第5讲 利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题（解析版）

一．选择题（共9小题）截得的两条弦长之和为12，已知ΔABP的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于()【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，故选：C.2．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C右支F22 故选：B.交左支于点B，△AF2B是等腰直角三角形，上则双曲线C的离心率为() :c=·6故选：D.的取值范围是()【解答】解：」F1，F2分别是双曲线的左右焦点，F ||2+PF222+PF22PFPFPF1PF,———→———PF2min|——————————故选：D.5．已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程y=2x，且点P为双曲线右支上一轴的长为()由一条渐近线方程为y=2x，可得b=2a，||PF2① 22|PF2②24a22△F故选：B.6．已知双曲线C:=1的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C右支上一点，若|FF2F2 故选：D.7．已知点A(4,0)和B(2,2)M是椭圆+=1上一动点，则|MA|+|MB|的最大 【解答】解：A为椭圆左焦点，设右焦点为F(4,0)，则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a=10，当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是|MB|一|MF|<|BF|，而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第三象限交点时有|MB|一|MF|=一|BF|，在第一象显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时|MA|+|MB|有最大值，其最大值为故选：A.8．已知AB为经过抛物线y2=6x焦点F的弦，C为抛物线的准线与x轴的交点，若弦AB的斜率为，则上ACB的正切值为()【解答】解：」抛物线方程为y2=2px=6x，:p=3:设点A的坐标为(+x，x)，(x>0)，故选：A.9．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M(3,0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=，则ΔBCF与ΔACF的面积之比()【解答】解：」抛物线方程为y2=2x，:焦点F的坐标为(，0)，准线方程为，如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，:x2=2，把x2=2代入抛物线y2=2x，得，y2=2，:直线AB过点M(3,0)与(2,一2)方程为2xy6=0，代入抛物线方程，解得，」在ΔAEC中，BN//AE，故选：A.二．填空题（共8小题）10．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点M为双曲线右支上一点，若|F1F2|=2|OM|，tan上MF2F1≥2，则双曲线C的离心率的取值范围，=2ccosθ,:2a=r1r2=2c(sinθcosθ)，:e=， :1<e≤5. |的最大值为15，最小值为.【解答】解：将M的坐标代入椭圆方程可得+1>1，即M在椭圆外，F22 22 :|PM|+|PF1|的最大值和最小值分别为15和·97 故答案为：15，97.【解答】解：F2(3,0).|PF2|10≥|MF2|10=510=5点M，F2，P共线时取等号.故答案为：5.PF与圆(xPF与圆(xc)2+y2【解答】解：根据题意，设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，设圆的圆心为C，圆的方程为2+y2=的圆心为(，0)，半径，222)， 则双曲线的离心率故答案为：.14．AB抛物线y2=4x的过焦点F的弦，O为坐标原点，则以AF为直径的圆与y轴有1设A(m,n)，由抛物线的定义可得|AF|=m+1，设AF的中点为M，可得M到准线的距离为即有M到y轴的距离为|AF|，则以AF为直径的圆与y轴相切，可得与y轴有1个交点；即有直线AB的方程为y=x—1，代入抛物线的方程，可得 可得直线AC的斜率为直线BC的斜率为2故答案为：1，.15．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M(,0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|=2，则ΔBCF与ΔACF的面积之比【解答】解：抛物线方程为y2=2x，:焦点F的坐标为0)，准线方程为如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，:直线AB过点M(·i3,0)与方程为y3=0，代入抛物线方程，解得，x1=2」在ΔAEC中，BN//AE，4故答案为4516．已知点M(—1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两【解答】解：」抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)，:过A，B两点的直线方程为y=k(x—1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，:MA.MB=02):k=2.故答案为：217．已知点M(1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若AB以为直径的圆过M，则k=2【解答】解：」抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)，:过A，B两点的直线方程为y=k(x1)，联立，可得k2x22x+k2=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，」以AB为直径的圆过M，:MAMB=0，+(y11)(y21)=0故答案为：2三．解答题（共1小题）18．设椭圆的右焦点为F，右顶点为A，已知其中O为原点，e为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B(B不在x轴上垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF丄HF，且|MA|≤|MO|，求直线l的斜率的取值范围.解：设F，由得，可得a2-c2=3c2，2:椭圆方程为(2设直线l的方程为y=k(x-2)，k≠0，B(xB，yB)，由方程组