+y一5=0交M于A,8两点,

J2

且椭圆M的离心率为七。

4

（1）求椭圆M的方程；

（2）C,。为M上的两点，若四边形AC8。的对角线

求四边形ACBD面积的最大值。

解⑴易知椭圆M的右焦点为（小，0）,则c=小。

离心率6=5=则〃=#，

V＜-VC

212

故b=a-c=3o

所以椭圆M的方程为/立1。

x=0,

⑵由解得3

产小,

4\/6

因此|AB|=¥。

由题意可设直线C。的方程为y=x+/i［一乎＜〃＜小］C3,

y3),。(%4,以)。

得3X2+4HX+2H2—6=0,

-2孔±\/2（9一/）

于是必4=

因为直线C。的斜率为1,

由已知，四边形4c50的面积

S=^\CD\-\AB\=^^9-n2.

当〃=o时，s取得最大值，最大值为挈。

所以四边形ACBD面积的最大值为孚。

,,-八八「心2111Y—X3—A72X2+X

21.(本小t题满分12分)已知函数4x)=------p-------o

(1)求证：无论相取何值，曲线式元)在(1,ZU))处的切线均与x

轴平行或重合；

(2)若函数#九)在(0,+8)上有两个不同的零点，求实数机的

取值范围。

21irv-x3—mx^-Vx21nx

(1

解次^)=F=Fx+--mf/0)=—”,

,2x-4x\nx1

/(x)=——/

，⑴=2—1-1=0,

所以曲线人¥)在(1,穴1))处的切线方程为y+/n=O,

当机=0时，切线方程为y=0,切线与x轴重合；

当机W0时，切线与x轴平行。

所以无论加取何值，曲线式幻在(1,7U))处的切线均与x轴平

行或重合。

(2)函数«x)在(0,+8)上有两个不同的零点等价于方程应©

=0在(0,+8)上有两个不同的实根，

即加=管一/+：在(0,+8)上有两个不同的实根。

设函数g(x)=^^—%+；a>o),

,,2x—4xlrir12-41nx-x3-x

则g'。)=一三一-1-^2=-----了-------o

令函数v(x)=2—41nx—x3—x(x>0),

4,

则当x>0时，vf(x)=-—-3/—IvO恒成立，

X

所以o(x)=2—41nx—x3—x(x>0)为减函数。

又o(l)=2—0—1—1=0,

所以当x>l时，u(x)<0,当0<x〈l时，i?(x)>0,

所以当x>l时，gr(x)<0,当0<r<l时，gf(x)>0,

故g(X)在(1,+8)上为减函数，在(0,1)上为增函数，即g(X)max

=g(l)=0。

又当了f0时,g(X)f—8,当+8时，g(£)f—8,

所以数形结合可知当函数g(x)的图象与直线>=机有两个不

同的交点时，m<0«

故若函数火入)在(0,+8)上有两个不同的零点，实数机的取

值范围为(一8,0)o

22.(本小题满分12分)某市房管局为了了解该市市民2018

年1月至2019年1月期间购买二手房的情况，首先随机抽取其中

200名购房者，并对其购房面积加(单位：平方米，60WmW130)

进行了一次调查统计，制成了如图①所示的频率分布直方图，接

着调查了该市2018年1月至2019年1月期间当月在售二手房均

价M单位：万元/平方米)，制成了如图②所示的散点图(图中月份

代码1

当：月在售二手房均价

1.04-

1.02-

1.00-

0.98-

0.96-

0.94^

O12345678910111213月份代码

②

(1)试估计该市市民的平均购房面积加；

(2)从该市2018年1月至2019年1月期间所有购买二手房的

市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100

平方米的人数为X,求X的分布列与数学期望；

AAAAAA

(3)根据散点图选择》=。+"&和两个模型进行拟

A

合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为y=0.9369+0.028

A

5代和y=0.9554+0.0306Inx,并得到一些统计量的值，如表所示:

