第3讲 圆锥曲线第三定义（解析版）

一．选择题（共7小题）1．椭圆C:=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1的斜率的取值范围是[2，1]，那么直线PA2斜率的取值范围是()解：设P，由A1:—2≤≤1，则≤kPA2≤,:直线PA2斜率的取值范围[，]，故选：B.2．椭圆C:=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[3，1]，那么直线PA1斜率的取值范围是()设，则得:直线PA1斜率的取值范围是故选：A.3．椭圆C:=1的左、右顶点分别为M、N，点P在C上，且直线PN的斜率为一，则直线PM斜率为()【解答】解：椭圆=1的左、右顶点分别为M、N，:M点坐标为(一2,0)，N点坐标为(2,0)，:直线PN的方程为：y=一故选：B.轴的两个顶点分别为A、B，点C为椭圆上不同于A、B的任一点，若将ΔABC的三个内角记作A、 圆的离心率为()3cos(A+B)cosAcosB=0而cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB，所以可得2cosAcosB=3sinAsinB，即tanA●tanB=由题意可得A(-a,0)，B(a,0)，设C(x0，y0)，可得由双曲线的对称性设C在第一象限，如图所示：2所以可得所以离心率故选：A.直线PA，PB的斜率记为m，n，则m2+的最小值为()【解答】解：」满足PA+PB=2PO(O为坐标原点:设，则=x02-1，=x12-1，直线PA，PB的斜率记为m，n，满足mn=2故选：B.6．已知A，B，P是双曲线一上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为():两式相减可得::=，a23故选：D.7．已知A，B，P是双曲线C:k1，直线PB的斜率为k2，且k1，k2是关于x的方程4x2+mx+3=0的两个实数根，若—————→OA+OB=0，O为坐标原点，则双曲线C—————→ 【解答】解：设点P的坐标为(x,y)，点A的坐标为(x0，y0)，——一一又因为，所以2a2)， 故选：B.二．填空题（共4小题）直线PA、PB的斜率记为m，n，则m2+的最小值为【解答】解：由PA+PB=2PO(O为坐标原点得O为AB的中点，又由A、B、P为双曲线上的点，:x12一22可得当且仅当m2=时上式“=”成立.:m2+的最小值为.故答案为：.的动点，M是椭圆上的动点(P，M都异于A，B)，且PA+PB=λ(MA+MB)，其中设直线AP，BP，AM，BM的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若k1+k2=，则k3+k4=3.【解答】解：根据题意可得A(一a,0)，B(a,0)，设P(x1，y1)，M(x2，y2)，λ∈R，，y2)]所以x1y2=x2y1，因为P，M都异于A，B，y1y2由①②得又因为故答案为：.为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足PA+PB=λ(QA+QB)(λ∈R,P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，—————————→—————————→设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，bb」OP=λOQ，:x1=λx2，y1=λyy1y2故答案为：0.11．已知A、B、P是双曲线一=1上不同的三点， 若直线PA，PB的斜率乘积kPA.kPB=，则该双曲线的离心率e=.:两式相减可得一=故答案为：三．解答题（共4小题）12．如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；【解答】解1）由题设知，a=2故所以线段MN中点坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得解得设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2=(,0)，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F.圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？(Ⅲ)过坐标原点O的直线交椭圆=1于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA丄PB.，FO(O为坐标原点，F2为右焦点由题意知：椭圆的右焦点为F2(·5,0)因为FO是△DF1F2的中位线，且DF1丄FO，22=5，又b22设直线l的方程为y=k(x+2)并代入设H(x1，y1)，K(x2，y2)，N(x0，y0)则由中点坐标公式得①当k=0时，有N(0,0)，直线MN显然过椭圆G的两个顶点(0,一2)，(0,2).…（7分）②当k≠0时，则x0≠0，直线MN的方程为此时直线MN显然不能过椭圆G的两个顶点(0,一2)，(0,2)；即①、②两直线的交点B在椭圆W上，所以PA丄PB.…（14分）:kPA=，kAC=314．如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，设直线PA的斜率为k.（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）求ΔPMN，面积S的最大值，并指出对应的点P的坐标；（3）对任意的k>0，过点P作PA的垂线交椭圆于B，求证：A，C，B三点共线.:线段MN中点坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，设与MN平行的直线方程为2x+m，22由题意可知，当m=2时，直线2与直线MN的距离最大，最大值即ΔPMN面积S有最大值，等于|MN|d= :P点坐标为(·2,1)；（3）证明：设P(x1，y