高考真题专题分类汇编复数十年高考含答案与解析

6.3复数考点1复数的概念1.(2023新课标Ⅱ,1,5分,易)在复平面内,(1+3i)·(3-i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A(1+3i)(3-i)=6+8i,对应的点(6,8)位于第一象限,故选A.2.(2023全国乙文,1,5分,易)|2+i2+2i3|=()A.1B.2C.5D.5答案C|2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|=5,故选C.3.(2023北京,2,4分,易)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,3),则z的共轭复数z=()A.1+3iB.1−C.-1+3iD.−1−答案D由题知复数z=-1+3i,则z=−1−34.(2021浙江,2,4分)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i为虚数单位),则a=()A.-1B.1C.-3D.3答案C解题指导:先将等式左边化成a+bi(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等的充要条件得出结果.解析由(1+ai)i=3+i,得-a+i=3+i,所以-a=3,即a=-3.故选C.方法总结设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1=z2的充要条件是a5.(2022浙江,2,4分)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则()A.a=1,b=-3B.a=-1,b=3C.a=-1,b=-3D.a=1,b=3答案B∵a+3i=bi+i2=-1+bi,∴a=-1,b=3.故选B.6.(2022北京,2,4分)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=()A.1B.5C.7D.25答案B由i·z=3-4i可知,z=3−4ii=(3−4i)·(−i)i(−i)=-4-3i,故|z|=7.(2022新高考Ⅰ,2,5分)若i(1-z)=1,则z+z=()A.-2B.-1C.1D.2答案D由题意知1-z=1i=-i,所以z=1+i,则z=1-i,所以z+z=(1+i)+(1-i)=2,故选D8.(2022全国乙文,2,5分)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则()A.a=1,b=-1B.a=1,b=1C.a=-1,b=1D.a=-1,b=-1答案A由题意知(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,9.(2022全国乙理,2,5分)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b为实数,则()A.a=1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=2D.a=-1,b=-2答案A由题意知z=1+2i,所以z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+az+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0,所以a+b+1=0,10.(2021全国乙理,1,5分)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=()A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i答案C设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.故选C.11.(2019课标Ⅱ文,2,5分)设z=i(2+i),则z=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i答案D本题主要考查复数的有关概念及复数的运算;考查学生的运算求解能力;考查数学运算的核心素养.∵z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,∴z=-1-2i,故选D.解题关键正确理解共轭复数的概念是求解的关键.12.(2017课标Ⅲ文,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案Cz=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限.故选C.13.(2017课标Ⅲ理,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.12B.22C.答案C本题考查复数的运算及复数的模.∵(1+i)z=2i,∴z=2i1+i=2∴|z|=12+1一题多解∵(1+i)z=2i,∴|1+i|·|z|=|2i|,即12+1214.(2017课标Ⅰ文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)答案C本题考查复数的运算和纯虚数的定义.A.i(1+i)2=i×2i=-2;B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C.15.(2016课标Ⅰ理,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1B.2C.3D.2答案B∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,∴x=1,y=1,∴|x+yi|=|1+i|=12+评析本题考查复数相等的条件,属容易题.16.(2016课标Ⅰ文,2,5分)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=()A.-3B.-2C.2D.3答案A∵(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.解后反思将复数化为x+yi(x,y∈R)的形式,然后建立方程是解决问题的关键.评析本题主要考查复数的运算及复数的有关概念,将复数化为x+yi(x,y∈R)的形式是解题关键.17.(2016课标Ⅱ文,2,5分)设复数z满足z+i=3-i,则z=()A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i答案Cz=3-2i,所以z=3+2i,故选C.18.(2016课标Ⅲ文,2,5分)若z=4+3i,则z|A.1B.-1C.45+35iD.45答案D由z=4+3i得|z|=32+42=5,z=4-3i,则z|z|19.(2015安徽理,1,5分)设i是虚数单位,则复数2i1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B∵2i1−i=2i(1+i20.(2015课标Ⅰ理,1,5分)设复数z满足1+z1−A.1B.2C.3D.2答案A由已知1+z1−z=i,可得z=i−1i21.(2015湖北理,1,5分)i为虚数单位,i607的共轭复数····为A.iB.-iC.1D.-1答案A∵i607=i4×151+3=(i4)151·i3=-i,∴i607的共轭复数为i.22.(2014课标Ⅱ理,2,5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5B.5C.-4+iD.-4-i答案A由题意得z2=-2+i,∴z1z2=(2+i)(-2+i)=-5,故选A.23.(2014重庆理,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案Ai(1-2i)=i-2i2=2+i,对应复平面上的点为(2,1),在第一象限.选A.24.(2014课标Ⅰ文,3,5分)设z=11+i+i,A.12B.22C.答案Bz=11+i+i=1−i2+i=12+12i,因此|z|=125.(2013课标Ⅰ理,2,5分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.-4B.-45C.4D.答案D∵|4+3i|=42+32=5,∴z=53−4i=5(3+4i)26.(2013课标Ⅱ文,2,5分)21+A.22B.2C.2D.1答案C21+i=2(1−i)27.(2016课标Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)答案A由已知可得m+3>0,m−1<0⇒m方法总结复数的实部、虚部分别是其在复平面内对应点的横坐标、纵坐标,所以研究复数在复平面内的对应点的位置时,关键是确定复数的实部和虚部.28.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案B设z=a+bi(a、b∈R),则2z+z=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故选B.29.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.

答案2解析本题考查了复数的概念及运算,考查了学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.∵(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0,∴a-2=0,解得a=2.解题关键掌握复数的有关概念及代数形式的四则运算是解题的关键.30.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.

