材料力学课件第三章 扭转

第三章扭转本章重点：

1、扭矩的概念以及扭矩图的绘制；

2、圆轴扭转时的应力及变形的计算。§3.1扭转的概念和实例§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图§3.8薄壁杆件的自由扭转§3.3纯剪切§3.5圆轴扭转时的变形§3.7非圆截面杆扭转的概念目录§3.4圆轴扭转时的应力§3.6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形§3.1扭转的概念和实例

受力特点:一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的外力偶。变形特点：相邻横截面绕轴线作相对转动。工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为轴。将任意两横截面间绕轴线转动的相对转角称为扭转角,用表示。§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图设某传动轴,其传递的功率为P千瓦(kW),转速为n转／分（r／min）,若已知外力偶传递的功率为P马力（PS）,转速为n转／分（r／min）运用上二式时，应特别注意各量的单位。1秒内输入的功力偶矩m的功则：一、外力偶矩的计算则

符号：用右手螺旋法则，用矢量表示扭矩若矢量方向与横截面外法线方向一致时扭矩为正，反之扭矩为负。

扭转时横截面上的内力，它是一个位于横截面平面内的力偶，该力偶矩称为扭矩求法：截面法取左端，由于矩平衡二、扭矩与扭矩图MeMeMeTxMeT说明：这样规定扭矩的正负号，使得同一截面上的扭矩获得相同的正负号。扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。

扭矩图的做法与轴力图相似例1

已知:传动轴转速n=300r/min,主动轮A输入功率PA=400kW,三个从动轮输出功率分别为PB=120kW，PC=120kW,PD=160kW试画轴的扭矩图。ABCDABCD解：1.计算外力偶矩MBMCMAMD同理可得：MBBBCMBMC2.计算扭矩得：同理可得：ABCDMBMCMAMD3.画扭矩图一、薄壁圆筒扭转时的应力§3.3纯剪切实验情形①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

②各纵向线均倾斜了同一微小角度γ。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。Dδ沿半径方向取微单元体abcdA、切应力的存在性

由剪切变形剪应变单元体的两恻必然有切应力。B、正应力不存在

扭转过程中，圆筒的周边线形状、大小、相邻周边线的距离都不变，→无线应变（轴相或周相）→无正应力

acddxbdy´´

C、切应力大小（1）由于沿圆周线方向各点的变形相同，同一圆周线上各点的R相同，故可认为切应力沿圆周线处处相等。（2）又因壁厚很薄，又可近似的认为沿壁厚方向均匀分布。横截面上内力系对O点的力矩为：因此认为切应力在横截面均匀分布

TO设该截面的扭矩为T，则：即：说明：根据精确理论分析当时上公式的误差不超过4.52%

在单元体互相垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，而它们的方向都指向公共棱边，或者都背向公共棱边。这个关系即切应力互等定理。组成顺时针转向力偶，其矩为组成逆时针转向力偶，其矩为得

该应力情况由于只有切应力而没有正应力，因此称该应力情况称为纯剪切。二、切应力互等定理acddxb

dy´´dzz

三、纯剪切应力状态斜截面上的应力由单元体平衡可以得到

由此可以判断出最大正应力的位置由右图可以得到式中R为外半径，对于薄壁圆筒可以用平均半径R0代替R三、切应变剪切胡克定律

其中：G是比例常数，称为切变模量，上式为剪切胡克定律。当切应力不超过材料的剪切比例极限，切应力就与切应变成正比，如右图，即：对于各向同性材料，有：§3.4圆轴扭转时的应力先看实验1、实验现象2、假设

﹢各圆周线的形状、大小，两圆周线间的距离都没有发生变化，但都绕轴转过了不同的角度。

﹢纵线仍近似为直线，但都倾斜了一个角度，使原来的矩形都变成了平行四边形。平面假设：圆轴扭转时，各横截面如同刚性平面一样绕轴转动，即：假设圆轴各横截面在变形过程中，始终保持为平面，其形状和大小不变，半径仍为直线。一、实验与假设二、圆轴扭转时的应力三方面变形几何关系物理关系静力学关系1、变形几何关系变形前变形后距圆心为

任一点处的

与到圆心的距离

成正比。——扭转角沿长度方向变化率Ttmaxtmax2.物理关系：虎克定律：代入上式得：3.静力学关系：TOdA

令称为圆截面的极惯性矩代入物理关系式得：tmax抗扭截面系数令：圆轴扭转时横截面上的最大切应力抗扭截面系数极惯性矩扭矩其中：注意：上面的切应力公式只有在等直圆轴且处于弹性范围时才能使用现在的问题是如何求和对与实心轴：对与空心轴：IP与WP与的计算注意:三、圆轴扭转时的强度条件和刚度条件1、圆轴扭转时的破坏现象脆性材料扭转破坏塑性材料扭转破坏（比如：铸铁、粉笔）（比如：低碳钢）2、圆轴扭转的强度条件3、圆轴扭转的刚度条件1、强度校核2、截面尺寸设计3、确定许可载荷利用它也可以进行以下三方面的计算解：（1）计算扭矩例4

