2024-2025学年安徽省阜阳市高二上册第二次月考（12月）数学检测试题（含解析）

2024-2025学年安徽省阜阳市高二上学期第二次月考（12月）数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（）A． B． C． D．3．把一个高9cm的圆锥形容器装满水，倒进一个与它底面积相等、高度相等的圆柱形容器中，此时水的高度是（

）A．4.5cm B．3cm C．27cm D．1cm4．设为实数，已知直线，若，则（

）A．6 B． C．6或 D．或35．已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．6．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且．若G，B，P，D四点共面，则（）A． B． C． D．7．设椭圆的左、右顶点为，，左、右焦点为，，上、下顶点为，.关于该椭圆，有下列四个命题：甲：；乙：的周长为8；丙：离心率为；丁：四边形的面积为.如果只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．已知是抛物线上异于原点的两点，且以为直径的圆过原点，过点向直线作垂线，垂足为，则的最大值为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（

）A． B．点关于平面对称的点的坐标为C．若，则 D．若，，则10．在平面直角坐标系xOy中，已知是动点．下列命题正确的是（）A．若，则M的轨迹的长度等于2B．若，则M的轨迹方程为C．若，则M的轨迹与圆有交点D．若，则的最大值为311．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行白圈的个数为，其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．数列满足，且，则.13．一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2.现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，方差为.14．已知正四棱锥底面边长为2，高为1，动点P在平面内且满足，则直线与所成角的余弦值的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题）15．在中，角的对边分别是，已知.(1)证明.(2)若的面积为1，求.16．已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若，求．17．如图，在四棱锥中，平面是边长为的等边三角形，，．

(1)证明：平面平面；(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长．18．设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且．(1)已知直线：经过定点P，直线经过点P，且，求直线的方程.(2)求点的轨迹方程；(3)当直线的斜率存在时，设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点．19．对于数列，若存在正数k，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”．(1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？(2)若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”．①求q的取值范围；②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”

答案1．【正确答案】D【详解】，，根据复数的几何意义在第四象限.故选：D.2．【正确答案】A【详解】由题意得，即，则．故选：A．3．【正确答案】B【详解】设圆锥和圆柱的底面积为，圆柱中水的高度为，则，解得.所以圆柱中水的高度是3.故选：B.4．【正确答案】A【详解】因为，所以，解得：或.当时，，平行；当时，，可判断此时重合，舍去.故选：A5．【正确答案】A【详解】由，化简可得，则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得，故实数的取值范围是．故选：A.6．【正确答案】C【详解】因为．由四点共面，所以．故选：C．7．【正确答案】B【详解】依题意，作出椭圆的图象，如图，若甲为真命题，则；若乙为真命题：则的周长为，即；若丙为真命题，则离心率为；若丁为真命题，则四边形的面积为；当甲乙都为真时，有，解得，则，此时，，则丙和丁都是假命题；所以甲乙不可能同时为真，且必有一真一假，故丙和丁都为真；若甲、丙和丁为真，则，解得，此时满足，且，符合题意；若乙、丙和丁为真，则，解得，此时，即乙、丙和丁不同时为真，假设不成立；综上，乙命题为假命题.故选：B.8．【正确答案】B【详解】设点，点，其中，，以为直径的圆过原点，，解得：，易知直线的斜率不为，不妨设直线的方程为：，由化简整理得：，，解得：，直线恒过定点，，，四点共圆，即点在以为直径的圆（除原点外）上运动，此时该圆直径为，的最大值为该圆的直径，即.故选：B．9．【正确答案】ACD【详解】由题意，A正确；关于平面对称的点的坐标坐标相同，坐标相反，因此点关于平面对称的点的坐标为，B错，若，则，所以，C正确；若且，则，解得，D正确，故选：ACD．10．【正确答案】AD【详解】对于A，因为，所以的轨迹为线段，从而的轨迹的长度等于2，故A正确；对于B，因为，由双曲线的定义，知的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，而选项中的方程中未限制范围，故B错误；对于C，由，得，化简，得，联立，方程组无解，所以的轨迹与圆没有交点，故C错误；对于D，由，得，化简得，所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆，等于在轴上的投影的长度，由图知其最大值为3，故D正确.故选：AD．11．【正确答案】AD【分析】根据题意得，再利用裂项相消法可求出，，然后逐个分析判断.【详解】由于每一个白圈产生下一行的1白1黑两个圈，一个黑圈产生下一行的1个白圈2个黑圈，第n行白圈的个数为，黑圈的个数为，所以，B错误，由，得，，，A正确，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，即，D正确；因为，所以，因为，，所以，所以，C错误.故选AD.【思路导引】若通项公式是分式型，分子是常数，分母是相邻两项的积，则可以考虑用裂项相消法求和.12．【正确答案】【详解】因为，所以,因为,所以所以,所以,所以,可得.故答案为.13．【正确答案】【分析】利用平均数和方差的定义直接求解即可.【详解】设这个样本容量为7的样本数据分别为则，所以，，所以.当加入新数据4，5，6后，平均数，方差.故14．【正确答案】【详解】设正方形的中心为，过点作的垂线，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，设，可得，，所以，，，，因为，可得，可设，，设直线与所成角为，由，，则，令，可得，则，则，,可得．故答案为.15．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据和差角公式可得，即可利用正弦定理边角互化求解，（2）根据面积公式可得，进而可得，由余弦定理即可求解.【详解】（1）由可得，故，,即,由正弦定理可得，故（2）由可得，故结合得,故，又,故，故，由余弦定理可得16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）设的公差为，由，得，则．由成等比数列，得，则，而是单调递增的等差数列，所以，所以．解方程组得所以的通项公式为．（2）由，可得，所以．故是以为首项，公比为的等比数列，所以．17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在中，，，，由余弦定理，得到，解得，所以，得到，又，所以，即，又平面，面，所以，又，面，所以面，又面，所以平面平面.（2）以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，因为，，，则，则，设平面的一个法向量为，则，得到，取，得到，即，易知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，整理得到，解得，所以.

18．【正确答案】(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）对于直线，将其变形为.令，解方程组：将其代入，得到.那么，所以定点.已知直线，其斜率，因为，两直线垂直斜率之积为，所以直线的斜率.由点斜式可得直线的方程为，整理得.（2）设，则，所以从而因为，所以，即．则，化简得．所以点的轨迹方程为．（3）设，则，当直线的斜率存在，易得且，则直线的方程为，注意到，化简得．点与关于直线AB对称，设，则由，解得，又，所以，从而，令，得，因此直线过定点．

19．【正确答案】(1)符合条件；(2)①；②证明见解析.【详解】（1）公差为2的等差数列an，设，由，所以公差为2的等差数列an符合条件．（2）①首项为1，公比为q的正项等比数列an，，对恒成立，若，则，符合．若，数列an单调递增，不妨设，，，设，由（*）式中的m，n任意性得数列bn不递