答案10解析本题考查复数的运算.∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,∴|z|=32+(−31.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.

答案5解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.32.(2016北京理,9,5分)设a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.

答案-1解析(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,∵a∈R,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,∴a+1=0,∴a=-1.33.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.

答案-2解析∵(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数,∴1−234.(2015重庆理,11,5分)设复数a+bi(a,b∈R)的模为3,则(a+bi)(a-bi)=.

答案3解析复数a+bi(a,b∈R)的模为a2+b2=3,则a2+b2=3,则(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2·i2=a考点2复数的运算1.(2023全国甲理,2,5分,易)设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a=()A.-2B.-1C.1D.2答案C因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i-ai2=2a+(1-a2)i=2,所以2a=2,1−a2=0,2.(2023新课标Ⅰ,2,5分,易)已知z=1−i2+2i,则z-z=(A.-iB.iC.0D.1答案Az=1−i2(1+i)=(1−i)22(1+i)(1−i)=−2i4=-12i,∴z=12i,∴z3.(2023全国乙理,1,5分,易)设z=2+i1+i2+i5,则A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i答案Bz=2+i1+i2+i5=2+i1−1+i=(2+i)ii4.(2023全国甲文,2,5分,易)5(1+i3)(2+i)(2−i)=A.-1B.1C.1-iD.1+i答案C5(1+i3)(2+i)(2−i)=5(1−i)4−i5.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,则z(z+i)=()A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i答案C∵z=2-i,∴z=2+i,∴z(z+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故选C.6.(2022新高考Ⅱ,2,5分)(2+2i)(1-2i)=()A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i答案D(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故选D.7.(2022全国甲文,3,5分)若z=1+i,则|iz+3z|=()A.45答案D∵z=1+i,∴iz=i-1,3z=3(1-i)=3-3i,∴iz+3z=2-2i,∴|iz+3z|=22.故选8.(2021全国甲理,3,5分)已知(1-i)2z=3+2i,则z=()A.-1-32C.-32答案B解法一:由题意得z=3+2i(1−i)2解法二:设z=a+bi(a,b∈R).由(1-i)2z=3+2i得(1-i)2(a+bi)=3+2i,∴-2i(a+bi)=2b-2ai=3+2i,∴a=-1,b=32,∴z=-1+32i.故选9.(2022全国甲理,1,5分)若z=-1+3i,则zzz−1=(A.-1+3i答案C因为z=-1+3i,所以zzz−1=−1+10.(2021全国乙文,2,5分)设iz=4+3i,则z=()A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i答案C解题指导:解法一:直接用复数的除法运算求解;解法二(待定系数法):利用方程思想求解.解析解法一:由题意得z=4+3ii=(4+3i)ii2解法二:由题意,设z=a+bi(a,b∈R),则iz=i(a+bi)=-b+ai,又iz=4+3i,所以a=3,b=-4,则z=3-4i,故选C.易错警示学生不熟悉复数的除法法则,在运算中出错.11.(2021北京,2,4分)若复数z满足(1-i)·z=2,则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i答案D解法一:设z=a+bi(a,b∈R),因为(1-i)·z=2,即a+b+(b-a)i=2,所以a+b=2,b−a=0,解得a=b=1,解法二:因为(1-i)·z=2,所以z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i12.(2020新高考Ⅰ,2,5分)2−i1+2i=()A.1B.-1C.iD.-i答案D2−i1+2i=(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=13.(2019课标Ⅰ文,1,5分)设z=3−i1+2A.2B.3C.2D.1答案C本题考查复数的四则运算;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.∵z=3−i=3−7i+2i21∴|z|=152+−7易错警示易将i2误算为1,导致计算出错.14.(2019北京,理1,文2,5分)已知复数z=2+i,则z·z=()A.3B.5C.3D.5答案D本题主要考查复数的运算,共轭复数的概念,考查学生运算求解的能力,考查的核心素养是数学运算.∵z=2+i,∴z=2-i,∴z·z=(2+i)·(2-i)=4+1=5,故选D.15.(2018课标Ⅱ文,1,5分)i(2+3i)=()A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i答案D本题主要考查复数的四则运算.i(2+3i)=2i-3=-3+2i,故选D.16.(2018课标Ⅲ,理2,文2,5分)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i答案D本题考查复数的运算.(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故选D.17.(2018北京理,2,5分)在复平面内,复数11−A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D本题主要考查复数的概念、运算和几何意义.∵11−i=1+i(1−i)(1+i)=12+12i,∴其共轭复数为12-18.(2017课标Ⅱ文,2,5分)(1+i)(2+i)=()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i答案B本题考查复数的基本运算.(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故选B.19.(2017山东文,2,5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=()A.-2iB.2iC.-2D.2答案A本题考查复数的运算.由zi=1+i得z=1+i所以z2=(1-i)2=-2i,故选A.20.(2016课标Ⅲ理,2,5分)若z=1+2i,则4iA.1B.-1C.iD.-i答案C∵zz=(1+2i)(1-2i)=5,∴4izz−121.(2016北京文,2,5分)复数1+2iA.iB.1+iC.-iD.1-i答案A1+2i2−i=(1+2i)(2+i22.(2015课标Ⅱ理,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=()A.-1B.0C.1D.2答案B∵(2+ai)(a-2i)=-4i⇒4a+(a2-4)i=-4i,∴4a=0,23.(2015课标Ⅰ文,3,5分)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i答案C由已知得z=1+ii+1=2-i,24.(2015课标Ⅱ文,2,5分)若a为实数,且2+ai1+A.-4B.-3C.3D.4答案D由已知得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故选D.25.(2015安徽文,1,5分)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=()A.3+3i