第13讲 破解离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类（解析版）

一．选择题（共15小题）1．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，B的一点．设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当(ln|m|+ln|n|)++取最小值时，椭圆C的离心率为()【解答】解：根据题意可得A(—a,0)，B(a,0)，设P(x0，y0)所以令所以所以当t=3时，f(t)最小，即=3，所以故选：A.2．已知椭圆的左、右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，(ln|m|+ln|n|)取最小值时，椭圆C的离心率为()则故t=3时，f(t)取最小值，椭圆C的离心率为故选：A.3．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左，右顶点分别为A，B，点P是椭不重合的动点，若直线PA，PB斜率之积为—，则椭圆C的离心率为()【解答】解：由题意可得A(—a,0)，B(a,0)，设P(x0，y0)，则由P在椭圆上可得y=.b2，①把①代入②化简可得=，:e====，故选：A.4．设A，B为椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1.k2=—，则该椭圆的离心率为() 【解答】解：由题意可得A(—a,0)，B(a,0)，设P(x0，y0)，则由P在椭圆上可得.b2，①②把①代入②化简可得离心率e=.故选：C.5．已知双曲线=1(a>0,b>0)，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1.k2≠0)，若|k1|+|k2|的最小值为2，则双曲线的离心率为()【解答】解：设M(p,q)，N(—p,—q)，P(m,n)，a2b2a2b2两式相减，得=，:=，:k1k2=.==， |时取等号，又当k1=k2时，P，N，M三点共线不符合条件，:当k1=—k2时取等号，:a=b，:离心率e=·2.故选：A.6．双曲线=1(a>0,b>0)M，N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM，PN斜率分别为k1，k2，若k1.k2=，则双曲线离心率为() 【解答】解：由题意，设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(—x1，—y1):kPM.kPN=.=，，x22y22=1，a2b2a2b2:两式相减可得+=0，即=，kPM.kPN=，故选：A.7．双曲线=1(a>0,b>0)，M、N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM、PN斜率分别为k1、k2，若k1.k2=则双曲线离心率为()【解答】解：由题意，设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(—x1，—y1)，x22y22=1，a2b2a2b2:两式相减可得=kPM.kPN=，:2=故选：B.直线l与直线OM(O是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则此双曲线C的离心率为()【解答】解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是线段AB的中点，:M(，)，把A(x1，y1)，B(x2，y2)分别代入双曲线la2b2la2b2:直线l的斜率:OM的斜率kOM=，l与OM的斜率的乘积等于2，:此双曲线的离心率e==.故选：D.两点，若AF=5FB，则双曲线的离心率为()2222化简消去t，可得16a=12c，解得故选：D.10．已知双曲线的右焦点为F(c,0)，若存在过点F的直线l与双曲线的右支交于不同的两点，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A，且|AF|=c，则双曲线C的离心率的取值范围是()【解答】解：设上AOF=θ,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A，且|AF|=c，若存在过点F的直线l与双曲线的右支交于不同的两点，需保证上BOM<上AFO.根据双曲线的渐近线为则tanθ=:1<e<2.故选：B.11．已知斜率为的直线l分别交双曲线的左、右支于点M，N，线段MN的中点为P，若OP（点O为坐标原点）的斜率为2，则双曲线的离心率为()【解答】解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则=因为OP（点O为坐标原点）的斜率为2，所以所以因为M(x1，y1)，N(x2，y2)在双曲线上，所以两式相减得所以所以a2=b2，所以a2=c2-a2，所以离心率为，故选：B.12．已知椭圆上关于原点对称的两点为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为-，则椭圆C的离心率为()【解答】解：如图，两式相减得=0，即直线AM，AN斜率之积为，:a=2b.:椭圆的离心率故选：C.13．如图，已知P(x0，y0)，Q是双曲线上关于原点对称的两点，点M(x,y)为双曲线C上异于P，Q且不与P，Q关于坐标轴对称的任意一点，若直线PM，QM的斜率之积为，且双曲线C的焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为()【解答】解：设M(x,y)，P(x0，y0)，则Q(—x0，—y0)，由题意知kPM.kQM=所以故选：D.14．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆上的不同两点且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若mn=则该椭圆的离心率为()B(a,0)，设P(x0，y0)，则Q(x0，y0)，,所以可得故选：C.15．已知A、B分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点，M、N是椭圆C上两点关于x轴对称，若AM、BN的斜率之积为，则椭圆C的离心率是()故AM、BN的斜率之积为k1k2=，故所以椭圆C离心率是故选：B.二．填空题（共10小题）16．椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等， 1 1217．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则C的离心率为3. 2故答案为：.18．如图，已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点则椭圆C的离心率为+c2作DD1丄y轴于点D1，则由得：所以，由椭圆的第二定义得22，解得， 故答案为：19．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D， +c222，解得， 故答案为：.20．设椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．若直线PA与PB的斜率之积为一，则椭圆的离心率为.【解答】解：设点P的坐标为(x0，y0).由题意，有①BP22y22，于是e2=:椭圆的离心率 故答案为：.21．已知双曲线，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1.k2≠0)，若|k1|+|k2|的最小值为 1，则双曲线的离心率为.【解答】解：由题意，可设点M(p,q)，N(—p,—q)，P(s,t).两式相减得.再由斜率公式得：k1k2=根据|k1|+|k2|的最小值 故答案为：.22．在平面直角坐标系xOy中，已知点M是双曲线上的异于顶点的任意一点，过点M作双曲线的切线l，若kOM.kl=则双曲线离心率e等于.解：设M，则kOM=由于双曲线在M点的切线方程为=1，即在M点切线的斜率，所以a2=3b2，又b2=c2a2，所以4a2=3c2，可得离心率 故答案为：23．过双曲线右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为(1,·5).与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率<2，e>1 :1<e<5， :双曲线离心率的取值范围为(1,·5). 个交点，则此双曲线的离心率为2.倾斜角为60。的直线与双曲线有且只有一个交点，:根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