AA

y=0.9369+0.0285也y=0.9554+0.03061nx

)3人

2

£(yi-yi)0.0005910.000164

i=\

13—

S8-y)20.006050

/=1

请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合

效果更好的模型预测2019年6月份的在售二手房均价（精确到

0.00l）o

参考数据：ln2-0.69,ln3^1.10,Inl7^2.83,lnl9^2.94,

也仁1.41,小处1.73,\用-4.12,V19^4.36O

〃八

2

参考公式：R=l------------o

i8-y)2

；=1

解(1)m=65X0.05+75X0.1+85X0.2+95X0.25+

105X0.2+115X0.15+125X0.05=96(平方米)。

(2)每一位市民购房面积不低于100平方米的概率为0.20+

0.15+0.05=0.4,

所以X〜次3,0.4),

所以P(X=k)=C&0邛・0.63一”=0,1,2,3),

X的分布列为

X0123

P0.2160.4320.2880.064

E（X）=3X0.4=1.2o

AA

（3"殳模型y=0.9369+0.0285也*口y=0.9554+0.03061ii¥的

相关指数分别为此，必，

,,,0.000591n,10.000164

对nR}=1-0.00605JR~=1-0.00605J

所以RM此，

A

所以模型y=0.9554+0.03061ar的拟合效果更好，

2019年6月份对应的x=18,

A

所以）,=0.9554+0.03061nl8=0.9554+0.0306X（ln2+

21n3）%1.044（万元/平方米）。

（三）70分解答题规范练

解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）已知锐角三角形A5C中，角4,B,

C的对边分别为。，b,c,b+c=10,a=y[\0,5加in74cosc+

5csinAcosB=3^10。

（1）求A的余弦值；

⑵求b和Co

解（1）由已知，得5切inAcosC+5csirh4cos8=3。，

由正弦定理可得

5sinBsinAcosC+5sinCsirL4cosB=3sinA,

因为sinAWO,所以5sinBcosC+5sinCcosB=3,

即sin（B+C）=lo

3

因为3+C=7c—A,所以si"=5，

(7t\4

因为分所以cosA=w。

(2)因为cr=b2+c2—2bccosA=(/?+c)2—2bc(1+cosA),

Z?+c=10,a=yfiOi

所以Z?c=25,所以b=c=5。

18.(本小题满分12分)在①log2b〃="L②b〃=2%—3,

③儿=F—这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问

题中的实数化存在，求出左的最小值；若不存在，说明理由。

已知等差数列｛〃〃｝的前〃项和为公差dWO,S3=15,0,

。4,03成等比数列，且数列｛a｝满足，是否存在实数匕

使得幼〃力斯一7恒成立？若存在，求出％的最小值；若不存在，

说明理由。

解因为§3=15,且53=3。2,所以。2=5,

因为（1\9〃4,〃13成等比数列，所以屈=。阕13,

即（。2+2602=（敛一d）（〃2+lid）,

即（5+2J）2=（5—6/）（5+1160,

又dWO,所以d=2,0=。2—d=3,故源=2〃+1。

*12〃+1+1

若选①，则nlog2b〃=5=〃+1,

所以儿=2〃+i,易知为＞0,由助2以一7,

跖一72九一6

可得k2b〃=2〃+]。

、几2—-62(H+1)—62〃-6_4-n

仅CL2〃+1&+]Cn-2〃+22〃+i—2"+i

当〃=4时，C5=C4=讳;

当〃>4时，金+1—cn<0,

帅】。5>。6>。7>一・>。〃；

当〃<4时，Cn+\—Cn>09则C4>C3>C2>C\；

”,2〃一6,,由，，工，1

所以Cn=2〃+1的取大值为C5=C4=Jg,

所以左2元，所以存在实数攵，使得女仇2以一7恒成立，且女

的最小值为上。

1O

若选②，贝“儿=2。〃­3=2(2〃+1)—3=4〃-1,

易知bn>0,由kb会期一7,

〃〃一72九一6

可得々2

bn4〃—1

2—-62(〃+1)-62/2—6

仅Cn=4/1-1，则6+1-Cn=4(H+1)-1—4"一1=

22

(4〃+3)(4〃-1)，

22

因为所以(4〃+3)(4〃-1)>°'即G1+I>Q，

2n~61111.1

又Cn=~Ar=n-©^<9，所以

4M—128/1—222

所以存在实数女，使得祐〃一7恒成立，且女的最小值为看

.〃〃-52n+1-5

若选③,贝1]bn==5=n-2

当〃=1时，由妨—7可得&<4。

当n=2时，％历2。2—7成立。

当n>2时，由kb言a〃一7,

、。〃―72几一62〃一4—22

得心丁===:=丁=2一二

2

大殳c〃=2-n>2,

〃一2

222

贝Ic+1-金=2—~~2+~=7Z7T/77，〃>2o

nn-1n—2(^―2)(^—1)

