2024-2025学年北京市崇文区高二上册11月期中数学检测试题（含解析）

2024-2025学年北京市崇文区高二上学期11月期中数学检测试题一、单选题（本大题共10小题）1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．双曲线的焦点坐标是（

）A．， B．， C．， D．，3．平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（

）A． B．C． D．4．设双曲线的渐近线方程为，则的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．15．圆与圆的位置关系是（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离6．若数列满足，且，则（）A． B．2 C． D．7．已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（）A． B． C． D．8．已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．129．已知点F是双曲线的一个焦点，直线，则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点E在BD上，点F①当点E是BD中点时，直线EF//平面DCC1②直线B1D1到平面CMN的距离是③存在点P，使得∠B1④△PDD1面积的最小值是5其中所有正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题）11．已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为．12．若双曲线的焦距是，则实数．13．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则；双曲线的渐近线方程是．14．若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项．15．已知直线与曲线的图象有公共点，则实数的一个取值为；实数的最大值为．16．已知曲线，点在曲线上，给出下列四个结论：①曲线关于直线对称：

②当时，点不在直线上：③当时，；

④当时，曲线所围成的区域的面积大于.其中所有正确结论的有．三、解答题（本大题共5小题）17．在直四棱柱中，，，，，

(1)求证：平面；(2)若直四棱柱体积为36，求二面角的余弦值.18．已知椭圆的离心率为，长轴端点分别为，，.(1)求椭圆的标准方程；(2)，为椭圆的焦点，为椭圆上一点，且.求点的坐标；(3)为椭圆上任意一点（不与、重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为常数，并说明理由.19．如图，在多面体中，为等边三角形，，.点为的中点，再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.

(1)求证：平面；(2)设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.20．已知椭圆过点，焦距为.(1)求椭圆的方程，并求其短轴长；(2)过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点.设直线的斜率为，求的最大值.21．已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集.(1)若，写出的所有子集；(2)若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值；(3)若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值.

答案1．【正确答案】D【详解】，设其倾斜角为，则，又，则，即倾斜角为，故选：D2．【正确答案】C【详解】,又焦点在轴上,所以焦点坐标为，.故选：C.3．【正确答案】D【分析】由平行六面体的性质和空间向量的线性运算即可求解.【详解】如图：由平行六面体的性质可得.故选D.4．【正确答案】C【详解】由双曲线的几何性质可得，双曲线的渐近线方程为，又因为渐近线方程为，即，故，选C．5．【正确答案】C【详解】因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，又，所以两圆的位置关系为外切，故选：C.6．【正确答案】D【详解】,所以，所以，所以数列周期为3，由，可得，所以.故选：D7．【正确答案】A【详解】直线恒过定点，圆的圆心为，半径为，又，即在圆内，当时，圆心到直线的距离最大为，此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为．故选：A.8．【正确答案】C【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值．【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，，所以.对于，，取数列各项为(，,则，所以n的最大值为11．故选：C．9．【正确答案】A【详解】由双曲线，可知，且渐近线方程为若点F到直线l的距离，得，或，如图，由双曲线性质可知，直线l与双曲线C没有公共点；反之，若直线l与双曲线C没有公共点，因为直线l过原点，由图可知，，或，则，即点F到直线l的距离大于或等于1，所以，“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的充分不必要条件.故选：A10．【正确答案】C【详解】对于①，点E是BD中点，BD=B1而BE=CF，故CF=BE=2，即F为B1连接BC1，DC1，则EF//DC1，因为EF⊄平面DCC1D1故直线EF//平面DCC1对于②，连接B1D1,因为M,N分别是棱A1B所以B11因为B1D1⊄平面CMN,MN⊂所以B11//平面所以直线B1D1到平面CMN的距离等于点D1到平面CMNMN=12S△CMN=12×而VC−MND1=−CMN对于③，以点A为坐标原点，分别以AB,AD,AA1所在直线为x,y,z则M1,0,2,CMC=1,2,−2,设MP故Pt+1,2t,−2t+2，则PB由∠B1PD1解得t1=2−139（舍），t2对于④，由③知Pt+1,2t,−2t+2在DD1上的投影为故Pt+1,2t,−2t+2到DD1的距离为则△PDD1的面积为S=当t=35∈0,1时，5t−故△PDD1的面积S取到最小值4故所有正确结论的个数是2，故选C.11．【正确答案】【详解】因为抛物线，所以，∴所以的准线方程为.故12．【正确答案】/0.125【详解】由双曲线，即，且焦距为，即，解得，故答案为.13．【正确答案】【详解】由题设，抛物线焦点为，故对于，有，∴，则，故渐近线方程为.故，.14．【正确答案】；3【详解】数列{an}的前项和，数列为等差数列，数列的通项公式为=，数列的通项公式为，其中数值最小的项应是最靠近对称轴的项，即n=3，第3项是数列中数值最小的项．15．【正确答案】（答案不唯一）/【详解】

