专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型解读与提分精练（全国）

专题01双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.线段的双中点模型 2模型2.线段的多中点模型 4模型3.双角平分线模型与角n等分线模型 6 11模型1.线段的双中点模型线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：.证明：①当点B在线段AC上，如图1，图1∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；∵MN=BM+BN，∴；②当点B在线段AC的延长线上，如图2，图2∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；∵MN=BM-BN，∴；③当点B在线段CA的延长线上图3∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；∵MN=BN-BM，∴；例1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．(1)若，求的长；(2)若，求的长；例2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点．(1)若，求线段的长；(2)若，求线段的长度．例3．（23-24七年级·山东淄博·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（）A．B．C．或D．或例4．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论：①；

②若，则；③；

④．其中正确的结论是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④例5．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知线段，点C为线段的中点，点D为线段上的三等分点，则线段的长的最大值为（

）A．16 B．18 C．15 D．20例6．（23-24七年级上·辽宁阜新·期末）点、在数轴上所表示的数如图所示，是数轴上一点：(1)将点在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点，求出、两点间的距离是多少个单位长度．(2)若点在数轴上移动了个单位长度到点，且、两点间的距离是4，求的值．(3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段的长度．模型2.线段的多中点模型条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：．证明：∵、是和的中点，∴，，∴，∵、是和的中点，∴，，∴，∵，是和的中点，∴，，∴，……发现规律：，例1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点为原点，点表示的数为，动点从点出发，按以下规律跳动：第1次从点跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么点所表示的数为．例2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4次，则．例3．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和．例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；…(1)请完成下列表格数据．次数

线段的长第1次第2次第3次第4次第5次①______②________………(2)小明对线段的表达式进行了如下化简：因为，所以，两式相加，得，所以．请你参考小明的化简方法，化简的表达式．(3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____．模型3.双角平分线模型与角n等分线模型双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。图1图2图3图41）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，∴，∴。2）双角平分线模型（两个角有公共部分）条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，∴，∴。3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；结论：。证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，，∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，∴。4）角n等分线模型条件：如图4，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线…，分别是和的平分线；结论：．证明：，、分别是和的平分线，，，、分别是和的平分线，，，、分别是和的平分线，，，…，由此规律得：。例1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为（）A． B． C． D．例2．（2023春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有（

）①；②；③；④．A．①② B．①③ C．②③ D．②④例3．（2023春·黑龙江·七年级校考阶段练习）如图，射线是的角平分线，射线是的角半分线，射线是的角平分线，则下列结论成立的有（

）个．

①；②；③；④；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个例4．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是．

例5．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答．A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为．B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为（用含α的代数式表示）．例6．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．(1)求的度数；(2)如果．①求的度数；②若，直接写出的度数．例7．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若，，、分别平分、，求的度数；(2)若，是平面内两个角，，，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示）例8．（2023春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．(1)一个角的平分线这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则（表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则（用含α的代数式表示出所有可能的结果）．

1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（

）A． B． C．或 D．或2．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（

）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④3．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（

）A． B． C． D．4．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（

）．

A． B． C． D．5．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（）A． B． C．或 D．或6．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是．

7．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求．8．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为（用a，b的式子表示）．9．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，P，Q分别是的中点，若，则．10．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则度．11．（2024·山东·七年级专题练习）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝°．（用含n的代数式表示）12．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），．下列结论：①；②当点B与点O重合时，；③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．所有结论正确的序号是．13．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上．

14．（2023春·安徽合肥·七年级校考开学考试）平面内，，为内部一点，射线平分，射线平分，射线平分，当时，的度数是．15．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长．(1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，，分别是，的中点，则______．②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长．③若，分别是，的等分点，即，，则______．16．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．(1)【理解与应用】如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________．(2)【拓展与延伸】已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值；②t为何值时，．17．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知，平分，平分．

(1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数．18．（2024·广东广州·七年级校考期末）如图①，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点．(1)若，则___________cm；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，，分别平分和，若，，则___________．直接写出，和的数量关系：___________．19．（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得．(1)如图一，过点作射线，使为的