2

易知当〃>2时，品+i—c〃>0,金=2-----<2,所以女22。

n—2

综上，2《女〈4,所以存在实数%,使得幼〃2。〃一7恒成立，

且女的最小值为2o

19.(本小题满分12分)如图，在五面体A3CDM中，四边

形A8CQ是矩形，AB=2BC,EF=ED=FC=BC。

(1)求证：EF〃平面ABC。；

(2)当平面ABC。，平面E时、求异面直线AE与b所

成角的余弦值。

解(1)证明：因为四边形45co是矩形，所以A8〃C。。

因为COU平面。45。平面。C尸已

所以AB〃平面DCFE。

又ABU平面A3尸E,平面A3尸EG平面。,所以

AB//EF,

又ABU平面ABC。，EFG平面ABCD,

所以E尸〃平面48CO。

(2)解法一：设BC=1,则EF=ED=FC=BC=1,AB=2BC

=2o

因为平面ABC。，正面。C/旦平面ABCOA平面。。/石=

CD,AD±CD,

所以平面DCFEo

因为OEU平面DCFE,

所以AE=«AD2+D©=®

由（1）,知EF//CD.

如图，取CD的中点M,连接EM,AM,则石/=CM,四

边形EFCM是平行四边形，

所以EV〃/C,且区0=/。=1,

则N4EM就是异面直线AE与CF所成的角或其补角。

在△AME中，AE=地,EM=1,

AM=y/AD2+DM2=yl2,

AE^+El^P-AM22+1-2

由余弦定理，得cosZAEM=

2AEEM272

啦

4，

因此异面直线AE与CF所成角的余弦值为手。

4

解法二：过点E作EOJ_C。于点O,

因为平面ABCQ，五面DCFE,

所以EO_L平面A3CO。

过点0作O”〃AQ,交AB于点H,

因为四边形A8CD是矩形，所以O"，CL＞。

以0为坐标原点，OH,OC,0E所在直线分别为x轴，y轴,

z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

设5c=1,则石/=ED=FC=BC=1,AB=2BC=2,

由（1）,EF//CD.