直线可变形为，可得到直线过定点，曲线为以原点为圆心，为半径的圆的上半部分，若两个图象有公共点，则只需要直线和圆相交即可，如图是两种临界情况，当直线过点1,0直线的斜率为；当直线过点时得到直线的斜率为，当直线斜率存在时，即时，直线的斜率为，由图可得直线斜率的范围是，即解得，当时，直线为，符合题意.故得到范围是，则实数的一个取值可以为，的最大值为12.故（答案不唯一）；.16．【正确答案】②③④【详解】对于①：点满足曲线，但不满足曲线，所以曲线不关于直线对称，①错误；对于②：当时，，即，所以，所以，即点不在直线上，②正确；对于③：当时，，即，所以所以，得，当且仅当时，等号成立，所以当时，，③正确；对于④：当时，曲线，所以，所以，即，所以曲线所围成的区域的面积大于椭圆面积，椭圆面积大于以长轴和短轴为对角线的菱形面积，故曲线所围成的区域的面积大于，④正确；故②③④．17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由题意知，，因为平面，平面，所以平面，因为，且平面，平面，所以平面，又，、平面，所以平面平面，因为平面，所以平面．（2）由题意知，底面为直角梯形，所以梯形的面积，因为四棱柱的体积为36，所以，过作于，连接，因为平面，且平面，所以，又，、平面，所以平面，因为平面，所以，

所以即为二面角的平面角，在△中，，所以，,所以,故二面角的余弦值为．

18．【正确答案】(1)(2)，或，或，或(3)为常数，理由见详解【详解】（1）设椭圆的标准方程为，因为长轴端点分别为，，所以，因为椭圆的离心率为，所以，则，所以，则椭圆的标准方程为.（2）设Px,y因为，为椭圆的焦点，为椭圆上一点，且，所以，由（1）知椭圆为，，所以，整理得，与联立，解得，所以点的坐标为，或，或，或.（3）设，又，，则，，所以，又，所以，则，即为常数.19．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）选条件①：平面平面，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以.因为为等边三角形，点为的中点，所以，因为平面平面，所以平面.选条件②：因为，为等边三角形，所以，因为，则，所以为直角三角形，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为为等边三角形，点为的中点，所以，因为平面平面，所以平面.（2）因为，由（1）知平面，所以平面.如图，以点为原点，过点A在平面ABC内作AC的垂线作为x轴，分别以所在直线为轴､轴建立空间直角坐标系，

所以，所以.因为点为上一点，设，所以.因为，则，所以，所以，所以，所以.设平面的法向量为n=x,y,z，所以，所以，令，得，所以.设直线与平面所成角为，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.20．【正确答案】(1)，4(2)【详解】（1）由题意知，.所以，.所以椭圆的方程为，其短轴长为4.（2）设直线的方程为，，，则.由，得.所以.由得直线的方程为.由得.因为，所以，.所以.因为为的中点，且，所以.所以直线的斜率.当时，.当时，因为，当且仅当时，等号成立.所以.所以当时，取得最大值.21．【正确答案】(1)；(2)2；(3)13.【详解】（1）当时，，的所有子集为.（2）当时，取