已知:传动轴Me=12kN.m，G=80GPa，[τ]=90MPa，

[φ]=2o/m。试按强度条件和刚度条件确定轴的直径（2）按强度条件确定轴的直径（3）按刚度条件确定轴的直径由：可得：由：可得：因此：取：－T1.8kN.m0.7kN.mxO0.5m0.3m1.0mBACDd1＝40mmd2＝70mm例5G＝80GPa。试校核该轴的强度和刚度。解：(1)作出扭矩图(2)强度校核该轴强度满足要求。0.5m0.3m1.0mBACDd1＝40mmd2＝70mm例5G＝80GPa。试校核该轴的强度和刚度。(3)刚度校核由单位长度扭转角的表达式可知，其最大值应该发生在AB段。可见该轴刚度也满足要求。－T1.8kN.m0.7kN.mxO例6G＝80GPa。试按强度和刚度条件选择实心截面轴和空心截面(α＝0.8)圆轴的横截面尺寸，并比较其重量。解：(1)按强度条件确定实心圆轴的直径d0和空心圆轴的外径D以及内径d。实心情形由此得空心情形由此得实心情形由此得空心情形(2)按刚度条件确定实心圆轴的直径d0和空心圆轴的外径D以及内径d。取d0＝59mm取D＝67mm，d＝0.8D＝54mm§3.5圆轴扭转时的变形

对于相距为l的两个截面的扭转角为

如果长为l、在两端受一对外力偶Me作用的等直杆，此时T、G、IP均为常量，故有一、扭转角

若两截面之间T值发生变化或IP与分段变化，则应分段计算各段的扭转角，然后再叠加，得：

对于锥形圆截面杆，当锥度较小（如α＜10°），可近似用下式计算：

扭转角φ的单位为弧度(rad)，其转向和扭矩T的转向相同，它的正负号随着扭矩T的正负号而定，例1

已知:传动轴AB转速n=300r/min，传递的功率P

=7.5kW，AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，D

=3cm，d=2cm。求：AC段、CB段的最大和最小切应力。解：（1）计算扭矩（2）计算极惯性矩ABC（3）计算应力例2

已知:传动轴AB转速n=300r/min，传递的功率P

=7.5kW，AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，D

=3cm，d=2cm。求：AC段、CB段的最大和最小切应力。ABC解：（1）计算扭矩例3

已知:传动轴M1=2.5kN.m，

M2=4kN.m，

M3=1.5kN.m，G=80GPa求：截面A相对截面C的扭转角（2）计算A、C两截面间的相对扭转角练习无缝钢管制成的汽车传动轴，D＝90mm，δ＝2.5mm。AB试求:(1)两种求法的最大切应力比较；(2)把此轴换成同材料且最大切应力相同的实心圆轴，体重比为多少?(1)最大切应力精确值薄壁(2)换算

两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩Me作用，试求:杆两端的支座反力偶矩。静力平衡方程为：变形协调条件为：即：解：由(1)、(2)得：二、扭转超静定问题[例5]长为L=2m

的圆杆受均布力偶m=20Nm/m

的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，外径

D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。解：①杆的受力图如图示，

这是一次超静定问题。

平衡方程为：②几何方程——变形协调方程③综合物理方程与几何方程，得补充方程：④由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。§3.7等直圆杆扭转时的变形能变形比能：对于等直圆轴：对于右图中的等直圆轴：单元体外力所做的功：对于薄壁圆筒：§3.6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和应变螺旋弹簧如图所示。当螺旋角时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。由静力平衡可以得到式中的FS为横截面上的剪力；T为该截面的扭矩。对于由剪力引起的切应力，可以认为在横截面上均匀分布。1.簧杆横截面上的应力对于由Ｔ引起的切应力，当可以不计簧杆曲率的影响，而是按直杆计算最大切应力。横截面上的切应力可以用上述两种应力进行矢量叠加，故切应力的最大值在簧杆的a点处，其值为当时，与1相比可以忽略不计，即

上式结果切应力值偏低，进一步理论分析可知，当考虑曲率以及FS对应的应力非均匀分布等因素后，得到另一个公式m称为弹簧指数，C称为曲度系数。2.弹簧的变形当时，可以忽略FS的影响，并可以按直杆来计算代表弹簧轴线的全长；n为弹簧有效圈数G为簧杆的切变模量；IP为簧杆横截面的极惯性矩式中的k为弹簧刚度§3.7非圆街面截面杆扭转的概念

杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”。扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有剪应力没有正应力，这种扭转称为自由扭转。此时横截面上剪应力规律如图：T其中Wt也称为扭转截面系数；It称为截面的相当极惯性矩；GIt仍称为杆的扭转刚度相关数据见书P74页表3—1§3.8薄壁杆件的自由扭转薄壁杆件:杆件的壁厚远小于横截面的其他两个尺寸(高和宽).开口薄壁杆件闭口薄壁杆件一、开口薄壁杆件的自由扭转开口薄壁杆件，如槽钢、工字钢等，其横截面可以看作是由若干个狭长矩形组成的。在受扭变形过程中，各部分的扭转角相等。1、图示铸铁圆轴受扭时，在＿＿＿＿面上发生断裂，其破坏是由