在梯形CQE尸中，EF=ED=FC=l9DC=2,

,1小

所以。。=5，E0=,,

于是E0,0,4，A1,—5,0,C0,5,0,F0,1,

则AE=—1,当，CF=0,—坐）。

设异面直线AE与CF所成的角为仇

AECF-4+4

贝|Jcos9=4°

\AE\\CF|

5

因此异面直线AE与CF所成角的余弦值为华。

4

20.（本小题满分12分）已知抛物线G：y2=2px（p>o）的焦点

29

式_1_七

U十加

是椭圆C2：=l（G>b>0）的右焦点,且两条曲线的一个交点

为风如光）卜阊，若E到G的准线的距离为|,到C2的两焦点

的距离之和为4。

（1）求椭圆C2的方程；

（2）过椭圆。2的右顶点的两条直线1\,/2分别与抛物线G相

交于点A,C,点、B,D,且M是AC的中点，N是BD的

中点，证明：直线MN恒过定点。

解（1）由椭圆的定义，知2〃=4,a=2,过点E作EE］垂直

G的准线于点Ei,则|EEi|=xo+g=W。

设椭圆的左、右焦点分别为点尸F2,连接石尸］,历2（图

略),

557

则|所2|=予|所1|=4一

在RtAEEiF1中，目⑸2=同m2—苑得网=豆24。

过点E作轴于点&,

在RtZk陪尸2中，酢=4+|民尸2巳

得|及尸2|=1。

又易知匹尸2|=〃一9所以P=2。

故C=g=l,。2=〃2-，=3,

?2

所以椭圆C2的方程为'+]=lo

(2)证明:设直线hx=2iy+2由70),

直线和x=k2y+2(k2^0),

2

y=4x9

由.得y2—4幺y_8=0,

x=k\y+2f

设A（%i,yi）,C（x2,>2）,则y+竺=4七，

所以yM=2A],则无必=2+2后，得M（2+2后，2攵]）。

同理得N（2+2层，2fe）o

因为/|_L/2,所以攵次2=—1。

当2+2解=2+2想时，抬=一刀,

=

结合k\k2-19得好=必=1,

此时直线MN的方程为x=4o

当2+2好泉2+2感即—0时，

______2&2-2鬲________]

口'=（2+2⑸一（2+2后）=①+&'

]

所以直线MN的方程为y-2ki=(x-26—2),

产U?L2(1—秘湎=康(x—4),

所以直线MN过点(4,0)。

综上，直线MN恒过定点。

21.(本小题满分12分)已知函数/(x)=odnx,g(x)=R—(2

一。濡。

(1)若。=1,证明：对任意即仁口，e],存在忿金口，e],使

得/(Xl)=g(X2)；

(2)若『a)Wg(x)恒成立，求实数a的取值范围。

解(1)证明：当a=lfxE[l,田时，

尸(x)=1+lrix>0,

所以函数/(x)在[1,e]上单调递增，

所以/(l)W/(x)〈/(e),即0W/(x)〈e,

所以/(x)的值域为[0,e]o

f2

g(x)=3x-2x=x(3x—2)>0f

所以函数g(x)在[1,e]上单调递增，

所以g(l)Wg(x)Wg(e),

即OWg(%)We3-e2,

所以g(x)的值域为[0,e3-e2]o

因为e3—e2=e(e2—e)>e,

所以[0,e]£[0,e3-e2],

所以对任意即£[1,e],存在e],使得f(xi)=g(x2)。

(2)解法一：由/(x)或ga),得adarWx3—(2—a)%2,

因为x>0,所以ainx^x1—(2—a)x,

整理，得aiinx—x^^^—lxo

令G(x)=lar—x,x^(0,+°°),

]1-x

则G\x)=--1=-^,

在(0,1)上，G'(x)>0,在(1,+8)上，Gz(x)<0,

所以G(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

f-2JC

所以G(X)max=G(l)=—l<0,故。2"；~-o

11LXX

f-2x

令〃(无)=[11rx£(0,+°°),则厅(x)

(\\

(2x—2)()nx—x)—1(%2-2x)

_________________〈X1_______

(Inx-x)*2

(x-l)(21nr—x-2)

(lax—%)2°

令Z(x)=21nx—%—2,x^(0,+°°),

22—x

则^(x)=--l=—

在(0,2)上，k\x)>09在(2,+8)上，k\x)<09

所以网尤)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，

所以-x)max=M2)=21n2-4=2(ln2-2)<0,

rf

所以在(0』)上，h(x)>09在(1,+8)上,h(x)<09

所以〃(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

1-2

所以/2(X)max=〃(l)=U=l,所以

即实数。的取值范围为[1,+8)。

解法二：由/(x)<g(x),得OYIILXWX3—(2—a)%2,

设h(x)=arlar—x3+(2—,则〃(x)W0,

根据/1(1)=一1+2—〃=1一aWO,得ael。

下面证明当时，/z(x)^0o

，己m(x)=lar—x+1,

]1-x

则mr(x)=--l=—^―,

所以相⑴在(0,1)上是增函数，在(1,+8)上是减函数，

所以加*)max=〃2(l)=0,

所以机(x)<0,即InxWx—1o

于是/za)Wox(x-1)-x3+(2—a)x2=—R+Zx2—ox=-x[(x-

l)2+tz-l]^0,

故实数a的取值范围为[1,+°°)o

22.(本小题满分12分)有一种类型的题目，此类题有5个选

项A,B,C,D,E,其中有3个正确选项，满分5分。赋分标

准为“选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分，每

选错1个扣3分，最低得分为0分”。在某校的一次考试中出现

了一道这种类型的题目，已知此题的正确答案为ACD。假定考生

作答的答案中的选项个数不超过3个。

(1)若甲同学只